3. Grundlagen der Linearen Programmierung
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- August Ursler
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1 3. Grundlagen der linearen Programmierung Inhalt 3. Grundlagen der Linearen Programmierung Lineares Programm Grafische Lösung linearer Programme Normalform Geometrie linearer Programme Basislösungen Operations Research I Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, SS
2 3. Grundlagen der linearen Programmierung Lineares Programm Lineares Programm Definition 3.1. Ein lineares Programm (LP) ist die Aufgabe, eine lineare Zielfunktion z = F(x 1,...,x n ) = c 1 x 1 + +c n x n zu maximieren oder zu minimieren unter Beachtung von linearen Nebenbedingungen der Form a i,1 x 1 + +a i,n x n b i (i = 1,...,m 1 ) a i,1 x 1 + +a i,n x n = b i (i = m 1 +1,...,m 2 ) a i,1 x 1 + +a i,n x n b i (i = m 2 +1,...,m) und meist auch von Vorzeichenbedingungen x j 0 für einige oder alle j = 1,...,n. Operations Research I Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, SS
3 3. Grundlagen der linearen Programmierung Lineares Programm Definition 3.2. Ein Punkt oder Vektor x = (x 1,...,x n ) R n, der alle Neben- und Vorzeichenbedingungen erfüllt, heißt zulässige Lösung des LP. Eine zulässige Lösung x = (x 1,...,x n) heißt optimale Lösung des LP, wenn es keine zulässige Lösung x mit besserem Zielfunktionswert als F(x ) gibt. Mit X LP bezeichnen wir die Menge der zulässigen Lösungen des linearen Programms LP und mit X LP die Menge der optimalen Lösungen von LP. Bemerkung: Wenn aus dem Kontext heraus das lineare Programm eindeutig ist, schreiben wir auch X und X statt X LP bzw. X LP. Operations Research I Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, SS
4 3. Grundlagen der linearen Programmierung Lineares Programm Beispiel 3.1. Ein Eisverkäufer stellt stündlich bis zu 10 kg Eis der Sorten A bzw. B her. A B Verkaufspreis 80 EUR/kg 65 EUR/kg Kosten 50 EUR/kg 40 EUR/kg Energieaufwand 5 kwh/kg 2 kwh/kg absetzbar 6 kg 9 kg Es stehen höchstens 30 kwh stündlich zur Verfügung. Entscheidungsvariablen seien die stündlich herzustellenden Mengen x 1 kg bzw. x 2 kg. Zu maximieren sei die Differenz aus Preis und Kosten. Operations Research I Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, SS
5 3. Grundlagen der linearen Programmierung Lineares Programm Maximiere z = F(x 1,x 2 ) = 80x 1 +65x 2 50x 1 40x 2 = 30x 1 +25x 2 unter den Nebenbedingungen x 1 + x x 1 + 2x 2 30 x 1 6 x 2 9 und Vorzeichenbedingungen x 1,x 2 0. Operations Research I Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, SS
6 3. Grundlagen der linearen Programmierung Grafische Lösung Grafische Lösung von LPs Wir betrachten zwei Entscheidungsvariablen x 1 und x 2. a 1 x 1 +a 2 x 2 = b ist die Gleichung einer Geraden im R 2. a 1 x 1 + a 2 x 2 b und auch a 1 x 1 + a 2 x 2 b beschreiben jeweils eine Halbebene mit der Geraden a 1 x 1 +a 2 x 2 = b als Rand. Auch x 1 0 und x 2 0 stellen Halbebenen dar. Der zulässige Bereich ist der Durchschnitt endlich vieler Halbebenen und somit ein sogenanntes konvexes Polyeder mit endlich vielen Eckpunkten. Operations Research I Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, SS
7 3. Grundlagen der linearen Programmierung Grafische Lösung x2 <= 9 x1 + x2 <= 10 Optimalpunkt 5 x1 + 2 x2 <= 30 x1 <= 6 Zielfunktion Beispiel 3.2. Die grafische Lösung zu Beispiel 3.1. Die Zielfunktion z = 30x 1 +25x 2 wirdebenfallsdurcheine Gerade dargestellt. Wachsendes z bedeutet eine Parallelverschiebung nach rechts oben. Man verschiebt so lange nach rechts oben, wie die Gerade durch X verläuft. Optimale Lösung beim Schnittpunkt der Geraden x 1 +x 2 = 10 und 5x 1 + 2x 2 = 30, also x = ( 10 3, 20 3 ). Operations Research I Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, SS
8 3. Grundlagen der linearen Programmierung Grafische Lösung Mögliche Situationen bei grafischer Lösung (a) beschränktes X, eindeutige optimale Lösung (b) beschränktes X, nicht-eindeutige optimale Lösung (c) unbeschränktes X, eindeutige optimale Lösung (d) unbeschränktes X, nichteindeutige optimale Lösung (e) unbeschränktes X, keine optimale Lösung (f) leeres X Operations Research I Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, SS
9 Maximumproblem Definition 3.3. Ein LP der Form n Maximiere z = F(x 1,...,x n ) = c 1 x 1 + +c n x n = c j x j j=1 n unter den Nebenbedingungen a ij x j b i (i = 1,...,m) j=1 und den Vorzeichenbedingungen x j 0 (j = 1,...,n) heißt Maximumproblem. Operations Research I Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, SS
10 Kompakte Schreibweise Mit c,x R n,b R m und A R m n können wir ein Maximumproblem auch schreiben als: Maximiere unter den Nebenbedingungen c T x Ax b und den Vorzeichenbedingungen x 0 Operations Research I Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, SS
11 Beispiel 3.3. Für das LP von Beispiel 3.1 lautet die kompakte Schreibweise: Maximiere unter den Nebenbedingungen (30, 25) ( x1 x 2 ( x1 x 2 ) ) und den Vorzeichenbedingungen ( x1 x 2 ) ( 0 0 ) Operations Research I Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, SS
12 Umformung in ein Maximumproblem Satz 3.1. Zu jedem LP lässt sich ein äquivalentes LP in Form eines Maximumproblems formulieren. Beweis: Ersetze zu minimierende Zielfunktion z = F(x) durch zu maximierende Zielfunktion z = F(x) Transformiere Nebenbedingung durch Multiplikation beider Seiten mit 1 in eine Nebenbedingung. Eine Gleichung n j=1 a ijx j = b i kann durch zwei Ungleichungen n j=1 a ijx j b i und n j=1 a ijx j b i ersetzt werden. Falls für x j beliebige Werte aus R erlaubt sind, so ersetze x j durch die zwei Variablen x + j 0 und x j 0 mit x j = x + j x j. Operations Research I Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, SS
13 Beispiel 3.4. Wir überführen das folgende LP in ein Maximumproblem: Minimiere k = 3x 1 4x 2 unter den Nebenbedingungen: 2x 1 +3x 2 7 x 1 2x 2 4 3x 1 +2x 2 = 6 x 1 0,x 2 R Operations Research I Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, SS
14 Zunächst sorgen wir für eine Maximierung und stellen alle Nebenbedingungen als Nebenbedingungen dar: Maximiere unter den Nebenbedingungen: z = k = 3x 1 +4x 2 2x 1 +3x 2 7 x 1 +2x 2 4 3x 1 +2x 2 6 3x 1 2x 2 6 x 1 0,x 2 R Operations Research I Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, SS
15 Nun wird durch x 2 = x + 2 x 2 mit x+ 2,x 2 0 die fehlende Vorzeichenbeschränkung eliminiert. Wir erhalten: Maximiere z = 3x 1 +4x + 2 4x 2 unter den Nebenbedingungen: 2x 1 +3x + 2 3x 2 7 x 1 +2x + 2 2x 2 4 3x 1 +2x + 2 2x 2 6 3x 1 2x x 2 6 x 1,x + 2,x 2 0 Operations Research I Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, SS
16 Normalform Definition 3.4. Ein LP liegt in Normalform vor, wenn es die Form hat: Maximiere unter den Nebenbedingungen und Vorzeichenbedingungen z = F(x 1,...,x n ) = n j=1 c jx j n j=1 a ijx j = b i (i = 1,...,m) x j 0 (j = 1,...,n) In kompakter Darstellung: Maximiere c T x unter den Nebenbedingungen Ax = b und den Vorzeichenbedingungen x 0. Operations Research I Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, SS
17 Umformung in Normalform Satz 3.2. Zu jedem LP lässt sich ein äquivalentes LP in Normalform formulieren. Beweis: Nach Satz 3.1 lässt sich zu jedem LP ein äquivalentes Maximumproblem formulieren. Es reicht daher zu zeigen, dass jedes Maximumproblem in Normalform überführt werden kann. Hierzu führt man für die m Ungleichungen die Schlupfvariablen x n+1,...,x n +m ein, die in der Zielfunktion mit 0 bewertet werden. Die Variablen x 1,...,x n heißen Strukturvariablen. Die Normalform ergibt sich dann durch: Operations Research I Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, SS
18 Maximiere z = n j=1 c jx j + n+m j=n+1 0 x j unter den Bedingungen n a ij x j +x n+i = b i (i = 1,...,m) j=1 und Vorzeichenbedingungen x j 0 (j = 1,...,n+m) In Matrixschreibweise lautet die Normalform unter den Bedingungen z = F(x) = c T x Ax = b, x 0 Operations Research I Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, SS
19 Definition 3.5. Gelten in der Matrixschreibweise für die Normalform die Eigenschaften b 0, c = c 1. c n 0. 0 und A = a 1,1 a 1,n a m,1 a m,n 0 1 so ist das LP in kanonischer Form. Operations Research I Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, SS
20 Beispiel 3.5. Maximiere z = 30x 1 +25x 2 unter den Bedingungen x 1 + x x 1 + 2x 2 30 x 1 6 x 2 9 x 1 0 x 2 0 Für die Nebenbedingungen führen wir die Schlupfvariablen x 3,x 4,x 5,x 6 ein und erhalten Operations Research I Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, SS
21 Maximiere unter den Bedingungen z = 30x 1 +25x 2 +0 x x 6 x 1 + x 2 + x 3 = 10 5x 1 + 2x 2 + x 4 = 30 x 1 + x 5 = 6 x 2 + x 6 = 9 und x j 0 (j = 1,...,6) Operations Research I Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, SS
22 In Matrixschreibweise: Maximiere unter den Bedingungen z = ( ) x 1. x x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = und x 1. x n 0. 0 Operations Research I Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, SS
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