3. Java - Sprachkonstrukte I

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1 61 3. Java - Sprachkonstrukte I Namen und Bezeichner, Variablen, Zuweisungen, Konstanten, Datentypen, Operationen, Auswerten von Ausdrücken, Typkonversionen

2 Namen und Bezeichner 62 Ein Programm (also Klasse) braucht einen Namen public class SudokuSolver {...

3 Namen und Bezeichner 62 Ein Programm (also Klasse) braucht einen Namen public class SudokuSolver {... Konvention für Klassennamen: CamelCase benützen Wörter sind zusammengeschrieben mit jeweils einem Grossbuchstaben

4 62 Namen und Bezeichner Ein Programm (also Klasse) braucht einen Namen public class SudokuSolver {... Konvention für Klassennamen: CamelCase benützen Wörter sind zusammengeschrieben mit jeweils einem Grossbuchstaben Erlaubte Namen für Entitäten im Programm: Namen beginnen mit einem Buchstaben oder _ oder $ Danach Folge von Buchstaben, Zahlen oder _ oder $

5 Namen - was ist erlaubt 63 _myname AN$WE4_1S_42 TheCure strictfp side-swipe me@home 49ers $bling$ Ph.D s

6 Namen - was ist erlaubt 63 _myname AN$WE4_1S_42 TheCure strictfp side-swipe me@home 49ers $bling$ Ph.D s

7 Namen - was ist erlaubt 63 _myname AN$WE4_1S_42 TheCure side-swipe me@home strictfp?! 49ers $bling$ Ph.D s

8 Schlüsselwörter 64 Folgende Wörter werden von der Sprache bereits benützt und können deshalb nicht als Namen benützt werden: abstract continue for new switch assert default goto package synchronized boolean do if private this break double implements protected throw byte else import public throws case enum instanceof return transient catch extends int short try char final interface static void class finally long strictfp volatile const float native super while

9 65 Variablen und Konstanten Variablen sind Behälter für einen Wert Haben einen Datentyp und einen Namen Der Datentyp bestimmt, welche Art von Werten in der Variable erlaubt sind x y f c

10 65 Variablen und Konstanten Variablen sind Behälter für einen Wert Haben einen Datentyp und einen Namen Der Datentyp bestimmt, welche Art von Werten in der Variable erlaubt sind int x int y float f char c

11 65 Variablen und Konstanten Variablen sind Behälter für einen Wert Haben einen Datentyp und einen Namen Der Datentyp bestimmt, welche Art von Werten in der Variable erlaubt sind int x int y float f char c f a

12 65 Variablen und Konstanten Variablen sind Behälter für einen Wert Haben einen Datentyp und einen Namen Der Datentyp bestimmt, welche Art von Werten in der Variable erlaubt sind int x int y float f char c Deklaration in Java: f a int x = 23, y = 42; float f; char c = a ;

13 65 Variablen und Konstanten Variablen sind Behälter für einen Wert Haben einen Datentyp und einen Namen Der Datentyp bestimmt, welche Art von Werten in der Variable erlaubt sind int x int y float f char c Deklaration in Java: f a int x = 23, y = 42; float f; char c = a ; Initialisierung

14 66 Konstanten Schlüsselwort final Der Wert der Variable kann genau einmal gesetzt werden Beispiel final int maxsize = 100; Tip: Benützen Sie final immer, es sei denn der Wert muss tatsächlich veränderlich sein.

15 Standardtypen 67 Datentyp Definition Wertebereich Initialwert byte 8-bit Ganzzahl 128,..., short 16-bit Ganzzahl ,..., int 32-bit Ganzzahl 2 31,..., long 64-bit Ganzzahl 2 63,..., L float 32-bit Fliesskommazahl ±1.4E 45,..., ±3.4E f double 64-bit Fliesskommazahl ±4.9E 324,..., ±1.7E d boolean Wahrheitswert true, false false char Unicode-16 Zeichen \u0000,..., a, b,..., \uffff \u0000 String Zeichenkette null

16 Typen und Speicherbelegung Zur Erinnerung: Speicherzellen enthalten 1 Byte = 8 bit

17 Typen und Speicherbelegung Zur Erinnerung: Speicherzellen enthalten 1 Byte = 8 bit byte

18 Typen und Speicherbelegung Zur Erinnerung: Speicherzellen enthalten 1 Byte = 8 bit boolean byte

19 Typen und Speicherbelegung Zur Erinnerung: Speicherzellen enthalten 1 Byte = 8 bit boolean byte short

20 Typen und Speicherbelegung Zur Erinnerung: Speicherzellen enthalten 1 Byte = 8 bit boolean byte short, char

21 Typen und Speicherbelegung Zur Erinnerung: Speicherzellen enthalten 1 Byte = 8 bit boolean byte short, char int, float

22 Typen und Speicherbelegung 68 Zur Erinnerung: Speicherzellen enthalten 1 Byte = 8 bit boolean byte short, char int, float long, double

23 Literale: Ganzzahlen 69 Typ int (oder short, byte) 12 : Wert 12-3 : Wert 3

24 Literale: Ganzzahlen 69 Typ int (oder short, byte) 12 : Wert 12-3 : Wert 3 Typ long 25_872_224L : Wert

25 Literale: Ganzzahlen 69 Typ int (oder short, byte) 12 : Wert 12-3 : Wert 3 Typ long 25_872_224L : Wert Tip: Unterstriche zwischen Zahlen sind erlaubt!

26 Literale: Fliesskommazahlen 70 unterscheiden sich von Ganzzahlliteralen 1 ganzzahliger Teil

27 Literale: Fliesskommazahlen 70 unterscheiden sich von Ganzzahlliteralen durch Angabe von Dezimalkomma 1.0 : Typ double, Wert ganzzahliger Teil fraktionaler Teil

28 Literale: Fliesskommazahlen 70 unterscheiden sich von Ganzzahlliteralen durch Angabe von Dezimalkomma 1.0 : Typ double, Wert 1 1 e-7 oder Exponent. 1e3 : Typ double, Wert 1000 ganzzahliger Teil Exponent

29 Literale: Fliesskommazahlen 70 unterscheiden sich von Ganzzahlliteralen durch Angabe von Dezimalkomma 1.0 : Typ double, Wert 1 und / oder Exponent. 1e3 : Typ double, Wert 1000 ganzzahliger Teil 1.23e-7 fraktionaler Teil Exponent 1.23e-7 : Typ double, Wert

30 Literale: Fliesskommazahlen unterscheiden sich von Ganzzahlliteralen durch Angabe von Dezimalkomma 1.0 : Typ double, Wert f : Typ float, Wert 1.27 und / oder Exponent. 1e3 : Typ double, Wert 1000 ganzzahliger Teil 1.23e-7f fraktionaler Teil Exponent 1.23e-7 : Typ double, Wert e-7f : Typ float, Wert

31 Literale: Zeichen und Zeichenketten 71 Einzelne Zeichen: a : Typ char, Wert 97

32 Literale: Zeichen und Zeichenketten 71 Einzelne Zeichen: a : Typ char, Wert 97 Zeichenketten: "Hello There!" : Typ String

33 Literale: Zeichen und Zeichenketten 71 Einzelne Zeichen: a : Typ char, Wert 97 Zeichenketten: "Hello There!" : Typ String "a" : Typ String

34 Literale: Zeichen und Zeichenketten 71 Einzelne Zeichen: a : Typ char, Wert 97 Zeichenketten: "Hello There!" : Typ String "a" : Typ String Achtung: Zeichen und Zeichenketten sind zwei unterschiedliche Dinge!

35 Zeichen: In ASCII Tabelle 72

36 Wertzuweisungen 73 Kopiert einen Wert in die Variable x In Pseudocode: x Wert In Java: x = Wert x (Kopie) Wert

37 Wertzuweisungen 73 Kopiert einen Wert in die Variable x In Pseudocode: x Wert In Java: x = Wert x Wert Wert

38 Wertzuweisungen 73 Kopiert einen Wert in die Variable x In Pseudocode: x Wert In Java: x = Wert x Wert Wert = ist der Zuweisungsoperator und nicht ein Vergleich! int y = 42 ist also Deklaration + Wertzuweisung in einem.

39 Wertzuweisungen 74 Beispiele int a = 3; double b; b = 3.141; int c = a = 0; String name = "Inf";

40 Wertzuweisungen 74 Beispiele int a = 3; double b; b = 3.141; int c = a = 0; Eine verschachtelte Zuweisung: Der Ausdruck a = 0 speichert den Wert 0 in Variable a. und gibt den Wert danach zurück String name = "Inf";

41 Arithmetische Binäre Operatoren 75 Infix Notation: x op y mit folgenden Operatoren op: + / % Modulo

42 75 Arithmetische Binäre Operatoren Infix Notation: x op y mit folgenden Operatoren op: + / % Modulo Präzedenz: Punkt (und Modulo) vor Strich Assoziativität: Auswertung von Links nach Rechts

43 Arithmetische Binäre Operatoren 76 Division x / y: Ganzzahldivision falls x und y Ganzzahlen sind.

44 76 Arithmetische Binäre Operatoren Division x / y: Ganzzahldivision falls x und y Ganzzahlen sind. Division x / y: Fliesskommadivision falls x oder y eine Fliesskommazahl ist.

45 76 Arithmetische Binäre Operatoren Division x / y: Ganzzahldivision falls x und y Ganzzahlen sind. Division x / y: Fliesskommadivision falls x oder y eine Fliesskommazahl ist. Beispiele Ganzzahldivision und Modulo 5 / 3 ergibt 1 5 / 3 ergibt 1 5 % 3 ergibt 2 5 % 3 ergibt 2

46 Arithmetische Zuweisung 77 x = x + y x += y Analog für,, /, %

47 Arithmetische Zuweisung 77 x = x + y x += y Beispiele: x = 3; // x = x 3 name += "x" // name = name + "x" num = 2; // num = num 2 Analog für,, /, %

48 Arithmetische Unäre Operatoren 78 Prefix Notation: + x oder x

49 Arithmetische Unäre Operatoren 78 Prefix Notation: + x oder x Präzedenz: Unäre Operatoren binden stärker als binäre.

50 Arithmetische Unäre Operatoren 78 Prefix Notation: + x oder x Präzedenz: Unäre Operatoren binden stärker als binäre. Beispiele Angenommen x ist 3 2 x ergibt 6 x +1 ergibt 4

51 Inkrement/Dekrement Operatoren 79 Inkrement Operatoren ++x und x++ haben den gleichen Effekt: x x + 1.Aber unterschiedliche Rückgabewerte:

52 Inkrement/Dekrement Operatoren 79 Inkrement Operatoren ++x und x++ haben den gleichen Effekt: x x + 1.Aber unterschiedliche Rückgabewerte: Präfixoperator ++x gibt neuen Wert zurück: a = ++x; x = x + 1; a = x;

53 79 Inkrement/Dekrement Operatoren Inkrement Operatoren ++x und x++ haben den gleichen Effekt: x x + 1.Aber unterschiedliche Rückgabewerte: Präfixoperator ++x gibt neuen Wert zurück: a = ++x; x = x + 1; a = x; Postfixoperator x++ gibt den alten Wert zurück: a = x++; temp = x; x = x + 1; a= temp;

54 79 Inkrement/Dekrement Operatoren Inkrement Operatoren ++x und x++ haben den gleichen Effekt: x x + 1.Aber unterschiedliche Rückgabewerte: Präfixoperator ++x gibt neuen Wert zurück: a = ++x; x = x + 1; a = x; Postfixoperator x++ gibt den alten Wert zurück: a = x++; temp = x; x = x + 1; a= temp; Präzedenz: Inkrement und Dekrement binden stärker als unäre Operatoren.

55 79 Inkrement/Dekrement Operatoren Inkrement Operatoren ++x und x++ haben den gleichen Effekt: x x + 1.Aber unterschiedliche Rückgabewerte: Präfixoperator ++x gibt neuen Wert zurück: a = ++x; x = x + 1; a = x; Postfixoperator x++ gibt den alten Wert zurück: a = x++; temp = x; x = x + 1; a= temp; Präzedenz: Inkrement und Dekrement binden stärker als unäre Operatoren. Analog für x und x.

56 Inkrement/Dekrement Operatoren 80 Beispiele Angenommen x ist initial 2 y = ++x 3 y = x++ 3

57 Inkrement/Dekrement Operatoren 80 Beispiele Angenommen x ist initial 2 y = ++x 3 ergibt: x ist 3 und y ist 9 y = x++ 3

58 Inkrement/Dekrement Operatoren 80 Beispiele Angenommen x ist initial 2 y = ++x 3 ergibt: x ist 3 und y ist 9 y = x++ 3 ergibt: x ist 3 und y ist 6

59 81 Ausdrücke (Expressions) repräsentieren Berechnungen sind entweder primär oder zusammengesetzt aus anderen Ausdrücken, mit Hilfe von Operatoren sind statisch typisiert Analogie: Baukasten

60 Ausdrücke (Expressions) 82 Beispiele primär: 4.1d oder x oder "Hi" zusammengesetzt: x + y oder f 2.1f Der Typ von f ist float

61 Celsius zu Fahrenheit 83 public class Main { } public static void main(string[] args) { Out.print("Celsius: "); int celsius = In.readInt(); float fahrenheit = 9 * celsius / ; Out.println("Fahrenheit: " + fahrenheit); }

62 Celsius zu Fahrenheit 83 public class Main { } public static void main(string[] args) { Out.print("Celsius: "); int celsius = In.readInt(); float fahrenheit = 9 * celsius / ; Out.println("Fahrenheit: " + fahrenheit); } Beispiel: 15 Celsius sind 59 Fahrenheit

63 Celsius zu Fahrenheit - Analye 84 9 * celsius / Arithmetischer Ausdruck,

64 Celsius zu Fahrenheit - Analye 84 9 * celsius / Arithmetischer Ausdruck, drei Literale, eine Variable, drei Operatorsymbole

65 Celsius zu Fahrenheit - Analye 84 9 * celsius / Arithmetischer Ausdruck, drei Literale, eine Variable, drei Operatorsymbole

66 Celsius zu Fahrenheit - Analye 84 9 * celsius / Arithmetischer Ausdruck, drei Literale, eine Variable, drei Operatorsymbole

67 Celsius zu Fahrenheit - Analye 84 9 * celsius / Arithmetischer Ausdruck, drei Literale, eine Variable, drei Operatorsymbole Wie ist der Ausdruck geklammert?

68 Regel 1: Präzedenz 85 Multiplikative Operatoren (*, /, %) haben höhere Präzedenz ("binden stärker") als additive Operatoren (+, -).

69 Regel 1: Präzedenz 85 Multiplikative Operatoren (*, /, %) haben höhere Präzedenz ("binden stärker") als additive Operatoren (+, -). Beipsiel 9 * celsius / bedeutet (9 * celsius / 5) + 32

70 Regel 2: Assoziativität 86 Arithmetische Operatoren (*, /, %, +, -) sind linksassoziativ: bei gleicher Präzedenz erfolgt Auswertung von links nach rechts.

71 Regel 2: Assoziativität 86 Arithmetische Operatoren (*, /, %, +, -) sind linksassoziativ: bei gleicher Präzedenz erfolgt Auswertung von links nach rechts. Beispiel 9 * celsius / bedeutet ((9 * celsius) / 5) + 32

72 Regel 3: Stelligkeit 87 Unäre Operatoren +, - vor binären +, -.

73 Regel 3: Stelligkeit 87 Unäre Operatoren +, - vor binären +, -. Beispiel 9 * celsius / bedeutet 9 * celsius / (+5) + 32

74 Klammerung 88 Jeder Ausdruck kann mit Hilfe der Assoziativitäten Präzedenzen Stelligkeiten der beteiligten Operatoren eindeutig geklammert werden.

75 Ausdrucksbäume 89 Klammerung ergibt Ausdrucksbaum 9 * celsius / celsius 5 32 * / +

76 Ausdrucksbäume 89 Klammerung ergibt Ausdrucksbaum (9 * celsius) / celsius 5 32 * / +

77 Ausdrucksbäume 89 Klammerung ergibt Ausdrucksbaum ((9 * celsius) / 5) celsius 5 32 * / +

78 Ausdrucksbäume 89 Klammerung ergibt Ausdrucksbaum (((9 * celsius) / 5) + 32) 9 celsius 5 32 * / +

79 Auswertungsreihenfolge 90 "Von den Blättern zur Wurzel" im Ausdrucksbaum 9 * celsius / celsius 5 32 * / +

80 Auswertungsreihenfolge 90 "Von den Blättern zur Wurzel" im Ausdrucksbaum 9 * celsius / celsius 5 32 * / +

81 Auswertungsreihenfolge 90 "Von den Blättern zur Wurzel" im Ausdrucksbaum 9 * celsius / celsius 5 32 * / +

82 Auswertungsreihenfolge 90 "Von den Blättern zur Wurzel" im Ausdrucksbaum 9 * celsius / celsius 5 32 * / +

83 Auswertungsreihenfolge 90 "Von den Blättern zur Wurzel" im Ausdrucksbaum 9 * celsius / celsius 5 32 * / +

84 Auswertungsreihenfolge 90 "Von den Blättern zur Wurzel" im Ausdrucksbaum 9 * celsius / celsius 5 32 * / +

85 Auswertungsreihenfolge 90 "Von den Blättern zur Wurzel" im Ausdrucksbaum 9 * celsius / celsius 5 32 * / +

86 Auswertungsreihenfolge 90 "Von den Blättern zur Wurzel" im Ausdrucksbaum 9 * celsius / celsius 5 32 * / +

87 Ausdrucksbäume Notation 91 Üblichere Notation: Wurzel oben 9 * celsius / / 32 * 5 9 celsius

88 92 Typsystem Java hat ein statisches Typsystem: Alle Typen müssen deklariert werden Wenn möglich wird die Typisierung vom Compiler geprüft ansonsten zur Laufzeit Vorteil eines statischen Typsystems Fail-fast Fehler im Programm werden oft schon vom Compiler gefunden Verständlicher Code

89 Typfehler 93 Beispiel int pi_ish; float pi = 3.14f; pi_ish = pi; Compiler Fehler:./Root/Main.java:12: error: incompatible types: possible lossy conversion from float to int pi_ish = pi; ^

90 Explizite Typkonvertierung 94 Beispiel int pi_ish; float pi = 3.14f; pi_ish = pi;

91 Explizite Typkonvertierung 94 Beispiel int pi_ish; float pi = 3.14f; pi_ish = (int) pi; Explizite Typkonvertierung mit Typecasting: (typ)

92 Explizite Typkonvertierung Beispiel int pi_ish; float pi = 3.14f; pi_ish = (int) pi; Explizite Typkonvertierung mit Typecasting: (typ) Statisch typkorrekt, Compiler happy Laufzeitverhalten: Je nach Situation Hier: Genauigkeitsverlust: Kann das Programm zur Laufzeit zum Absturz bringen! 94

93 Typ Konvertierung - Anschaulich für Ganzzahlen 95 Expliziter Cast byte short int long Potentieller Informationsverlust bei explizitem Cast, da weniger Speicher zur Verfügung. Implizite Konversion

94 96 Gemischte Ausdrücke, Konversion Fliesskommazahlen sind allgemeiner als ganzzahlige Typen. In gemischten Ausdrücken werden ganze Zahlen zu Fliesskommazahlen konvertiert.

95 96 Gemischte Ausdrücke, Konversion Fliesskommazahlen sind allgemeiner als ganzzahlige Typen. In gemischten Ausdrücken werden ganze Zahlen zu Fliesskommazahlen konvertiert.

96 96 Gemischte Ausdrücke, Konversion Fliesskommazahlen sind allgemeiner als ganzzahlige Typen. In gemischten Ausdrücken werden ganze Zahlen zu Fliesskommazahlen konvertiert. 9 * celsius /

97 96 Gemischte Ausdrücke, Konversion Fliesskommazahlen sind allgemeiner als ganzzahlige Typen. In gemischten Ausdrücken werden ganze Zahlen zu Fliesskommazahlen konvertiert. 9 * celsius / Typ float, Wert 28

98 96 Gemischte Ausdrücke, Konversion Fliesskommazahlen sind allgemeiner als ganzzahlige Typen. In gemischten Ausdrücken werden ganze Zahlen zu Fliesskommazahlen konvertiert. 9 * 28.0f /

99 96 Gemischte Ausdrücke, Konversion Fliesskommazahlen sind allgemeiner als ganzzahlige Typen. In gemischten Ausdrücken werden ganze Zahlen zu Fliesskommazahlen konvertiert. 9 * 28.0f / wird zu float konvertiert: 9.0f

100 96 Gemischte Ausdrücke, Konversion Fliesskommazahlen sind allgemeiner als ganzzahlige Typen. In gemischten Ausdrücken werden ganze Zahlen zu Fliesskommazahlen konvertiert f / wird zu float konvertiert: 5.0f

101 96 Gemischte Ausdrücke, Konversion Fliesskommazahlen sind allgemeiner als ganzzahlige Typen. In gemischten Ausdrücken werden ganze Zahlen zu Fliesskommazahlen konvertiert. 50.4f + 32 wird zu float konvertiert: 32.0f

102 96 Gemischte Ausdrücke, Konversion Fliesskommazahlen sind allgemeiner als ganzzahlige Typen. In gemischten Ausdrücken werden ganze Zahlen zu Fliesskommazahlen konvertiert. 82.4f

103 Typkonversion bei binären Operationen 97 Bei einer binären Operation mit numerischen Operanden werden die Operanden nach folgenden Regeln konvertiert: Haben beide Operanden denselben Typ, findet keine Konversion statt Ist einer der Operanden double, so wird der andere nach double konvertiert Ist einer der Operanden float, so wird der andere nach float konvertiert Ist einer der Operanden long, so wird der andere nach long konvertiert Ansonsten: Beide Operanden werden nach int konvertiert

104 98 4. Effizienz von Algorithmen Effizienz von Algorithmen, Random Access Machine Modell, Funktionenwachstum, Asymptotik [Cormen et al, Kap. 2.2,3, Ottman/Widmayer, Kap. 1.1]

105 99 Effizienz von Algorithmen Ziele Laufzeitverhalten eines Algorithmus maschinenunabhängig quantifizieren. Effizienz von Algorithmen vergleichen. Abhängigkeit von der Eingabegrösse verstehen.

106 Technologiemodell 100 Random Access Machine (RAM) Ausführungsmodell: Instruktionen werden der Reihe nach (auf einem Prozessorkern) ausgeführt.

107 100 Technologiemodell Random Access Machine (RAM) Ausführungsmodell: Instruktionen werden der Reihe nach (auf einem Prozessorkern) ausgeführt. Speichermodell: Konstante Zugriffszeit.

108 100 Technologiemodell Random Access Machine (RAM) Ausführungsmodell: Instruktionen werden der Reihe nach (auf einem Prozessorkern) ausgeführt. Speichermodell: Konstante Zugriffszeit. Elementare Operationen: Rechenoperation (+,,,...), Vergleichsoperationen, Zuweisung / Kopieroperation, Flusskontrolle (Sprünge)

109 100 Technologiemodell Random Access Machine (RAM) Ausführungsmodell: Instruktionen werden der Reihe nach (auf einem Prozessorkern) ausgeführt. Speichermodell: Konstante Zugriffszeit. Elementare Operationen: Rechenoperation (+,,,...), Vergleichsoperationen, Zuweisung / Kopieroperation, Flusskontrolle (Sprünge) Einheitskostenmodell: elementare Operation hat Kosten 1.

110 100 Technologiemodell Random Access Machine (RAM) Ausführungsmodell: Instruktionen werden der Reihe nach (auf einem Prozessorkern) ausgeführt. Speichermodell: Konstante Zugriffszeit. Elementare Operationen: Rechenoperation (+,,,...), Vergleichsoperationen, Zuweisung / Kopieroperation, Flusskontrolle (Sprünge) Einheitskostenmodell: elementare Operation hat Kosten 1. Datentypen: Fundamentaltypen wie grössenbeschränkte Ganzzahl oder Fliesskommazahl.

111 Grösse der Eingabedaten 101 Typisch: Anzahl Eingabeobjekte (von fundamentalem Typ). Oftmals: Anzahl Bits für eine vernünftige / kostengünstige Repräsentation der Daten.

112 102 Asymptotisches Verhalten Genaue Laufzeit lässt sich selbst für kleine Eingabedaten kaum voraussagen. Betrachten das asymptotische Verhalten eines Algorithmus. Ignorieren alle konstanten Faktoren. Beispiel Eine Operation mit Kosten 20 ist genauso gut wie eine mit Kosten 1. Lineares Wachstum mit Steigung 5 ist genauso gut wie lineares Wachstum mit Steigung 1.

113 Funktionenwachstum O, Θ, Ω [Cormen et al, Kap. 3; Ottman/Widmayer, Kap. 1.1]

114 Oberflächlich 104 Verwende die asymptotische Notation zur Kennzeichnung der Laufzeit von Algorithmen Wir schreiben Θ(n 2 ) und meinen, dass der Algorithmus sich für grosse n wie n 2 verhält: verdoppelt sich die Problemgrösse, so vervierfacht sich die Laufzeit.

115 Genauer: Asymptotische obere Schranke 105 Gegeben: Funktion g : N R. Definition: O(g) = {f : N R c > 0, n 0 N : 0 f(n) c g(n) n n 0 } Schreibweise: O(g(n)) := O(g( )) = O(g).

116 Anschauung n g(n) = n 2 f O(g)

117 Anschauung 106 g(n) = n 2 f O(g) h O(g)

118 Beispiele 107 O(g) = {f : N R c > 0, n 0 N : 0 f(n) c g(n) n n 0 } f(n) f O(?) Beispiel 3n + 4 2n n n n + n

119 Beispiele 107 O(g) = {f : N R c > 0, n 0 N : 0 f(n) c g(n) n n 0 } f(n) f O(?) Beispiel 3n + 4 O(n) c = 4, n 0 = 4 2n n n n + n

120 Beispiele 107 O(g) = {f : N R c > 0, n 0 N : 0 f(n) c g(n) n n 0 } f(n) f O(?) Beispiel 3n + 4 O(n) c = 4, n 0 = 4 2n O(n) c = 2, n 0 = 0 n n n + n

121 Beispiele 107 O(g) = {f : N R c > 0, n 0 N : 0 f(n) c g(n) n n 0 } f(n) f O(?) Beispiel 3n + 4 O(n) c = 4, n 0 = 4 2n O(n) c = 2, n 0 = 0 n n O(n 2 ) n + n c = 2, n 0 = 100

122 Beispiele 107 O(g) = {f : N R c > 0, n 0 N : 0 f(n) c g(n) n n 0 } f(n) f O(?) Beispiel 3n + 4 O(n) c = 4, n 0 = 4 2n O(n) c = 2, n 0 = 0 n n O(n 2 ) c = 2, n 0 = 100 n + n O(n) c = 2, n 0 = 1

123 Eigenschaft 108 f 1 O(g), f 2 O(g) f 1 + f 2 O(g)

124 Umkehrung: Asymptotische untere Schranke 109 Gegeben: Funktion g : N R. Definition: Ω(g) = {f : N R c > 0, n 0 N : 0 c g(n) f(n) n n 0 }

125 Beispiel 110 f Ω(g) g(n) = n n 0

126 Beispiel 110 h Ω(g) f Ω(g) g(n) = n n 0

127 Asymptotisch scharfe Schranke 111 Gegeben Funktion g : N R. Definition: Θ(g) := Ω(g) O(g). Einfache, geschlossene Form: Übung.

128 Beispiel 112 g(n) = n 2 f Θ(n 2 ) h(n) = 0.5 n 2

129 Wachstumsbezeichnungen 113 O(1) beschränkt Array-Zugriff O(log log n) doppelt logarithmisch Binäre sortierte Suche interpoliert O(log n) logarithmisch Binäre sortierte Suche O( n) wie die Wurzelfunktion Primzahltest (naiv) O(n) linear Unsortierte naive Suche O(n log n) superlinear / loglinear Gute Sortieralgorithmen O(n 2 ) quadratisch Einfache Sortieralgorithmen O(n c ) polynomial Matrixmultiplikation O(2 n ) exponentiell Travelling Salesman Dynamic Programming O(n!) faktoriell Travelling Salesman naiv

130 Kleine n 60 n 4 2 n 40 n 2 20 n ln n

131 Grössere n n n 4 n 2 log n

132 Grosse n n n 4 n log n

133 Logarithmen! 117 1,000 n n 3/2 n log n n log n

134 Zeitbedarf 118 Annahme: 1 Operation = 1µs. Problemgrösse log 2 n 1µs n 1µs n log 2 n 1µs n 2 1µs 2 n 1µs

135 Zeitbedarf 118 Annahme: 1 Operation = 1µs. Problemgrösse log 2 n 1µs 7µs 13µs 20µs 30µs n 1µs n log 2 n 1µs n 2 1µs 2 n 1µs

136 Zeitbedarf 118 Annahme: 1 Operation = 1µs. Problemgrösse log 2 n 1µs 7µs 13µs 20µs 30µs n 1µs 100µs 1/100s 1s 17 Minuten n log 2 n 1µs n 2 1µs 2 n 1µs

137 Zeitbedarf 118 Annahme: 1 Operation = 1µs. Problemgrösse log 2 n 1µs 7µs 13µs 20µs 30µs n 1µs 100µs 1/100s 1s 17 Minuten n log 2 n 1µs 700µs 13/100µs 20s 8.5 Stunden n 2 1µs 2 n 1µs

138 Zeitbedarf 118 Annahme: 1 Operation = 1µs. Problemgrösse log 2 n 1µs 7µs 13µs 20µs 30µs n 1µs 100µs 1/100s 1s 17 Minuten n log 2 n 1µs 700µs 13/100µs 20s 8.5 Stunden n 2 1µs 1/100s 1.7 Minuten 11.5 Tage 317 Jahrhund. 2 n 1µs

139 Zeitbedarf 118 Annahme: 1 Operation = 1µs. Problemgrösse log 2 n 1µs 7µs 13µs 20µs 30µs n 1µs 100µs 1/100s 1s 17 Minuten n log 2 n 1µs 700µs 13/100µs 20s 8.5 Stunden n 2 1µs 1/100s 1.7 Minuten 11.5 Tage 317 Jahrhund. 2 n 1µs Jahrh.

140 Eine gute Strategie? dann kaufe ich mir eben eine neue Maschine!

141 Eine gute Strategie? dann kaufe ich mir eben eine neue Maschine! Wenn ich heute ein Problem der Grösse n lösen kann, dann kann ich mit einer 10 oder 100 mal so schnellen Maschine... Komplexität (speed 10) (speed 100) log 2 n n n 2 2 n

142 Eine gute Strategie? dann kaufe ich mir eben eine neue Maschine! Wenn ich heute ein Problem der Grösse n lösen kann, dann kann ich mit einer 10 oder 100 mal so schnellen Maschine... Komplexität (speed 10) (speed 100) log 2 n n n 10 n n 100 n n 2 2 n

143 Eine gute Strategie? dann kaufe ich mir eben eine neue Maschine! Wenn ich heute ein Problem der Grösse n lösen kann, dann kann ich mit einer 10 oder 100 mal so schnellen Maschine... Komplexität (speed 10) (speed 100) log 2 n n n 10 n n 100 n n 10 n n 100 n n 2 2 n

144 Eine gute Strategie? dann kaufe ich mir eben eine neue Maschine! Wenn ich heute ein Problem der Grösse n lösen kann, dann kann ich mit einer 10 oder 100 mal so schnellen Maschine... Komplexität (speed 10) (speed 100) log 2 n n n 10 n n 100 n n 10 n n 100 n n 2 n 3.16 n n 10 n 2 n

145 Eine gute Strategie? dann kaufe ich mir eben eine neue Maschine! Wenn ich heute ein Problem der Grösse n lösen kann, dann kann ich mit einer 10 oder 100 mal so schnellen Maschine... Komplexität (speed 10) (speed 100) log 2 n n n 10 n n 100 n n 10 n n 100 n n 2 n 3.16 n n 10 n 2 n n n n n

146 Beispiele 120

147 Beispiele 120 n O(n 2 )

148 Beispiele 120 n O(n 2 ) korrekt, aber ungenau:

149 Beispiele 120 n O(n 2 ) korrekt, aber ungenau: n O(n) und sogar n Θ(n).

150 Beispiele 120 n O(n 2 ) korrekt, aber ungenau: n O(n) und sogar n Θ(n).

151 Beispiele 120 n O(n 2 ) korrekt, aber ungenau: n O(n) und sogar n Θ(n). 3n 2 O(2n 2 )

152 Beispiele 120 n O(n 2 ) korrekt, aber ungenau: n O(n) und sogar n Θ(n). 3n 2 O(2n 2 ) korrekt, aber unüblich:

153 Beispiele 120 n O(n 2 ) korrekt, aber ungenau: n O(n) und sogar n Θ(n). 3n 2 O(2n 2 ) korrekt, aber unüblich: Konstanten weglasssen: 3n 2 O(n 2 ).

154 Beispiele 120 n O(n 2 ) korrekt, aber ungenau: n O(n) und sogar n Θ(n). 3n 2 O(2n 2 ) korrekt, aber unüblich: Konstanten weglasssen: 3n 2 O(n 2 ).

155 120 Beispiele n O(n 2 ) korrekt, aber ungenau: n O(n) und sogar n Θ(n). 3n 2 O(2n 2 ) korrekt, aber unüblich: Konstanten weglasssen: 3n 2 O(n 2 ). 2n 2 O(n)

156 120 Beispiele n O(n 2 ) korrekt, aber ungenau: n O(n) und sogar n Θ(n). 3n 2 O(2n 2 ) korrekt, aber unüblich: Konstanten weglasssen: 3n 2 O(n 2 ). 2n 2 O(n) ist falsch:

157 120 Beispiele n O(n 2 ) korrekt, aber ungenau: n O(n) und sogar n Θ(n). 3n 2 O(2n 2 ) korrekt, aber unüblich: Konstanten weglasssen: 3n 2 O(n 2 ). 2n 2 O(n) ist falsch: 2n2 cn = 2 c n n!

158 120 Beispiele n O(n 2 ) korrekt, aber ungenau: n O(n) und sogar n Θ(n). 3n 2 O(2n 2 ) korrekt, aber unüblich: Konstanten weglasssen: 3n 2 O(n 2 ). 2n 2 O(n) ist falsch: 2n2 cn = 2 c n n!

159 120 Beispiele n O(n 2 ) korrekt, aber ungenau: n O(n) und sogar n Θ(n). 3n 2 O(2n 2 ) korrekt, aber unüblich: Konstanten weglasssen: 3n 2 O(n 2 ). 2n 2 O(n) ist falsch: 2n2 cn O(n) O(n 2 ) = 2 c n n!

160 120 Beispiele n O(n 2 ) korrekt, aber ungenau: n O(n) und sogar n Θ(n). 3n 2 O(2n 2 ) korrekt, aber unüblich: Konstanten weglasssen: 3n 2 O(n 2 ). 2n 2 O(n) ist falsch: 2n2 cn O(n) O(n 2 ) ist korrekt = 2 c n n!

161 120 Beispiele n O(n 2 ) korrekt, aber ungenau: n O(n) und sogar n Θ(n). 3n 2 O(2n 2 ) korrekt, aber unüblich: Konstanten weglasssen: 3n 2 O(n 2 ). 2n 2 O(n) ist falsch: 2n2 cn O(n) O(n 2 ) ist korrekt = 2 c n n!

162 120 Beispiele n O(n 2 ) korrekt, aber ungenau: n O(n) und sogar n Θ(n). 3n 2 O(2n 2 ) korrekt, aber unüblich: Konstanten weglasssen: 3n 2 O(n 2 ). 2n 2 O(n) ist falsch: 2n2 cn O(n) O(n 2 ) ist korrekt Θ(n) Θ(n 2 ) = 2 c n n!

163 120 Beispiele n O(n 2 ) korrekt, aber ungenau: n O(n) und sogar n Θ(n). 3n 2 O(2n 2 ) korrekt, aber unüblich: Konstanten weglasssen: 3n 2 O(n 2 ). 2n 2 O(n) ist falsch: 2n2 cn O(n) O(n 2 ) ist korrekt Θ(n) Θ(n 2 ) ist falsch: = 2 c n n!

164 Beispiele 120 n O(n 2 ) korrekt, aber ungenau: n O(n) und sogar n Θ(n). 3n 2 O(2n 2 ) korrekt, aber unüblich: Konstanten weglasssen: 3n 2 O(n 2 ). 2n 2 O(n) ist falsch: 2n2 cn = 2 c n n! O(n) O(n 2 ) ist korrekt Θ(n) Θ(n 2 ) ist falsch: n Ω(n 2 ) Θ(n 2 )

165 Nützliches 121 Theorem Seien f, g : N R + zwei Funktionen. Dann gilt: f(n) 1 lim n g(n) f(n) 2 lim n g(n) 3 f(n) g(n) = 0 f O(g), O(f) O(g). = C > 0 (C konstant) f Θ(g). n g O(f), O(g) O(f).

166 122 Zur Notation Übliche Schreibweise f = O(g) ist zu verstehen als f O(g). Es gilt nämlich f 1 = O(g), f 2 = O(g) f 1 = f 2! Beispiel n = O(n 2 ), n 2 = O(n 2 ) aber natürlich n n 2.

167 123 Algorithmen, Programme und Laufzeit Programm: Konkrete Implementation eines Algorithmus. Laufzeit des Programmes: messbarer Wert auf einer konkreten Maschine. Kann sowohl nach oben, wie auch nach unten abgeschätzt werden. Beispiel Rechner mit 3 GHz. Maximale Anzahl Operationen pro Taktzyklus (z.b. 8). untere Schranke. Einzelne Operation dauert mit Sicherheit nie länger als ein Tag obere Schranke. Asymptotisch gesehen stimmen die Schranken überein.

168 Komplexität 124 Komplexität eines Problems P : minimale (asymptotische) Kosten über alle Algorithmen A, die P lösen.

169 Komplexität 124 Komplexität eines Problems P : minimale (asymptotische) Kosten über alle Algorithmen A, die P lösen. Komplexität der Elementarmultiplikation zweier Zahlen der Länge n ist Ω(n) und O(n log 3 2 ) (Karatsuba Ofman).

170 Komplexität Exemplarisch: Problem Komplexität O(n) O(n) O(n 2 ) Algorithmus Kosten 2 3n 4 O(n) Θ(n 2 ) Programm Laufzeit Θ(n) O(n) Θ(n 2 ) 2 Anzahl Elementaroperationen 124