( ) X t. = dt 2 τ. berücksichtigen, wird im Johnson-Mehl-Avrami-Ansatz in (9.23) künstlich ein Faktor ( ) eingebracht. Abbildung 9.

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1 Johnson-Mehl-Avami-Kinetik Fü einfache Übelegungen zum Ablauf von Reaktionen wid oft die sogenannte JMA-Kinetik vewendet (besondes in technisch oientieten Atikeln). Die gundsätzliche Vogehensweise können wi am eispiel des Wachstums von Ausscheidungen ableiten. Wi ignoieen die Tatsache, dass Ausscheidungen est duch Keimbildung entstehen. De ausgeschiedene Volumenbuchteil de zweiten Phase veändee sich nu duch das Wachstum von Ausscheidungen. Chaakteisieen wi den Fotschitt de Entmischungseaktion duch die Zunahme des ausgeschiedenen Volumenbuchteils und beechnen diesen duch das Vehalten eine epäsentativen mittleen Ausscheidung 4π ( t) t X = = γ ( Dt ) = 4π (9.) τ mit geeigneten Konstanten γ ode τ. dx = dt τ t (9.) In den späten Stadien de Entmischungseaktion übelappen die Diffusionshöfe und das Wachstum de Ausscheidungen muss fühe ode späte zum Eliegen kommen. Um dies zu X beücksichtigen, wid im Johnson-Mehl-Avami-Ansatz in (9.) künstlich ein Fakto ( ) eingebacht. dx = t dt τ ( X ) Die Lösung de Diffeentialgleichung (9. ) ist dann gegeben duch: ( ) X t t (9. ) = e τ (9.4) Abbildung 9.4 (eweis: Nachechnen) Eine Skizze diese Lösung ist in Abb. 9.4 gezeigt. Wie dot zu sehen, besitzt die Lösung einen S-fömigen Velauf. De Schnittpunkt de Wendetangente mit

2 7.5. de t-achse wid in de Liteatu häufig etwas unschaf als Inkubationszeit t i bezeichnet, ab de die Entmischungseaktion einsetzt. Tatsächlich beginnt die Reaktion beeits fühe, sie ist in den fühen Stadien lediglich nicht beobachtba, weil die Ausscheidungen noch zu klein sind. 9.5 Umlösung, Ostwaldeifung Eine genauee etachtung de späten Entmischungsstadien wid duch die sogenannte Umlösungstheoie vemittelt, welche Landau und Slyozov und unabhängig C. Wagne Mitte de 6e Jahe des letzten Jahhundets estmals ableiteten. ei de Umlösung wachsen goße Ausscheidungen auf Kosten kleinee (Vegöbeung) unte eibehaltung des gesamten Volumenanteils de Ausscheidungsphase. Die Tiebkaft fü diese Reaktion egibt sich aus de Reduktion de totalen Genzfläche in de Pobe und de damit vebundenen Enegieabsenkung. Die sogenannte Ostwaldeifung bezieht sich auf die Silbehalogenid- Auscheidungen in klassischem Photomateial. Das Wachstum diese Ausscheidungen veusacht die Schwäzung des Filmateials. Umlösung vegöbet das Kon, eduziet also die Schäfe de Abbildung. Abbildung 9.5 etachten wi das chemische Potential de -Atome in eine Ausscheidung bei Anwesenheit eine gekümmten Genzfläche (die Ausscheidung enthalte als Näheung % -Atome). Die Gibbsche Feie Enegie eine Ausscheidung folgt aus Volumen- und Obeflächentem: Gp = n gv + O Hiebei bezeichnet O die Obefläche und die spezifische Genzflächenenegie. Ableiten nach de Anzahl de -Atome liefet wie imme das chemische Potential diese Komponente: ( ) 4 ( p) dg d π p : = = g V + dn dn De letzte Summand lässt sich umfomen zu: d ( 4π ) d dv = 8π dn dv dn ( p) dv = 4π d = + (9.5) Wi finden ein seh geneelles Egebnis an eine gekümmten Genzfläche untescheidet sich das chemische Potential de Komponenten zwischen innen und außen. Hie konket

3 7.5. wächst das chemische Potential de -Atome innehalb de Ausscheidungen mit abnehmendem Teilchenadius. Damit ein Teilchen in de Matix stabil ist, muss übe die Genzfläche zwischen Ausscheidung und Matix hinweg ein Gleichgewicht de chemischen Potentiale efüllt weden. Das chemische Potential de Matix scheibt sich: ( m) ν = + kt lnν = + kt lnν + kt ln (9.6) ν ν bezeichnet die Gleichgewichtskonzentation de Matix, wie sie als Löslichkeitsgenze im Phasendiagamm ausgewiesen wid. Gleichsetzen mit (9.5) liefet: ν = kt ln ν kt e ν = ν ode auch kt c = c e (9.7) De Ausduck (9.7) wid als Gibbs-Thomson-Gleichung bezeichnet. In Abbildung 9.6 ist die Situation fü zwei benachbate, veschieden goße Ausscheidungen dagestellt. Aufgund von Gl. (9.7) ist die Gleichgewichtskonzentation in de Matix an de Genzfläche zu Ausscheidung hin bei de kleinen Ausscheidung höhe als bei de goßen. Es kommt daduch zu einem Diffusionstanspot de -Atome aus de Umgebung de kleinen Ausscheidung hin zu Umgebung de goßen. Mit de Zeit wid sich mithin die kleine Ausscheidung auflösen und die goße hingegen wachsen. etachten wi, um einen quantitativen Ausduck abzuleiten, jetzt das Wachstum eine ausgezeichneten Ausscheidung mit dem Radius in eine Matix de mittleen Zusammensetzung c. Dazu lineaisieen wi zunächst Gl. (9.7) zu Veeinfachung: c' + c kt c = c kt (9.8)

4 7.5. Abbildung.6 Mit dem Wachstumsgesetz eines Teilchens (siehe 9.) folgt: d dt c c ɶ = D d Dɶ c = Dɶ c = dt kt kt Offensichtlich schumpfen Ausscheidungen mit < und Ausscheidungen mit wachsen (vgl. Abbildung 9.6). Im Mittel übe alle Ausscheidungen muss de mittlee Radius also zunehmen. Duch Mittelung übe alle Teilchengößen lässt sich die zeitliche Entwicklung des mittleen Radius beechnen aus: d Dɶ c m = dt kt > (9.9) Fü die Lösung diese Diffeentialgleichung nehmen wi eine stationäe Gößenveteilung N ( ρ); ρ = / de Ausscheidungen an. D.h. bezogen auf den jeweiligen mittleen Radius hat die Gößenveteilung eine feste Fom. Damit lassen sich die in Gl. (9.9) auftetenden Mittelwete alle ausweten: N d = = α N d α = Die auftetenden Konstanten α und α hängen dabei von de genauen Gestalt de Gößenveteilung ab. Dies wude von Landau, Slyozov und Wagne in de Tat theoetisch 4

5 7.5. beechnet. Ihe exakte Fom und damit die Wete von α und α wollen wi hie nicht ableiten (efodet kompliziete, längliche Rechnung). Setzen wi die beiden Mittelwete in Gl. (9.9) ein, so findet man d dt α = Dabei ist die Konstante α ist dann natülich eine Kombination aus α und α. In exakte Lösung fanden die dei genannten theoetischen Physike das kubische Vegöbeungsgesetz ode auch Gesetz von Lifshitz-Slyozov-Wagne (LSW) zu D c m = αt = ɶ t (9.) kt mit einem Anfangsadius. De Teilchenadius wächst also mit de ditten Wuzel de Zeit. Die Umlösung (Vegöbeung) ist folglich ein seh langsame Pozess. Wid die Wachstumskonstante α mit einem geeigneten Expeiment bestimmt, kann mit Hilfe von Gl. (9.) das Podukt ɶ D bestimmt weden. Ist schließlich de Diffusionskoeffizient aus eine unabhängigen Tanspotmessung bekannt, kann soga die Genzflächenenegie sepaiet quantifiziet weden. Abbildung.7: LSW-Veteilung zusammen mit expeimentellen Daten de Entmischung eine Al-Li- Legieung 5