Teil 1 Zehn einfache Prüfbeispiele zur Verifikation von Software-Ergebnissen. Beispiel 1 Einachsige Biegung mit Druck 11

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Franz Dittmar
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1 Inhaltsverzeichnis Vorwort Zum Gebrauch dieses Buches 1 Teil 1 Zehn einfache Prüfbeispiele zur Verifikation von Software-Ergebnissen Beispiel 1 Einachsige Biegung mit Druck 11 Kragstütze mit aufgesetztem Koppelträger Beispiel 2 Durchschlagprobleme Analyse nach Th.II.O. unzulässig 16 Unsymmetrisches v. MISES-Fachwerk mit geringem Stichmaß Beispiel 3 Doppelbiegung ein simpler Fall? 20 Gabelgelagerter Einfeldträger mit Einzellasten F y und F z in Feldmitte Beispiel 4 Planmäßig zentrische Druckbeanspruchung Biegeknicken nach zwei Richtungen, Drillknicken 26 Über vier Geschosse durchlaufende, planmäßig zentrisch beanspruchte Stütze mit unterschiedlichen Randbedingungen in y- und z-richtung Beispiel 4a: Gabellagerung in jedem Geschoss 26 Beispiel 4b: Gabellagerung nur an den Enden der Stütze 29 Beispiel 5 Gekoppelte Beanspruchung in der System-Ebene und senkrecht zur Ebene 33 Ebenes Rautenfachwerk mit biege- und torsionssteifen Knoten Beispiel 6 Biegedrillknicken ohne Normalkraft ein Standard-Beispiel aus der Literatur 37 Gabelgelagerter Einfeldträger mit Streckenlast und sinusförmiger Vorkrümmung Beispiel 7 Biegedrillknicken mit Normalkraft 40 Abgespannter Träger mit Kragarm Beispiel 7a: Anschluss der Abspannung im Schwerpunkt Beispiel 7b: Anschluss der Abspannung am Obergurt Beispiel 8 Zustandslinien der Torsionsmomente Verlauf an Lasteinleitungspunkten 47 Tordierter Balken mit Längs- und Querlasten

2 VIII Inhaltsverzeichnis Beispiel 9 Torsion wölbfreier Querschnitte für Software unerwartet problematisch 50 Tordierter Kragträger Beispiel 10 Wie genau wird die nichtlineare Verformungsgeometrie erfasst? 53 Zwei Prüfbeispiele mit ebener Beanspruchung Beispiel 10a: Biegeträger mit beidseitig unverschieblichen Lagern 53 Beispiel 10b: Kragträger mit Lastmoment am freien Ende 55 Teil 2 Nichtlineare Stabtheorie großer Verformungen bei räumlicher Beanspruchung Theoretische Grundlagen und weitere Prüfbeispiele 1 Einleitung 61 2 Theorie II. und III. Ordnung die großen Missverständnisse 2.1 Vorbemerkungen Verformungsgeometrie Gleichgewicht am verformten System Einfluss der Normalkraft auf die Verdrillung Berücksichtigung der Wölbkrafttorsion und der sekundären Schubverformungen Asymptotisches Verhalten und Genauigkeit Durchschlagprobleme Allgemeines Beispiel: Stahlträger einer pagodenförmigen Kuppel Klassifizierung Superposition Theorie III. Ordnung DIN / EC3: Nachweis am Gesamtsystem Zusammenfassung 90

3 Inhaltsverzeichnis IX 3 Torsionstheorie II. Ordnung: Wölbkrafttorsion mit Normalkraft 3.1 Vorbemerkungen Erläuterung der Problematik an einem Beispiel Herleitung des Torsionsmomenten-Anteils M xn Klärung für den Sonderfall const Belastung durch M T und N (inhomogener Fall) Drillknicken (homogener Fall) Spannungen Baustatische Relevanz Allgemeiner Fall const Problemstellung Übergangsbedingungen an Lasteinleitungsstellen innerhalb eines Trägers Bedingungen am Rand eines Trägers Einleitung von M T bzw. F x : Zusammenfassung Drillknicken DK-Last des beidseitig gabelgelagerten Trägers Abgrenzung Drillknicken / Biegeknicken (DK / BK) Einfluss des Wölbwiderstands auf die Drillknicklast Last-Verdrillungskurven und asymptotisches Verhalten Torsionstheorie großer Verformungen 4.1 Vorbemerkungen Helix-Torsion: der Schraubenlinien-Effekt Geometrie der Schraubenlinie (Helix) Helix-Normalspannungen xh und Helix-Torsionsmoment M xh Ermittlung der Helix-Flächenmomente Helix-Schubspannungen xh Torsion mit Normalkraft: Sonderfall const Gleichgewicht, Differenzialbeziehung, Drillknicken Verformungen und Zustandslinien Last-Verdrillungskurven Analytische Lösung Ausnutzungsgrad des Querschnitts und baustatische Relevanz Torsion mit Normalkraft: allgemeiner Fall const Gleichgewicht, Differenzialbeziehung, Drillknicken 147

4 X Inhaltsverzeichnis Zustandslinien Last-Verdrillungskurve Spannungen und Querschnittsausnutzung Analogiebetrachtungen zu M xn und M xh an zwei Makro-Systemen Analogiebetrachtung zu M xn Analogiebetrachtung zu M xh Allgemeine Stabtheorie großer räumlicher Verschiebungen und Drehungen 5.1 Vorbemerkungen Grundlagen und Annahmen Kinematik des Stabraums Annahmen und Voraussetzungen zur Beschreibung der Deformation Klassische Kinematik: Drehung mit Winkelgrößen Rotation um eine schiefe Raumachse Rotation um raumfeste Koordinatenachsen Rotation um Folgeachsen (Kardanwinkel) Semitangentiale Drehungen Bewertung der Verwendung von Winkelgrößen Drehungen, ausgedrückt durch Verschiebungen Basisvektoren und Ableitungen Drehtensor Potenzial des elastischen Stabes Einführung von Relativ- und Gesamtkinematen Verschiebungsansatz Dehnungs- und Verzerrungsmaß Allgemeine Herleitung für den Stabraum Vergleich mit den Ingenieurdehnungen Elastizitätsgesetz Potenzial der inneren Kräfte i Potenzialanteil aus Längsdehnungen: Darstellung der Potenzialterme aus Längsdehnungen i Potenzialanteil aus Schubverzerrungen: Elementkräfte und Element-Steifigkeitsmatrizen (Relativkinematik) Variation (Ableitung) nach Relativkinematen Transformation der Relativkinematen auf Gesamtkinematen 205

5 Inhaltsverzeichnis XI 5.6 Gesamtstruktur und globales Gleichgewicht Gelenke und lokale Randbedingungen für Verwölbungen Transformation von Komponenten auf globale Basen Transformation von Knotenverschiebungen u, v, w Transformation von Knotendrehgrößen w 2, u 3, u Globales Gleichgewicht und Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems Beispiel: St. VENANT-Torsion mit Normalkraft Allgemeines Verschiebungen und Verzerrungen des Stabes Verschiebungen und Verzerrungen bei St. VENANT-Torsion Gleichgewicht nach der energetischen Methode Potenzialanteil und Variation aus Längsdehnungen Potenzialanteil und Variation aus Schubverzerrungen Beispiel: Große Drehung einer Federplatte Potenzial und Gleichgewicht Berechnung der Momente: direkte Methode Berechnung der Momente über Winkelgrößen Berechnung der Drehwinkel Kontrolle der Drehmatrix T Ermittlung der Momente Zur Einleitung von Momenten mit richtungstreuer bzw. zirkulatorischer Charakteristik Änderung des Potenzials der äußeren Kräfte Beispiel zur Variation des Potenzials gem Beispiel: Kragträger mit zirkulatorischer bzw. nicht-zirkulatorischer Last Praktische Anwendungsbeispiele Durchlaufträger mit Doppelbiegung Systeme und Belastung Ergebnisse für System 1 (3 Gabellager) Ergebnisse für System 2 (2 Gabellager) Balken mit Kragarm und exzentrischer Einzellast Schlussfolgerungen aus den Beispielen Einfluss der Güte der Stabtheorie auf das Konvergenzverhalten 6.1 Einführung Potenzial für einachsige Biegung mit Druck Lineare Kräfte und Steifigkeitsmatrix 252

6 XII Inhaltsverzeichnis 6.4 Nichtlineare Kräfte und Steifigkeitsmatrix Variante 1: Berücksichtigung aller Terme, v linear Variante 2: ohne Terme 4. Ordnung, v linear Variante 3a: ohne Terme 4. Ordnung, v linear, N konstant Variante 3b: ohne Terme 4. Ordnung, v kubisch, N konstant Konvergenzverhalten und Bewertung Zusammenfassung und Ausblick 260 Literatur und EDV-Programme 263 Sachverzeichnis 268

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