Lineare Programmierung. Beispiel: Wahlkampf. Beispiel: Wahlkampf. Mathematische Schreibweise. Lineares Programm. Datenstrukturen & Algorithmen

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Lineare Programmierung. Beispiel: Wahlkampf. Beispiel: Wahlkampf. Mathematische Schreibweise. Lineares Programm. Datenstrukturen & Algorithmen"

Transkript

1 Datenstrukturen & Algorithmen Einführung Standard- und Schlupfformen Simplex Algorithmus Matthias Zwicker Universität Bern Frühling Beispiel: Wahlkampf Ziel: mit möglichst wenig Werbung eine gewisse Anzahl Stimmen gewinnen Bekannt Anzahl Stimmen (in tausend), die gewonnen (verloren) werden je $1000 Werbung Werbung aufgeteilt nach Themen und Gebieten Beispiel: Wahlkampf Ziel: Gewinne Stimmen in urbanen Gebieten Stimmen in suburbanen Gebieten Stimmen in ländlichen Gebieten Werbeausgaben Wahlkampfthema Urban Suburban Ländlich Strassenbau Sicherheit Landwitschaftsbeihilfe Mineralölsteuer Strassenbau $20 000, Sicherheitspolitik $0, Landwirtschaft $4 000, Mineralölsteuer $9 000 Stimmengewinne Urban: 20(-2)+0(8)+4(0)+9(10)=50 Suburban: 20(5)+0(2)+4(0)+9(0)=100 Ländlich: 20(3)+0(-5)+4(10)+9(-2)=82 Würde es auch billiger gehen? 4 Mathematische Schreibweise Variablenx 1, x 2, x 3, x 4 : Dollar in tausend für Werbung für jedes Thema Ziele für Stimmengewinne Urban-2x 1 + 8x 2 + 0x x 4 >= 50 Suburban 5x 1 + 2x 2 + 0x 3 + 0x 4 >= 100 Ländlich 3x 1-5x x 3-2x 4 >= 25 Minimiere Werbeaufwand x 1 + x 2 + x 3 + x 4 Lineares Programm Minimiere x 1 + x 2 + x 3 + x 4 Unter den Nebenbedingungen 2x 1 + 8x 2 + 0x x 4 >= 50 5x 1 + 2x 2 + 0x 3 + 0x 4 >= 100 3x 1-5x 2 +10x 3-2x 4 >= 25 x 1, x 2, x 3, x 4 >= 0 Lösung liefert optimale Wahlkampfstrategie Negative Kosten nicht erlaubt x 1, x 2, x 3, x 4 >=

2 Lineare Funktion Lineare Funktion Reelle Koeffizienten a 1, a 2,..., a n Variablen x 1, x 2,..., x n Reelle Koeffizienten a 1, a 2,..., a n Variablen x 1, x 2,..., x n f(x 1,...,x n )=a 1 x 1 + a 2 x a n x n = P n a j x j f(x 1,...,x n )=a 1 x 1 + a 2 x a n x n = P n a j x j Lineare Gleichung f(x 1,...,x n )=b Lineare Ungleichung f(x 1,...,x n ) b, f(x 1,...,x n ) b Lineare Nebenbedingung Lineare Gleichung f(x 1,...,x n )=b Lineare Ungleichung f(x 1,...,x n ) b, f(x 1,...,x n ) b Lineare Nebenbedingung Lineare Gleichung oder Ungleichung Keine strengen Ungleichungen erlaubt Minimiere (maximiere) lineare Funktion unter endlicher Menge von linearen Nebenbedingungen 7 Lineare Gleichung oder Ungleichung Keine strengen Ungleichungen erlaubt Lineares Programmierungproblem Minimiere (maximiere) lineare Funktion unter endlicher Menge von linearen Nebenbedingungen 8 Graphische Darstellung in 2D Beispiel mit zwei Variablen Graphische Darstellung in 2D x 1 x 1 Maximiere Zielfunktion x 1 + x 2 Unter den Nebenbedingungen 4x 1 - x 2 <= 8 2x 1 + x 2 <= 10 5x 1-2x 2 >= -2 x 1, x 2 >= 0 Zulässiger Bereich Werte von x 1, x 2 die alle Nebenbedingungen erfüllen 9 x 2 x 2 10 Anwendungen Standardthema in Wirtschaftswissenschaften Operations research Beispiel: Planung von Crews für Fluggesellschaften Ziel: möglichst kleine Anzal Mitarbeiter, um gegebene Flüge zu betreuen Beschränkung der Stundenzahl pro Mitarbeiter Beschränkung auf Flugzeugtyp Etc. Anwendungen Kürzeste Pfade in Graphen Kürzester Pfad von s nach t habe Länge d[t] Bellman-Ford-Algorithmus Bei Terminierung gilt für jeden Knoten v d[v] d[u]+w(u, v) Lineares Programmierungsproblem Maximiere d[t] Nebenbedinungen d[v] d[u] +w(u, v), d[s] =0 für alle Knoten v V Variablen d[v] für jeden Knoten v E +1 Nebenbedingungen

3 Anwendungen Kürzeste Pfade in Graphen Kürzester Pfad von s nach t habe Länge d[t] Bellman-Ford-Algorithmus Bei Terminierung gilt für jeden Knoten v d[v] d[u]+w(u, v) Lineares Programmierungsproblem Maximiere d[t] Nebenbedinungen d[v] d[u] +w(u, v), d[s] =0 für alle Knoten v V Variablen d[v] für jeden Knoten v E +1 Nebenbedingungen 13 Standard- und Schlupfform Verschiedene Möglichkeiten ein lineares Programmierungsproblem aufzuschreiben Äquivalent Transformation zwischen Formen möglich : intuitiver Schlupfform: benötigt für 14 Maximiere Zielfunktion (n Variablen) m Nebenbedinungen 1 a ij x j b i, i =1, 2,...,m Nichtnegativitätsbedingungen x j 0 j =1, 2,...,n Matrixschreibweise Zielfunktion c T x, x =(x j ) Ax b, A =(a ij ),b=(b j ) x 0 15 Maximiere Zielfunktion (n Variablen) m Nebenbedinungen 1 a ij x j b i, i =1, 2,...,m Nichtnegativitätsbedingungen x j 0 j =1, 2,...,n Matrixschreibweise Zielfunktion c T x, x =(x j ) Ax b, A =(a ij ),b=(b j ) x 0 16 Allgemeine lineare Programme können verletzen Minimierung statt Maximierung Variablen ohne Nichtnegativitätsbedingung können Gleichungen sein können Ungleichungen mit >= anstatt <= sein 17 Schlupfform Benötigt für Schlupfform sind Gleichungen Einzige Ungleichungen sind Nichtnegativitätsbedingungen Umformung Ungleichungen -> Gleichungen mittels Schlupfvariablen s a ji x j b i Ungleichung s = b i n a ji x j s 0 Gleichung & Nichtnegativitätsbedingung mit Schlupfvariable 18 3

4 Schlupfform Schlupfvariable: Mass für Differenz oder Schlupf zwischen linker und rechter Seite der Ungleichung a ji x j b i Notation: Schlupfvariable für i-te Ungleichung heisst x n+i s = b i n a ji x j Konventionen Variable z für Zielfunktion Maximiere unter Nebenbedingungen ist impliziert Nichtnegativitätsbedingungen sind impliziert x n+i = b i n a ji x j, x n+i Kompakte Schreibweise N Menge der Indizes der Nichtbasisvariablen Immer N = n N ändert während B Menge der Indizes der Basisvariablen Immer B = m B ändert während Schlupfform ist Tupel (N, B, A, b, c, v) z = v + x i = b i a ij x j für i B 21 Kompakte Schreibweise N Menge der Indizes der Nichtbasisvariablen Immer N = n N ändert während B Menge der Indizes der Basisvariablen Immer B = m B ändert während Schlupfform ist Tupel (N, B, A, b, c, v) z = v + x i = b i a ij x j für i B 22 Idee: Forme Schlupfform um, bis Lösung offensichtlich Ähnlich Diagonalisierung bei Gauss Elimination Basislösung Alle Nichtbasisvariablen (rechte Seite) auf 0 setzen Basisvariablen (linke Seite) dadurch bestimmt Ansatz Forme Schlupfform so um, dass Zielfunktionswert der Basislösung nach Umformung grösser wird Umformung soll zu äquivalentem Problem führen 23 Pivotieren/Basisaustausch Wähle Nichtbasisvariable mit positivem Koeffizienten in Zielfunktion Eingangsvariable x e Wähle Basisvariable Ausgangsvariable x l Löse Gleichung für x l nach x e Erhöhe x e so lange, bis x l 0 wird Substituiere neue Gleichung für x e in anderen Gleichungen (Nebenbed., Zielfkt.) 24 4

5 Pivotieren/Basisaustausch Erzeugt äquivalentes lineares Programm Verschiebung von Variablen von linker zu rechter Seite und umgekehrt Substitution von Gleichungen in andere Implementation in Hilfsfunktion ( ˆN, ˆB,Â, ˆb, ĉ, ˆv) =Pivot(N,B,A,b,c,v,l,e) Offene Fragen Wie feststellen, ob lineares Programm lösbar? Kapitel 29.5 (kein Prüfungsstoff) Was tun, wenn Programm lösbar, aber initiale Basislösung nicht zulässig? Zulässige initiale Basislösung kann gefunden werden, Kapitel 29.5 (kein Prüfungsstoff) Liefert garantiert optimale Lösung? Ja, Kapitel 29.4 (kein Prüfungsstoff) Laufzeit Lemma: Menge der Basisvariablen definiert eindeutige Schlupfform Ã! m + n Korrolar: Anzahl Schlupfformen ist m B = m Basisvariablen N = n Nichtbasisvariablen ihb i ibl Pivotieren transformiert eine Schlupfform in eine andere Lemma: Falls nach Schritten nicht terminiert, dann kreiselt er Ã! m + n m Dreht sich im Kreis, terminiert nicht Kann mit etwas Zusatzaufwand vermieden werden Nächstes Mal Prüfung! 29 5

3. Grundlagen der Linearen Programmierung

3. Grundlagen der Linearen Programmierung 3. Grundlagen der linearen Programmierung Inhalt 3. Grundlagen der Linearen Programmierung Lineares Programm Grafische Lösung linearer Programme Normalform Geometrie linearer Programme Basislösungen Operations

Mehr

OPERATIONS-RESEARCH (OR)

OPERATIONS-RESEARCH (OR) OPERATIONS-RESEARCH (OR) Man versteht darunter die Anwendung mathematischer Methoden und Modelle zur Vorbereitung optimaler Entscheidungen bei einem Unternehmen. Andere deutsche und englische Bezeichnungen:

Mehr

Lineare Programmierung

Lineare Programmierung Lineare Programmierung WS 2003/04 Rolle der Linearen Programmierung für das TSP 1954: Dantzig, Fulkerson & Johnson lösen das TSP für 49 US-Städte (ca. 6.2 10 60 mögliche Touren) 1998: 13.509 Städte in

Mehr

Lineare Programmierung Teil I

Lineare Programmierung Teil I Seminar über Algorithmen Prof. Dr. Helmut Alt Lineare Programmierung Teil I Lena Schlipf, Benjamin Jankovic Lena Schlipf, Benjamin Jankovic Seminar über Algorithmen SS05 1 Struktur des Vortrags 1. Was

Mehr

Bestimmung einer ersten

Bestimmung einer ersten Kapitel 6 Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung Ein Problem, was man für die Durchführung der Simplexmethode lösen muss, ist die Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung. Wie gut das geht,

Mehr

Lineare Programmierung (2)

Lineare Programmierung (2) Inhalt Rückblick Motivation - linearen Programmierung Flussprobleme Multiple Warenflüsse Fortsetzung Simplex Algorithmus Initialisierung Fundamentalsatz der linearen Programmierung schwache Dualität Dualität

Mehr

Perlen der Informatik I Wintersemester 2012 Aufgabenblatt 7

Perlen der Informatik I Wintersemester 2012 Aufgabenblatt 7 Technische Universität München WS 2012 Institut für Informatik Prof. Dr. H.-J. Bungartz Prof. Dr. T. Huckle Prof. Dr. M. Bader Kristof Unterweger Perlen der Informatik I Wintersemester 2012 Aufgabenblatt

Mehr

Minimumproblem. Definition 4.7. Ein LP der Form. unter den Nebenbedingungen. d ij x j b i (i =1,...,m)

Minimumproblem. Definition 4.7. Ein LP der Form. unter den Nebenbedingungen. d ij x j b i (i =1,...,m) Minimumproblem Definition 4.7 Ein LP der Form nx Minimiere Z = c j x j j=1 unter den Nebenbedingungen nx d ij x j b i (i =1,...,m) j=1 und den Vorzeichenbedingungen x j 0(j =1,...,n) heißt Minimumproblem.

Mehr

Lösung allgemeiner linearer Programme

Lösung allgemeiner linearer Programme Lösung allgemeiner linearer Programme Bisher: Für Anwendung des Simplexalgorithmus muss eine primal oder eine dual zulässige Basislösung vorliegen. Für allgemeine lineare Programme können wir dies direkt

Mehr

VORLESUNG 14 Lineare Optimierung, Dualität (Viele Folien nach Ulf Lorenz, jetzt TU Darmstadt)

VORLESUNG 14 Lineare Optimierung, Dualität (Viele Folien nach Ulf Lorenz, jetzt TU Darmstadt) VORLESUNG 14 Lineare Optimierung, Dualität (Viele Folien nach Ulf Lorenz, jetzt TU Darmstadt) 96 H. Meyerhenke: Kombinatorische Optimierung Dualität bei linearen Programmen Def.: Es sei (L): c T x max

Mehr

VORLESUNG 11 Lineare Optimierung (Viele Folien nach Ulf Lorenz, jetzt TU Darmstadt)

VORLESUNG 11 Lineare Optimierung (Viele Folien nach Ulf Lorenz, jetzt TU Darmstadt) VORLESUNG Lineare Optimierung (Viele Folien nach Ulf Lorenz, jetzt TU Darmstadt) 3 Wiederholung! Lineare Programme häufig geeignete Modellierung von Optimierungsproblemen! Verschiedene Darstellungen sind

Mehr

Optimierung und Simulation ökonomischer Problemlagen privater Haushalte 3. Vorlesung

Optimierung und Simulation ökonomischer Problemlagen privater Haushalte 3. Vorlesung Optimierung und Simulation ökonomischer Problemlagen privater Haushalte 3. Vorlesung Rainer Hufnagel / Laura Wahrig 2006 Diese Woche LO - Sensitivitätsanalyse Simulation Beispiel Differenzengleichungen

Mehr

Die Verbindung von Linearer Programmierung und Graphentheorie

Die Verbindung von Linearer Programmierung und Graphentheorie Die Verbindung von Linearer Programmierung und Graphentheorie Definition 5.9. Ein kombinatorisches Optimierungsproblem entspricht einem LP, bei dem statt der Vorzeichenbedingungen x i 0 Bedingungen der

Mehr

Lineare Optimierungsmodelle

Lineare Optimierungsmodelle Lineare Optimierungsmodelle Simplex-Methode Vortragender: Michael Schneider Agenda Motivation Operations Research Aufbau linearer Optimierungsmodelle Simplex-Methode Ausblick 2 Problemstellung Futtermischung

Mehr

4. Dynamische Optimierung

4. Dynamische Optimierung 4. Dynamische Optimierung Allgemeine Form dynamischer Optimierungsprobleme 4. Dynamische Optimierung Die dynamische Optimierung (DO) betrachtet Entscheidungsprobleme als eine Folge voneinander abhängiger

Mehr

Schranken für zulässige Lösungen

Schranken für zulässige Lösungen Schranken für zulässige Lösungen Satz 5.9 Gegeben seien primales und duales LP gemäß der asymmetrischen Form der Dualität. Wenn x eine zulässige Lösung des primalen Programms und u eine zulässige Lösung

Mehr

Optimierung und Simulation ökonomischer Problemlagen privater Haushalte 2. Vorlesung

Optimierung und Simulation ökonomischer Problemlagen privater Haushalte 2. Vorlesung Optimierung und Simulation ökonomischer Problemlagen privater Haushalte 2. Vorlesung Rainer Hufnagel / Laura Wahrig 2006 Diese Woche LO - Rechnerische Lösung - Simplex- Algorithmus LO - Auswertung des

Mehr

1 Der Simplex Algorithmus I

1 Der Simplex Algorithmus I 1 Nicoletta Andri 1 Der Simplex Algorithmus I 1.1 Einführungsbeispiel In einer Papiermühle wird aus Altpapier und anderen Vorstoffen feines und grobes Papier hergestellt. Der Erlös pro Tonne feines Papier

Mehr

Anwendungen der Wirtschaftsmathematik und deren Einsatz im Schulunterricht

Anwendungen der Wirtschaftsmathematik und deren Einsatz im Schulunterricht Anwendungen der Wirtschaftsmathematik und deren Einsatz im Schulunterricht Beispiele wirtschaftsmathematischer Modellierung Lehrerfortbildung, Speyer, Juni 2004-1- Beispiele wirtschaftsmathematischer Modellierung

Mehr

Eigenschaften von LPs

Eigenschaften von LPs 2 Lineare Programmierung Eigenschaften von LPs Eigenschaften von LPs Definition 24 Eine Menge K IR n heißt konvex gdw für je zwei Punkte Punkte x (1) K und x (2) K auch jeder Punkt mit 0 λ 1 zu K gehört

Mehr

Computer Science Department - High Performance and Web Computing Group. Optimierungsprobleme

Computer Science Department - High Performance and Web Computing Group. Optimierungsprobleme Optimierungsprobleme Häufig in Alltagssituationen anzutreffen (z.b. Kauf eines Gerätes) Optimierungsprobleme (OPs) sind Probleme, die i.a. viele zulässige Lösungen besitzen Jeder Lösung ist ein bestimmter

Mehr

Einführung in die Lineare Programmierung. Berthold Vöcking Lehrstuhl Informatik I Algorithmen & Komplexität RWTH Aachen

Einführung in die Lineare Programmierung. Berthold Vöcking Lehrstuhl Informatik I Algorithmen & Komplexität RWTH Aachen Einführung in die Lineare Programmierung Berthold Vöcking Lehrstuhl Informatik I Algorithmen & Komplexität RWTH Aachen 30. Juli 2008 Inhaltsverzeichnis 1 Lineare Programme 3 1.1 Die kanonische Form..........................

Mehr

Optimierung für Nichtmathematiker

Optimierung für Nichtmathematiker Optimierung für Nichtmathematiker Prof. Dr. R. Herzog WS2010/11 1 / 1 Teil IV Konvexe und ganzzahlige Optimierung Vorlesung 11 IV Konvexe und ganzzahlige Optimierung 2 / 34 Inhaltsübersicht 29Lineare Optimierung

Mehr

Lineare Programmierung

Lineare Programmierung Seminar: Intelligente Algorithmen Stefan Kopp, Alfred Kranstedt, Nadine Leßmann Lineare Programmierung Frank Schönmann WS 2003/04 Inhaltsverzeichnis 1 Motivation 3 2 Lineare Programmierung (LP) 4 2.1 Einführendes

Mehr

Lineare Optimierung. Master 1. Semester

Lineare Optimierung. Master 1. Semester Prof. Dr.-Ing. Fritz Nikolai Rudolph Fachhochschule Trier Fachbereich Informatik Master 1. Semester Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung... 2 1.1 Lineare Gleichungssysteme... 2 1.2 sprobleme... 3 2 Standardform...

Mehr

Übung 3, Simplex-Algorithmus

Übung 3, Simplex-Algorithmus Übung 3, 21.6.2011 Simplex-Algorithmus Aufgabe 3.1 Lösen Sie das folgende Optimierungsproblem (von Aufgabe 2.3) graphisch. Substituieren Sie dazu z = 5 y um ein 2-dimensionales Problem zu erhalten. Rechnung

Mehr

Simplex-Verfahren. Kapitel 4. Simplex-Verfahren. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

Simplex-Verfahren. Kapitel 4. Simplex-Verfahren. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298 Kapitel 4 Simplex-Verfahren Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester 24 86 / 298 Inhalt Inhalt 4 Simplex-Verfahren Dualer Simplexalgorithmus Vermeidung von Zyklen Peter Becker (H-BRS)

Mehr

8. Lineare Optimierung

8. Lineare Optimierung 8. Lineare Optimierung 1 Einführung (1) Praktische Probleme sind oft Probleme mit Nebenbedingungen, z.b.: Ein Produktionsprozess hängt von Lieferterminen ab Die Menge der verstaubaren Güter ist durch die

Mehr

Wiederholung. Wir gehen von LP s in Standardform aus, wobei A R m n vollen Zeilenrang hat: minc T x A x = b

Wiederholung. Wir gehen von LP s in Standardform aus, wobei A R m n vollen Zeilenrang hat: minc T x A x = b Wiederholung Wir gehen von LP s in Standardform aus, wobei A R m n vollen Zeilenrang hat: minc T x A x = b x 0. x R n heißt Basislösung, wenn Ax = b und rang(a J ) = J, wobei J = {j x (j) 0}; Basislösung

Mehr

Optimierung. Optimierung. Vorlesung 7 Lineare Programmierung II. 2013 Thomas Brox, Fabian Kuhn

Optimierung. Optimierung. Vorlesung 7 Lineare Programmierung II. 2013 Thomas Brox, Fabian Kuhn Optimierung Vorlesung 7 Lineare Programmierung II 1 Lineare Programme Lineares Programm: Lineare Zielfunktion Lineare Nebenbedingungen (Gleichungen oder Ungleichungen) Spezialfall der konvexen Optimierung

Mehr

Optimierung. Optimierung. Vorlesung 8 Lineare Programmierung III: Simplex Algorithmus Fabian Kuhn

Optimierung. Optimierung. Vorlesung 8 Lineare Programmierung III: Simplex Algorithmus Fabian Kuhn Optimierung Vorlesung 8 Lineare Programmierung III: Simplex Algorithmus 1 Resource Allocation Beispiel aus Vorlesung 6 Primales LP: Duales LP: max 3 4 2 2 4 2 8 3 6 0, 0, 0 min 4 8 6 2 3 3 4 2 2 0, 0,

Mehr

Teil I. Lineare Optimierung

Teil I. Lineare Optimierung Teil I Lineare Optimierung 5 Kapitel 1 Grundlagen Definition 1.1 Lineares Optimierungsproblem, lineares Programm. Eine Aufgabenstellung wird lineares Optimierungsproblem oder lineares Programm genannt,

Mehr

Einführung in das Operations Research

Einführung in das Operations Research S. Nickel, O. Stein, K.-H. Waldmann Einführung in das Operations Research Skript zur Vorlesung am Karlsruher Institut für Technologie Vorläufige Version, Stand: 11. März 2011 Inhaltsverzeichnis 1 Kernkonzepte

Mehr

Skript zur Vorlesung Optimierung linearer Modelle Gültig ab Sommersemester 2010. Prof. Dr. S. Dempe

Skript zur Vorlesung Optimierung linearer Modelle Gültig ab Sommersemester 2010. Prof. Dr. S. Dempe Skript zur Vorlesung Optimierung linearer Modelle Gültig ab Sommersemester 2010 Prof. Dr. S. Dempe Inhaltsverzeichnis Kapitel 0. Einleitung 5 0.1. Historische Entwicklung 5 0.2. Begriff des Operations

Mehr

Kombinatorische Optimierung

Kombinatorische Optimierung Kombinatorische Optimierung Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke PARALLELES RECHNEN INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK, FAKULTÄT FÜR INFORMATIK KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales

Mehr

Zugeordneter bipartiter Graph

Zugeordneter bipartiter Graph Zugeordneter bipartiter Graph Für ein Transportproblem sei A = {A 1,...,A m } die Menge der Fabriken und B = {B 1,...,B n } sei die Menge der Warenhäuser. Wir ordnen nun einem Transportproblem einen bipartiten

Mehr

Optimalitätskriterien

Optimalitätskriterien Kapitel 4 Optimalitätskriterien Als Optimalitätskriterien bezeichnet man notwendige oder hinreichende Bedingungen dafür, dass ein x 0 Ω R n Lösung eines Optimierungsproblems ist. Diese Kriterien besitzen

Mehr

4.3.3 Simplexiteration

4.3.3 Simplexiteration 7. Januar 2013 53 4.3.3 Simplexiteration Eine Simplexiteration entspricht dem Übergang von einer Ecke des zulässigen Bereiches in eine benachbarte Ecke Dabei wird genau eine Nichtbasisvariable (die zugehörige

Mehr

Einführung in die Lineare Optimierung

Einführung in die Lineare Optimierung Kapitel 2 Einführung in die Lineare Optimierung lineare Modelle der relevanten Umwelt werden wegen ihrer Einfachheit häufig gegenüber nichtlinearen Ansätzen vorgezogen, lineare Optimierungsprobleme können

Mehr

6 Korrektheit des Simplexalgorithmus

6 Korrektheit des Simplexalgorithmus 6 Korrektheit des Simplexalgorithmus Folgerung: Es sei L: Ax = b, c T x max LP und A B nicht-degenerierte PZB von L und es gebe c r := c r c B A B A r > 0 a) Falls a r := A B a r 0, dann L unbeschränkt

Mehr

Wirtschaftsmathematik Plus für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)

Wirtschaftsmathematik Plus für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wirtschaftsmathematik Plus für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2012/13 Hochschule Augsburg Lineare : Einführung Beispiele linearer a) b) c) 2x 1 3x 2 = 1 x 1 +

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Eines der am häufigsten auftretenden Standardprobleme der angewandten Mathematik ist das Lösen linearer Gleichungssysteme, etwa zur Netzwerkberechnung in der Elektrotechnik oder

Mehr

Umgekehrte Kurvendiskussion

Umgekehrte Kurvendiskussion Umgekehrte Kurvendiskussion Bei einer Kurvendiskussion haben wir eine Funktionsgleichung vorgegeben und versuchen ihre 'Besonderheiten' herauszufinden: Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte, Polstellen

Mehr

Algorithmische Anwendungen

Algorithmische Anwendungen Lineare Programmierung Studiengang: Allgemeine Informatik 7.Semester Gruppe: A blau Sibel Cilek 3835 Daniela Zielke 36577..6 Inhaltsverzeichnis Einleitung...3. Was ist lineare Optimierung?... 3. Anwendungsbeispiele...

Mehr

Lineare Algebra (Mathe I) für Wirtschaftsinformatiker; Zusammenfassung

Lineare Algebra (Mathe I) für Wirtschaftsinformatiker; Zusammenfassung Lineare Algebra (Mathe I) für Wirtschaftsinformatiker; Zusammenfassung Artur Trzewik sw562@uni-essen.de v1., 26.3.1998 korrigiert 16. Februar 2 Zusammenfassung Warnung: für die Richtigkeit der Definitionnen

Mehr

Mathematische Optimierung. Volker John

Mathematische Optimierung. Volker John Mathematische Optimierung Volker John Sommersemester 2007 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 3 I Lineare Optimierung 6 1 Grundlagen 7 2 Geometrische Deutung des Linearen Programms 10 3 Basislösungen eines

Mehr

Fall 3: Mehrere Kapazitätsengpässe

Fall 3: Mehrere Kapazitätsengpässe Fall 3: Mehrere Kapazitätsengpässe ei Vorliegen mehrerer Engpässe ist zunächst zu prüfen, ob ein Engpass die anderen Engpässe dominiert. Ist dies der Fall, reduziert sich das Optimierungsproblem auf den

Mehr

9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83

9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 9.. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 Die Grundfrage bei der Anwendung des Satzes über implizite Funktionen betrifft immer die folgende Situation: Wir haben eine Funktion f : V W und eine Stelle x

Mehr

Mathematik für Informatiker II. Beispiellösungen zur Probeklausur. Aufgabe 1. Aufgabe 2 (5+5 Punkte) Christoph Eisinger Sommersemester 2011

Mathematik für Informatiker II. Beispiellösungen zur Probeklausur. Aufgabe 1. Aufgabe 2 (5+5 Punkte) Christoph Eisinger Sommersemester 2011 Mathematik für Informatiker II Christoph Eisinger Sommersemester 211 Beispiellösungen zur Probeklausur Aufgabe 1 Gegeben sind die Polynome f, g, h K[x]. Zu zeigen: Es gibt genau dann Polynome h 1 und h

Mehr

Datenstrukturen & Algorithmen

Datenstrukturen & Algorithmen Datenstrukturen & Algorithmen Matthias Zwicker Universität Bern Frühling 2010 Übersicht Binäre Suchbäume Einführung und Begriffe Binäre Suchbäume 2 Binäre Suchbäume Datenstruktur für dynamische Mengen

Mehr

Vorlesung Einführung in die Mathematische Optimierung (Wintersemester 2013/14)

Vorlesung Einführung in die Mathematische Optimierung (Wintersemester 2013/14) 1 Vorlesung Einführung in die Mathematische Optimierung (Wintersemester 2013/14) Einleitung Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 11. Oktober 2013) 2 Kommunikationsnetzwerke...

Mehr

Mathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010

Mathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010 Mathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010 Lektion 4 23. Oktober 2009 Kapitel 1. Mengen, Abbildungen und Funktionen (Fortsetzung) Berechnung der Umkehrfunktion 1. Man löst die vorgegebene Funktionsgleichung

Mehr

Spieltheoretische Modellierung. Nullsummenspiele

Spieltheoretische Modellierung. Nullsummenspiele Spieltheoretische Modellierung Nullsummenspiele Definition 2.1 Unter einem Zweipersonen-Nullsummenspiel in Normalformdarstellung versteht man ein Tripel (X, Y, K), bestehend aus ) einer nichtleeren Menge

Mehr

Graphische Spiele. M i (p) M i (p[i : p i]) M i (p) + ε M i (p[i : p i])

Graphische Spiele. M i (p) M i (p[i : p i]) M i (p) + ε M i (p[i : p i]) Seminar über Algorithmen 19. November 2013 Michael Brückner Graphische Spiele Wolfgang Mulzer, Yannik Stein 1 Einführung Da in Mehrspielerspielen mit einer hohen Anzahl n N an Spielern die Auszahlungsdarstellungen

Mehr

Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung mit Ungleichungsnebenbedingungen

Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung mit Ungleichungsnebenbedingungen Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung mit Ungleichungsnebenbedingungen Dr. Nico Düvelmeyer Freitag, 8. Juli 2011 1: 1 [1,1] Inhaltsübersicht für heute 1 NLP Aufgabe KKT 2 Nachtrag

Mehr

Einführung in die Mathematische Optimierung

Einführung in die Mathematische Optimierung Einführung in die Mathematische Optimierung Rainer E. Burkard Technische Universität Graz Institut für Mathematik Steyrergasse 30 A-800 Graz, Austria burkard@opt.math.tu-graz.ac.at 2 Inhaltsverzeichnis

Mehr

Einführung in die Optimierung Sommersemester 2005. Anita Schöbel

Einführung in die Optimierung Sommersemester 2005. Anita Schöbel Einführung in die Optimierung Sommersemester 2005 Anita Schöbel 9. Juli 2010 Vorwort Das vorliegende Vorlesungsskript entstand aufgrund der Notizen der von mir im Sommersemester 2005 gehaltenen Vorlesung

Mehr

Theoretische Grundlagen des Software Engineering

Theoretische Grundlagen des Software Engineering Theoretische Grundlagen des Software Engineering 11: Abstrakte Reduktionssysteme schulz@eprover.org Reduktionssysteme Definition: Reduktionssystem Ein Reduktionssystem ist ein Tupel (A, ) Dabei gilt: A

Mehr

Einführung in die Lineare Programmierung

Einführung in die Lineare Programmierung Einführung in die Lineare Programmierung Prof. Dr. Berthold Vöcking Lehrstuhl Informatik 1 RWTH Aachen 28. Mai 2008 Elementares Beispiel Die kanonische Form Die algebraische Gleichungsform Gegeben seien

Mehr

Periodische Fahrpläne und Kreise in Graphen

Periodische Fahrpläne und Kreise in Graphen Periodische Fahrpläne und Kreise in Graphen Vorlesung Algorithmentechnik WS 2009/10 Dorothea Wagner Karlsruher Institut für Technologie Eisenbahnoptimierungsprozess 1 Anforderungserhebung Netzwerkentwurf

Mehr

(Technisch: Setze alle Skalarprodukte der allgemeinen Lösung mit den Basisvektoren des Kerns gleich Null eindeutige leastsqares Lösung)

(Technisch: Setze alle Skalarprodukte der allgemeinen Lösung mit den Basisvektoren des Kerns gleich Null eindeutige leastsqares Lösung) Lineare Optimierung Unterbestimmte LGS und Optimierung Bei lösbaren unterbestimmten linearen Gleichungssystemen haben wir die Qual der Wahl in Abhängigkeit von den freien Parametern (Anzahl = Anzahl Unbekannte

Mehr

Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen

Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen 1. Quadratische Gleichungen Quadratische Gleichungen lassen sich immer auf die sog. normierte Form x 2 + px + = 0 bringen, in

Mehr

Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen

Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen Kapitel 2 Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen In diesem Abschnitt sollen im wesentlichen Verfahren zur Bestimmung des Minimums von nichtglatten Funktionen in einer Variablen im Detail vorgestellt

Mehr

Teil II. Nichtlineare Optimierung

Teil II. Nichtlineare Optimierung Teil II Nichtlineare Optimierung 60 Kapitel 1 Einleitung In diesem Abschnitt wird die Optimierung von Funktionen min {f(x)} x Ω betrachtet, wobei Ω R n eine abgeschlossene Menge und f : Ω R eine gegebene

Mehr

1 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen

1 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen 1 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen Das Studium linearer Gleichungssysteme und ihrer Lösungen ist eines der wichtigsten Themen der linearen Algebra. Wir werden zunächst einige grundlegende Begriffe

Mehr

Das Linear Ordering Problem Exakte Lösungsverfahren. für NP-schwierige. VO Algorithm Engineering

Das Linear Ordering Problem Exakte Lösungsverfahren. für NP-schwierige. VO Algorithm Engineering Das Linear Ordering Problem Exakte Lösungsverfahren VO Algorithm Engineering für NP-schwierige Professor Dr. Petra Mutzel kombinatorische Lehrstuhl für Algorithm Engineering, LS11 Optimierungsprobleme

Mehr

7.1 Matrizen und Vektore

7.1 Matrizen und Vektore 7.1 Matrizen und Vektore Lineare Gleichungssysteme bestehen aus einer Gruppe von Gleichungen, in denen alle Variablen nur in der 1. Potenz vorkommen. Beispiel Seite 340 oben: 6 x 2 = -1 + 3x 2 = 4 mit

Mehr

Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen

Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen Als bekannt setzen wir die folgenden Umformungen voraus: e ln(f(x)) = f(x) e f(x)+c = e f(x) e c e ln(f(x)) +c = f(x) e c = f(x) c f ( g(x) ) g (x)

Mehr

50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte

50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte 50. Mathematik-Olympiade. Stufe (Regionalrunde) Klasse 3 Lösungen c 00 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.v. www.mathematik-olympiaden.de. Alle Rechte vorbehalten. 503 Lösung 0 Punkte Es seien

Mehr

2.5 Gauß-Jordan-Verfahren

2.5 Gauß-Jordan-Verfahren 2.5 Gauß-Jordan-Verfahren Definition 2.5.1 Sei A K (m,n). Dann heißt A in zeilenreduzierter Normalform, wenn gilt: [Z1] Der erste Eintrag 0 in jeder Zeile 0 ist 1. [Z2] Jede Spalte, die eine 1 nach [Z1]

Mehr

Algorithmik WS 07/ Vorlesung, Andreas Jakoby Universität zu Lübeck

Algorithmik WS 07/ Vorlesung, Andreas Jakoby Universität zu Lübeck Lemma 15 KLP 1 ist genau dann lösbar, wenn das dazugehörige LP KLP 2 eine Lösung mit dem Wert Z = 0 besitzt. Ist Z = 0 für x 0, x 0, dann ist x eine zulässige Lösung von KLP 1. Beweis von Lemma 15: Nach

Mehr

Simplex-Umformung für Dummies

Simplex-Umformung für Dummies Simplex-Umformung für Dummies Enthält die Zielfunktion einen negativen Koeffizienten? NEIN Optimale Lösung bereits gefunden JA Finde die Optimale Lösung mit dem Simplex-Verfahren! Wähle die Spalte mit

Mehr

Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume?

Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume? Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume? Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de WS 2013/14 Isomorphie Zwei Graphen (V 1, E 1 ) und (V

Mehr

Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen

Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen Dr. Thomas Zehrt Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Gleichungen Inhalt: 1. Grundlegendes 2. Lineare Gleichungen 3. Gleichungen mit Brüchen

Mehr

11. Übung zu Algorithmen I 6. Juli 2016

11. Übung zu Algorithmen I 6. Juli 2016 11. Übung zu Algorithmen I 6. Juli 2016 Lisa Kohl lisa.kohl@kit.edu mit Folien von Lukas Barth Roadmap Ausblick: Was sind schwierige Probleme? Travelling Salesman Problem - Reprise ein ILP ein Algorithmus

Mehr

Vorlesung Wirtschaftsmathematik I WS 2007/2008, Wirtschaftingenieurwesen. Kapitel IV: Grundlagen der Linearen Optimierung

Vorlesung Wirtschaftsmathematik I WS 2007/2008, Wirtschaftingenieurwesen. Kapitel IV: Grundlagen der Linearen Optimierung Vorlesung Wirtschaftsmathematik I WS 2007/2008, Wirtschaftingenieurwesen Kapitel IV: Grundlagen der Linearen Optimierung Inhaltsverzeichnis Abschnitt 3-5 3 Der Simplexalgorithmus 58 3.1 Grundlagen..............................

Mehr

Codeoptimierung mit linearer Programmierung

Codeoptimierung mit linearer Programmierung Seminarvortrag Codeoptimierung mit linearer Programmierung Hannes Jaschitsch unh@rz.uni-arlsruhe.de 4.6.003 Inhalt Digitale Signalprozessoren (DSPs) Befehlsanordnung mit dem ritchen Pfad Lineare Programme

Mehr

2. Optimierungsprobleme 6

2. Optimierungsprobleme 6 6 2. Beispiele... 7... 8 2.3 Konvexe Mengen und Funktionen... 9 2.4 Konvexe Optimierungsprobleme... 0 2. Beispiele 7- Ein (NP-)Optimierungsproblem P 0 ist wie folgt definiert Jede Instanz I P 0 hat einen

Mehr

Theoretische Grundlagen der Informatik

Theoretische Grundlagen der Informatik Theoretische Grundlagen der Informatik Vorlesung am 12.01.2012 INSTITUT FÜR THEORETISCHE 0 KIT 12.01.2012 Universität des Dorothea Landes Baden-Württemberg Wagner - Theoretische und Grundlagen der Informatik

Mehr

Leibniz Universität Hannover Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät Institut für Produktionswirtschaft Prof. Dr. Stefan Helber

Leibniz Universität Hannover Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät Institut für Produktionswirtschaft Prof. Dr. Stefan Helber Leibniz Universität Hannover Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät Institut für Produktionswirtschaft Prof. Dr. Stefan Helber Sitzplatznr.: Wiederholungsklausur zur Vorlesung Operations Research im Wintersemester

Mehr

Kap. 4: Lineare Programmierung

Kap. 4: Lineare Programmierung Kap. 4: Lineare Programmierung Professor Dr. Petra Mutzel Lehrstuhl für Algorithm Engineering, LS11 Fakultät für Informatik, TU Dortmund 13./14. VO A&D WS 08/09 27.11./2.12.2008 Petra Mutzel Alg. & Dat.

Mehr

Binary Decision Diagrams (Einführung)

Binary Decision Diagrams (Einführung) Binary Decision Diagrams (Einführung) Binary Decision Diagrams (BDDs) sind bestimmte Graphen, die als Datenstruktur für die kompakte Darstellung von booleschen Funktionen benutzt werden. BDDs wurden von

Mehr

Theoretische Informatik. Exkurs: Komplexität von Optimierungsproblemen. Optimierungsprobleme. Optimierungsprobleme. Exkurs Optimierungsprobleme

Theoretische Informatik. Exkurs: Komplexität von Optimierungsproblemen. Optimierungsprobleme. Optimierungsprobleme. Exkurs Optimierungsprobleme Theoretische Informatik Exkurs Rainer Schrader Exkurs: Komplexität von n Institut für Informatik 13. Mai 2009 1 / 34 2 / 34 Gliederung Entscheidungs- und Approximationen und Gütegarantien zwei Greedy-Strategien

Mehr

Gleichungen und Ungleichungen

Gleichungen und Ungleichungen Gleichungen Ungleichungen. Lineare Gleichungen Sei die Gleichung ax = b gegeben, wobei x die Unbekannte ist a, b reelle Zahlen sind. Diese Gleichung hat als Lösung die einzige reelle Zahl x = b, falls

Mehr

Spezielle Matrixformen

Spezielle Matrixformen Definition B57 (Transposition) Eine einfache aber wichtige Operation auf Matrizen ist die Transposition, die aus einer (m n) Matrix A eine (n m) Matrix B = A T macht Hierbei gilt β i j = α j i, so daß

Mehr

Mathematische Planungsverfahren

Mathematische Planungsverfahren Mathematische Planungsverfahren Stefan Etschberger Institut für Statistik und Mathematische Wirtschaftstheorie Universität Augsburg 12 April 2005 Organisatorisches Literatur Starke Orientierung an Hauke/Opitz:

Mehr

A2.3 Lineare Gleichungssysteme

A2.3 Lineare Gleichungssysteme A2.3 Lineare Gleichungssysteme Schnittpunkte von Graphen Bereits weiter oben wurden die Schnittpunkte von Funktionsgraphen mit den Koordinatenachsen besprochen. Wenn sich zwei Geraden schneiden, dann müssen

Mehr

Inhalt. 8.1 Motivation. 8.2 Optimierung ohne Nebenbedingungen. 8.3 Optimierung unter Nebenbedingungen. 8.4 Lineare Programmierung

Inhalt. 8.1 Motivation. 8.2 Optimierung ohne Nebenbedingungen. 8.3 Optimierung unter Nebenbedingungen. 8.4 Lineare Programmierung 8. Optimierung Inhalt 8.1 Motivation 8.2 Optimierung ohne Nebenbedingungen 8.3 Optimierung unter Nebenbedingungen 8.4 Lineare Programmierung 8.5 Kombinatorische Optimierung 2 8.1 Motivation Viele Anwendungen

Mehr

Optimierungsverfahren in der Transportlogistik

Optimierungsverfahren in der Transportlogistik Optimierungsverfahren in der Transportlogistik Jakob Puchinger 1 1 Dynamic Transportation Systems, arsenal research Jakob Puchinger (arsenal research) Optimierungsverfahren in der Transportlogistik 1 /

Mehr

Einführung in Scheduling

Einführung in Scheduling Einführung in Scheduling Dr. Julien Bidot Sommersemester 28 Institut für Künstliche Intelligenz Inhalt I. Definition und Formulierung des Scheduling- Problems II. Projektplanung III. Produktionsplanung

Mehr

Übungen zur Linearen Optimierung Sommersemester 2011. Übungsblatt 1

Übungen zur Linearen Optimierung Sommersemester 2011. Übungsblatt 1 Universität Heidelberg Interdisziplinäres Zentrum für Wissenschaftliches Rechnen Graduiertenschule HGS MathComp Dr. Stefan Körkel Magdalena Gottfried Übungen zur Linearen Optimierung Sommersemester 2011

Mehr

5 Quadriken. K = { R 2 ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0} wobei a, b, c, d, e, f reelle Zahlen sind mit (a, b, c) (0, 0, 0).

5 Quadriken. K = { R 2 ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0} wobei a, b, c, d, e, f reelle Zahlen sind mit (a, b, c) (0, 0, 0). 5 Quadriken Kegelschnitte Ein Kegelschnitt ist eine Teilmenge K R 2, welche durch eine quadratische Gleichung in zwei Unbestimmten beschrieben werden kann: x K = { R 2 ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f =

Mehr

4 Affine Koordinatensysteme

4 Affine Koordinatensysteme 4 Affine Koordinatensysteme Sei X φ ein affiner Raum und seien p,, p r X Definition: Nach ( c ist der Durchschnitt aller affinen Unterräume Z X, welche die Menge {p,,p r } umfassen, selbst ein affiner

Mehr

V 2 B, C, D Drinks. Möglicher Lösungsweg a) Gleichungssystem: 300x + 400 y = 520 300x + 500y = 597,5 2x3 Matrix: Energydrink 0,7 Mineralwasser 0,775,

V 2 B, C, D Drinks. Möglicher Lösungsweg a) Gleichungssystem: 300x + 400 y = 520 300x + 500y = 597,5 2x3 Matrix: Energydrink 0,7 Mineralwasser 0,775, Aufgabenpool für angewandte Mathematik / 1. Jahrgang V B, C, D Drinks Ein gastronomischer Betrieb kauft 300 Dosen Energydrinks (0,3 l) und 400 Liter Flaschen Mineralwasser und zahlt dafür 50, Euro. Einen

Mehr

H. Meyerhenke: Kombinatorische Optimierung. Paralleles Rechnen, Institut für Theoretische Informatik, Fakultät für Informatik

H. Meyerhenke: Kombinatorische Optimierung. Paralleles Rechnen, Institut für Theoretische Informatik, Fakultät für Informatik VORLESUNG 13 Smoothed Analysis des Simplex-Algorithmus Nach Heiko Röglin, Universität Bonn, Vorlesungsskript Introduction to Smoothed Analysis vom 9. Januar 2012 78 Wiederholung Simplex-Algorithmus! Korrektheit:!

Mehr

Dynamische Optimierung. Kapitel 4. Dynamische Optimierung. Peter Becker (H-BRS) Operations Research II Wintersemester 2014/15 160 / 206

Dynamische Optimierung. Kapitel 4. Dynamische Optimierung. Peter Becker (H-BRS) Operations Research II Wintersemester 2014/15 160 / 206 Kapitel 4 Dynamische Optimierung Peter Becker (H-BRS) Operations Research II Wintersemester 2014/15 160 / 206 Inhalt Inhalt 4 Dynamische Optimierung Allgemeiner Ansatz und Beispiele Stochastische dynamische

Mehr

Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Lineare Programme

Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Lineare Programme Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Lineare Programme Dr. Nico Düvelmeyer Dienstag, 31. Mai 2011 1: 1 [1,1] Inhaltsübersicht für heute 1 Lineare Programme Allgemeine Form 2 Spezielle Darstellungen

Mehr

Elemente der Analysis II

Elemente der Analysis II Elemente der Analysis II Kapitel 3: Lineare Abbildungen und Gleichungssysteme Informationen zur Vorlesung: http://www.mathematik.uni-trier.de/ wengenroth/ J. Wengenroth () 15. Mai 2009 1 / 35 3.1 Beispiel

Mehr

Optimierung I. Dr. Ulf Lorenz F2.413

Optimierung I. Dr. Ulf Lorenz F2.413 Optimierung I Dr. Ulf Lorenz F2.413 flulo@upb.de Organisation Dozent: Dr. Ulf Lorenz F2.413 Fürstenallee 11 email: flulo@upb.de WWW: http://www.upb.de/cs/flulo (hier auch aktuelle Infos + Ü-Zettel) Vorlesungen:

Mehr

Das Dilemma des Einbrechers Wer die Wahl hat, hat die Qual!

Das Dilemma des Einbrechers Wer die Wahl hat, hat die Qual! Das Dilemma des Einbrechers Wer die Wahl hat, hat die Qual! 0kg 4000 Euro Luster 5,5 kg, 430.- Laptop 2,0 kg, 000.- Schatulle 3,2 kg, 800.- Uhr 3,5 kg, 70.- Schwert,5 kg, 850.- Bild 3,4 kg, 680.- Besteck

Mehr