DisMod-Repetitorium Tag 4

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1 DisMod-Repetitorium Tag 4 Endliche Automaten, Reguläre Sprachen und Kontextfreie Grammatiken 22. März 2018

2 1 Endliche Automaten Definition DFA Auswertungen Äquivalenzrelationen Verschmelzungsrelation und Minimierung Nerode Automat, Äquivalenzklassen und Index Definition NFA Potenzmengenkonstruktion 2 Reguläre Sprachen Was ist eine Sprache? 3 Kontextfreie Grammatiken Ableitungen und Ableitungsbäume 4 Aufgaben

3 Definition DFA DFA Deterministischer endlicher Automat A = (Σ, Q, δ, q 0, F ) mit Σ - Alphabet des Automaten = Buchstaben, die dieser lesen wird Q - Menge der Zustände ( Knoten im Graph) δ - Eine Funktion Q Σ Q. δ(q 1, a) gibt dabei an, in welchen Zustand der Automat springt, wenn er in Zustand q 1 ist und ein a liest. ( Kanten im Graph, mit Beschriftung a) q 0 ist der Startzustand des Automaten F ist die Menge der akzeptierenden Zustände. Wenn der Automat nach dem Lesen eines Wortes w in einem Zustand q F ist, so akzeptiert er das Wort. In jedem Zustand q Q hat der Automat nur genau eine Möglichkeit für den nächsten Zustand, wenn er einen Buchstaben a Σ einliest.

4 Auswertungen Bei der Auswertung eines Wortes startet der Automat im Zustand q 0. Wenn ein Wort w = a 1 a 2... a n Σ gegeben ist, geht der Automat dieses Wort Zeichen für Zeichen durch. Dabei folgt der Automat immer der Übergangsfunktion δ. In Schritt i liest der Automat den Buchstaben w i und berechnet q i = δ(q i 1, w i ). Ist er irgendwann in einem Zustand, in dem kein Übergang für den gelesenen Buchstaben existiert stürzt der Automat ab, und wird das Wort nicht akzeptieren. Sonst akzeptiert der Automat das Wort, wenn er nach Lesen des Wortes in einem Zustand q F ist, und verwirft es sonst.

5 Definitionen L(A) ist die Sprache, die vom Automaten A akzeptiert wird, also die Menge aller Wörter, die von diesem Automaten akzeptiert werden. Die erweiterte Übergangsfunktion ˆδ ist eine Funktion Q Σ Q, wobei δ(q, w) angibt, in welchem Zustand der Automat nach Lesen des Wortes w beim Starten in q ist.

6 Verschmelzungsrelation und Minimierung 1 Sei A ein DFA. Verschmelzungsrelation A q i A q j, wenn ˆδ(q i, w) F ˆδ(q j, w) F für alle w Σ Zeuge Ein Zeuge für q i A q j ist ein Wort w Σ mit ˆδ(q i, w) F und ˆδ(q j, w) F (oder umgekehrt).

7 Verschmelzungsrelation und Minimierung 2 Verschmelzen von äquivalenten Zuständen Algo: Wenn ein Paar von 2 Zuständen nach Lesen eines Buchstabens in nicht äquivalente Zustände führt, kann das Paar nicht äquivalent sein. Starte mit q i A q j für q i F, q j F. Fülle schrittweise die Tabelle (siehe Tafel).

8 Nerode Automat, Äquivalenzklassen und Index Nerode-Relation Verschmelzungsrelation A beschreibt äquivalente Zustände, Nerode-Rlation L beschreibt äquivalente Worte: u L v, wenn uw L vw L für alle w Σ Ein Zeuge für u L v ist w Σ mit uw L und vw L (oder umgekehrt).

9 Definition NFA NFA NFA = Nichtdeterministischer endlicher Automat A = (Σ, Q, δ, q 0, F ) δ ist hier eine Funktion δ : X Σ P(Q), weist also jedem Zustand nach Lesen eines Buchstabens eine Menge von möglichen Zuständen zu. Ein NFA akzeptiert ein Wort w genau dann, wenn ein Weg vom Startzustand in einen Zustand in F existiert, so dass an den durchlaufenen Kanten das Wort w steht. In jedem Zustand q Q kann der Automat in eine Menge von Zuständen wechseln, wenn er einen Buchstaben a Σ einliest. Können NFAs mehr als DFAs? Warum nicht?

10 Potenzmengenkonstruktion Verfahren, um zu einem gegebenen NFA A einen DFA A zu konstruieren, der äquivalent ist, also L(A) = L(A ) gilt. Benutze einen DFA mit einem Zustand für jede mögliche Zustandsmenge, in der der NFA jemals sein kann. Es ergibt sich eine Zustandsmenge Q P(Q). Biege die Zustandsübergänge entsprechend zurecht. Für einen Zustand {q 1, q 2 } Q sollte beim Lesen von a in einen Zustand {q 1, q 3, q 5 } gemacht werden, wenn der ursprüngiche NFA beispielsweise die beiden Übergänge δ(q 1, a) = {q 1, q 3 } und δ(q 2, a) = {q 3, q 5 } enthält. Die akzeptierenden Zustände des konstruierten DFA sind alle Zustände, die die akzeptierenden Zustände des ursprünglichen NFA enthalten Der Startzustand des DFA ist {q 0 }, wenn q 0 der ursprüngliche Startzustand des NFA war.

11 Was ist eine Sprache? Was ist eine Sprache? Eine Sprache L über einem Alphabet Σ ist eine Menge von Worten, die aus Zeichen aus Σ bestehen. Beispiele: L 1 := {u : u {a, b} } (alle Wörter über Σ = {a, b}) L 2 := {u : u L 1, 1 < u < 3} = {a, b, aa, ab, ba, bb} L 3 := L 2 L 1 = {u : u {a, b}, u > 1} Für einen Automaten D ist L(D) = {w : D akzeptiert w} Reguläre Sprache Eine Sprache L ist regulär, wenn man einen DFA oder NFA A mit L(A) = L konstruieren kann.

12 Wann ist eine Sprache regulär, wann nicht? Satz von Nerode index(l) ist die Anzahl der Nerode-Äquivalenzklassen (= Anzahl Zustände eines minimalen vollständigen DFA für L). Es gilt: L ist regulär index(l) < L ist nicht regulär index(l) = Kann man verwenden, um zu zeigen, dass eine gegebene Sprache L nicht regulär ist. Idee: Finde unendlich viele Wörter w i Σ, und Zeugen z i Σ, die diese paarweise voneinander trennen, so dass also w i z i L und w j z i L für i j gilt. Daraus folgt: Es muss unendlich viele Äquivalenzklassen geben, der Index der Sprache muss unendlich sein und sie ist damit nicht regulär.

13 Reguläre Sprachen Reguläre Ausdrücke Die Syntax der regulären Ausdrücke als kontextfreie Grammatik mit den Produktionsregeln { } P := R a ε (R R) (R R) R können genauso viel wie DFAs und NFAs (siehe Vorlesung Theoretische Informatik 2)

14 Kontextfreie Grammatik Eine Kontextfreie Grammatik G = (Σ, V, S, P) besteht aus: Dem Alphabet/Menge der Terminalsymbole Σ mit Symbolen, die nicht ersetzt werden können. Der Menge von Variablen V, auch Nichtterminale genannt. Einem Startsymbol S V Einer Menge P von Produktionen. Produktionen bilden eine Variable auf ein Wort aus Variablen und/oder Terminalen ab. Jede Produktion sagt aus, dass man das jeweilige Nichtterminal durch die entsprechende Produktion ersetzen darf. Jedes Wort nur aus Terminalen, das sich so konstruieren lässt, ist in der Sprache L(G)

15 Ableitungen und Ableitungsbäume Ableitung Eine Ableitung eines Wortes w ist eine Folge von Ersetzungen anhand von Produktionen aus P, angewandt auf das Startsymbol, bei der am Ende das Wort w herauskommt. Kann verwendet werden, um zu belegen, dass ein bestimmtes Wort in der Sprache der Grammatik ist Ableitungsbaum Ein Baum, der mögliche Ableitungen eines Wortes angibt. Ein Ableitungsbaum kann mehrere verschiedene Ableitungen abstrahieren, ist also nicht eindeutig, die Reihenfolge der einzelnen Ableitungsschritte ist nicht definiert.

16 Aufgaben - DFA 1

17 Aufgaben - DFA 2

18 Aufgaben - DFA 3

19 Aufgaben - Nerode-Automat

20 Aufgaben - Regularität

21 Aufgaben - NFA