Einführung in die numerische Mathematik

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Paul Dittmar
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1 Prof. Dr. M. Günther K. Gausling, M.Sc. C. Hendricks, M.Sc. Sommersemester 4 Bergische Universität Wuppertal Fachbereich C Mathematik und Naturwissenschaften Angewandte Mathematik / Numerische Analysis Einführung in die numerische Mathematik Aufgabenblatt - Große LGS, Nichtlineare Gleichungen Lösungen Bitte beachten Sie, dass die Punkte der Hausaufgabe für die Berechnung der Bonuspunkte relevant sind. Präsenzaufgabe : Gedämpfte Iterationsverfahren Es soll das Gleichungssystems Ax = b mit A =, b = näherungsweise gelöst werden. Zur Lösung sollen das gedämpfte Jacobi und Gauß Seidel Verfahren genutzt werden x k+ = ω I ωd L + R x k + ωd b gedämpftes Jacobi-Verfahren, x k+ R = ω I ω D + L x k + ω D + L b gedämpftes Gauß Seidel Verfahren. Führen Sie jeweils drei Schritte mit Dämpfung ω = / ausgehend von x =,, t aus. Konvergieren die Folgen der so erzeugten Iterierten x k für k gegen die exakte Lösung? Die Matrizen D, L und R sind gegeben durch D = L = R = Damit erhalten wir für das Jacobi-Verfahren die folgende Iterationsvorschrift.5.5 x k+ = x k +.5 b,.5.5 sowie für das Gaus-Seidel-Verfahren.5.5 x k+ =.5.5 x k b Wir erhalten für den Startvektor x =,, t mittels Jacobi-Verfahren:

2 Aufgabenblatt Lösungen i 3 x i,, t.5,,.5 t.5,,.75 t.65,.5, 3.5 t r i Beim Gaus-Seidel-Verfahren erhalten wir i 3 x i,, t.5,.5, 3.5 t.5,.5, 3.5 t 3.5,.375, 9.65 t r i Man sieht, dass das Jacobi-Verfahren konvergiert, während das Gauss-Seidel-Verfahren divergiert. Wird der Parameter ω weiter gesenkt, konvergiert auch das Gauss-Seidel-Verfahren. Präsenzaufgabe : Newton-Verfahren Die Nullstelle von fx = x a soll mit Hilfe des Newton-Verfahrens berechnet werden. a Zeigen Sie : Die Iterationsvorschrift lautet b Zeigen Sie : Für den Fehler ε k := x k a x k+ = x k + x k ax k für k =,,,.... gilt die Rekursion ε k+ = aε k. Beweisen Sie außerdem mit vollständiger Induktion ε k = a ρk für k =,,... mit ρ := ax. Welche Bedingung an ρ bzw. x ist notwendig und hinreichend für die globale Konvergenz des Iterationsverfahrens?

3 Aufgabenblatt Lösungen c Es sei.5 a und x :=.5. Bestimmen Sie die maximale Anzahl der erforderlichen FLOPs entspricht einer Addition samt Multiplikation zur Berechnung einer Näherung x k für a durch das Newton-Verfahren mit 4 bzw. 56 Dualstellen als Genauigkeit. a Es ist fx = x a, also f x = x. Einsetzen liefert x k+ = x k fx k f x k = x x k k a = x k ax k = x k + x k ax k. x k b Für ε k := x k a gilt ε k+ = aε k, denn ε k+ = x k+ a = x k ax k a = a x k x k a + a = aε k. Zeige per vollständiger Induktion ε k = a ρk für k =,,... mit ρ := ax : Induktionsanfang k = : ε = x a = x + x ax a = a ax + a x + = a ax. Induktionsschritt k k +, die Induktionsannahme gelte für ein k >, dann ist ε k+ = aε Ind.Ann. k = a a ax k = a a ax k+ = a ρk+. Damit haben wir gezeigt, dass ax < eine notwendige und hinreichende Bedingung für Konvergenz ist. Das ist äquivalent zu < ax <, also müssen der Parameter a und Startwert x das selbe Vorzeichen haben und < x < a ist zu erfüllen. c Es gilt.5 a, x :=.5. Für jedes x k sind nach a je Additionen und Multiplikationen, also FLOPs nötig. Für 4 Dualstellen Genauigkeit muss ε k < 4 gelten. Mit brauchen wir ρ = ax = 3 a a ε k = a ρk k = k k > 5 k > ln5 ln Damit sind k = 5 Iterationen nötig, also FLOPs. Analoge Rechnung für 56 Dualstellen Genauigkeit liefert: ε k < k! < 56 k > ln57 ln also höchstens k = 6 Iterationen, entsprechend FLOPs. 3 4 ρ! < 4 4, 64. 5, 83

4 Aufgabenblatt Lösungen Hausaufgabe : Berechnung der Spektralradien Gegeben seien die Matrizen A = und B =. Punkte Untersuchen sie durch Berechnung der Spektralradien der Iterationsmatrizen, ob das Jacobi- Verfahren und das Gauß-Seidel-Verfahren zur Lösung der Gleichungssysteme Ax = b bzw. Bx = b, b R 3 beliebig, konvergieren. Matrix A L =, D =, R = Gauß-Seidel: D + L R = λ =, λ =.884, λ 3 = Es gilt ρd + L R = und damit liegt Divergenz vor. Jacobi: D L + R = λ = λ = λ 3 = Damit erhalten wir ρd L + R = und das Jacobi-Verfahren konvergiert. Matrix B Gauß-Seidel: L =, D =, R = D + L R = λ =, λ =, λ 3 = Es gilt also ρd + L R = Jacobi: und damit konvergiert das Verfahren. D L + R = λ =, λ,3 = ±i.8 Für das Jacobi-Verfahren erhalten wir ρd L + R = i.8 =.8 und das Verfahren divergiert. 4

5 Aufgabenblatt Lösungen Hausaufgabe : vereinfachtes Newtonverfahren Das nichtlineare Gleichungssystem F x = mit 4x x F x = e x x x + 8 Punkte soll näherungsweise mit dem vereinfachten Newtonverfahren x k+ = x k DF x F x k, k =,,... zum Startwert x =, gelöst werden. a Zeigen Sie: Sei U R n offen und konvex und f : U R m eine stetig differenzierbare Abbildung auf dem Abschluss U von U. Für alle x, y U gilt dann mit M := sup Dfz z U fx fy M x y. Hinweis: Verwenden Sie den Mittelwertsatz im mehrdimensionalen Fall. b Schreiben Sie das Verfahren als Fixpunktiteration, d.h. in der Form x k+ = Φx k, k =,,... und zeigen Sie, dass die Iteration für den gegebenen Startwert x =, konvergiert, indem Sie den Banachschen Fixpunktsatz auf D := R [, ] anwenden. Hinweis: Benutzen Sie Aufgabenteil a mit der Norm.. Bemerkung: Man kann auch nachweisen, dass die Iteration für beliebigen Startwert x D konvergiert. Zur Vereinfachung soll dies hier nicht durchgeführt werden. c Bestimmen Sie die Näherung x zum gegebenen Startwert. Wie viele Schritte des Verfahrens sind erforderlich, um mit dem gegebenen Startwert x eine Genauigkeit von x k ˆx 3 mit der Nullstelle ˆx zu garantieren? d Bestimmen Sie x und x 3 mit Taschenrechner oder Computer. Schätzen Sie den Defekt x 3 ˆx ohne Kenntnis von ˆx ab. Mit welcher Genauigkeit approximiert x 3 daher bereits die Nullstelle? a Es gilt mit M := sup z Ū Dfz und ξt := x + ty x U für alle t [, ] da U konvex durch den Mittelwertsatz fx fy = Dfξt dt x y Dfξt dt x y M x y. 5

6 Aufgabenblatt Lösungen b Wir haben mit x =, 4 x e DF x = x und damit die Iterationsfunktion x Φx = x + 4 x e x x x + 4 x e x + x x + 8 Mit folgt für x., DF x 4 =, DF x = 4 DΦx = = x x + e x 4 x x + e x DΦx = 4 x x + e x 4 e + 4 x e x Die Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes ergeben sich durch: 4. Nach Aufgabenteil a kann auf [,] K = e 4 < als Kontraktionskonstante für Φ in D verwendet werden. Da Φ x R und Φ x = x e x [ 4 5, ] [, ] für x D = R [, ] gilt, ist Φ eine Selbstabbildung. Die Menge D = R [, ] ist abgeschlossen. Somit ist die Fixpunktiteration konvergent. c Nach dem Banachschen Fixpunktsatz gilt die Abschätzung x l ˆx Kl K x x. Mit x =, folgt x = Φx = /4, 33/4 und somit x x = 3 4. An l folgt somit die Forderung Dies ist äquivalent zu und mit K < wiederum gleichwertig mit K l K x x 3. K l K l ln K lnk.. Somit wird nach höchstens Schritten die Genauigkeitsforderung erfüllt. d Man berechnet x = Φx x 3 = Φx Mit der a-posteriori Fehlerschranke zum Banachschen Fixpunktsatz ergibt sich bereits x 3 ˆx K K x3 x Die a-priori Abschätzung aus Aufgabenteil c ist somit sehr grob. 6

7 Aufgabenblatt Lösungen Um die Konvergenz der Fixpunktiteration in Teilaufgabe b für einen beliebigen Startwert x D zu zeigen, muss auch eine auf ganz D gültige Kontraktionskonstante gefunden werden. Wir haben DΦx = I DF x DF x mit Somit gilt und DΦx = wobei man für x, x hat Weiter folgt 4 x e DF x = x, DF x = x x e x 4 4 x e x 4 e x [ x e x x e x x e x x e x DΦx = x e x 4 x 4, x e x 4 x e x 4 e x [ e 4 e 4 ] e 4,. e 4 DΦx = max{.935,.88 } <.83 <. Die Kontraktionskonstante K D :=.83 ist somit gefunden. Es muss noch überprüft werden, dass die obige Funktion Φ eine Selbstabbildung ist.. ]. 7

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