Clevere Algorithmen programmieren
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- Angela Simen
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1 ClevAlg 2017 Arithmetische Operationen Clevere Algorithmen programmieren Dennis Komm, Jakub Závodný, Tobias Kohn 27. September 2017
2 Addition zweier Zahlen
3 Addition von Zahlen Wir stellen Zahlen als Strings dar Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 27. September / 6
4 Addition von Zahlen Wir stellen Zahlen als Strings dar Diese können beliebig gross werden Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 27. September / 6
5 Addition von Zahlen Wir stellen Zahlen als Strings dar Diese können beliebig gross werden Addiere zunächst Ziffern Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 27. September / 6
6 Addition von Zahlen Wir stellen Zahlen als Strings dar Diese können beliebig gross werden Addiere zunächst Ziffern def add_digits(x,y): xint=ord(x)-ord("0") yint=ord(y)-ord("0") result=xint+yint result1=result // 10 result2=result % 10 return chr(result1+ord("0")),chr(result2+ord("0")) Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 27. September / 6
7 Multiplikation von Zahlen Effizienz Wie schnell ist unsere Multiplikation? Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 27. September / 6
8 Multiplikation von Zahlen Effizienz Wie schnell ist unsere Multiplikation? Nehmen wir wieder an, x und y haben binäre Länge n Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 27. September / 6
9 Multiplikation von Zahlen Effizienz Wie schnell ist unsere Multiplikation? Nehmen wir wieder an, x und y haben binäre Länge n Beide Zahlen sind ungefähr 2 n Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 27. September / 6
10 Multiplikation von Zahlen Effizienz Wie schnell ist unsere Multiplikation? Nehmen wir wieder an, x und y haben binäre Länge n Beide Zahlen sind ungefähr 2 n Wir wissen, Addition von x und y ist in O(n) Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 27. September / 6
11 Multiplikation von Zahlen Effizienz Wie schnell ist unsere Multiplikation? Nehmen wir wieder an, x und y haben binäre Länge n Beide Zahlen sind ungefähr 2 n Wir wissen, Addition von x und y ist in O(n) i ist am Anfang y Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 27. September / 6
12 Multiplikation von Zahlen Effizienz Wie schnell ist unsere Multiplikation? Nehmen wir wieder an, x und y haben binäre Länge n Beide Zahlen sind ungefähr 2 n Wir wissen, Addition von x und y ist in O(n) i ist am Anfang y Schleife wird durchlaufen, bis i gleich 0 ist Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 27. September / 6
13 Multiplikation von Zahlen Effizienz Wie schnell ist unsere Multiplikation? Nehmen wir wieder an, x und y haben binäre Länge n Beide Zahlen sind ungefähr 2 n Wir wissen, Addition von x und y ist in O(n) i ist am Anfang y Schleife wird durchlaufen, bis i gleich 0 ist Ungefähr 2 n Schleifendurchläufe Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 27. September / 6
14 Multiplikation von Zahlen Effizienz Wie schnell ist unsere Multiplikation? Nehmen wir wieder an, x und y haben binäre Länge n Beide Zahlen sind ungefähr 2 n Wir wissen, Addition von x und y ist in O(n) i ist am Anfang y Schleife wird durchlaufen, bis i gleich 0 ist Ungefähr 2 n Schleifendurchläufe Laufzeit in O(n 2 n ) Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 27. September / 6
15 Multiplikation von Zahlen Effizienz Wie schnell ist unsere Multiplikation? Nehmen wir wieder an, x und y haben binäre Länge n Beide Zahlen sind ungefähr 2 n Wir wissen, Addition von x und y ist in O(n) i ist am Anfang y Schleife wird durchlaufen, bis i gleich 0 ist Ungefähr 2 n Schleifendurchläufe Laufzeit in O(n 2 n ) Exponentielle Laufzeit (sogar noch grösser) Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 27. September / 6
16 Multiplikation zweier Zahlen Quadratisch statt Exponentiell
17 Schnellere Multiplikation von Zahlen Wir erinnern uns an das schriftliche Multiplizieren... Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 27. September / 6
18 Schnellere Multiplikation von Zahlen Wir erinnern uns an das schriftliche Multiplizieren Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 27. September / 6
19 Schnellere Multiplikation von Zahlen Wir erinnern uns an das schriftliche Multiplizieren Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 27. September / 6
20 Schnellere Multiplikation von Zahlen Wir erinnern uns an das schriftliche Multiplizieren Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 27. September / 6
21 Schnellere Multiplikation von Zahlen Wir erinnern uns an das schriftliche Multiplizieren Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 27. September / 6
22 Schnellere Multiplikation von Zahlen Wir erinnern uns an das schriftliche Multiplizieren Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 27. September / 6
23 Schnellere Multiplikation von Zahlen Wir erinnern uns an das schriftliche Multiplizieren Baue diesen Algorithmus nach Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 27. September / 6
24 Schnellere Multiplikation von Zahlen Wir erinnern uns an das schriftliche Multiplizieren Baue diesen Algorithmus nach Erstelle zunächst Funktion mult_digit_num Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 27. September / 6
25 Schnellere Multiplikation von Zahlen mult_digit_num Baustein analog zu add_digits Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 27. September / 6
26 Schnellere Multiplikation von Zahlen mult_digit_num Baustein analog zu add_digits Umsetzung wie naive Multiplikation Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 27. September / 6
27 Schnellere Multiplikation von Zahlen mult_digit_num Baustein analog zu add_digits Umsetzung wie naive Multiplikation (Lösche zusätzlich führende Nullen) Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 27. September / 6
28 Schnellere Multiplikation von Zahlen mult_digit_num Baustein analog zu add_digits Umsetzung wie naive Multiplikation (Lösche zusätzlich führende Nullen) def mult_digit_num(d,y): i = "0" result = "0" while not eq_nums(i,d): result = add_nums(result,y) i = add_nums(i,"1") while result[0] == "0": result = result[1:] return result Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 27. September / 6
29 Schnellere Multiplikation von Zahlen Verwende mult_digit_num für jede Stelle der ersten Zahl Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 27. September / 6
30 Schnellere Multiplikation von Zahlen Verwende mult_digit_num für jede Stelle der ersten Zahl Shifte, indem Null angehängt wird Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 27. September / 6
31 Schnellere Multiplikation von Zahlen Verwende mult_digit_num für jede Stelle der ersten Zahl Shifte, indem Null angehängt wird Addiere Ergebnisse Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 27. September / 6
32 Schnellere Multiplikation von Zahlen Verwende mult_digit_num für jede Stelle der ersten Zahl Shifte, indem Null angehängt wird Addiere Ergebnisse def mult_nums_2(x,y): result = "0" shift = "" for i in range(len(x)-1,-1,-1): tmp = mult_digit_num(x[i],y) tmp = tmp+shift result = add_nums(result,tmp) shift = shift+"0" while result[0] == "0": result = result[1:] return result Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 27. September / 6
33 Schnellere Multiplikation von Zahlen Effizienz Wir nehmen wieder an, x und y sind mit n Bits dargestellt Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 27. September / 6
34 Schnellere Multiplikation von Zahlen Effizienz Wir nehmen wieder an, x und y sind mit n Bits dargestellt Jede Stelle hat höchstens Grösse 9 Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 27. September / 6
35 Schnellere Multiplikation von Zahlen Effizienz Wir nehmen wieder an, x und y sind mit n Bits dargestellt Jede Stelle hat höchstens Grösse 9 Ausführung von mult_digit_num führt zu ca. 9n O(n) Operationen (Additionen von Ziffern) Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 27. September / 6
36 Schnellere Multiplikation von Zahlen Effizienz Wir nehmen wieder an, x und y sind mit n Bits dargestellt Jede Stelle hat höchstens Grösse 9 Ausführung von mult_digit_num führt zu ca. 9n O(n) Operationen (Additionen von Ziffern) mult_digit_num wird n Mal aufgerufen Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 27. September / 6
37 Schnellere Multiplikation von Zahlen Effizienz Wir nehmen wieder an, x und y sind mit n Bits dargestellt Jede Stelle hat höchstens Grösse 9 Ausführung von mult_digit_num führt zu ca. 9n O(n) Operationen (Additionen von Ziffern) mult_digit_num wird n Mal aufgerufen Laufzeit in O(n 2 ) Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 27. September / 6
38 Schnellere Multiplikation von Zahlen Effizienz Wir nehmen wieder an, x und y sind mit n Bits dargestellt Jede Stelle hat höchstens Grösse 9 Ausführung von mult_digit_num führt zu ca. 9n O(n) Operationen (Additionen von Ziffern) mult_digit_num wird n Mal aufgerufen Laufzeit in O(n 2 ) Laufzeit des wiederholten Addierens in O(2 n ) Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 27. September / 6
39 Schnellere Multiplikation von Zahlen Effizienz Wir nehmen wieder an, x und y sind mit n Bits dargestellt Jede Stelle hat höchstens Grösse 9 Ausführung von mult_digit_num führt zu ca. 9n O(n) Operationen (Additionen von Ziffern) mult_digit_num wird n Mal aufgerufen Laufzeit in O(n 2 ) Laufzeit des wiederholten Addierens in O(2 n ) Exponentielle Verbesserung Clevere Algorithmen programmieren ClevAlg D. Komm, J. Závodný, T. Kohn 27. September / 6
40 Danke für die Aufmerksamkeit
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