Kapitel III. Lagemaße. die beobachteten Werte eines Merkmals X mit Ausprägungen a 1

Transkript

1 aptel III Lagemaße D (Artmetsces Mttel) See,,, de beobactete Werte ees Merkmals X mt Auspräguge a, a,, a k Als artmetsces Mttel (für ctgrupperte Date) bezecet ma: = = (efaces) k = a H ( a ) (gewogees) = BS Betractet se das Bespel BS 705, 780, 780, 470, 55, 8, 60, 60, 655, 705, 55, 560, 560, 560, 60, 400, 500, 560, 655, 800, 750, 705, 655, 560, 560, 500, 60, 8, 750, 560 Der durcscttlce Studelo ( ) als efaces artmetsces Mttel lautet: 489 = = = = 6 Zur Berecug des gewogee artmetsce Mttels wrd folgede Tabelle erstellt: a H a ) a H ( a ) ( 4, , , ,5 5, , , , , , , , 660 Summe 48900

2 Damt eralte wr weder: 489 = = a H ( a ) = = 6 B (Artmetsces Mttel be grupperte Date) Se p de Azal der lasse Da glt mt p = H : = H Sd, =,,, p, ct bekat, so werde se durc de lassemtte g + G m : =, =,,, p, ersetzt Dabe sd g bzw G de utere bzw de Obere Greze der lasse Es glt folgede Abscätzug: p p g H G H = = BS (Fortsetzug) [ [ [ [ [ [ 4 [ 700, 840[ H m m H g H G H = 400, = 500, = 600, = = 640 ; = = De Überscätzug des durcscttlce Studelos bedeutet, dass de Werte de ezele lasse der Regel lks vo dem ewelge artmetsce Mttel lege

3 B (Ege wctge Egescafte des artmetsce Mttels) = = = = = 0 (Mmalegescaft des artmetsce Mttels) ( Z ), Z R, belebg = = Werde de Ezelwerte eer leare Trasformato uterzoge: = α + β, =,,, ; α, β = cost R, * da glt: d = = + * * = = = α + β β = α +, = ( α β ) = * = α + β 4 Zu berece se das artmetsce Mttel für ee Grudgesamtet vom Umfag, de zwe oder mer Telgesamtete aufgetelt st, dere Umfäge ud artmetsce Mttel bekat sd Bescräke wr us auf zwe Telgesamtete mt de Umfäge ud ( + = ) ud dere artmetsce Mttel ud, da ergbt sc = + + = = + = + BS Ee Autovermetug berecet für re Wage ee feste Tagesgebür vo 40 ud ee lometersatz vo 040 /km Ferer se bekat, dass de Wage täglc m Durcsctt 50 km zurücklege

4 Berece Se de durcscttlce täglce Eame pro Wage Lösug α = 40, β =040, = 50 km * = = 40 BS E Utereme bestet aus de bede Betrebe A ud B De 400 Bescäftgte vo A verdee moatlc m Durcsctt 9084 ud de 0 Bescäftgte vo B moatlc m Durcsctt 7 Berece Se de durcscttlce Bruttomoatsverdest sämtlcer 700 Bescäftgte vo A ud B zusamme Lösug 400 0, 9084, 98 = = = = = = D (Meda bzw Zetralwert) Als Meda bzw Zetralwert bezecet ma für : ugerade + Me : = + für : gerade + Dabe wrd mt [ ] de Posto des Merkmals der geordete Beobactugsree dargestellt BS 4 Gegebe se de folgede Notelste Lösug 5,,,, 4, 5,,,,, 4 Posto Note Me = = = + [ 6] 4

5 B Im Gegesatz zum artmetsce Mttel wrke sc ezele etrem oe oder etrem tefe Beobactugswerte ct besoderer Wese auf de Meda aus BS 5 Gegebe se folgede Lste des moatlce Ekommes vo Mtarbeter eer Frma We lautet das durcscttlce Moatsekomme deser Mtarbeter? Lösug: Das artmetsce Mttel 460 = = stellt e falsces Bld dar Daer wrd der Meda berecet ud als durcscttlces Moatsekomme geomme: Posto Ekomme Me = = = [ 6] B 4 (Meda be grupperte Date) Gegebe see de lasse, =,,, p mt de relatve Häufgkete, =,,, p Glt = = < 05, 05 so legt der Meda der lasse Er wrd berecet ac der Formel: 05 = Me g + b 5

6 B 5 Der Meda telt de gesamte Hstogrammfläce zwe glecgröße Tele BS (Fortsetzug) Berece Se für das grupperte Datemateral de Meda Lösug: = [ 400, 500 ], =, = [ 500, 600 ], =, = [ 600, 700 ], 7 =, = [ 700, 840 ], 0 = 4 4 = < 05, + = + = < 05, = + + = 05, d der Meda legt Geauer: 05 Me 6 + = D (α Quatl) Als α Quatl, bezecet mt α (0 < α < ), eer geordete Beobactugsree bezecet ma α fall α kee gaze Zal st [ k] ( k st da de auf α folgede gaze Zal) : = falls α ee gaze Zal st ( [ k] + [ k + ] ) (Es s da k = α) Dabe wrd mt [ ] de Posto des Merkmals der geordete Beobactugsree dargestellt 6

7 BS 4 (Fortsetzug) Er mttel Se 05-Quatl der Note Lösug: α = 05 = 75, k = Damt st 05 [] = = BS (Fortsetzug) Berece Se das 075-Quatl für das ctgrupperte Datemateral Lösug: Damt st α = 075 = 5, k = 075 [] 705 = = B 6 (α Quatl be grupperte Date) Gegebe see de lasse, =,,, p mt de relatve Häufgkete, =,,, p Glt = = < α, (0 < α < ), α so legt das α Quatl der lasse Er wrd berecet ac der Formel: α = α g + b BS (Fortsetzug) Berece Se für das grupperte Datemateral das α Quatl mt α = 05 bzw α = 075 Lösug: Seα = 05: = < 05, 7

8 + = + = 05, d 05 legt Geauer: = 550 Seα = 075: = < 075, + = + = < 075, = + + = < 075, = 075 d 075 legt 4 Geauer: B 7 Es st ( ) = 75 0 Me = 05 D 4 (Quartle) 05 wrd als uteres Quartl bezecet ud 075 als oberes Quartl D 5 (Prozetl) Legt α als Prozet vor, so wrd das etsprecede Quatl auc als Prozetl bezecet D 6 (Modus bzw Modalwert) Als Modus bezecet ma deege Merkmalsausprägug, de edeutg am äufgste vorkommt Im Falle ees grupperte Datematerals wrd er der lasse Häufgket folgedermaße berecet: mt der mamale M : g + b + 8

9 BS (Fortsetzug) Berece Se de Modus für das ctgrupperte grupperte Datemateral M = 560 (mt der mamale Häufgket 7) M 5 + = B 8 Es st grudsätzlc möglc, de Defto des Modus auc auf de merdeutge Fall zu erweter Für de Fall, dass zwe Mod vorkomme, sprct ma vo eer bmodale Vertelug B 9 Be omale Merkmale st der Modus der etscedede ud ezg möglce Lageparameter B 0 (Bezeug zwsce ege Lagemaße) Im Falle eer symmetrsce Vertelug glt M = Me = Be rectsstele (bzw lksscefe) Verteluge glt: < Me < M Aalog glt für de lksstele (bzw rectsscefe) Verteluge Me < < M B Der Modus st besser geeget, falls - das Hstogramm merere Sptze at - das Merkmal omal skalert st 9

10 Das artmetsce Mttel st besser geeget, falls - der Stcprobeumfag ct ser kle st - de Vertelug ct allzu asymmetrsc st - es ct zu vele Ausreßer gbt Der Meda st besser geeget, falls - der Stcprobeumfag kle st - de Vertelug stark asymmetrsc st - es vele Ausreßer gbt - das Merkmal ordal skalert st D 7 (Ugewogees armosces Mttel) Gegebe see de Beobactugswerte > 0,,,,, ees Merkmals X Als (ugewogees) armosces Mttel bezecet ma: : =, B De Berecug ees armosce Mttels st gebote, we z B ee Durcsctt zu berece glt aus a) Prese be gegebee Umsatzformatoe, b) Hektarerträge be gegebee Ertragsformatoe, c) Gescwdgkete be gegebee Wegstreckeformatoe d) Stückkoste be gegebee osteformatoe, e) Arbetslosequote be gegebee Arbetsloseformatoe f) Bevölkerugsdcte be gegebee Bevölkerugsformatoe = BS 6 E Pkw legt ver Telstrecke eer Gesamtstrecke mt folgede Gescwdgkete zurück: Telstrecke Nr 4 Läge der Telstrecke km Gescwdgket km/ Durc welce (etlag der Gesamtstrecke kostat gealtee) Durcscttsgescwdgket würde er de Gesamtstrecke der glece Zet bewältge? Lösug: 00 = = 69 km/

11 BS 7 E aptal vo 000 st Akte agelegt Im Jar vermert sc das aptal überaupt ct, m Jar eröt es sc um 0%, m Jar um 0% Berece Se de durcscttlce Wacstumsrate des aptals Lösug: Betracte wr zuäcst de tatsäclce Etwcklug des aptals: Jar aptal am Ede des Jares = 000 = = 0000 = = 00 Es wrd u gezegt, dass das artmetsce Mttel ct geeget st, de durcscttlce Wacstumsrate des aptals darzustelle: = = 00 Jar aptal am Ede des Jares = = 0000 = = 000 = = 00 Das Ergebs = 00 etsprct ct der Realtät! D 8 (Geometrsces Mttel) Gegebe see de Beobactugswerte,,, > 0 ees Merkmals X Als ugewogees geometrsces Mttel bezecet ma g : = = Gegebe se de Häufgketsvertelug des Merkmals X, desse Auspräguge a, =,,, k, mt de absolute Häufgkete H ( a ), =,,, k, bzw de relatve Häufgkete ( a ), =,,, k, auftrete Als gewogees geometrsces Mttel bezecet ma H ( a ) g : = a =

12 BS 7 (Fortsetzug) k = a = ( a ) g : ( )( )( ) = =, d, de tatsäclce durcscttlce Wacstumsrate des aptals beträgt 9696 %, was de acfolgede Tabelle bestätgt: Jar aptal am Ede des Jares = = = = 0 = = 00 B Das geometrsce Mttel wrd oft auc dort als Lagemaß verwedet, wo ee logartmsce Skala svoll st, de es glt: Es glt l g = = ( l + l + + l ) = l (artmetsces Mttel vo l = g ( g = = = = ) )

13 (Letzte Aktualserug: 0608)