Lösung der Nachklausur

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1 H. Schmidli Eiführug i die Stochastik WS 8/9 Lösug der Nachklausur. a) Aus dem Satz der totale Wahrscheilichkeit folgt für de Ateil der Persoe, die der Vorlage zugestimmt habe Also liegt die Zustimmug bei 58% b) Es habe 4% die Vorlage abgeleht. Nach der Formel vo Bayes ist die Wahrscheilichkeit, dass ei Nei-Stimmer aus der Regio A stammt aus der Regio B ud aus der Regio C ,., c) Aus der Formel vo Bayes erhalte wir die Wahrscheilichkeit, dass ei Nei-Stimmer, der icht aus der Regio A stammt, aus der Regio B stammt Die Wahrscheilichkeit, aus der Regio B zu stamme ist also 56%.. a) Die mögliche Spielverläufe sid 4 3 Die mögliche Bilaze sid also 4, falls T,, falls T > ud X ud, falls X.

2 b) Ist, so ist die Bilaz icht 4, da sost T. I de ader Fälle gilt die Formel. Sei u >. Nehme wir a, X. Da ist ach Iduktiosvoraussetzug S V ( ) + 3. Da muss X sei, da sost T ud V 3. Die Bilaz wird u S V 3 3. Ist X, so ist S V ( ). Also wird die Bilaz (da auf jede Fall T > ud V ) S V + X, was die Aussage beweist. c) Ist T, so ist X ud damit V 3. Also erhalte wir Dies ist die Aussage. S V S V + 3 ( ) d) Die Ereigisse A {X, X } sid uabhägig ud trete mit Wahrscheilichkeit /4 ei. Tritt A ei, so ist T. Also ist IIP[T > ] IIP[ k A c k] (3/4). Da lim IIP[T > ] lim (3/4) /. e) Nach dem Stoppsatz ist Da IIE[S V T m] IIE[(6 T )I T m ] + IIE[( m + X m )I T >m ]. lim miip[t > m] lim IIE[( m + X m)i T >m ] m m lim ( m)iip[t > m], m kovergiert der letzte Teil ach. Der erste Teil kovergiert ach IIE[6 T ]. Also folgt IIE[T ] a) Nach der Kostruktio sid ur die beide Zustäde ud k + möglich. Somit geügt es, die erste Gleichug zu beweise. wird erreicht, falls I oder U K. Diese beide Ereigisse sid uabhägig. Somit erhalte wir Alterativ gilt IIP[{I } {U K }] IIP[I ] + IIP[U K ] IIP[I ]IIP[U K ] ( (k + ) ) ( + + (k + ) ) k +. IIP[{I } {U K }] IIP[I ] + IIP[I ]IIP[U K ] + + ( + + (k + ) ) k +. b) Ist I, so wird besucht. Da die Ereigisse {I } uabhägig sid, ud IIP[I ] +, folgt aus dem Borel Catelli-Lemma, dass {I } uedlich oft eitritt. Damit wird auch uedlich oft besucht.

3 c) Sei A i das Ereigis, k wird zwische dem i-te Besuch i ud dem i + -te Besuch i Null besucht. Da sid die A i uabhägig ud habe die Wahrscheilichkeit Da IIP[X, X,..., X k k] IIP[A i ] k +, 3 k k + k +. folgt dass uedlich viele der A i eitreffe. Somit wird k uedlich oft besucht. 4. a) Der Log-Likelihood ist Wir müsse daher log f(x i ) log X i (log π + log a) a (log X i m). log X i (log π + log a) a (log X i m) maximiere. Leite wir ach m ab ud setze die Ableitug, erhalte wir Die Lösug ist a (log X i m). ˆm log X i. Da die Dichte am Rad verschwidet ud stetig differezierbar ist, muss es sich um ei Maximum hadel. Leite wir ach a ab ud setze die Ableitug, erhalte wir Die Lösug ist b) Wir habe a + a â (log X i ˆm). (log X i ˆm). e m IIE[X i] 4 IIE[X i ], ea/ IIE[X i ] IIE[X i ]. Wir fide daher die mit der Mometemethode ( ) ( m log X i log ud ( ā log X i ) ( 4 log X i ) ) X i. Betrachte wir eie Verteilug, die de Werte X, X,..., X je die Wahrscheilichkeite / zuordet, so ist X i das zweite Momet ud X i das erste Momet. Daher gilt X i > ( X i). 3

4 c) Da der Maximum-Likelihood-Schätzer icht vo a abhägt, ädert sich der ML-Schätzer icht. Der Mometeschätzer erhält ma aus dem erste Momet ( ) m log X i a a) Schätze wir de Parameter mit der Maximum-Likelihood-Methode, müsse wir (log α αx i ) log α α maximiere. Ableite ach α gibt α X i, oder de Schätzer ˆα X. i Die zweite Ableitug ist egativ, also hadelt es sich wirklich ums Maximum. Oder, da die Likelihoodfuktio am Rad Null ist, muss es sich ums Maximum hadel. Schätze wir de Parameter mit der Mometemethode, so erhalte wir de Parameter aus α X i. Dies ergibt de gleiche Schätzer. I userem Beispiel erhalte wir ˆα b) Die Wahrscheilichkeit, dass eie Beobachtug im gegebee Itervall liegt, ist IIP[X i (, )] e , IIP[X i (, )] e.494 e , IIP[X i (, )] e.4888 e IIP[X i (, 3)] e e , IIP[X i (3, 5)] e e IIP[X i > 5] e Die erwartete Häufigkeite erhalte wir durch Multiplikatio mit 78 Die Teststatistik 6 ( k k ) T k Itervall (, ) (, ) (, ) (, 3) (3, 5) (5, ) (8 6.7) ( 3.) (6.37) (8 7.) (7 8.4) X i + (8.38).38 ist aäherd χ -verteilt mit 5 Freiheitsgrade. Aus der Tabelle fide wir das 5%-Quatil.7 > Das heisst, die Hypothese wird beibehalte. Die Expoetialverteilug ist also mit de Date vereibar. 4

5 6. a) Wir habe IIP[X/Y z] Leite wir ach z ab, erhalte wir die Dichte f Z (z) IIP[X zy]f Y (y) dy + IIP[X zy]f Y (y) dy. yf X (zy)f Y (y) dy yf X (zy)f Y (y) dy y f X (zy)f Y (y) dy. b) Für die Normalverteilug erhalte wir aus der obige Formel f Z (z) y e (zy) / e y / dy ye (+z )y / dy π π π( + z ( + z )ye (+z )y / dy ) π( + z ). Diese Verteilug heisst Cauchy-Verteilug. c) Für die Gamma-Verteiluge erhalte wir aus der obige Formel f Z (z) αγ β κ Γ(γ)Γ(κ) αγ β κ z γ Γ(γ)Γ(κ) Γ(γ + κ) (β/α) κ z γ Γ(γ)Γ(κ) (z + β/α) γ+κ. y(zy) γ e αzy y κ e βy dy y γ+κ e (αz+β)y dy αγ β κ z γ Γ(γ + κ) Γ(γ)Γ(κ)(αz + β) γ+κ 5