Mathematik IT 3 (Analysis) Probeklausur

Transkript

1 Mathematik IT (Analysis) Probeklausur Datum: 08..0, Zeit: :5 5:5 Name: Matrikelnummer: Vorname: Geburtsdatum: Studiengang: Aufgabe Nr. 5 Σ Punkte Soll Punkte Ist Lösungen ohne begründeten Lösungsweg werden nicht bewertet. Der Lösungsweg muss klar erkennbar sein, um bewertet zu werden, und sich auf den dafür vorgesehenen Seiten befinden. Hilfsmittel: Wertetabelle des cos und sin ϕ 0 cos(ϕ) sin(ϕ) Die erreichten Punkte werden im Verhältnis : als Hausaufgabenpunkte gewertet. Aufgabe : a) Gegeben sei die komplexe Zahl z = ( + i)e + i/. Bestimmen Sie: Re(z) = Im(z) = arg(z) = b) Von einem Polynom p n mit reellen Koeffizienten sei bekannt, dass es die Nullstellen z := i, z := und z := + i besitzt. Welchen Grad n hat p n mindestens? Geben Sie ein Beispiel für p n mittels reeller Elementarfaktoren an.

2 a) z = ( + i)e +i/ = ( + i)e e i/ = e ( + i)(cos(/) + i sin(/)) = e ( + i) ( + i) = e ( + i)( + i) = e ( + i + i ) = ei. Also folgt Re(z) = 0, Im(z) = e, arg(z) =. b) Wenn ein Polynom nur reelle Koeffizienten hat, dann ist mit jeder komplexer Nullstelle z auch die konjugiert komplexe Zahl z eine Nullstelle. Folglich haben wir die weiteren Nullstellen z und z. (Da z reell ist, erhalten wir hier keine weiter Nullstelle.) Insgesamt haben wir also mindestens 5 Nullstellen; also muss p n mindestens den Grad 5 haben (falls p n 0). Wir erhalten die Elementarfaktoren q (z) = (z z )(z z ) = z (z + z )z + z z = z Re(z )z + z = z z + 5 q (z) = z z = z q (z) = (z z )(z z ) = z Re(z )z + z = z + z + 0 und somit p 5 (z) = q (z)q (z)q (z) = (z z + 5)(z )(z + z + 0). Aufgabe : a) Untersuchen Sie die folgenden Folgen (a n ) auf Konvergenz und geben Sie wenn möglich die Grenzwerte an. ( ) n i) a n = n 7 ii) a n = sin(n) n n + / b) Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz. Geben Sie jeweils an, ob diese divergent, konvergent oder absolut konvergent sind (mit Begründung). i) ii) iii) n! (n ) n + n 5 (ln n) ln n n= n= n= a) i) Die Folge (a n ) ist streng monoton fallend, da a n+ a n = (n + )7 n = (n + ) 7 n 7 n+ n 7 n,

3 (bzw. da n schneller wächst als jede Potenz). Da sie außerdem positiv ist, ist sie auch beschränkt und somit konvergent. Als Grenzwert folgt damit ii) Es gilt b) i) Mit dem Quotientenkriterium a n+ a n bzw. ii) Mit lim a n = 0. n a n = sin n n n + n =. / n/ = (n + )!(n) n! ((n+) ) = n + n+ n 0 für n folgt absolute Konvergenz der Reihe. a n = n + n 5 n ist (a n ) keine Nullfolge. Somit ist das notwendige Kriterium nicht erfüllt und die Reihe divergent. iii) Die Folge (a n ) ist eine Nullfolge. Außerdem gilt mit a ln b = b ln a a n = (ln n) = ln n n ln ln n. Da die Funktion ln monoton wachsend ist, existiert ein n 0 N mit ln ln n 0 > (genauer gilt n 0 > e (e) 8.8). Also folgt a n n für n n 0. Somit ist die Reihe nach dem Majorantenkriterium absolut konvergent. Aufgabe : Gegeben sei die Funktion f : D f q(x) := ( x)( + x ). R mit f(x) = p(x) q(x), wobei p(x) := x + x, a) Bestimmen Sie D f R, Null- und Polstellen sowie Lücken der Funktion f. b) Berechnen Sie lim x f(x). c) Ermitteln Sie das Polynom P (x) niedrigsten Grades, welches die Funktion f in den Punkten (x i, f(x i )) mit x i {, 0, } interpoliert. a) Nullstellen des Nenners q(x) = ( x)( + x ): Das Produkt verschwindet wenn einer der Faktoren verschwindet, d.h., es ist 0 = ( x) oder 0 = ( + x ). Dies liefert x = als einzige reelle Nullstelle des Nenners. Nullstellen des Zählers p(x) = x + x : Man probiere die Nenner-Nullstelle x = und finde p(x ) = 0. (Auch Aufgabenteil (b) liefert einen Hinweis auf p(x ) = 0.) Abspaltung des Linearfaktors mittels Horner-Schema

4 0-0 p() = 0, p(x) = x + x = (x + x + )(x ) oder mittels Polynomdivision (x +x ) : (x ) = x + x + (x x ) x (x x) x (x ) 0 p(x) = x + x = (x + x + )(x ) Weitere reelle Nullstellen des Zählers existieren nicht, denn r(x) := x + x + = (x + ) + > 0 bzw. über die quadratische Gleichung r(x) = 0 mittels Lösungsformel: x / = ± R. Damit p() = 0 = q() und p(x) 0, q(x) 0 x R \ {}, also Definitionsbereich: D f = R \ {} = (, ) (, + ) oder D f : ( < x < ) ( < x < + ) Nullstellen von f: keine, Polstellen von f: keine, Lücken von f: x = b) Unter Benutzung von Aufgabenteil (a) ergibt sich: p(x) lim f(x) x x q(x) x + x x ( x)( + x ) (x + x + )(x ) x ( x)( + x ) oder alternativ mit der Regel von Bernoulli-de l Hospital: p(x) lim f(x) x x q(x) x x + x + ( + x ) = = p (x) lim x q (x) x + x x ( + x x ) = + ( + ) = 5. c) Wertetabelle für die Funktion f: x i 0 f(x i ) Man beachte zur Reduzierung des Rechenaufwands, dass für x gilt (wie in Aufgabenteil (c)): f(x) = p(x) ( ) q(x) = x + x ( x)( + x ) = (x + x + )(x ) x + x + = ( x)( + x ) + x Ansatz: P (x) = c 0 + c (x + ) + c x(x + ),(Newtonsche Form des Interpolationspolynoms), Bestimmung der Koeffizienten laut Vorlesung: = f( ) = P ( ) = c 0 = c 0 = = f(0) = P (0) = + c = c = = f() = P () = ( + ) ( + ) + c = c = Ergebnis: P (x) = (x + ) + x(x + ) Diese Darstellung der Lösung ist vollkommen ausreichend, ausmultiplizieren ist nicht erforderlich.

5 Aufgabe : Gegeben sei die Funktion f : R R mit f(x) = (x )e x. a) Ermitteln Sie die erste und zweite Ableitung von f. b) Geben Sie das Taylor-Polynom T von f der Ordnung mit der Entwicklungsstelle x 0 = 0 und eine Abschätzung des Restgliedes R der Form R (x) C für x [0, ] mit einer Konstanten C R an. 5 a) Für die Ableitungen von f wird die Produktregel benötigt. f (x) = xe x + (x )e x ( ) = ( x + x + )e x f (x) = ( x + )e x + ( x + x + )e x ( ) = (x x + )e x. b) Das Taylor-Polynom hat die folgende Gestalt: T (x) = f(0) + f (0)(x 0) + f (0) (x 0). Zunächst werden Funktionswert und die Ableitungswerte an der Stelle x = 0 berechnet. f(0) = e 0 =, f (0) = e 0 =, f (0) = e 0 =. Eingesetzt in die allgemeine Darstellung des Taylor-Polynoms ergibt sich T (x) = + x + x. Für das Restglied R benötigen wir zusätzlich noch f : f (x) = (x )e x (x x + )e x = ( x + x 5)e x = ( (x ) )e x. Für x [0, ] besitzt das Restglied R (x) die Darstellung R (x) = f (s)! mit einer von x abhängigen Zahl s (0, x). Schätzen wir nun R ab: (x 0) = ( (s ) s x )e x [0, ], s (0, x) : R (x) = ((s ) s x )e ((0 ) 0 x )e = 5 x. Da x gilt, folgt für die gesuchte Konstante R (x) 5 =: C. Aufgabe 5: a) Bestimmen Sie 5

6 i) lim (x x x), ii) lim ln(x) sin(x). b) Welche Punkte (x, y) der Astroide x / + y / =, x 8 haben zum Ursprung (0, 0) den geringsten Abstand? Hinweis: Der Abstand eines Punktes (x, y ) zu einem Punkt (x, y ) ist (x x ) + (y y ). a) i) lim (x x x) (x x x) x + x x x + x x ii) ln(x) lim ln(x) sin(x) 0 x x( + x ) + sin(x) = lim sin (x) x wobei genutzt wurde, dass lim sin(x) b) Der Abstand wird mit x cos(x) sin (x) = lim 0 0 sin(x) cos(x) = lim =, lim cos(x) d(x, y) = x + y x x (x x) x + x x =, da lim sin (x) x cos(x) = lim = 0 bestimmt. Da für die Punkte der Astroiden x / + y / = y = ( x / ) gilt, kann der Abstand als Funktion von x geschrieben werden: d(x) = x + ( x / ). =, sin(0) = 0 und cos(0) =. x = cos(x) lim sin (x) x Für die Minimierung betrachten wir das Quadrat dieser Funktion, da dies die gleichen Extrempunkte besitzt, aber einfacher zu analysieren ist: D(x) = x + ( x / ). Dessen Ableitungen sind D (x) = x ( x / ) x / = 8(x / x / ), D (x) = 8( x / + x / ) = 8 (x / + x / ). Die Nullstellen von D sind x / = x / x / = x =. Für diese gilt D (x) > 0, also sind all diese Punkte Minima. Die zugehörigen y-werte besitzen nach der Gleichung der Astroiden ebenfalls y =. Also sind die Punkte (, ), (, ), (, ), (, ) die gesuchten.