MATHEMATIK KLAUSUR V. Gesamtpunktzahl /30 Notenpunkte. (1) Bestimmen Sie die erste Ableitung der folgenden Funktionen: f(x) = 3x sin(x) + x ln(2x)
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- Kristin Lang
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1 MATHEMATIK KLAUSUR V Aufgabe Punkte (max Punkte Gesamtpunktzahl /3 Notenpunkte (1 Bestimmen Sie die erste Ableitung der folgenden Funktionen: (2 Berechnen Sie das Integral f(x = 3x sin(x + x ln(2x g(x = 2 3x + 2 3x + 1,5 (3 Lösen Sie die Gleichung (2 cos(πx + 1 dx e 2x + 3 = 4e x (4 Lösen Sie das lineare Gleichungssystem x 1 3x 2 + x 3 = 11 2x 1 + x 2 2x 3 = 8 3x 1 2x 2 = 7
2 (5 Bestimmen Sie die Schnittgerade der beiden Ebenen E : x 1 + x 2 + 3x 3 = 11 und F : 2x 1 x 2 = 5 Geben Sie die Gleichung einer dritten Ebene an, die zur Schnittgeraden echt parallel ist (6 Berechnen ( Sie den Abstand des Punkts P (3 1 zur Geraden 75 2 g : x = + r( 1 (7 a Die x 1 x 2 -Ebene wird an P (1 1 2 gespiegelt Geben Sie die Gleichung der gespiegelten Ebene an b Gegeben ist die Ebene E : 4x 1 7x 2 + 4x 3 =, sowie der Punkt L(1 1 auf E Bestimmen Sie die Koordinaten der beiden Punkte P und P mit Abstand 9 von E, deren Lotfußpunkt gleich L ist Geben Sie weiter die Gleichung einer Geraden an, welche von E Abstand 9 besitzt ( (8 Gegeben ist eine Gerade g : x = + t( und eine Ebene 4 2 E : 2x 1 x 2 + 2x 3 = 6 (a Bestimmen Sie den Schnittpunkt S von g und E (b Zeigen Sie, dass P (7 3 2 auf g liegt und von E den Abstand 3 hat, und bestimmen Sie einen weiteren Punkt Q auf g mit dieser Eigenschaft (c Welcher Punkt auf g hat von P denselben Abstand wie S? (9 Carla fährt in ihrem Mietwagen auf der A1, als sie bemerkt, dass der Kilometerzähler ein Palindrom anzeigt, also eine Zahl, die vorwärts und rückwärts gelesen dieselbe ist, und zwar Eine Stunde zeigt der Zähler erstmals wieder ein Palindrom wie groß ist Carlas Durchschnittsgeschwindigkeit?
3 MATHEMATIK KLAUSUR V 3 Lösungen (1 Bestimmen Sie die erste Ableitung der folgenden Funktionen: f(x = 3x sin(x + x ln(2x g(x = 2 3x + 2 3x + 1 f (x = 3 sin(x + 3x cos(x + ln(2x + 1 g (x = 2 3x 6 2 (3x (2 Berechnen Sie das Integral,5 (2 cos(πx + 1 dx,5 (2 cos(πx + 1 dx = 2 π sin(πx + x,5 (3 Lösen Sie die Gleichung e 2x + 3 = 4e x = 2 π sin( π = 2 π e 2x + 3 = 4e x e 4x + 3e 2x = 4 e 4x + 3e 2x 4 = e 2x 4 Substitution: e 2x = z; die quadratische Gleichung z 2 +3z 4 = hat die Lösungen z 1 = 1 und z 2 = 4 Resubstitution ergibt e 2x = 1 (Lösung x 1 = bzw e 2x = 4 (keine Lösung (4 Lösen Sie das lineare Gleichungssystem x 1 3x 2 + x 3 = 11 2x 1 + x 2 2x 3 = 8 3x 1 2x 2 = 7 x 1 ( 123 ( 3 + x 2 1 ( 1 ( 11 + x 3 = 8 7
4 ( 3 Skalarmultiplikation mit 1 ( 1 = ( 4 5 ergibt 7x 1 = 7, also x 1 = 1 Einsetzen in die dritte Gleichung liefert x 2 =, die erste gibt dann x 3 = 4 (5 Bestimmen Sie die Schnittgerade der beiden Ebenen E : x 1 + x 2 + 3x 3 = 11 und F : 2x 1 x 2 = 5 Wir suchen einen Punkt mit x 1 = auf beiden Ebenen und finden P ( 5 2 Entsprechend liegt (1 7 1 auf beiden Ebenen, folglich ist ( 5 12 x = + t( eine Gleichung der Schnittgeraden 2 (6 Berechnen ( Sie den Abstand des Punkts P (3 1 2 zur Geraden 75 2 g : x = + r( 1 Lotebene durch P, Normalenvektor = Richtungsvektor; E : 2x 1 x 3 = 8 Schneiden mit g liefert 2(7 + 2r (1 r = 8, also r = und damit L(5 5 3 Der gesuchte Abstand ist P L = = 5 (7 a Die x 1 x 2 -Ebene wird an P (1 1 2 gespiegelt Geben Sie die Gleichung der gespiegelten Ebene an Die x 1 x 2 -Ebene hat Gleichung x 3 = Bei Punktspiegelung an P wird daraus x 3 = 4 b Gegeben ist die Ebene E : 4x 1 7x 2 + 4x 3 =, sowie der Punkt L(1 1 auf E Bestimmen Sie die Koordinaten der beiden Punkte P und P mit Abstand 9 von E, deren Lotfußpunkt gleich L ist Geben Sie weiter die Gleichung einer Geraden an, welche von E Abstand 9 besitzt ( 1 ( 4 Lotgerade durch L ist x = + t 7 Richtungsvektor 4 hat Länge 9, also muss man nur t = ±1 einsetzen und erhält P (5 7 3 und P ( Richtungsvektor der Geraden muss auf n E Stützvektor ist OP, also zb x = ( t( 3 senkrecht stehen,
5 (8 Gegeben ist eine Gerade g : x = E : 2x 1 x 2 + 2x 3 = 6 MATHEMATIK KLAUSUR V 5 ( t( 31 (a Bestimmen Sie den Schnittpunkt S von g und E 2 und eine Ebene Einsetzen ergibt 2(1 + 3t (4 + t + 2(4 + 2t = 6, also t = und damit S(4 2 (b Zeigen Sie, dass P (7 3 2 auf g liegt und von E den Abstand 3 hat, und bestimmen Sie einen weiteren Punkt Q auf g mit dieser Eigenschaft Punktprobe liefert t = Abstand zu E mit HNF: 2x 1 x 2 + 2x 3 6 = 3 Einsetzen von P ergibt d = 5 Den anderen solchen Punkt erhält man durch Spiegeln von P an S; man findet P (1 1 2 (c Welcher Punkt auf g hat von P denselben Abstand wie S? Hier muss man S an P spiegeln und erhält S (1 4 4 (9 Carla fährt in ihrem Mietwagen auf der A1, als sie bemerkt, dass der Kilometerzähler ein Palindrom anzeigt, also eine Zahl, die vorwärts und rückwärts gelesen dieselbe ist, und zwar Eine Stunde zeigt der Zähler erstmals wieder ein Palindrom wie groß ist Carlas Durchschnittsgeschwindigkeit? Das nächste Palindrom auf dem Kilometerzähler ist 19691, also ist die Geschwindigkeit 1 km/h
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