LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN. 3. Übung/Lösung Mathematik für Studierende der Biologie

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1 LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR BIOLOGIE Prof. Anreas Herz, Dr. Stefan Häusler Department Biologie II Telefon: Großhaernerstr. Fa: Planegg-Martinsrie. Übung/Lösung Mathematik für Stuierene er Biologie.0.08 Abgabe in en Tutorien. Die Aufgaben weren in en Tutorien vom 8. un 9. November besprochen. Aktuelle Infos un Übungszettel finen Sie unter: (Nichtlineare Iterierte Abbilungen - Stabilität einer Fipunkt-Lösung) [ P] Die nichtlineare Iterierte Abbilung t+ = f( t ) habe eine Fipunkt-Lösung (,,,...) t N mit = f( ). Um eren Stabiltät zu untersuchen, betrachten wir kleine Störungen y t = t. (a) Durch welche (nichtlineare) Iterierte Abbilung wir ie Zeitentwicklung von y t beschrieben? Um iese Frage zu beantworten, setzen Sie ie Iterierte Abbilung t+ = f( t ) in ie Gleichung y t+ = t+ ein un ersetzen Sie anschließen t urch t = + y t. (b) Entwickeln Sie nun f( + y t ) für kleine Störungen y t in eine Taylorreihe bis einschließlich es linearen Terms. Welche (lineare) Iterierte Abbilung erhalten Sie für y t? (c) Unter welchen Beingungen an f ( ) ist ie Fipunkt-Lösung asymptotisch stabil, wann instabil un wann marginal stabil? () Wenen Sie Ihr Ergebnis auf ie nichtlineare Iterierte Abbilung t+ = a t ( t ) an. Betrachten Sie en trivialen Fipunkt = 0 un (für a > 0) ie von Null verschieene Lösung. (a) y t+ = t+ y t+ = f( t ) y t+ = f( + y t ) (b) f( + y t ) f( ) + f ( )y t für y t. y t+ = f( + y t ) y t+ f ( )y t + f( ) = f ( )y t mit er zeitabhängigen Lösung y t = c [f ( )] t, c = y 0 = 0. (c) Asymptotisch stabil: Für < f ( ) <. Marginal stabil: Für f ( ) =. Instabil: Sonst. () Fipunkt = 0: f ( ) = a ( ) wir mit = 0 zu f ( ) = a. Asymptotisch stabil für < a <. Für y t gilt y t+ f ( )y t = ay t. Fipunkt = a : f ( ) = a ( ) wir zu f ( ) = a. Asymptotisch stabil für < a <. Für y t gilt y t+ f ( )y t = ( a)y t.. (Kurveniskussion) Diskutieren Sie ie Funktionen f() = 4 4, un g() = + [ P]

2 nach folgenem Schema: (a) Welche Symmetrieeigenschaften hat ie Funktion? (b) Welche Nullstellen hat ie Funktion? (c) Wie ist as asymptotische Verhalten er Funktion für ±? () Ist ie Funktion stetig? Wie verhält sich ie Funktion an en Polstellen (falls sie welche besitzt)? (e) Bestimmen sie für f() sämtliche höhere Ableitungen un für g() ie ersten rei Ableitungen. (f) Hat ie Funktion lokale Etrema? Wo liegen sie? (g) Hat ie Funktion absolute Etrema? Wo liegen sie? (h) Für welche ist ie Funktion monoton steigen bzw. monoton fallen? (i) Wie ist as Krümmungsverhalten? In welchen Bereichen ist ie Funktion konve, in welchen ist sie konkav? Wo sin Wenepunkte? (j) Skizzieren Sie ie Funktion (ohne weitere Funktionswerte zu berechnen!). Hinweis: Ist ie Ableitung von g() stetig bei = 0? Kann man in em Fall einer Unstetigkeit ie Gleichungen g() = 0 un g() 0 zur Bestimmung eines Etremums benutzen? f() = 4 4 (a) Symmetrie: f() = f( ) 4 4 = ( ) 4 4( ) f() ist gerae (b) Nullstellen: 0 = 0, / = ± (c) ± f() = () Stetigkeit: g() = un h() = 4 sin stetige Funktionen, f() ist eine Summe beier Funktionen multipliziert mit konstanten Faktoren f() ist stetig (e) f = 4 8, f = 8, f = 4, 4 f = 4 4 (f) lokale Etrema: 0 = f = 4 8 E0 = 0, E/ = ± f( E0 ) = 8 < 0 lokales Maimum bei (0, 0) f( E/ ) = 6 > 0 lokale Minima bei (±, 4) (g) a ± f() = sin ie Minima bei (±, 0) auch globale Minima (h) monoton fallen: E = E0 = 0 E = monoton steigen: E = 0 E = (i) Wenepunkte: W/ = ± (±, 0 9 ) konve: W = W = konkav: W = W = (j) 8 6 4

3 g() = + (a) Symmetrie: g() = g( ) + = ( ) + g() ist gerae (b) Nullstellen: 0 = 0, / = ± (c) ± g() = () Stetigkeit: Die Wurzelfunktion ist stetig auf R +, un jee Potenz von ist stetig auf R. Bleibt nur noch zu prüfen, ob 0 g() = 0 = 0 + g() g() ist überall stetig. sign() (e) g = +, g = 4, / g = sign() 8 5/ (f) lokale Etrema: 0 = sign() g = +. Suchen wir zuerst eine positive Lösung, un setzen = z. Die Gleichung + sign() = z + = 0, unter er Annahme, aß z > 0. z Also, z = 4 /, oer E/ = ± 4/, unter Berücksichtigung er Symmetrieeigenschaft von g(). g( E/ ) = < 0 lokale Maima bei (± 4/, 8/ + / ) (±0.40, 0.47). Zwischen zwei lokalen Maima muß bei einer stetigen Funktion ein Minimum liegen. Man bemerke, aß 0 + g () = +, währen 0 + g () =, also finet bei E0 = 0 ein Vorzeichenwechsel statt, weswegen hier as Minimum liegt. Die Ableitung ist nicht stetig! Die Lehre ist, aß man nicht blin g = 0 setzen arf. (g) a ± g() = sin ie Maima bei (± 4/, 8/ + / ) auch globale Maima (h) monoton steigen: E = 4/ E0 = 0 E = 4/ monoton fallen: E = 4/ 0 E = 4/ (i) Keine Wenepunkte! (j) g() = < 0 für alle! Also konkav, laut Definition. 4 / (Raioaktiver Zerfall) Zur Zeit t = 0 sei ie Masse einer raioaktiven Substanz gleich 0. Sie zerfalle eponentiell, [ P] (t) = 0 e αt α: Zerfallskonstante. (a) Zur Zeit t / ist noch ie Hälfte er Anfangssubstanz vorhanen (Halbwertszeit). Wie hängen t / un α zusammen? (b) Zeichne (t) als Funktion von t in einer halb-logarithmischen Darstellung. Wie hängt er Graph von α un 0 ab? (a) Aus (t / ) = (0)/ folgt 0 e α t / = 0 e α 0 un somit e α t / =

4 α t / = ln ( ) = ln t / = ln α (b) Halb-logarithmische Darstellung: Auf er y-achse wir y(t) = log (t) = ln (t) ln(0) = ln ( 0 e αt ) = ln( 0) ln(0) ln(0) αt ln(0) aufgetragen. Dies ist eine Gerae mit Steigung α/ ln(0) un Versatz ln( 0 )/ ln(0). 4. (Skalengesetze) [ P] Die Oberfläche O eines Körpers skaliere wie as Quarat seiner Länge l, O = k l, as Volumen V wie ie ritte Potenz er Länge, V = c l, mit c, k R +. Zeichnen Sie iese Zusammenhänge in ein Koorinatensystem mit oppelt-logarithmischer Darstellung. Wie änern sich ie Graphen, wenn sich k un c änern? Welche Linie ergibt sich für ein Fraktal, essen Oberfläche O F sich wie γ l a mit γ R + verhält? Welche Werte von a erscheinen Ihnen plausibel? Doppelt-logarithmische Darstellung: Auf er -Achse wir (l) = log(l) aufgetragen. Auf er y-achse wir y(l) = log O F (l) = log (γ l a ) = log(γ) + a log(l) = log(γ) + a (l) aufgetragen. Dies ist eine Gerae mit Steigung a un Versatz log(γ). Für O un V entsprechen jeweils k un c em Versatz er Geraen. Für Werte a > 0 wächst O F mit l.

5 5. (Ableitungsregeln) Berechnen Sie ie erste Ableitung f er Funktionen (a) f() = + (b) f() = 4 (c) f() = /6 + / () f() = ( + ) e (e) f() = + (f) f() = e (g) f() = log (h) f() = ln (i) f() = e / (j) f() = ln(4 k) (k) f() = (l) f() = log + t 4 (4 e ) ( ) a + (m) f() = (ln ) ln(ln ) ln (n) f() = log a (o) f() = + a [ P] (a) f () = (b) f () = 4 (c) f () = / / () f () = e (e) f () = (/ ) (f) f () = ( + )e (g) f () = (h) f () = (i) f () = ln e (j) f () = 0 (k) f () = (l) f () = e ( + t ) (m) f () = (ln(ln ))/ (n) f a () = (a (o) f () = ) ln a 4 ( + ) 6. (Taylor-Entwicklung) [ P] Entwickeln Sie folgene Funktionen bis zur. Ornung am angegebenen Punkt 0. (a) f() = ln(), 0 = (b) f() = sin(), 0 = 0 (c) f() = e, 0 = 0 () Berechnen Sie ie erste Ableitung er Taylor-Entwicklung aus c). Was stellen Sie fest? (a) f () =, f () =, f () =, allgemein f (n) () = (n )!( )n+ n=0 f (n) ( 0) n! ( 0 ) n = ln() + (n )!( ) n+ n= n n! ( ) n = n= n un ( ) n+ n ( ) n = ( ) ( ) + ( )... (b) f () = cos(), f () = sin(), f () = cos(), allgemein f (n) () = sin( + nπ/) un n=0 f (n) ( 0) n! ( 0 ) n = sin(0) + sin(nπ/) n= n! n = ( ) n n=0 (n+)! n+ = (c) f () = e, f () = e, f () = e, allgemein f (n) () = e un f (n) ( 0) n=0 n! ( 0 ) n = e 0 + n= e0 n! n = n=0 n! n = ( +... () n=0 n! n) = n=0 n! n. Die Ableitung er Taylor-Entwicklung ist gleich er Taylor-Entwicklung. 7. (e l Hospital) Bestimmen Sie folgene Grenzwerte mit er Regel von e l Hospital. (a) 4 (b) sin() 0 (c) 0 ( a ln ), a R + () ( a ln ), a R + [ P]

6 4 (a) = = 4 sin() cos() (b) = = 0 0 (c) = 0 a a = 0 a a () ln a = = aa 0 a a a = 0 a = 0