ABITURPRÜFUNG 2001 GRUNDFACH MATHEMATIK

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Jens Eberhardt
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ABITURPRÜFUNG 2001 GRUNDFACH MATHEMATIK (HAUPTTERMIN) Arbeitszeit: Hilfsmittel: 210 Minuten Taschenrechner (nicht programmierbar, nicht grafikfähig) Tafelwerk Der Prüfungsteilnehmer wählt von den

1 ABITURPRÜFUNG 2001 GRUNDFACH MATHEMATIK (HAUPTTERMIN) Arbeitszeit: Hilfsmittel: 210 Minuten Taschenrechner (nicht programmierbar, nicht grafikfähig) Tafelwerk Der Prüfungsteilnehmer wählt von den Aufgaben 1.1 und 1.2 eine und von den Aufgaben 2.1 und 2.2 und 2.3 zwei zur Bearbeitung aus. Rechts neben jeder Teilaufgabe steht die für diese Teilaufgabe maximal erreichbare Anzahl von Bewertungseinheiten (BE).

2 2 ÖFFNUNG AM 09. MAI 2001

3 3 Aufgabe 1.1 Gegeben ist die Funktion f durch y 8x + 16 f (x) = 2 x = ( x R; x 0). a) Untersuchen Sie den Graphen von f auf Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen sowie auf lokale Extrempunkte! Berechnen Sie gegebenenfalls die Koordinaten dieser Punkte! Bestimmen Sie das Verhalten von f für x ±! 8 BE b) Der Graph von f besitzt genau einen Wendepunkt. Berechnen Sie dessen Koordinaten und stellen Sie eine Gleichung der zugehörigen Wendetangente t auf! (Auf den Nachweis des Wendepunktes wird verzichtet.) c) Skizzieren Sie den Graphen der Funktion f im Intervall 8 x 8! Geben Sie die Gleichungen der beiden Asymptoten an! d) Eine Gerade g und der Graph von f verlaufen durch die Punkte A( 2;0) und Q( 4; 1). Ermitteln Sie eine Gleichung der Geraden! Die Gerade g und der Graph von f haben einen dritten Punkt S gemeinsam. Berechnen Sie dessen Koordinaten! e) Der Graph einer Funktion h mit h(x) = 0,5x + x + 2 hat mit dem Graph der Geraden g die Punkte B( 1;0,5 ) und C(2; 2) gemeinsam. Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstückes, das von diesen beiden Graphen vollständig eingeschlossen wird! f) Der Graph einer quadratischen Funktion q mit q(0) = q(2) = 4 hat in E(1; 5) einen lokalen Extrempunkt. Geben Sie die Gleichung dieser quadratischen Funktion q an! Vergleichen Sie die Funktionen q und h miteinander! g) Die Gerade g, die x-achse und die Gerade mit der Gleichung x = u (u > 2) begrenzen ein rechtwinkliges Dreieck, das bei Rotation um die x-achse einen Kreiskegel erzeugt. Für welche reellen Zahlen u beträgt das Volumen dieses Kegels 2 π VE? BE 5 BE 4 BE

4 4 Aufgabe 1.2 Gegeben ist die Funktion f durch y = f (x) = (2 x) ln(2 x). a) Geben Sie den Definitionsbereich der Funktion f an! Untersuchen Sie den Graphen von f auf Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und lokale Extrempunkte! Geben Sie diese gegebenenfalls an! 10 BE b) Ermitteln Sie das Verhalten von f für x! 1 BE c) Skizzieren Sie den Graphen von f im Intervall 1 x < 2! d) Weisen Sie nach, dass die Funktion F mit 1 2 F(x) = ( 2 x) 1 2ln( 2 x) 4 eine Stammfunktion von f ist! [ ] 2001 e) Weisen Sie nach, dass der Inhalt der Fläche, die im I. Quadranten vom Graphen von f und den Koordinatenachsen 3 vollständig begrenzt wird, ln4 FE beträgt! 4 f) Der Graph einer quadratischen Funktion q verläuft durch den Punkt P o (0;2ln 2) und hat den lokalen Minimumpunkt 3 1 P 1 ; ln Ermitteln Sie die Gleichung dieser Funktion! 2 q(x) = ln 2 x 3x + 2 Kontrollergebnis: ( ) g) Durch den Punkt ( u;q(u) ) P mit 0 < u < 1 werden die Parallelen zu den Koordinatenachsen gezeichnet. Diese Parallelen und die Koordinatenachsen begrenzen ein Rechteck. Berechnen Sie u so, dass der Flächeninhalt des Rechtecks maximal wird! Geben Sie diesen maximalen Flächeninhalt an! 5 BE 6 BE

5 5 Aufgabe 2.1 In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A (3;0;5), B(6;4;3) und D (0;4;3) gegeben. a) Weisen Sie nach, dass die Punkte A, B und D eindeutig eine Ebene ε bestimmen! Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABD! b) Bestimmen Sie eine Gleichung der Schnittgeraden der Ebene ε mit der x-y-koordinatenebene! c) Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes C so, dass A, B, C und D in dieser Reihenfolge ein Parallelogramm bilden! d) Ermitteln Sie die Koordinaten aller weiteren Punkte, die mit A, B und D ein Parallelogramm ergeben! e) Ein Punkt S liegt auf der Geraden g, die durch die Punkte A und P (3;4;8) bestimmt wird, sowie auf der Geraden h, die durch den 0 Mittelpunkt M der Strecke BD in Richtung des Vektors a = 1 2 verläuft. Ermitteln Sie die Koordinaten von S! f) Zeigen Sie, dass MS die Höhe der Pyramide ABCDS ist und berechnen Sie das Volumen der Pyramide! 1 BE

6 6 Aufgabe 2.2 Ein Regenauffangbehälter zur Messung von Niederschlägen hat die Form einer auf der Spitze stehenden, oben offenen geraden Pyramide (siehe Skizze). Die Eckpunkte haben folgende Koordinaten: A( 5; 5;24), ( 5;5;24) C( 5;5;24), D( 5; 5;24), O ( 0;0;0). (1 LE entspricht 1 cm) B, a) Gegeben ist ein weiterer Punkt E(0; 0; 40). Ermitteln Sie eine Gleichung der Geraden g, die durch die Punkte E und B verläuft! Die Gerade g durchstößt die x-y-ebene im Punkt F. Berechnen Sie die Koordinaten dieses Punktes! b) Berechnen Sie die Größe des Winkels, den die Seitenkante OB und die Strecke BF einschließen! c) Nach einem Regenguss ist der Behälter 18 cm hoch mit Wasser gefüllt. Ermitteln Sie das Volumen des aufgefangenen Wassers! d) Im Inneren der Pyramide existiert ein Punkt R, der von allen Eckpunkten der Pyramide den gleichen Abstand besitzt. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes R! Aufgabenteil e auf Seite 6

7 7 e) Geben Sie eine Gleichung der Ebene ε an, die die Punkte O, A und B enthält! 2 a Eine Gerade h ist durch die Gleichung x = 1 + r ( a, r R) gegeben und verläuft parallel zur Ebene ε. Ermitteln Sie den Wert des Parameters a! 4 BE

8 8 Aufgabe 2.3 Eine Urne enthält 6 gleichartige Kugeln, davon ist eine weiß, zwei Kugeln sind rot und der Rest ist blau. Der Urne werden nacheinander mit Zurücklegen Kugeln entnommen. a) Die Zufallsvariable X zählt die Anzahl der roten Kugeln. Geben Sie die Ergebnismenge und die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten an, wenn drei Kugeln entnommen werden! b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse: A:= Die erste von drei entnommenen Kugeln ist die einzige rote. B:= Die zweite von drei entnommenen Kugeln ist rot. C:= Unter drei entnommenen Kugeln sind höchstens zwei rote Kugeln. D:= A C 4 BE c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter zehn gezogenen Kugeln genau zwei rote befinden? d) Wie viele Kugeln muss man der Urne mindestens entnehmen, damit die weiße Kugel mit mehr als 95%iger Wahrscheinlichkeit mindestens einmal auftritt? Der Urne werden nacheinander ohne Zurücklegen Kugeln entnommen. e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich von jeder Farbe noch genau eine Kugel in der Urne befindet, nachdem drei Kugeln entnommen wurden? f) Folgendes Gewinnspiel wird vereinbart: Man entnimmt der Urne zwei Kugeln. Sind beide Kugeln rot, bekommt man 4,50 (Euro), ist eine Kugel rot und die andere weiß, bekommt man 0,30. In allen anderen Fällen muss man 0,45 bezahlen. Untersuchen Sie, ob es sich hierbei um ein faires Spiel handelt!

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