Kapitel 6: Quadratisches Wachstum

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1 Kapitel 6: Quadratisches Wachstum Dr. Dakwart Vogel Ui Esse WS 009/10 1

2 Drei Beispiele Beispiel 1 Bremsweg eies PKW Bremsweg Auto.xls Ui Esse WS 009/10

3 Für user Modell des Bremsweges gilt a = a + d a = a + d... a = a + d wobei die Folge der Differeze liear wächst: d = d + e 0. d a + 1 Eigesetzt i die Rekursio für erhalte wir a a d e + 1= + 0+ Arbeitsauftrag: Etwickle für eie Fuktiosterm. a Ui Esse WS 009/10 3

4 Ergebis: ( 1) a= a0+ d0 + e, 0 (Etwicklug a der Tafel) Ui Esse WS 009/10 4

5 Exkurs zu de Dreieckszahle D = also R = ( + 1) Ui Esse WS 009/10 5

6 Muster i Dreieckszahle (1) D = 1 4 D + + ( + 1) D + 1 = D + Q+ 1 D = 1 4 D + + ( + 1) Q steht für die -te Quadratzahl, also Q =, 1. Ui Esse WS 009/10 6

7 Muster i Dreieckszahle () D + 1 hat +1 Streife. Vo Streife zu Streife komme a beide Räder je Pukte hizu, daher besteht aus Pukte. Die Zahl der Viere ist offebar gleich der Dreieckszahl die Zahl der Eise gleich der Zahl der Streife Daher ist D + 1 ( ) ( ) 1 + ( ) D +1 = , D = 1 4 D + + ( + 1). Ui Esse WS 009/10 7

8 Dreiecks- ud Sechseckzahle Allgemei B ( ) = ( 1) 6 = mit D 0 = 0 D 1 Ui Esse WS 009/10 8

9 Beispiel (Computer-Netzwerk): Computer solle miteiader veretzt werde, so dass vo jedem zu jedem geau eie Leitug führt. Wie viele Leituge müsse gezoge werde? Lösug? Ui Esse WS 009/10 9

10 Lösug Wir schreibe für die Azahl erforderlicher Leituge bei Computer ud argumetiere rekursiv: Um ei Netzwerk aus 1 Computer zu baue, brauche wir 0 Leituge. Also ist Nu ehme wir a, dass das Netzwerk für Computer steht, 1.. ( Leituge liege.). l l l 1= 0. Der ächste Computer muss mit jedem Computer des vorhadee Netzwerks verbude werde. Also sid weitere Leituge zu ziehe: l+ = l + 1. Fuktiosterm? Ui Esse WS 009/10 10

11 Fuktiosterm Bei Computer müsse l 1 = ( ) Leituge gezoge werde. Ui Esse WS 009/10 11

12 Beispiel 3 (Computer-Netzwerk mit zwei Server): Diesmal solle die Computer zur Sicherheit statt mit eier mit drei Leituge verbude werde. Außerdem soll zu beide Server je eie Direktleitug führe. Schließlich soll eie Leitug vo Server zu Server führe. Wie viele Leituge sid bei Computer zu lege? Atwort? Ui Esse WS 009/10 1

13 Lösug Wir schreibe für die Azahl erforderlicher Leituge bei Computer ud argumetiere rekursiv: Um das Netzwerk mit 0 Computer aufzubaue, brauche wir 1 Leitug. Daher ist Nu ehme wir a, dass das Netzwerk für Computer steht,. l l l 0= 1. ( Leituge liege also bereits.) Der ächste Computer muss mit jedem Computer des vorhadee Netzwerks mit 3 Leituge verbude werde sowie mit de beide Server mit je 1 Leitug, isgesamt sid also weitere Leituge zu ziehe: l + 1= l Fuktiosterm? 0. Ui Esse WS 009/10 13

14 Fuktiosterm Bei Computer müsse l = Leituge gezoge werde. Wie sieht ma das? Ui Esse WS 009/10 14

15 Lösugsstrategie Wir wisse l = 1, l = l Nu hagel wir us schrittweise vora ud beobachte geau l l l l l 0 1 = 1 = = = =... ( 1) = =... = Stimmt das Ergebis? Teste es mit kleie Zahle! Ui Esse WS 009/10 15

16 Wir verallgemeier a a kumuliert ( 1+ ) ( ) ( ) ( + 1) ( ) = arithmetisch mit quadratisch mit de Parameter deselbe Parameter a0=, d= 3 Ui Esse WS 009/10 16

17 I Zahle a s arithmetisch mit kumuliert de Parameter Die Folge der Differeze wächst arithmetisch. a0=, d= 3 Ui Esse WS 009/10 17

18 Zusammefassug Die Folge der Partialsumme s = a0+ a a, 0, eier arithmetische Folge a = a + d 0, ist gegebe durch s a = ( + ) + 0 ( + 1) 1 d. Ist umgekehrt eie Zahlefolge durch die Differezegleichug a+ 1 = a+ d+ e, 0 gegebe, so geügt sie der Fuktiosgleichug ( 1) a= a0+ d+ e, 0. Ui Esse WS 009/10 18

19 Aufgabe Eie Zahlefolge begie mit a 0= 100 ud geüge der Differezegleichug a+ 1= a+ 5, 0. Fide eie explizite Darstellug ud bestimme a 111. Ui Esse WS 009/10 19

20 Defiitio Wir sage: Eie Zahlefolge wächst quadratisch, we die Folge der Zuwächse liear wächst: a+ 1 a= e+ d, 0, der Zuwachs des Zuwachses also kostat ist. Etspreched: Eie Fuktio vo x wächst quadratisch, we ihr Zuwachs eie lieare Fuktio vo x ist (bei festem x ): y= mx+, x kostat Aufgabe: Ist fx ( ) = ax + bx+ c, so gilt m= a x = a( x) + b x. ud Ui Esse WS 009/10 0

21 Beispiel 1 Es sei die Zahlefolge 0, 3, 4, 3, 0, -5, -1, vorgelegt. Wir utersuche ihr Wachstumsverhalte. a a a Ergebis: Die Folge der Differeze erster Ordug wächst liear, die zweiter Ordug ist kostat. Also quadratisches Wachstum! Ui Esse WS 009/10 1

22 Beispiel : Die quadratische Fuktio x x x y y y a a a+ x ( a+ x) ( a+ x) a = x x+ ( x) ( a+ x) ( a+ x) a+ x ( a+ x) ( x) = x x+ 3( x) Drei Frage: 1. Was ist der Uterschied zwische x, ( x) ud ( ) x?. Ist die quadratische Fuktio quadratisch im Sie userer Defiitio? (Folie 0) 3. Wie wirkt sich eie Verdoppelug (Verdreifachug, ) vo auf y aus? x Ui Esse WS 009/10

23 Die Grudeigeschaft eifache quadratische Wachstums Wächst die uabhägige Variable auf das Doppelte (Dreifache, -fache), so wächst die abhägige Variable auf das Vierfache (Neufache, -fache): Allgemei Zwei Frage x x y 4 y. x x y y. 1. Diese Eigeschaft gilt für f( x) = x, x 0. Gilt sie auch für f ( x ) = ax, x 0, a> 0?. Offebar ist y proportioal zu( x). Gilt dies auch für f( x) = ax + bx+ c? (Diese Frage lässt sich allei durch Ispektio der obige Rechug (Folie ) eisehe.) Ui Esse WS 009/10 3

24 Eifaches quadratisches Wachstum graphisch y x Ist zum Beispiel so ist x= x1, y = cost. x = 1 y y de aus y y1 xy1 = y = x x1 ( x1) y1 = Ist x das -fache vo x1, x1 so ist y das -fache vo y1. = y 1 x = x y = y 1 1 Ui Esse WS 009/10 4

25 Zurück zum Bremsweg, userem Eigagsbeispiel Aus der Kostaz vo y folgt, dass der Bremsweg quadratisch wächst. Der Fuktiosterm ist vo der Form cv. Daher gilt, leider oft missachtet: Der Bremsweg ist zum Quadrat der Geschwidigkeit proportioal. Fährt jemad beispielsweise 60 statt 30 km/h, so ist sei Bremsweg viermal so lag (uabhägig vo der Güte seier Bremse). (Der tiefere Grud: Die Bewegugseergie ist zum Quadrat der Geschwidigkeit proportioal.) Der Mesch dekt jedoch proportioal. Das ka tödlich sei! Ui Esse WS 009/10 5

26 P A U S E Ui Esse WS 009/10 6

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