Die obere und untere Grenze der Schallgeschwindigkeitin WasserdampfjWasser Gel'nischen. unter Berücksichtigung der Kompressibilität des Wassers
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1 Januar 1969 KFK 717 Institut für Reaktorentwicklung Die obere und untere Grenze der Schallgeschwindigkeitin WasserdampfjWasser Gel'nischen. unter Berücksichtigung der Kompressibilität des Wassers H. Sameith
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3 KERNFORSCHUNGSZENTRUM KARLSRUHE Januar 1969 KFK 717 Institut für Reaktorentwicklung Die obere und untere Grenze der Schallgeschwindigkeit in Wasserdampf/Wasser-Gemischen unter Berücksichtigung der Kompressibilität des Wassers H. Sameith Gesellschaft für Kernforschung m.b.h., Karlsruhe
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5 Inhalt 1. Einleitung und Uberblick Seite 1 2. Die obere Grenze der Schallgeschwindigkeit 2.1 Annahmen 2.2 Zustandsgleichung 2.3 Isentrope 2.4 Schallgeschwindigkeit Die untere Grenze der Schallgeschwindigkeit 3.1 Annahmen 3.2 Zustandsgleichung 3.3 Isentrope 3.4 Schallgeschwindigkeit Literatur 7
6 Einleitung und Uberblick Mit dem allgemeinen Ansatz (l.l) als Ausgangsbeziehung wurden Ausdrücke für die Schallgeschwindigkeit in Zweiphasengemischen, insbesondere in 2-Komponenten-Systemen, bereits von mehreren Forschern abgeleitet. Eine Zusammenstellung dieser Beziehungen findet man im Bericht von Gouse und Evans G-l_7. Bei einer näheren Prüfung der einzelnen Arbeiten stellt man jedoch fest, daß in keiner der Ableitungen die Kompressibilität der Flüssigkeit durch Einführen einer entsprechenden Zustandsgleichung explizite berücksichtigt wurde. Dies führt u. a. dazu, daß unter der Annahme einer inkompressiblen Flüssigkeit. im Falle eines echten oder eines Pseudo-2-Komponenten-Systems (l-komponenten-system im vollständigen Phasenungleichgewicht) die Schallgeschwindigkeit gegen 00 geht, wenn der Dampfgehalt gegen 0 strebt. Da dieses Verhalten nicht der Wirklichkeit entspricht, soll in die folgenden Uberlegungen auch der Kompressibilitätseinfluß der flüssigen Phase einbezogen werden. Mit den gewonnenen Resultaten ist ein erster Schritt im Hinblick auf eine Erweiterung des von Dr. Fischer aufgestellten Modells getan G-2_7. 2. Die obere Grenze der Schallgeschwindigkeit 2.1 Annahmen G-l.l_7 Das Wasserdampf/Wasser-Gemisch möge sich in Ruhe befinden. L-l.2_7 Das Wasserdampf/Wasser-Gemisch sei ein physikalisch-homogenes Gemisch. L-l.3_7 Phasenumwandlungen seien in dem betrachteten Volumen ausgeschlossen.
7 - 2 - i-2.1_7 i-2.2_7 i-2.3_7 Der Dampfgehalt möge an allen Stellen des betrachteten Raumes denselben Wert haben. Der Dampf genüge der idealen Zustandsgleichung: RT v =- g p Das Wasser gehorche der Zustandsgleichung von Plank i-3_7: { A_BT 2 1 vf = 2C + '2 mit A = 1, B = 2, C = 8, ~ b. cm 3 ff ~n 3 zw. vf ~n --- cm g p in at T in K Mit i-l.2_7 und i-2.1~7 Zweiphasengemisches: gilt für das spezifische Volumen des Wenn man (2.1) und (2.2) in (2.3) einsetzt, folgt sofort die Zustandsgleichung für das Wasserdampf/Wasser-Gemisch: RT x-- + p 1 1 (1 ) {A_BT 2 1 [(A_BT 2 )2 + ~J2 1-3 := F(p,T) -x 2C + '2 C C 5 (2.4)
8 - 3 - Für geschlossene Systeme gilt der 1. Hauptsatz immer in der Form: dq = de + da Mit der Annahme, i-3.1_7 alle Zustandsänderungen erfolgen reversibel, läßt sich der 1. Hauptsatz schreiben: dq - de + p.dv rev Für die innere Energie gilt allgemein: e = e(t,v,o) (3.4) Wie beim idealen Gas mach~n wir die Annahme, daß die innere Energie der beiden Phasen und des Gemisches nur von der Temperatur abhängt oder anders ausgedrückt: i-3.2_7 e :#= e(v) ~ ( d e) = 0 'Ov T,o i-3.3_7 e '* e(o) ~ (~~)T,V = 0 Damit folgt aus (3.4): de = (~;)v,o dt = c dt _ c dt vo v Mit i-l.2_7 und L-3.3_7 kann für die innere Energie des Gemisches der Ansatz gemacht werden: 0.8) de = [x c vg + (l-x) cvfj dt
9 - 4 - Setzt man (3.9) und 1 dv = - ~2 d~ (4.1) in (3.2) ein, so erhält man: dqrev = [x c vg + (I-x) C Vf ] dt - ~ d~ (4.2) Die Gleichung der Isentrope folgt aus (4.2), wenn man setzt: I dq,; 0 rev (4.4) Die Schallgeschwindigkeit ergibt sich nach GI. (1.1) aus der Differentialgleichung für die Isentrope (4.4), wenn man dt mit Hilfe der Zustandsgleichung (2.4) eliminiert: 1 2 of dt = - df (F.df + ~ dp) (4.5) - p at Nach einigen Umformungen erhält man aus (4.4): 2 a = 2 F (p,t) 'df op p of ] + x C + (I-x) c ot ft vg VI (4.6) Für die graphische Darstellung ist es zweckmäßig, den Dampfänteil a einzuführen. Dies gelingt über die für homogene Gemische gültige Beziehung x a.~ = -~='f---ar(~~~l..--r-g~) Im Bild 5.1 ist die Abhängigkeit der Schallgeschwindigkeit a vom Dampfanteil a für p = 1 at und T = 373 K aufgetragen. Man sieht, daß die Schallgeschwindigkeit für die beiden Grenzfälle a -+ 0 und a ~ 1 gegen die der reinen Phasen strebt.
10 -5- o o (J) CO "11 ",I " 11' '" 1 i,' ',': 11 I I I I,I i'" I " I I! I' i i I!! I i' i I '! 'li {I!' I!I: I I ru [I i I jll I 11 I l I!I'I\ { \\ \!I I i I), I' I 1I :jl.,i!: I ", (J) co l'- -p- ' 'I'" LU " ' j I..1.- I +' " ',1-, :IHH-t t L H' ITI, " t '1 'J m+1+h-il-h+l-h++++!-h+l-h'-h'~4'-h, H-H-H-H++H++++++H-H++-H++-H++l-H" ~t,' t I, I' I i '-, 1 : +',t :- - t t o (J) co, ' CJ:) i I I, " 1, h +, " I ftj J+ ~+ ' " f ' '-. r!+- t + ~j f 1 f I 11, " I-,. I- 'I J t f t o i - j-,i i 1I.-' I t, " I1I +1 ::,!l ~rl ,tlit ++ LI -I, n d I- I d rl.", + (J) co, " " 'I I I 1I I! I I I 11 I I I1 " 'li li; I I 'I I 11 I I 1I1 \t fh rfl I flit i CJ:) I1 b 0,1 q2 c:a. [1J 0,5 O,B!!, 1 Bild 5.1, lp
11 Die untere Grenze der Schallgeschwindigkeit Es werden alle bisherigen Annahmen beibehalten bis auf die Annahme [-1.3_7. An ihre Stelle tritt: [-6.1_7 Es herrsche ständig Phasengleichgewicht. Unter dieser Voraussetzung besteht zwischen Druck und Temperatur ein eindeutiger Zusammenhang, der in differentieller Form durch die Beziehung von Clausius-Clapeyron gegeben ist: (6.1) Weiterhin ist dem T,s-Diagramm leicht zu entnehmen, daß eine isentrope Druckänderung nicht nur eine entsprechende Temperaturänderung, sondern auch eine Änderung des Dampfgehaltes bewirkt. Die Zustandsgleichung (2.4) bleibt erhalten, nur ist der Dampfgehalt x jetzt als zusätzliche Variable aufzufassen: _ 1 _.RT (1-) {A-BT 1. [(A-BT)2 iej '2 } - 3 v = ~ - xp + x 2C + 2 C + C - F(p,T,x) (6.2) Da x veränderlich ist, tritt an die Stelle von GI. (3.9): Die Gleichung der Isentrope lautet nun: (6.4)
12 - 7 - Durch Bildung des vollständigen Differentials folgt aus (6.2): dv _ 2 of OF F (p,t) d~ = op dp + ät cf dt +- (6.4) wird nach dx aufgelöst und in (7.1) eingesetzt. Verwendet man noch die Beziehung (6.1), so erhält man die Schallgeschwindigkeit: ox dx 2 a = p 2() 1 + ßh - p.ßv OX F p,t x-c~-+~(,.."l,...--x...,)---- '0 F ßv.T. ['OF v... g~-~--c...;v~f dfj '0 p + Ih dt ßh - p.ßv ox 'OF mit ßv v - v - g f (7.4) Die Abhängigkeit der Schallgeschwindigkeit vom Dampfanteil ist für den Fall des ständigen Phasengleichgewichtes ebenfalls im Bild 5.1 eingetragen. Man bemerkt sofort, daß die theoretische Schallgeschwindigkeit für a~l gegen die wirkliche Schallgeschwindigkeit der Gasphase strebt. Dagegen erhält man für a ~ 0 einen Wert, der sogar noch weit unterhalb von a liegt. g 4. Literatur Gouse, W.S.Jr; Evans, R.G.: Acoustic Velocity in Two-Phase Flow Symposium on Two-Phase Flow Dynamics, Eindhoven September 1967 Fischer, M.: Zur Dynamik der Wellenausbreitung in der Zweiphasenströmung unter Berücksichtigung von Verdichtungsstößen Externer Bericht 8/67-4, Kernforschungszentrum Karlsruhe, Institut für Reaktorentwicklung, August 1967
13 - 8 - L-3_7 Plank, R.: Eine Zustandsgleichung für flüssiges Wasser gültig bis 300 oe und 1200 at BWK g,
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