ELEKTRONIK 2 SCHALTUNGSTECHNIK L5-1/18 Prof. Dr.-Ing. Johann Siegl. L5 Frequenzgangdarstellung im Bodediagramm

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1 1 von :39 ELEKTRONIK 2 SCHALTUNGSTECHNIK L5-1/18 Die Frequenzgangdarstellung mittels Bodediagramm ist ein wichtiges Hilfsmittel zur Veranschaulichung der Frequenzverläufe von Übertragungsfaktoren, Verstärkungen und Schnittstellenimpedanzen. L5.1 Asymptotischer Verlauf eines Frequenzgangs Mit dem Bodediagramm lässt sich der asymptotische Verlauf eines Frequenzgangs skizzieren. Bild L5-1 zeigt den Frequenzgang der Verstärkung einer Schaltung. Bei der Skizzierung des Bodediagramms geht es um die Ermittlung des asymptotischen Verhaltens des komplexen Frequenzgangs, dargestellt im Betragsverlauf und im Phasenverlauf. Bild L5-1: Beispiel des Frequenzgangs der Verstärkung; Betragsverlauf und Phasenverlauf

2 2 von :39 L5.2 Vorgehensweise dargestellt an einem einfachen Beispiel ELEKTRONIK 2 SCHALTUNGSTECHNIK L5-2/18 L5.2 Vorgehensweise dargestellt an einem einfachen Beispiel Anhand eines einfachen Beispiels soll die Vorgehensweise zur Darstellung des asymptotischen Verhaltens des Frequenzgangs eines komplexen Ausdrucks betrachtet werden. Ein vorgegebener Zielausdruck wird in Faktoren, den Primitivfaktoren zerlegt. 1. Schritt: Netzwerkanalyse der Schaltung zur Bestimmung des gewünschten Ausdrucks. Hier sei nach der Übertragungsfunktion T = U 2/U 1 und dem Eingangswiderstand Bild L5-2: Bestimmung des Bodediagramms für einen RC-Tiefpass gefragt. Ergebnis der Netzwerkanalyse sind die beiden Zielfunktionen: 2. Schritt: Im zweiten Schritt muss der zu untersuchende Ausdruck normiert und in bekannte Primitivfaktoren zerlegt werden. (Gl. L5-1) (Gl. L5-2) Es ergibt sich für die Übertragungsfunktion ein Primitivfaktor Q 1 im Nenner; für den Eingangswiderstand im Zähler P 1 und im Nenner Q 2. Auf die Typisierung der Primitivfaktoren wird später noch eingegangen.

3 3 von :39 L5.2 Vorgehensweise dargestellt an einem einfachen Beispiel ELEKTRONIK 2 SCHALTUNGSTECHNIK L5-3/18 3. Schritt: Bestimmung des asymptotischen Verhaltens der Primitivfaktoren bezüglich der Übertragungsfunktion Asymptotisches Verhalten der Übertragungsfunktion T: Grenzbetrachtung des Primitivfaktors 1/Q : 1 Bild L5-3: Asymptotisches Verhalten der gesuchten Übertragungsfunktion T = 1/Q 1

4 L5.2 Vorgehensweise dargestellt an einem einfachen Beispiel ELEKTRONIK 2 SCHALTUNGSTECHNIK L5-4/18 Grenzbetrachtung des Primitivfaktors P 1: Grenzbetrachtung des Primitivfaktors 1/Q 2; es handelt sich um einen Primitivfaktor der keine Eckfrequenz aufweist. Bild L5-4: Asymptotisches Verhalten des gesuchten Eingangs-widerstandes Z 11, = P 1/Q 2 4 von :39

5 5 von :39 L5.2 Vorgehensweise dargestellt an einem einfachen Beispiel ELEKTRONIK 2 SCHALTUNGSTECHNIK L5-5/18 Besteht der betrachtete Ausdruck aus dem Produkt mehrerer Primitivfaktoren, so erfolgt in einem 4. Schritt die Überlagerung der Primitivfaktoren zum Gesamtausdruck. Der Gesamtausdruck wird durch Schaltkreissimulation in nachstehendem Experiment bestimmt. Experiment L5-1: Bode_TP1 Bodediagramm Tiefpass Bild L5-5: Ergebnis Tiefpass: Betrags- und Phasenverlauf.

6 L5.3 Impedanznomogramm ELEKTRONIK 2 SCHALTUNGSTECHNIK L5-6/18 L5.3 Impedanznomogramm Die Bestimmung der Impedanz einer Kapazität oder Induktivität ist wichtig für die Ermittlung von Eckfrequenzen. Mit dem Impedanznomogramm kann die Impedanzbestimmung grafisch gelöst werden. Zur Bestimmung charakteristischer Grenzfrequenzen bzw. Eckfrequen-zen müssen oft Ausdrücke bestimmt werden, für die u.a. R = 1/(ωgC) ist. Zur Abschätzung von gegebenen komplexen Teilausdrücken werden die Impedanzverläufe von Induktivitäten ωl und Kapazitäten 1/(ωC) benötigt. Frage: Bei welcher Frequenz ist der kapazitive Widerstand eines Kondensators mit C = 160nF gleich 1kΩ? Schritt 1: Widerstand R = 1kΩ Schritt 2: Blindwiderstand 1/ωC bei C = 160nF Schritt 3: Bei f = 1kHz ist R = 1/(ωC) Frage: Welche Resonanzfrequenz f 0 ergibt sich bei einem Parallelresonanzkreis, wenn C = 16pF und L = 16µH ist? Welcher Resonanzblindwiderstand (Kennwiderstand) Z K liegt bei f0 vor? Schritt 1: ωl bei L = 16µH Schritt 2: 1/ωC bei C = 16pF Schritt 3: Resonanzfrequenz f 0 = 10MHz Schritt 4: Kennwiderstand Z K=1kΩ Bild L5-6: Impedanz-Nomogramm 6 von :39

7 7 von :39 L5.4 Primitivfaktoren eines Frequenzgangausdrucks ELEKTRONIK 2 SCHALTUNGSTECHNIK L5-7/18 L5.4 Primitivfaktoren eines Frequenzgangausdrucks Ein komplexer Frequenzgangausdruck lässt sich durch ein Produkt von Primitivfaktoren darstellen. Sind die Verläufe der Primitivfaktoren bekannt, so ergbit sich der Gesamtverlauf aus der Überlagerung der Teilfaktoren. Wegen dieser Eigenschaft kann man den Frequenzgangausdruck in Primitivfaktoren zerlegen. Als Primitivfaktoren werden allgemein zweckmäßig drei Grundtypen eingeführt. Dabei kann P i bzw. 1/Q i folgende Form aufweisen: Grundsätzlich lässt sich ein normierter Frequenzgangausdruck in Polynomform darstellen. (Gl. L5-5) Bild L5-7: Zur Polynomdarstellung eines Frequenzgangausdrucks; s = jω. (Gl. L5-3) (Gl. L5-4) Bild L5-8: Asymptotisches Verhalten des Primitivfaktors Typ1 - ohne Eckfrequenz Primitivfaktoren vom Typ1 weisen keine Eckfrequenz auf.

8 8 von :39 L5.4 Primitivfaktoren eines Frequenzgangausdrucks ELEKTRONIK 2 SCHALTUNGSTECHNIK L5-8/18 Primitivfaktor Typ2: Primitivfaktor Typ3: (Gl. L5-6) (Gl. L5-7) Bild L5-9: Asymptotisches Verhalten des Primitivfaktors Typ2 Eckfrequenz bei ω = ωi Primitivfaktoren vom Typ2 weisen eine Eckfrequenz dort auf, wo der Realteil gleich dem Imaginärteil ist. Bild L5-10: Asymptotisches Verhalten des Primitivfaktors Typ3 Eckfrequenz bei ω = ωi Primitivfaktoren vom Typ3 weisen eine Eckfrequenz dort auf, wo der normierte qudratische Term gleich -1 ist.

9 9 von :39 L5.4 Primitivfaktoren eines Frequenzgangausdrucks ELEKTRONIK 2 SCHALTUNGSTECHNIK L5-9/18 Eine Sonderstellung nimmt Primitivfaktor Typ3 ein. Es gilt diesen Typ näher zu betrachten. Das nachstehende Beispiel zeigt eine Übertragungsfunktion mit Primitivfaktor Typ3. Experiment L5-2: Bode_Primitivfaktor3 Beispiel einer Übertragungsfunktion nach Typ3 (Gl. L5-8) Im Beispiel ist: Bild L5-12: Bodediagramm des Betrags der Beispiels-Übertragungsfunktion gemäß Primitivfaktor Typ3 Bild L5-11: Beispiel einer Übertragungsfunktion

10 10 von :39 L5.5 Beispiel Verstärkungsfrequenzgang ELEKTRONIK 2 SCHALTUNGSTECHNIK L5-10/18 L5.5 Beispiel Verstärkungsfrequenzgang In einem weiteren Beispiel soll die Vorgehensweise zur Ermittlung des Bodediagramms aufgezeigt werden. Es geht insbesondere um die Zerlegung des Ausdrucks in bekannte Primitivfaktoren. 1. Schritt: Der erste Schritt ist die Ermittlung des zu untersuchenden Ausdrucks. (Gl. L5-9) Gegeben sei eine zweistufige Verstärkerschaltung mit vorgeschaltetem Der Ausdruck stellt die Verstärkung U 2/U 1 der zweistufigen Verstärkerschaltung dar; sie bestimmt sich aus: Hochpass. Die Verstärkung der ersten Stufe beträgt 100, die der zwei- ten Stufe 1; deren Verhalten wird beschrieben durch spannungs- gesteuerte Spannungsquellen. (Gl. L5-10) Bild L5-13: Verstärkerschaltung mit zwei Stufen jeweils realisiert durch je eine gesteuerte Spannungsquelle; am Eingang liegt eine kapazitiver Einkopplung vor Die Teilausdrücke (siehe Gleichung L5-10) wurden auf eine normierte Form gebracht. Ziel ist es, einen gegebenen Ausdruck in bekannte (normierte) Teilausdrücke (im weiteren Primitivfaktoren genannt) zu zerlegen.

11 L5.5 Beispiel Verstärkungsfrequenzgang ELEKTRONIK 2 SCHALTUNGSTECHNIK L5-11/18 2. Schritt: Der zu untersuchende Ausdruck muss auf eine normierte Form gebracht und in bekannte Primitivfaktoren zerlegt werden. Obiger Ausdruck lässt sich auf die nachstehende normierte Form bringen und in Primitivfaktoren zerlegen. (Gl. L5-11) 3. Schritt: Grenzbetrachtung der Teilfaktoren (Asymptoten); es wird jeder Primitivfaktor unterhalb, oberhalb und bei der möglichen Eckfrequenz betrachtet. a) : In dem Beispielausdruck sind vier frequenzabhängige Primitivfaktoren P 1, 1/Q 1, 1/Q 2 und 1/Q 3 gegeben. Sind die Frequenzverläufe der Primitivfaktoren bekannt, so kann der Gesamtausdruck in bekannte Teilfaktoren zerlegt werden. Durch Superposition der Teilfaktoren ergibt sich das Gesamtverhalten. b) c) : : Überlagerung der Teilausdrücke Bild L5-14: Grenzbetrachtung von Primitivfaktoren zur Ermittlung der Asymptoten 11 von :39

12 12 von :39 L5.5 Beispiel Verstärkungsfrequenzgang ELEKTRONIK 2 SCHALTUNGSTECHNIK L5-12/18 Grenzbetrachtung des Primitivfaktoren: Die Asymptoten stellen im logarithmischen Maßstab Geraden dar, die sehr leicht zu skizzieren sind. Das Ergebnis der asymptotischen Betrachtung zeigt Bild L5-15. Bild L5-15: Asymptotisches Verhalten der Primitivfaktoren des betrachteten Beispiels

13 13 von :39 L5.5 Beispiel Verstärkungsfrequenzgang ELEKTRONIK 2 SCHALTUNGSTECHNIK L5-13/18 4. Schritt: Überlagerung der Primitivfaktoren und deren asymtotisches Verhalten. Die Überlagerung der Primitivfaktoren führt zum Gesamtergebnis des gesuchten Frequenzgangs. Dazu werden einzelne Frequenzen ausgewählt und das Produkt der Primitivfaktoren gebildet. Die Asymptoten stellen im logarithmischen Maßstab Geraden dar, die sehr leicht zu skizzieren sind. Das Ergebnis der asymtotischen Betrachtung zeigt Bild L5-16. Bei ω = 100 ω 1 ist: In Bild L5-16 ist das Ergebnis dieser Betrachtung skizziert. Bild L5-16: Asymptotisches Verhalten der Primitivfaktoren des betrachteten Beispiels

14 14 von :39 L5.5 Beispiel Verstärkungsfrequenzgang ELEKTRONIK 2 SCHALTUNGSTECHNIK L5-14/18 Das Beispiel wird in folgender Testschaltung veranschaulicht. Der Verstärker LV1 besteht aus zwei Stufen mit je einer spannungsgesteuerten Spannungsquelle E1 und E2. Beide Stufen weisen ein Tiefpassverhalten erster Ordnung mit den Eckfrequenzen f1 und f2 auf. Ein Trennverstärker (E3) gestattet die Festlegung des Ausgangswiderstandes r a unabhängig vom Tiefpassverhalten der vorhergehenden Stufe. Der Ausgangswiderstand der Verstärkerstufe bildet mit der Lastkapazität C2 wiederum ein Tiefpassverhalten erster Ordnung. Experiment L5-3: Bode_Verst1 Beispielschaltung zur Bestimmung des Bodediagramms Bild L5-18: Ergebnis der Testschaltung analysiert mit PSpice; Bodediagramm nach Betrag und Phase mit Darstellung der Eckfrequenzen und Bild L5-17: Testschaltung für das Beispiel einer Verstärker-schaltung der Asymptoten

15 15 von :39 L5.6 Übungsaufgaben ELEKTRONIK 2 SCHALTUNGSTECHNIK L5-15/18 L5.6 Übungsaufgaben Beispiel 1: Gegeben sei die Schaltung gemäß Bild L5-19. Um welche Schaltungsfunktion handelt es sich? nmlkj Keine Funktion erkennbar nmlkj Tiefpass nmlkj Hochpass Skizzieren Sie das zugehörige Bodediagramm: f U 2 / U 1 φ U / 2/ U1 10Hz 1kHz 10kHz Auswerten Erg. L5-1 Auswerten Erg. L5-2 Bild L5-19: Schaltung zu Beispiel 1 Experiment L5-4: BODE_Ueb1 Beispielschaltung zur Übungsaufgabe 1

16 16 von :39 L5.6 Übungsaufgaben ELEKTRONIK 2 SCHALTUNGSTECHNIK L5-16/18 Beispiel 2: Gegeben sei die Schaltung gemäß Bild L5-20. Um welche Schaltungsfunktion handelt es sich? nmlkj Keine Funktion erkennbar nmlkj Tiefpass nmlkj Hochpass Auswerten Erg. L5-3 Skizzieren Sie das zugehörige Bodediagramm: f U 2 / U 1 φ U / 2/ U1 100Hz 10kHz 100kHz 1MHz 10MHz Auswerten Erg. L5-4 Bild L5-20: Schaltung zu Beispiel 2 Experiment L5-5: BODE_Ueb2 Beispielschaltung zur Übungsaufgabe 2

17 17 von :39 L5.6 Übungsaufgaben ELEKTRONIK 2 SCHALTUNGSTECHNIK L5-17/18 Beispiel 3: Gegeben sei nebenstehende Schaltung gemäß Bild L5-21. Wo liegt die Resonanzfrequenz von Z 2? f = khz Auswerten Erg. L5-5 Welchen Kennwiderstand (Resonanzblindwiderstand) weist Z 2 auf? Z K = kω Auswerten Erg. L5-6 Welche Güte weist der Parallelresonator auf? Q = Auswerten Erg. L5-7 Bild L5-21: Schaltung zu Beispiel 3 Skizzieren Sie das zugehörige Bodediagramm: f U 2 / U 1 φ U / 2/ U1 1kHz 10kHz 100kHz 1MHz 10MHz Auswerten Erg. L5-8 Experiment L5-6: BODE_Ueb3 Beispielschaltung zur Übungsaufgabe 3

18 18 von :39 L5.6 Übungsaufgaben ELEKTRONIK 2 SCHALTUNGSTECHNIK L5-18/18 Beispiel 4: Gegeben sei die Schaltung gemäß Bild L5-21 mit der Steilheit g m = 1/10Ω. Welche Verstärkung U 2 / U 1 liegt bei mittleren Frequenzen vor? V 21 = Auswerten Erg. L5-9 Skizzieren Sie das Bodediagramm: f U 2 / U 1 φ U / 2/ U1 Bild L5-22: Schaltung zu Beispiel 4 10Hz 100Hz 1kHz 10kHz 100kHz 1MHz Auswerten Erg. L5-10