Zusammenfassung Θ Θ. 1 Iω KER = = vt. R a rad. Trägheitsmoment. Kinematik. Rotation. Tennis First service Andre Agassi rpm (165 km/h),

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1 9b otation

2 Zusammenfassung Winkel (ad) & Θ Θ ω Auguste odin La main de Dieu ω Winkelgeschwindigkeit (ad/s) v ω & ω Winkelbeschleunigung (ad/s²) α α a a Tägheitsmoment n i tan α + tan a ad m i dm i a ad ω² konstante Beschleunigung Kinematik otation x x Θ Θ 0 0 vt at² ωt α t² Lindsay Davenpot pm (45 km/h) Tennis ist sevice Ande Agassi pm (65 km/h), otationsenegie KE ω

3 Supedehmoment Veluste duch den Abstuz Tagflächen kg (~0% de Masse) Keosin kg Lite (Dichte 0.8 kg/l) Maximales Statgewicht eine Boing kg Hebelam Schwepunkt X 63,73 m Was bleibt an Gewicht übig Masse des lugzeugs: kg Gewicht des lugzeugs: mg N Zum Vegleich adwechsel etwa 50 Nm Dehmomentschlüssel kann man bis etwa 00 Nm eweben Dehmoment τ N 3 m τ ~ N m 3

4 Satz von Steine paallel-axis theoem y CoM x 0 0 y 0 Betachte otation um eine Achse die duch den Massenschwepunkt (CoM) veläuft Neue Dehachse x x 0 dm y y0 Definition des Schwepunkts Kapitel 8 xcom x dm M ycom y dm M Befindet sich de Schwepunkt auf de otationsachse, egibt sich kein Dehmoment! d.h. diese Teme egeben NULL x + CoM M 0 ² dm Definition Tägheitsmoment Phytagoas: ²x²+y² [( x x0 ) + ( y y0 ) ] dm ( x² + y² ) dm x0 x dm y0 y dm + ( x0 + y0 ) dm dm dm dm Schwepunkt + M0 M Tägheitsmoment um eine Dehachse paallel zu Achse duch den Schwepunkt Satz von Steine daduch kann sich die Beechnung eines Tägheitsmoments stak veeinfachen! CM + M 0 Jakob Steine ( ) Beweis dm 4

5 Velageung de Dehachse Anwendung des Steineschen Satzes ) Ausgangslage Stab de Länge L otiet um Achse duch den Schwepunkt Das entspechende Tägheitsmoment findet man in Tabellen otationsachse L/ L CoM ML ) Jetzt wid die Dehachse velaget otation um eines de Enden des Stabes Das Tägheitsmoment sollte göße weden, da die Masse auf einen gößeen Abstand zu Dehachse veteilt ist Steineschen Satz anwenden ML CoM + M + M L Tägheitsmomente aus Tabelle otationsachse ML ML ML CoM 4-fach höhees Tägheitsmoment 5

6 Zweites Newtonsches Gesetz Dehmoment und Winkelbeschleunigung α es τ otationsbeschleunigung egibt sich aus Summe ALLE angeifenden Dehmomente Motoleistung setzt sich zusammen aus Dehmoment und Dehzahl Dehmoment (gelb) und Leistung (ot) beim Auto als unktion de Dehzahl Heleitung Definition Dehmoment einzelnes Teilchen a tan α tangentiale Beschleunigung mα τ m² α τ m² α Newton ma τ m m a α hie ist die Steigeung de Leistung am höchsten (dp/df max) Vegleich Tanslation viele Teilchen τ ( m + m + m mnn ) α N N τ τ α N m i i α Newton fü otation 6

7 Neue physikalische Göße Dehimpuls Suche eine Ausduck fü den mpuls in de otation analog zum lineaen mpulsvekto mv p mpuls Masse Geschwindigkeit τ ΔL Δt stimmt das? p L m m [] [ kg m ] v ω [ ω] [ / s] L v ω Definition des Dehimpulsvektos S Einheit [kg m²/s] Newton Δω ω ω bekannt α Δt Δt ΔL ω ω Δω τ Δt Δt Δt Kinematik Δp Δt ΔL τ Δt otation L Dehimpulsvekto und Winkelgeschwindigkeitsvekto zeigen in ichtung de Dehachse Zusammenhang Dehmoment und Winkelbeschleunigung τ α gilt fü konstantes Tägheitsmoment Dehmomente egeben sich duch Winkelbeschleunigungen ode eine Ändeung des Dehimpulses. Beides ist äquivalent. 7

8 Hafteibungswinkel Zylinde ollt ohne zu gleiten, d.h. de Beitag de zu otation füht ist die Hafteibung Θ CoM Dehmoment aus Ändeung des Dehimpulses dl dω τ dt dt atan τ α Zusammenhang zwischen Winkelbeschleunigung und tangentiale Beschleunigung a tan α Dehmoment duch Hafteibung τ allgemein a tan Beispiel Zylinde das haben wi schon ausgeechnet eibung ausgedückt übe den Hafteibungskoefizienten Zylinde 3 a Zylinde tan atan m g sin Θ 3 mg sin Θ 3 μ μ mg cosθ H N 3 g sin Θ mg sin Θ μ mg cosθ H H tan Θ 3μ m H Hafteibungswinkel siehe auch Böschungswinkel bei Schüttgut Geteide 3, Sand 34, Kohle 35, Gips 45 8

9 Dehimpulsehaltung Massenehaltung, Enegieehaltung, mpulsehaltung geinges Tägheitsmoment schnelle Dehung Wenn keine Dehmomente angeifen, ändet sich de Dehimpuls nicht! Ehaltung des Dehimpulses L konstant ichtung des Dehimpulses in diese Bewegung hohes Tägheitsmoment langsame Dehung Keiselkompass im Gavitationsfeld dl τ g dt senkecht zu senkecht zu Kaft esultat: Keisel weicht senkecht zu wikenden Kaft aus 9

10 Dehimpulsehaltung Gesamtdehimpuls bleibt ehalten, da kein äußees Dehmoment Bei otation des ads um +/-90 ändet sich de Dehimpuls des Stuhls um den Dehimpuls des ades (-/+ L) LStuhl + Lad const 0

11 τ es α Judo Einsatz des Dehmoments Stategie Stategie Dehung um Schwepunkt d 30 cm d cm Annahmen 5 kg m² ad α -6 s² α negativ da otation im Uhzeigesinn zusätzliches Dehmoment

12 Judo Level: Schwaze Gütel τ es α Wenn de zu Wefende den Boden velassen hat, wiken nu noch die Kaft des Wefes und die Gewichtskaft d Dehmoment aus de Schwekaft bei otation um den Schwepunkt ist NULL 0 τ g 0 g Dehmoment aus dem Angiffspunkt des Wefes τ τ d ( sin Θ) Dehmoment ist negativ aufgund de Dehung im Uhzeigesinn Optimale Wuf Dehung efolgt so, dass Schwepunkt und Dehpunkt übeeinstimmen. -d 5 kg m² 0.3 m α α d ( 6 ad/ s² ) 300 N

13 τ es α Judo Level: Novize Dehmoment aus de Schwekaft d τ g g mgd göße als NULL und positiv Ungünstigee all Schwepunkt und Dehpunkt stimmen nicht übeein Dann wiken zwei Dehmomente! τ τ τ -d Juadoka + τ + d α d Schwekaft mg d + d α mg Dieses Dehmoment muss de Judoka kompensieen Kaftanstengung fü den Judoka vedoppelt sich, wenn Schwepunkt und Dehpunkt cm auseinande liegen! Beispiel: Kaftanstengung vedoppelt so hoch α d d d ad s² 5 kg m² 6 m 80 kg 9.8 s² mg d α mg 0.m 3

14 Katzenspünge Stimmt es, dass eine fallende Katze imme auf ihen vie Pfoten landet? Dehimpuls bleibt ehalten! m feien all eigentlich keine Nettodehung möglich! De Tick Duch Ausstecken bzw. Anziehen de Beine hat de Vodeköpe ein andees Tägheitsmoment als de Hinteköpe bei de otation um die Köpeachse. n einem esten Takt zieht das ücklings fallende Tie die Vodebeine eng an den Leib und steckt die Hintebeine echtwinklig von de Köpelängsachse weg. Wenn jetzt die Katze den Vodeköpe asch um 80 Gad deht, ist die Gegendehung des hinteen Köpeteils viel langsame und de Dehwinkel entspechend klein. Dann steckt das Tie die vodeen Beine vom Köpe weg und dückt die hinteen an das ell, und das Hinteteil vollzieht die Dehung des Vodeköpes nach, mit nu geingem Gegenschwingen de vodeen Köpehälfte. Duch mehmaliges Wiedeholen diese Übung kommt die Dehung zustande. v τ font font & ω ΔΘ &v ω font font font back font &v ω back back &v ωback font &v ω v back ΔΘ &v ω v τ back back 4

15 Nochmal de Vegleich Tanslation Wegstück ds otation dθ v Winkel Geschwindigkeit s & v ω Θ & Winkelgeschwindigkeit Beschleunigung a v & & s & α & ω Θ Winkelbeschleunigung täge Masse m m Tägheitsmoment mpuls mv p L v ω Dehimpuls Kaft p& ma & τ L α Dehmoment Kinetische Enegie Abeit KE m v² dw ds & KE v L ω dw τd Θ otationsenegie Abeit 5