3. Grundlagen der Linearen Programmierung

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "3. Grundlagen der Linearen Programmierung"

Transkript

1 3. Grundlagen der linearen Programmierung Inhalt 3. Grundlagen der Linearen Programmierung Lineares Programm Grafische Lösung linearer Programme Normalform Geometrie linearer Programme Basislösungen Operations Research I Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, SS

2 3. Grundlagen der linearen Programmierung Lineares Programm Lineares Programm Definition 3.1. Ein lineares Programm (LP) ist die Aufgabe, eine lineare Zielfunktion z = F(x 1,...,x n ) = c 1 x 1 + +c n x n zu maximieren oder zu minimieren unter Beachtung von linearen Nebenbedingungen der Form a i,1 x 1 + +a i,n x n b i (i = 1,...,m 1 ) a i,1 x 1 + +a i,n x n = b i (i = m 1 +1,...,m 2 ) a i,1 x 1 + +a i,n x n b i (i = m 2 +1,...,m) und meist auch von Vorzeichenbedingungen x j 0 für einige oder alle j = 1,...,n. Operations Research I Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, SS

3 3. Grundlagen der linearen Programmierung Lineares Programm Definition 3.2. Ein Punkt oder Vektor x = (x 1,...,x n ) R n, der alle Neben- und Vorzeichenbedingungen erfüllt, heißt zulässige Lösung des LP. Eine zulässige Lösung x = (x 1,...,x n) heißt optimale Lösung des LP, wenn es keine zulässige Lösung x mit besserem Zielfunktionswert als F(x ) gibt. Mit X LP bezeichnen wir die Menge der zulässigen Lösungen des linearen Programms LP und mit X LP die Menge der optimalen Lösungen von LP. Bemerkung: Wenn aus dem Kontext heraus das lineare Programm eindeutig ist, schreiben wir auch X und X statt X LP bzw. X LP. Operations Research I Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, SS

4 3. Grundlagen der linearen Programmierung Lineares Programm Beispiel 3.1. Ein Eisverkäufer stellt stündlich bis zu 10 kg Eis der Sorten A bzw. B her. A B Verkaufspreis 80 EUR/kg 65 EUR/kg Kosten 50 EUR/kg 40 EUR/kg Energieaufwand 5 kwh/kg 2 kwh/kg absetzbar 6 kg 9 kg Es stehen höchstens 30 kwh stündlich zur Verfügung. Entscheidungsvariablen seien die stündlich herzustellenden Mengen x 1 kg bzw. x 2 kg. Zu maximieren sei die Differenz aus Preis und Kosten. Operations Research I Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, SS

5 3. Grundlagen der linearen Programmierung Lineares Programm Maximiere z = F(x 1,x 2 ) = 80x 1 +65x 2 50x 1 40x 2 = 30x 1 +25x 2 unter den Nebenbedingungen x 1 + x x 1 + 2x 2 30 x 1 6 x 2 9 und Vorzeichenbedingungen x 1,x 2 0. Operations Research I Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, SS

6 3. Grundlagen der linearen Programmierung Grafische Lösung Grafische Lösung von LPs Wir betrachten zwei Entscheidungsvariablen x 1 und x 2. a 1 x 1 +a 2 x 2 = b ist die Gleichung einer Geraden im R 2. a 1 x 1 + a 2 x 2 b und auch a 1 x 1 + a 2 x 2 b beschreiben jeweils eine Halbebene mit der Geraden a 1 x 1 +a 2 x 2 = b als Rand. Auch x 1 0 und x 2 0 stellen Halbebenen dar. Der zulässige Bereich ist der Durchschnitt endlich vieler Halbebenen und somit ein sogenanntes konvexes Polyeder mit endlich vielen Eckpunkten. Operations Research I Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, SS

7 3. Grundlagen der linearen Programmierung Grafische Lösung x2 <= 9 x1 + x2 <= 10 Optimalpunkt 5 x1 + 2 x2 <= 30 x1 <= 6 Zielfunktion Beispiel 3.2. Die grafische Lösung zu Beispiel 3.1. Die Zielfunktion z = 30x 1 +25x 2 wirdebenfallsdurcheine Gerade dargestellt. Wachsendes z bedeutet eine Parallelverschiebung nach rechts oben. Man verschiebt so lange nach rechts oben, wie die Gerade durch X verläuft. Optimale Lösung beim Schnittpunkt der Geraden x 1 +x 2 = 10 und 5x 1 + 2x 2 = 30, also x = ( 10 3, 20 3 ). Operations Research I Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, SS

8 3. Grundlagen der linearen Programmierung Grafische Lösung Mögliche Situationen bei grafischer Lösung (a) beschränktes X, eindeutige optimale Lösung (b) beschränktes X, nicht-eindeutige optimale Lösung (c) unbeschränktes X, eindeutige optimale Lösung (d) unbeschränktes X, nichteindeutige optimale Lösung (e) unbeschränktes X, keine optimale Lösung (f) leeres X Operations Research I Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, SS

9 Maximumproblem Definition 3.3. Ein LP der Form n Maximiere z = F(x 1,...,x n ) = c 1 x 1 + +c n x n = c j x j j=1 n unter den Nebenbedingungen a ij x j b i (i = 1,...,m) j=1 und den Vorzeichenbedingungen x j 0 (j = 1,...,n) heißt Maximumproblem. Operations Research I Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, SS

10 Kompakte Schreibweise Mit c,x R n,b R m und A R m n können wir ein Maximumproblem auch schreiben als: Maximiere unter den Nebenbedingungen c T x Ax b und den Vorzeichenbedingungen x 0 Operations Research I Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, SS

11 Beispiel 3.3. Für das LP von Beispiel 3.1 lautet die kompakte Schreibweise: Maximiere unter den Nebenbedingungen (30, 25) ( x1 x 2 ( x1 x 2 ) ) und den Vorzeichenbedingungen ( x1 x 2 ) ( 0 0 ) Operations Research I Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, SS

12 Umformung in ein Maximumproblem Satz 3.1. Zu jedem LP lässt sich ein äquivalentes LP in Form eines Maximumproblems formulieren. Beweis: Ersetze zu minimierende Zielfunktion z = F(x) durch zu maximierende Zielfunktion z = F(x) Transformiere Nebenbedingung durch Multiplikation beider Seiten mit 1 in eine Nebenbedingung. Eine Gleichung n j=1 a ijx j = b i kann durch zwei Ungleichungen n j=1 a ijx j b i und n j=1 a ijx j b i ersetzt werden. Falls für x j beliebige Werte aus R erlaubt sind, so ersetze x j durch die zwei Variablen x + j 0 und x j 0 mit x j = x + j x j. Operations Research I Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, SS

13 Beispiel 3.4. Wir überführen das folgende LP in ein Maximumproblem: Minimiere k = 3x 1 4x 2 unter den Nebenbedingungen: 2x 1 +3x 2 7 x 1 2x 2 4 3x 1 +2x 2 = 6 x 1 0,x 2 R Operations Research I Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, SS

14 Zunächst sorgen wir für eine Maximierung und stellen alle Nebenbedingungen als Nebenbedingungen dar: Maximiere unter den Nebenbedingungen: z = k = 3x 1 +4x 2 2x 1 +3x 2 7 x 1 +2x 2 4 3x 1 +2x 2 6 3x 1 2x 2 6 x 1 0,x 2 R Operations Research I Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, SS

15 Nun wird durch x 2 = x + 2 x 2 mit x+ 2,x 2 0 die fehlende Vorzeichenbeschränkung eliminiert. Wir erhalten: Maximiere z = 3x 1 +4x + 2 4x 2 unter den Nebenbedingungen: 2x 1 +3x + 2 3x 2 7 x 1 +2x + 2 2x 2 4 3x 1 +2x + 2 2x 2 6 3x 1 2x x 2 6 x 1,x + 2,x 2 0 Operations Research I Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, SS

16 Normalform Definition 3.4. Ein LP liegt in Normalform vor, wenn es die Form hat: Maximiere unter den Nebenbedingungen und Vorzeichenbedingungen z = F(x 1,...,x n ) = n j=1 c jx j n j=1 a ijx j = b i (i = 1,...,m) x j 0 (j = 1,...,n) In kompakter Darstellung: Maximiere c T x unter den Nebenbedingungen Ax = b und den Vorzeichenbedingungen x 0. Operations Research I Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, SS

17 Umformung in Normalform Satz 3.2. Zu jedem LP lässt sich ein äquivalentes LP in Normalform formulieren. Beweis: Nach Satz 3.1 lässt sich zu jedem LP ein äquivalentes Maximumproblem formulieren. Es reicht daher zu zeigen, dass jedes Maximumproblem in Normalform überführt werden kann. Hierzu führt man für die m Ungleichungen die Schlupfvariablen x n+1,...,x n +m ein, die in der Zielfunktion mit 0 bewertet werden. Die Variablen x 1,...,x n heißen Strukturvariablen. Die Normalform ergibt sich dann durch: Operations Research I Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, SS

18 Maximiere z = n j=1 c jx j + n+m j=n+1 0 x j unter den Bedingungen n a ij x j +x n+i = b i (i = 1,...,m) j=1 und Vorzeichenbedingungen x j 0 (j = 1,...,n+m) In Matrixschreibweise lautet die Normalform unter den Bedingungen z = F(x) = c T x Ax = b, x 0 Operations Research I Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, SS

19 Definition 3.5. Gelten in der Matrixschreibweise für die Normalform die Eigenschaften b 0, c = c 1. c n 0. 0 und A = a 1,1 a 1,n a m,1 a m,n 0 1 so ist das LP in kanonischer Form. Operations Research I Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, SS

20 Beispiel 3.5. Maximiere z = 30x 1 +25x 2 unter den Bedingungen x 1 + x x 1 + 2x 2 30 x 1 6 x 2 9 x 1 0 x 2 0 Für die Nebenbedingungen führen wir die Schlupfvariablen x 3,x 4,x 5,x 6 ein und erhalten Operations Research I Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, SS

21 Maximiere unter den Bedingungen z = 30x 1 +25x 2 +0 x x 6 x 1 + x 2 + x 3 = 10 5x 1 + 2x 2 + x 4 = 30 x 1 + x 5 = 6 x 2 + x 6 = 9 und x j 0 (j = 1,...,6) Operations Research I Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, SS

22 In Matrixschreibweise: Maximiere unter den Bedingungen z = ( ) x 1. x x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = und x 1. x n 0. 0 Operations Research I Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, SS

OPERATIONS-RESEARCH (OR)

OPERATIONS-RESEARCH (OR) OPERATIONS-RESEARCH (OR) Man versteht darunter die Anwendung mathematischer Methoden und Modelle zur Vorbereitung optimaler Entscheidungen bei einem Unternehmen. Andere deutsche und englische Bezeichnungen:

Mehr

Schranken für zulässige Lösungen

Schranken für zulässige Lösungen Schranken für zulässige Lösungen Satz 5.9 Gegeben seien primales und duales LP gemäß der asymmetrischen Form der Dualität. Wenn x eine zulässige Lösung des primalen Programms und u eine zulässige Lösung

Mehr

Bestimmung einer ersten

Bestimmung einer ersten Kapitel 6 Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung Ein Problem, was man für die Durchführung der Simplexmethode lösen muss, ist die Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung. Wie gut das geht,

Mehr

Lineare Programmierung. Beispiel: Wahlkampf. Beispiel: Wahlkampf. Mathematische Schreibweise. Lineares Programm. Datenstrukturen & Algorithmen

Lineare Programmierung. Beispiel: Wahlkampf. Beispiel: Wahlkampf. Mathematische Schreibweise. Lineares Programm. Datenstrukturen & Algorithmen Datenstrukturen & Algorithmen Einführung Standard- und Schlupfformen Simplex Algorithmus Matthias Zwicker Universität Bern Frühling 2009 2 Beispiel: Wahlkampf Ziel: mit möglichst wenig Werbung eine gewisse

Mehr

Eigenschaften von LPs

Eigenschaften von LPs 2 Lineare Programmierung Eigenschaften von LPs Eigenschaften von LPs Definition 24 Eine Menge K IR n heißt konvex gdw für je zwei Punkte Punkte x (1) K und x (2) K auch jeder Punkt mit 0 λ 1 zu K gehört

Mehr

4. Dynamische Optimierung

4. Dynamische Optimierung 4. Dynamische Optimierung Allgemeine Form dynamischer Optimierungsprobleme 4. Dynamische Optimierung Die dynamische Optimierung (DO) betrachtet Entscheidungsprobleme als eine Folge voneinander abhängiger

Mehr

Lösungen zu Aufgabenblatt 6

Lösungen zu Aufgabenblatt 6 Fachbereich Informatik Prof. Dr. Peter Becker Vorlesung Graphentheorie Operations Research Wintersemester 2004/05 3. Januar 2005 Lösungen zu Aufgabenblatt 6 Aufgabe 1 (Modellierung von LPs) Formulieren

Mehr

Optimierung. Optimierung. Vorlesung 7 Lineare Programmierung II. 2013 Thomas Brox, Fabian Kuhn

Optimierung. Optimierung. Vorlesung 7 Lineare Programmierung II. 2013 Thomas Brox, Fabian Kuhn Optimierung Vorlesung 7 Lineare Programmierung II 1 Lineare Programme Lineares Programm: Lineare Zielfunktion Lineare Nebenbedingungen (Gleichungen oder Ungleichungen) Spezialfall der konvexen Optimierung

Mehr

Einführung in die Lineare Optimierung

Einführung in die Lineare Optimierung Kapitel 2 Einführung in die Lineare Optimierung lineare Modelle der relevanten Umwelt werden wegen ihrer Einfachheit häufig gegenüber nichtlinearen Ansätzen vorgezogen, lineare Optimierungsprobleme können

Mehr

Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Lineare Programme

Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Lineare Programme Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Lineare Programme Dr. Nico Düvelmeyer Dienstag, 31. Mai 2011 1: 1 [1,1] Inhaltsübersicht für heute 1 Lineare Programme Allgemeine Form 2 Spezielle Darstellungen

Mehr

Mathematische Planungsverfahren

Mathematische Planungsverfahren Mathematische Planungsverfahren Stefan Etschberger Institut für Statistik und Mathematische Wirtschaftstheorie Universität Augsburg 12 April 2005 Organisatorisches Literatur Starke Orientierung an Hauke/Opitz:

Mehr

Die Verbindung von Linearer Programmierung und Graphentheorie

Die Verbindung von Linearer Programmierung und Graphentheorie Die Verbindung von Linearer Programmierung und Graphentheorie Definition 5.9. Ein kombinatorisches Optimierungsproblem entspricht einem LP, bei dem statt der Vorzeichenbedingungen x i 0 Bedingungen der

Mehr

Computer Science Department - High Performance and Web Computing Group. Optimierungsprobleme

Computer Science Department - High Performance and Web Computing Group. Optimierungsprobleme Optimierungsprobleme Häufig in Alltagssituationen anzutreffen (z.b. Kauf eines Gerätes) Optimierungsprobleme (OPs) sind Probleme, die i.a. viele zulässige Lösungen besitzen Jeder Lösung ist ein bestimmter

Mehr

Teil I. Lineare Optimierung

Teil I. Lineare Optimierung Teil I Lineare Optimierung 5 Kapitel 1 Grundlagen Definition 1.1 Lineares Optimierungsproblem, lineares Programm. Eine Aufgabenstellung wird lineares Optimierungsproblem oder lineares Programm genannt,

Mehr

Lineare Programmierung

Lineare Programmierung Lineare Programmierung WS 2003/04 Rolle der Linearen Programmierung für das TSP 1954: Dantzig, Fulkerson & Johnson lösen das TSP für 49 US-Städte (ca. 6.2 10 60 mögliche Touren) 1998: 13.509 Städte in

Mehr

Optimierung und Simulation ökonomischer Problemlagen privater Haushalte 2. Vorlesung

Optimierung und Simulation ökonomischer Problemlagen privater Haushalte 2. Vorlesung Optimierung und Simulation ökonomischer Problemlagen privater Haushalte 2. Vorlesung Rainer Hufnagel / Laura Wahrig 2006 Diese Woche LO - Rechnerische Lösung - Simplex- Algorithmus LO - Auswertung des

Mehr

Lösung allgemeiner linearer Programme

Lösung allgemeiner linearer Programme Lösung allgemeiner linearer Programme Bisher: Für Anwendung des Simplexalgorithmus muss eine primal oder eine dual zulässige Basislösung vorliegen. Für allgemeine lineare Programme können wir dies direkt

Mehr

Kapitel 5. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

Kapitel 5. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298 Kapitel 5 Dualität Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester 2014 241 / 298 Inhalt 5 Dualität Dualitätssätze Zweiphasen-Simplexalgorithmus Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester

Mehr

1 Der Simplex Algorithmus I

1 Der Simplex Algorithmus I 1 Nicoletta Andri 1 Der Simplex Algorithmus I 1.1 Einführungsbeispiel In einer Papiermühle wird aus Altpapier und anderen Vorstoffen feines und grobes Papier hergestellt. Der Erlös pro Tonne feines Papier

Mehr

Optimierung für Nichtmathematiker

Optimierung für Nichtmathematiker Optimierung für Nichtmathematiker Typische Prüfungsfragen Die folgenden Fragen dienen lediglich der Orientierung und müssen nicht den tatsächlichen Prüfungsfragen entsprechen. Auch Erkenntnisse aus den

Mehr

Anwendungen der Wirtschaftsmathematik und deren Einsatz im Schulunterricht

Anwendungen der Wirtschaftsmathematik und deren Einsatz im Schulunterricht Anwendungen der Wirtschaftsmathematik und deren Einsatz im Schulunterricht Beispiele wirtschaftsmathematischer Modellierung Lehrerfortbildung, Speyer, Juni 2004-1- Beispiele wirtschaftsmathematischer Modellierung

Mehr

Mathematische Optimierung. Volker John

Mathematische Optimierung. Volker John Mathematische Optimierung Volker John Sommersemester 2007 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 3 I Lineare Optimierung 6 1 Grundlagen 7 2 Geometrische Deutung des Linearen Programms 10 3 Basislösungen eines

Mehr

Minimumproblem. Definition 4.7. Ein LP der Form. unter den Nebenbedingungen. d ij x j b i (i =1,...,m)

Minimumproblem. Definition 4.7. Ein LP der Form. unter den Nebenbedingungen. d ij x j b i (i =1,...,m) Minimumproblem Definition 4.7 Ein LP der Form nx Minimiere Z = c j x j j=1 unter den Nebenbedingungen nx d ij x j b i (i =1,...,m) j=1 und den Vorzeichenbedingungen x j 0(j =1,...,n) heißt Minimumproblem.

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Sei K ein Körper, a ij K für 1 i m, 1 j n. Weiters seien b 1,..., b m K. Dann heißt a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2... a m1

Mehr

Optimalitätskriterien

Optimalitätskriterien Kapitel 4 Optimalitätskriterien Als Optimalitätskriterien bezeichnet man notwendige oder hinreichende Bedingungen dafür, dass ein x 0 Ω R n Lösung eines Optimierungsproblems ist. Diese Kriterien besitzen

Mehr

Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema

Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema 2x 4 + x 3 + x + 3 div x 2 + x 1 = 2x 2 x + 3 (2x 4 + 2x 3 2x 2 ) x 3 + 2x 2 + x + 3 ( x

Mehr

Lineare Optimierungsmodelle

Lineare Optimierungsmodelle Lineare Optimierungsmodelle Simplex-Methode Vortragender: Michael Schneider Agenda Motivation Operations Research Aufbau linearer Optimierungsmodelle Simplex-Methode Ausblick 2 Problemstellung Futtermischung

Mehr

Dualitätssätze der linearen Optimierung

Dualitätssätze der linearen Optimierung Kapitel 9 Dualitätssätze der linearen Optimierung Sei z = c T x min! Ax = b 9.1 x 0 mit c, x R n, b R m, A R m n ein lineares Programm. Definition 9.1 Duales lineares Programm. Das lineare Programm z =

Mehr

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt - 17 - Die Frage ist hier also: Für welche x R gilt x = x + 1? Das ist eine quadratische Gleichung für x. Es gilt x = x + 1 x x 3 = 0, und man kann quadratische Ergänzung machen:... ( ) ( ) x x + = 3 +

Mehr

Algebraische Kurven. Vorlesung 26. Die Schnittmultiplizität

Algebraische Kurven. Vorlesung 26. Die Schnittmultiplizität Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2012 Algebraische Kurven Vorlesung 26 Die Schnittmultiplizität Es seien zwei ebene algebraische Kurven C,D A 2 K gegeben, die keine Komponente gemeinsam haben. Dann besteht

Mehr

Optimierung I. Dr. Ulf Lorenz F2.413

Optimierung I. Dr. Ulf Lorenz F2.413 Optimierung I Dr. Ulf Lorenz F2.413 flulo@upb.de Organisation Dozent: Dr. Ulf Lorenz F2.413 Fürstenallee 11 email: flulo@upb.de WWW: http://www.upb.de/cs/flulo (hier auch aktuelle Infos + Ü-Zettel) Vorlesungen:

Mehr

Kombinatorische Optimierung

Kombinatorische Optimierung Kombinatorische Optimierung Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke PARALLELES RECHNEN INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK, FAKULTÄT FÜR INFORMATIK KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales

Mehr

0, v 6 = 2 2. 1, v 4 = 1. 2. span(v 1, v 5, v 6 ) = span(v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 ) 4. span(v 1, v 2, v 4 ) = span(v 2, v 3, v 5, v 6 )

0, v 6 = 2 2. 1, v 4 = 1. 2. span(v 1, v 5, v 6 ) = span(v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 ) 4. span(v 1, v 2, v 4 ) = span(v 2, v 3, v 5, v 6 ) Aufgabe 65. Ganz schön span(n)end. Gegeben sei folgende Menge M von 6 Vektoren v, v,..., v 6 R 4 aus Aufgabe P 6: M = v =, v =, v =, v 4 =, v 5 =, v 6 = Welche der folgenden Aussagen sind wahr? span(v,

Mehr

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1 Vorlesung Funktionen/Abbildungen 1 1 Grundlagen Hinweis: In dieser Vorlesung werden Funktionen und Abbildungen synonym verwendet. In der Schule wird eine Funktion häufig als eindeutige Zuordnung definiert.

Mehr

4.4 Quadratische Optimierungsprobleme

4.4 Quadratische Optimierungsprobleme 4.4 Quadratische Optimierungsprobleme 1. Quadratische Programme (QP) 1 2 xt P x + q T x + r s.t. Gx h (4.34) wobei P S n +, G R (m n) und A R (p n) Zielfunktion (ZF) ist (konvex) quadratisch Nebenbedingungen

Mehr

9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83

9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 9.. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 Die Grundfrage bei der Anwendung des Satzes über implizite Funktionen betrifft immer die folgende Situation: Wir haben eine Funktion f : V W und eine Stelle x

Mehr

Skript zur Vorlesung Optimierung linearer Modelle Gültig ab Sommersemester 2010. Prof. Dr. S. Dempe

Skript zur Vorlesung Optimierung linearer Modelle Gültig ab Sommersemester 2010. Prof. Dr. S. Dempe Skript zur Vorlesung Optimierung linearer Modelle Gültig ab Sommersemester 2010 Prof. Dr. S. Dempe Inhaltsverzeichnis Kapitel 0. Einleitung 5 0.1. Historische Entwicklung 5 0.2. Begriff des Operations

Mehr

Einführung in die Optimierung Sommersemester 2005. Anita Schöbel

Einführung in die Optimierung Sommersemester 2005. Anita Schöbel Einführung in die Optimierung Sommersemester 2005 Anita Schöbel 9. Juli 2010 Vorwort Das vorliegende Vorlesungsskript entstand aufgrund der Notizen der von mir im Sommersemester 2005 gehaltenen Vorlesung

Mehr

Prüfung: Produktion, Logistik und Operations Research SS 2009. Prüfungsbogen. Vom Klausurteilnehmer auszufüllen!

Prüfung: Produktion, Logistik und Operations Research SS 2009. Prüfungsbogen. Vom Klausurteilnehmer auszufüllen! Klausur: 1122 1 von 12 Prüfung: Produktion, Logistik und Operations Research SS 29 Prüfer: Prof. Dr. Karl Inderfurth Prüfungsbogen Vom Klausurteilnehmer auszufüllen! Name, Vorname : Fakultät : Matrikelnummer

Mehr

Theoretische Grundlagen der Informatik

Theoretische Grundlagen der Informatik Theoretische Grundlagen der Informatik Vorlesung am 12.01.2012 INSTITUT FÜR THEORETISCHE 0 KIT 12.01.2012 Universität des Dorothea Landes Baden-Württemberg Wagner - Theoretische und Grundlagen der Informatik

Mehr

Optimierung und Simulation ökonomischer Problemlagen privater Haushalte 3. Vorlesung

Optimierung und Simulation ökonomischer Problemlagen privater Haushalte 3. Vorlesung Optimierung und Simulation ökonomischer Problemlagen privater Haushalte 3. Vorlesung Rainer Hufnagel / Laura Wahrig 2006 Diese Woche LO - Sensitivitätsanalyse Simulation Beispiel Differenzengleichungen

Mehr

Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen

Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Das Eigenwertproblem Sei A eine quadratische Matrix vom Typ m,m. Die Aufgabe, eine Zahl λ und einen dazugehörigen Vektor x zu finden, damit Ax = λx ist, nennt

Mehr

Simplex-Verfahren. Kapitel 4. Simplex-Verfahren. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

Simplex-Verfahren. Kapitel 4. Simplex-Verfahren. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298 Kapitel 4 Simplex-Verfahren Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester 24 86 / 298 Inhalt Inhalt 4 Simplex-Verfahren Dualer Simplexalgorithmus Vermeidung von Zyklen Peter Becker (H-BRS)

Mehr

Optimierungsprobleme mit Nebenbedingungen - Einführung in die Theorie, Numerische Methoden und Anwendungen

Optimierungsprobleme mit Nebenbedingungen - Einführung in die Theorie, Numerische Methoden und Anwendungen Optimierungsprobleme mit Nebenbedingungen - Einführung in die Theorie, Numerische Methoden und Anwendungen Dr. Abebe Geletu Ilmenau University of Technology Department of Simulation and Optimal Processes

Mehr

1 Lineare Optimierung, Simplex-Verfahren

1 Lineare Optimierung, Simplex-Verfahren 1 Lineare Optimierung, Simplex-Verfahren 1.1 Einführung Beispiel: In einer Fabrik werden n Produkte A 1, A 2,..., A n hergestellt. Dazu werden m Rohstoffe B 1, B 2,..., B m (inklusive Arbeitskräfte und

Mehr

3 Systeme linearer Gleichungen

3 Systeme linearer Gleichungen 3 Systeme linearer Gleichungen Wir wenden uns nun dem Problem der Lösung linearer Gleichungssysteme zu. Beispiel 3.1: Wir betrachten etwa das folgende System linearer Gleichungen: y + 2z = 1 (1) x 2y +

Mehr

Grundlagen der Optimierung. Übung 6

Grundlagen der Optimierung. Übung 6 Technische Universität Chemnitz Chemnitz, 2. November 24 Prof. Dr. R. Herzog, J. Blechschmidt, A. Schäfer Abgabe am 28. November 24 Grundlagen der Optimierung Übung 6 Aufgabe 2: Verschiedene Verfahren

Mehr

5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform

5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform Mathematik für Physiker II, SS Mittwoch 8.6 $Id: jordan.tex,v.6 /6/7 8:5:3 hk Exp hk $ 5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform 5.4 Die Jordansche Normalform Wir hatten bereits erwähnt, dass eine n n

Mehr

Scheduling und Lineare ProgrammierungNach J. K. Lenstra, D. B. Shmoys und É.

Scheduling und Lineare ProgrammierungNach J. K. Lenstra, D. B. Shmoys und É. Scheduling und Lineare ProgrammierungNach J. K. Lenstra, D. B. Shmoys und É. Tardos Janick Martinez Esturo jmartine@techfak.uni-bielefeld.de xx.08.2007 Sommerakademie Görlitz Arbeitsgruppe 5 Gliederung

Mehr

3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung

3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung 3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung Definition und Lemma 3.3.1. Sei V ein K-Vektorraum, φ End K (V ), λ K. Wir defnieren den zu λ gehörigen Eigenraum von φ als Dies ist ein Unterraum von V.

Mehr

Lineare Optimierung. Master 1. Semester

Lineare Optimierung. Master 1. Semester Prof. Dr.-Ing. Fritz Nikolai Rudolph Fachhochschule Trier Fachbereich Informatik Master 1. Semester Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung... 2 1.1 Lineare Gleichungssysteme... 2 1.2 sprobleme... 3 2 Standardform...

Mehr

VORLESUNG 14 Lineare Optimierung, Dualität (Viele Folien nach Ulf Lorenz, jetzt TU Darmstadt)

VORLESUNG 14 Lineare Optimierung, Dualität (Viele Folien nach Ulf Lorenz, jetzt TU Darmstadt) VORLESUNG 14 Lineare Optimierung, Dualität (Viele Folien nach Ulf Lorenz, jetzt TU Darmstadt) 96 H. Meyerhenke: Kombinatorische Optimierung Dualität bei linearen Programmen Def.: Es sei (L): c T x max

Mehr

Periodische Fahrpläne und Kreise in Graphen

Periodische Fahrpläne und Kreise in Graphen Periodische Fahrpläne und Kreise in Graphen Vorlesung Algorithmentechnik WS 2009/10 Dorothea Wagner Karlsruher Institut für Technologie Eisenbahnoptimierungsprozess 1 Anforderungserhebung Netzwerkentwurf

Mehr

Teil II. Nichtlineare Optimierung

Teil II. Nichtlineare Optimierung Teil II Nichtlineare Optimierung 60 Kapitel 1 Einleitung In diesem Abschnitt wird die Optimierung von Funktionen min {f(x)} x Ω betrachtet, wobei Ω R n eine abgeschlossene Menge und f : Ω R eine gegebene

Mehr

Numerische Lineare Algebra

Numerische Lineare Algebra Numerische Lineare Algebra Vorlesung 7 Prof. Dr. Klaus Höllig Institut für Mathematischen Methoden in den Ingenieurwissenschaften, Numerik und Geometrische Modellierung SS 200 Prof. Dr. Klaus Höllig (IMNG)

Mehr

Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen

Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen Kapitel 2 Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen In diesem Abschnitt sollen im wesentlichen Verfahren zur Bestimmung des Minimums von nichtglatten Funktionen in einer Variablen im Detail vorgestellt

Mehr

Einführung in das Operations Research

Einführung in das Operations Research S. Nickel, O. Stein, K.-H. Waldmann Einführung in das Operations Research Skript zur Vorlesung am Karlsruher Institut für Technologie Vorläufige Version, Stand: 11. März 2011 Inhaltsverzeichnis 1 Kernkonzepte

Mehr

Kap. 4.3: Das Dualitätstheorem der linearen Optimierung

Kap. 4.3: Das Dualitätstheorem der linearen Optimierung Kap. 4.3: Das Dualitätstheorem der linearen Optimierung Professor Dr. Petra Mutzel Lehrstuhl für Algorithm Engineering, LS11 Fakultät für Informatik, TU Dortmund 18. VO A&D WS 08/09 18.12.2008 1 Literatur

Mehr

Elemente der Analysis II

Elemente der Analysis II Elemente der Analysis II Kapitel 3: Lineare Abbildungen und Gleichungssysteme Informationen zur Vorlesung: http://www.mathematik.uni-trier.de/ wengenroth/ J. Wengenroth () 15. Mai 2009 1 / 35 3.1 Beispiel

Mehr

Optimale Steuerung. Sequentielle Quadratische Programmierung. Kevin Sieg. 14. Juli 2010. Fachbereich für Mathematik und Statistik Universität Konstanz

Optimale Steuerung. Sequentielle Quadratische Programmierung. Kevin Sieg. 14. Juli 2010. Fachbereich für Mathematik und Statistik Universität Konstanz Optimale Steuerung Kevin Sieg Fachbereich für Mathematik und Statistik Universität Konstanz 14. Juli 2010 1 / 29 Aufgabenstellung 1 Aufgabenstellung Aufgabenstellung 2 Die zusammengesetzte Trapezregel

Mehr

1 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen

1 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen 1 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen Das Studium linearer Gleichungssysteme und ihrer Lösungen ist eines der wichtigsten Themen der linearen Algebra. Wir werden zunächst einige grundlegende Begriffe

Mehr

3. Schnittebenenverfahren

3. Schnittebenenverfahren 3. Schnittebenenverfahren Themen 3. Schnittebenenverfahren Ganzzahlige lineare Programmierung Schnittebenenverfahren Konstruktion von Schnittebenen Auswahl von Schnittrestriktionen Operations Research

Mehr

Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen

Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen Dr. Thomas Zehrt Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Gleichungen Inhalt: 1. Grundlegendes 2. Lineare Gleichungen 3. Gleichungen mit Brüchen

Mehr

Diskrete Optimierung

Diskrete Optimierung Diskrete Optimierung Mi 10-12, C118, Sand Dr. Stephanie Reifferscheid Universität Tübingen, WSI 12. Oktober 2011 Dr. Stephanie Reifferscheid Diskrete Optimierung 12. Oktober 2011 1 / 17 Technisches Erreichbarkeit

Mehr

Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung. Matrizen

Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung. Matrizen Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung Matrizen Definition einer Matrix Unter einer (reellen) m x n Matrix A versteht man ein rechteckiges Schema aus reellen Zahlen, die wie folgt angeordnet sind:

Mehr

Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS. Herbstsemester 2015. gehalten von Harald Baum

Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS. Herbstsemester 2015. gehalten von Harald Baum Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS Herbstsemester 2015 gehalten von Harald Baum 2. September 2015 Inhaltsverzeichnis 1. Stichpunkte zur Linearen Algebra I 2. Körper 3. Vektorräume

Mehr

Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15

Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Linearkombinationen, Basen, Lineare Abbildungen 2.1 Lineare Unabhängigkeit Sind die folgenden Vektoren linear unabhängig? (a) 1, 2, 3 im Q Vektorraum R (b)

Mehr

Unimodularität. Kapitel 1. Peter Becker (H-BRS) Operations Research II Wintersemester 2015/16 11 / 206

Unimodularität. Kapitel 1. Peter Becker (H-BRS) Operations Research II Wintersemester 2015/16 11 / 206 Kapitel 1 Unimodularität Peter Becker (H-BRS) Operations Research II Wintersemester 2015/16 11 / 206 Inhalt 1 Unimodularität Total unimodulare Matrizen Inzidenzmatrix Optimierungsprobleme auf Graphen Peter

Mehr

Einführung in die Mathematische Optimierung

Einführung in die Mathematische Optimierung Einführung in die Mathematische Optimierung Rainer E. Burkard Technische Universität Graz Institut für Mathematik Steyrergasse 30 A-800 Graz, Austria burkard@opt.math.tu-graz.ac.at 2 Inhaltsverzeichnis

Mehr

Praktische Mathematik: Lineare und Netzwerk-Optimierung (SS 2015) Praktikumsaufgaben

Praktische Mathematik: Lineare und Netzwerk-Optimierung (SS 2015) Praktikumsaufgaben Technische Universität Kaiserslautern Prof Dr Sven O Krumke Dr Sabine Büttner MSc Marco Natale Praktische Mathematik: Lineare und Netzwerk-Optimierung (SS 2015) Praktikumsaufgaben Aufgabe 1 (Konvertieren

Mehr

7 Die Determinante einer Matrix

7 Die Determinante einer Matrix 7 Die Determinante einer Matrix ( ) a11 a Die Determinante einer 2 2 Matrix A = 12 ist erklärt als a 21 a 22 det A := a 11 a 22 a 12 a 21 Es ist S 2 = { id, τ}, τ = (1, 2) und sign (id) = 1, sign (τ) =

Mehr

Erinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen

Erinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen Erinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen Thomas Coutandin (cthomas@student.ethz.ch) 7. November 2 Abbildungsmatrizen Im Folgenden betrachten wir stets endlich dimensionale K-Vektorräume (K irgend

Mehr

Mathematik für Informatiker II. Beispiellösungen zur Probeklausur. Aufgabe 1. Aufgabe 2 (5+5 Punkte) Christoph Eisinger Sommersemester 2011

Mathematik für Informatiker II. Beispiellösungen zur Probeklausur. Aufgabe 1. Aufgabe 2 (5+5 Punkte) Christoph Eisinger Sommersemester 2011 Mathematik für Informatiker II Christoph Eisinger Sommersemester 211 Beispiellösungen zur Probeklausur Aufgabe 1 Gegeben sind die Polynome f, g, h K[x]. Zu zeigen: Es gibt genau dann Polynome h 1 und h

Mehr

VORLESUNG 11 Lineare Optimierung (Viele Folien nach Ulf Lorenz, jetzt TU Darmstadt)

VORLESUNG 11 Lineare Optimierung (Viele Folien nach Ulf Lorenz, jetzt TU Darmstadt) VORLESUNG Lineare Optimierung (Viele Folien nach Ulf Lorenz, jetzt TU Darmstadt) 3 Wiederholung! Lineare Programme häufig geeignete Modellierung von Optimierungsproblemen! Verschiedene Darstellungen sind

Mehr

Einführung. Kapitel 1. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester 2015 14 / 298

Einführung. Kapitel 1. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester 2015 14 / 298 Kapitel 1 Einführung Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester 2015 14 / 298 Inhalt Inhalt 1 Einführung Was ist Operations Research? Planungsprozess im OR Peter Becker (H-BRS) Operations

Mehr

5 Quadriken. K = { R 2 ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0} wobei a, b, c, d, e, f reelle Zahlen sind mit (a, b, c) (0, 0, 0).

5 Quadriken. K = { R 2 ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0} wobei a, b, c, d, e, f reelle Zahlen sind mit (a, b, c) (0, 0, 0). 5 Quadriken Kegelschnitte Ein Kegelschnitt ist eine Teilmenge K R 2, welche durch eine quadratische Gleichung in zwei Unbestimmten beschrieben werden kann: x K = { R 2 ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f =

Mehr

Lineare Programmierung Teil I

Lineare Programmierung Teil I Seminar über Algorithmen Prof. Dr. Helmut Alt Lineare Programmierung Teil I Lena Schlipf, Benjamin Jankovic Lena Schlipf, Benjamin Jankovic Seminar über Algorithmen SS05 1 Struktur des Vortrags 1. Was

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Mathematik I für Biologen, Geowissenschaftler und Geoökologen 5. Dezember 2007 Definition : Tomographie (Fortsetzung) : Tomographie Definition: Ein lineares Gleichungssystem (LGS) ist ein System von n

Mehr

Vorlesung Einführung in die Mathematische Optimierung (Wintersemester 2013/14)

Vorlesung Einführung in die Mathematische Optimierung (Wintersemester 2013/14) 1 Vorlesung Einführung in die Mathematische Optimierung (Wintersemester 2013/14) Einleitung Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 11. Oktober 2013) 2 Kommunikationsnetzwerke...

Mehr

Ausgewählte Methoden der ganzzahligen Linearen Optimierung

Ausgewählte Methoden der ganzzahligen Linearen Optimierung Ausgewählte Methoden der ganzzahligen Linearen Optimierung Diplomarbeit zur Erlangung des akademischen Grades Magistra rerum naturalium eingereicht von Arntraud Bacher bei AUnivProf Dr Kurt Girstmair an

Mehr

Matrizennorm. Definition 1. Sei A M r,s (R). Dann heißt A := sup die Matrixnorm. Wir wissen zunächst nicht, ob A eine reelle Zahl ist.

Matrizennorm. Definition 1. Sei A M r,s (R). Dann heißt A := sup die Matrixnorm. Wir wissen zunächst nicht, ob A eine reelle Zahl ist. Matrizennorm Es seien r,s N Mit M r,s (R bezeichnen wir die Menge der reellen r s- Matrizen (also der linearen Abbildungen R s R r, und setze M s (R := M s,s (R (also die Menge der linearen Abbildungen

Mehr

1 Aussagenlogik und Mengenlehre

1 Aussagenlogik und Mengenlehre 1 Aussagenlogik und engenlehre 1.1 engenlehre Definition (Georg Cantor): nter einer enge verstehen wir jede Zusammenfassung von bestimmten wohl unterschiedenen Objekten (m) unserer Anschauung oder unseres

Mehr

Gleichungen - Aufgabenstellung und Lösungsstrategien

Gleichungen - Aufgabenstellung und Lösungsstrategien Gleichungen - Aufgabenstellung und Lösungsstrategien Franz Pauer Institut für Mathematik, Universität Innsbruck, Technikerstr. 25, A-6020 Innsbruck, Österreich. Franz.Pauer@uibk.ac.at 18. Juli 2006 1 Einleitung

Mehr

50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte

50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte 50. Mathematik-Olympiade. Stufe (Regionalrunde) Klasse 3 Lösungen c 00 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.v. www.mathematik-olympiaden.de. Alle Rechte vorbehalten. 503 Lösung 0 Punkte Es seien

Mehr

Übungen zur Linearen Optimierung Sommersemester 2011. Übungsblatt 1

Übungen zur Linearen Optimierung Sommersemester 2011. Übungsblatt 1 Universität Heidelberg Interdisziplinäres Zentrum für Wissenschaftliches Rechnen Graduiertenschule HGS MathComp Dr. Stefan Körkel Magdalena Gottfried Übungen zur Linearen Optimierung Sommersemester 2011

Mehr

6. Softwarewerkzeuge für die Lineare Programmierung

6. Softwarewerkzeuge für die Lineare Programmierung 6. Softwarewerkzeuge für die Lineare Programmierung Inhalt 6. Softwarewerkzeuge für die Lineare Programmierung GNU Linear Programming Kit Operations Research I Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, SS 2013 314 GNU

Mehr

z = c T x : Ax = b, x 0 }, - die Darstellung der Nichtbasisvektoren durch die Basis ist

z = c T x : Ax = b, x 0 }, - die Darstellung der Nichtbasisvektoren durch die Basis ist Kapitel 5 Die Simplexmethode Es werden folgende Bezeichnungen verwendet: - das untersuchte Problem ist min x R n { z = c T x : Ax = b, x 0 }, - die erste zulässige Basislösung sei x = x 1, x 2,, x m, 0,,

Mehr

Kap. 4: Lineare Programmierung

Kap. 4: Lineare Programmierung Kap. 4: Lineare Programmierung Professor Dr. Petra Mutzel Lehrstuhl für Algorithm Engineering, LS11 Fakultät für Informatik, TU Dortmund 13./14. VO A&D WS 08/09 27.11./2.12.2008 Petra Mutzel Alg. & Dat.

Mehr

Basis und Dimension. Als nächstes wollen wir die wichtigen Begriffe Erzeugendensystem und Basis eines Vektorraums definieren.

Basis und Dimension. Als nächstes wollen wir die wichtigen Begriffe Erzeugendensystem und Basis eines Vektorraums definieren. Basis und Dimension Als nächstes wollen wir die wichtigen Begriffe Erzeugendensystem und Basis eines Vektorraums definieren. Definition. Sei V ein K-Vektorraum und (v i ) i I eine Familie von Vektoren

Mehr

Einführung in die Lineare Programmierung. Berthold Vöcking Lehrstuhl Informatik I Algorithmen & Komplexität RWTH Aachen

Einführung in die Lineare Programmierung. Berthold Vöcking Lehrstuhl Informatik I Algorithmen & Komplexität RWTH Aachen Einführung in die Lineare Programmierung Berthold Vöcking Lehrstuhl Informatik I Algorithmen & Komplexität RWTH Aachen 30. Juli 2008 Inhaltsverzeichnis 1 Lineare Programme 3 1.1 Die kanonische Form..........................

Mehr

Lineare (Un-)Gleichungen und lineare Optimierung

Lineare (Un-)Gleichungen und lineare Optimierung Lineare (Un-)Gleichungen und lineare Optimierung Franz Pauer Institut für Mathematik Universität Innsbruck Lehrer/innen/fortbildungstag Wien 2010 9. April 2010 Eine Maximumsaufgabe Eine Firma stellt aus

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Eines der am häufigsten auftretenden Standardprobleme der angewandten Mathematik ist das Lösen linearer Gleichungssysteme, etwa zur Netzwerkberechnung in der Elektrotechnik oder

Mehr

Primzahlen und RSA-Verschlüsselung

Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Michael Fütterer und Jonathan Zachhuber 1 Einiges zu Primzahlen Ein paar Definitionen: Wir bezeichnen mit Z die Menge der positiven und negativen ganzen Zahlen, also

Mehr

Der n-dimensionale Raum

Der n-dimensionale Raum Der n-dimensionale Raum Mittels R kann nur eine Größe beschrieben werden. Um den Ort eines Teilchens im Raum festzulegen, werden schon drei Größen benötigt. Interessiert man sich für den Bewegungszustand

Mehr

Diplomprüfung. Operations Research I WS 2007/2008 (4 Punkte)

Diplomprüfung. Operations Research I WS 2007/2008 (4 Punkte) Dr. Jörg Kalcsics 11.0.008 Diplomprüfung (Wiederholungsprüfung gem. NPO) Operations Research I WS 007/008 ( Punkte) Vorbemerkung: Zugelassene Hilfsmittel: nicht programmierbarer Taschenrechner. Beginnen

Mehr

Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung mit Ungleichungsnebenbedingungen

Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung mit Ungleichungsnebenbedingungen Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung mit Ungleichungsnebenbedingungen Dr. Nico Düvelmeyer Freitag, 8. Juli 2011 1: 1 [1,1] Inhaltsübersicht für heute 1 NLP Aufgabe KKT 2 Nachtrag

Mehr

Extremwertaufgaben. 3. Beziehung zwischen den Variablen in Form einer Gleichung aufstellen (Nebenbedingung),

Extremwertaufgaben. 3. Beziehung zwischen den Variablen in Form einer Gleichung aufstellen (Nebenbedingung), Extremwertaufgaben x. Ein Landwirt will an einer Mauer einen rechteckigen Hühnerhof mit Maschendraht abgrenzen. 0 Meter Maschendraht stehen zur Verfügung. Wie groß müssen die Rechteckseiten gewählt werden,

Mehr

Sudoku-Informatik oder wie man als Informatiker Logikrätsel löst

Sudoku-Informatik oder wie man als Informatiker Logikrätsel löst Sudoku-Informatik oder wie man als Informatiker Logikrätsel löst Peter Becker Hochschule Bonn-Rhein-Sieg Fachbereich Informatik peter.becker@h-brs.de Kurzvorlesung am Studieninformationstag, 13.05.2009

Mehr

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14. Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14. Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 MATHEMATIK Dipl.-Math. Kevin Everard Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14 Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse

Mehr

Optimierung für Nichtmathematiker

Optimierung für Nichtmathematiker Optimierung für Nichtmathematiker Prof. Dr. R. Herzog WS2010/11 1 / 1 Teil IV Konvexe und ganzzahlige Optimierung Vorlesung 11 IV Konvexe und ganzzahlige Optimierung 2 / 34 Inhaltsübersicht 29Lineare Optimierung

Mehr