Probeklausur. (b) Was geschieht, wenn man ein Quantenbit in einem solchen Zustand misst?

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1 Quaterecher Witersemester 5/6 Theoretische Iformatik Uiversität Haover Dr. Matthias Homeister Dipl.-Math. Heig Schoor Probeklausur Hiweis: Diese Probeklausur ist kürzer als die tatsächliche Klausur.. a Wie sehe die Zustäde eies Quatebits aus? Lösug Ei Quatebit immt Zustäde der Form α + β a, wobei α, β C mit α + β =. b Was geschieht, we ma ei Quatebit i eiem solche Zustad misst? Lösug Durch das Messe des Zustades immt dieser eie Basiszustad, also etweder mit Wahrscheilichkeit α oder mit Wahrscheilichkeit β a. Der Messwert ist der ageommee Zustad.. Wie lautet der Folgezustad, we wir die Quate-Fouriertrasformatio auf ei Register im Zustad + awede? Lösug Die Quate-Fouriertrasformatio der Ordug 4 wird durch die folgede Matrix beschriebe: QFT 4 = 4 i i i i, da die imagiäre Eiheit i die primitive 4-te Eiheitswurzel ist. Nu erhält ma das Ergebis durch Matrixmultiplikatio: Der Zustad ach der Fouriertrasformatio ergibt sich als Multiplikatio der Matrix QFT 4 mit dem Zustadsvektor, also i i i i Das Ergebis ist also der klassische Zustad. =.

2 3. a Wie lautet die Aufgabestellug für de Algorithmus vo Deutsch-Jozsa? Lösug Der Algorithmus vo Deutsch-Jozsa löst folgedes Problem: Us liegt ei Bauteil vor, das eie Fuktio f : {, } {, } berechet. Wir wisse, dass eie der beide folgede Fälle zutrifft: f ist kostat, d.h. alle Eigabe werde auf dieselbe Ausgabe abgebildet, f ist balaciert, d.h. die Hälfte der Eigabe wird auf, die adere Hälfte der Eigabe auf abgebildet. Die Aufgabe ist, zu etscheide, welcher dieser Fälle eitritt. b Gebe Sie eie klassische Algorithmus für dieses Problem a ud aalysiere Sie desse Laufzeit. Lösug Ei klassischer Algorithmus probiert maximal + mögliche Eigabewerte aus. Falls dabei zwei verschiedee Fuktioswerte auftrete, ist die Fuktio f balaciert, im adere Fall kostat. Die Laufzeit ist O. c Gebe Sie de aus der Vorlesug bekate Quate-Algorithmus für dieses Problem a, ud beweise Sie die Korrektheit dieses Algorithmus. Hiweis: Diese Aufgabe ist schwieriger als das Klausuriveau. Lösug Wir zeige, dass der folgede Quate-Algorithmus auf eiem + - Register x... x y korrekt arbeitet. i. x... x y... ii. x... x y H + x... x y H + bezeichet die Hadamard-Trasformatio auf eiem + -Bit Register iii. Werte f aus: x... x y U f x... x y iv. x... x y H x... x y v. Messe das Register x... x : Ist x... x =... : Ausgabe kostat. Sost: Ausgabe balaciert. Beweis Schritt versetzt das Register i eie defiierte Ausgagszustad, wir begie mit der Aalyse im Schritt. Hier wird der Operator H + auf de Zustad... agewedet. Wir betrachte dies als Awedug vo H auf die erste Bits ud H auf das letzte Bit. Da H = H H, befidet sich ach der Awedug vo H jedes der erste Bit i der Superpositio +.

3 Das letzte Bit befidet sich i dem Zustad. Betrachte wir die Zustäde der eizele Bits gemeisam, so ergibt sich i de erste Bits die Überlagerug alles mögliche Biärzahle mit Bits: Der Zustad ach Awedug vo H + ist x =: ψ. Im Schritt 3 wird die Fuktio f, geauer gesagt die uitäre Trasformatio U f auf das gesamte Register agewedet. Wir betrachte zuächst, was mit eiem fixierte Zustad x uter dieser Trasformatio geschieht: x x fx fx = fx x. Für die Superpositio ψ ergibt sich die folgede Wirkug: ψ fx x = ψ 3. Im vierte Schritt wede wir H auf die erste Bits des Registers a. Es ergibt sich wieder die Liearität ausutze: ψ 3 fx x z z = ψ 4. z= Für die Aalyse vo Schritt 5 betrachte wir x... x für ei festes z, also die Summe ψ 4 = fx x z z. Wir betrachte die Fälle f kostat ud f balaciert getret. f kostat Zu zeige ist, dass mit Wahrscheilichkeit der Wert,..., gemesse wird. Wir betrachte also ψ 4 für de Fall z =. Da f kostat ist, ergibt fx für alle Werte x de selbe Wert. Da für z = ausserdem x z = gilt, folgt: ψ 4 = x ± = ±. Aus Normierugsgrüde folgt, dass die Amplitude aller adere Zustäde sei muss. Die Messug liefert also mit Sicherheit de Wert..., f balaciert Zu zeige ist, dass die Wahrscheilichkeit, de Wert,..., zu messe, gleich ist. Wieder betrachte wir ψ 4 für de Fall z = : x= ψ 4 = fx.... Da f balaciert, ist für die eie Hälfte der Werte x fx =, für die adere Hälfte gilt fx =. Also addiere sich die Vorfaktore vor der Amplitude vo,..., zu. Damit ist auch die Wahrscheilichkeit, de Wert,..., zu messe, gleich.

4 4. a Was ist Quate-Teleportatio: Erläuter Sie die Aufgabestellug. Lösug Zwei Kommuikatiosparter z.b. ames Alice ud Bob köe ohe Quatekaal ei Quatebit übertrage, we sie sich ei EPR-Paar teile b Gebe Sie de Schaltkreis für die Quate-Teleportatio a. Lösug ψ H M a M b X Z ψ c Erläuter Sie kurz max. 5 Wörter, was dabei geschieht. Lösug Die erste beide Gatter CNOT ud Hadamard verschräke Alice Bit a mit dem zu übertragede Bit ψ. Da a ud Bobs Bit b ei EPR-Paar sid, etsteht ei verschräkter 3-Bit-Zustad. Die beide Messuge realisiere diese Verschräkug: die Amplitude des Zustades ψ sid i der Folge Kompoete vo Bobs Bit. Um ψ zu rekostruiere ist eie weitere Trasformatio ötig, die durch Alice Messergebis bestimmt wird. Durch ei ähliches Verfahre lässt sich auch ei verrauschter Quatekaal reiige, also eier mit eier gerigere Abweichug herstelle. We Alice ei verschräktes Paar vo Quatebits herstelle ud eies davo a Bob schicke will, steht ihr i der Regel ur ei verrauschter Kael zur Verfügug reale Systeme sid Störuge ausgesetzt. Dadurch sid die beide Bits ach der Übertragug icht mehr maximal verschräkt. Zur Verschräkugsreiigug ka folgedes Verfahre verwedet werde. Geaueres ud ei Verfah- re, um dies i der Praxis effizieter zu realisiere, siehe [PSBZ]: Alice ud Bob teile sich ei icht maximal verschräktes Paar. Alice erzeugt ei weiteres verschräktes Paar, ud übertragt die eie Hälfte a Bob, wobei die Quatelteleportatio mittels des vorhadee Paars verwedet wird. Der Verschräkugsgrad des eue Paares ist höher als der des alte. Durch Wiederholug dieses Verfahres köe hohe Grade a Verschräkug erreicht werde.

5 Literatur [PSBZ] Jia-Wei Pa, Christoph Simo, Caslav Bruker, ad Ato Zeiliger. Feasible etaglemet purificatio for quatum commuicatio. Nature, 4:67,.