c 2 c 1 AVWL I (WS 1996/97) 2-24 Prof. Dr. K. Schmidt 50 r r r v 30 Figur 2.7: Indierenzkurven bei Unischerheit Punkt im (c 1 ; c 2 )-Diagramm ist ein

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1 AVWL I (WS 1996/97) 2-23 Prof. Dr. K. Schmidt 2.7 Unsicherheit haben wir eine deterministische Welt betrachtet: Alle Bisher trafen mit Sicherheit ein. Ereignisse passiert, wenn sich der Konsument nicht sicher ist, ob Was bestimmtes Ereignis eintritt oder nicht. ein Beispiel: Es gibt zwei mogliche Zustande der Welt: 1) Zustand 1: Das Haus des Konsumenten brennt ab. 2) Zustand 2: Das Haus brennt nicht ab. Nutzen des Konsumenten aus einem bestimmten Einkommen Der hangt ab von der Realisation des Zustandes der Angenommen, sein Einkommen ist 50 TDM. Wenn Welt. Haus abbrennt, werden 20 TDM fur die Renovierung das Also bleiben in diesem Zustand nur 30 TDM fur den fallig. Konsum. sonstigen es nur zwei mogliche Zustande der Welt gibt, konnen Wenn die Praferenzen des Konsumenten mit Indierenzkurven wir zweidimensionalen Raum darstellen. Auf den Achsen wird im Konsum in Zustand 1, c 1, bzw. 2, c 2, abgetragen. der

2 c 2 c 1 AVWL I (WS 1996/97) 2-24 Prof. Dr. K. Schmidt 50 r r r v 30 Figur 2.7: Indierenzkurven bei Unischerheit Punkt im (c 1 ; c 2 )-Diagramm ist ein bedingter Konsumplan. Ein Er sagt, wieviel der Konsument konsumiert, wenn sein Haus abbrennt (c 1 ), bzw. nicht abbrennt (c 2 ). Wieder ist es sehr naturlich, da die Indierenzkurven monoton und konvex sind. Praferenzen bedeuten, da der Konsument risikoavers Konvexe (risikoscheu) ist: Er konsumiert lieber in beiden der Welt gleichviel als in einem Zustand alles Zustanden im anderen Zustand nichts. und r r r r

3 c 2 =, K K, K =, 1 c c 2 c 1 AVWL I (WS 1996/97) 2-25 Prof. Dr. K. Schmidt eine Versicherung bietet dem Konsumenten Angenommen, folgenden Vertrag an: Versicherung zahlt dem Konsumenten K DM bei Die wenn der Konsument vorab eine Versi- Hausbrand, cherungspramie von K DM bezahlt. der Konsument kann K in Zustand 2 gegen K, K D.h., Zustand 1 tauschen: in 50 50, K r r r v v 30, K + K 30 1, r, 1, Steigung Figur 2.8: Budgetgerade bei Versicherungsmoglichkeit Versicherung erlaubt es dem Konsumenten, Konsum Die verschiedenen Zustanden der Welt zu verschieben. zwischen r r r r

4 GRS =, AVWL I (WS 1996/97) 2-26 Prof. Dr. K. Schmidt Optimum wird der Konsument einen Punkt auf der Budgetgeraden Im wahlen, bei dem die Grenzrate der Substi- gerade gleich dem Anstieg der Budgetgeraden tution ist:. Achtung: 1, Der Verlauf der Indierenzkurven hangt von den der Zustande 1 und 2 ab: Wahrscheinlichkeiten Zustand 1 sehr unwahrscheinlich ist, dann Wenn der Konsument eher bereit, Einkommen in Zu- ist 1 aufzugeben, um zusatzliches Einkommen stand Zustand 2 zu erhalten. Die Indierenzkurve in wird acher. Auch die Steigung der Budgetgeraden hangt von Wahrscheinlichkeiten ab: den Zustand 1 unwahrscheinlicher wird, dann Wenn die Versicherung eine geringere Pramie wird um im Schadensfall 1 DM auszuzahlen. verlangen, Budgetgerade wird acher.

5 AVWL I (WS 1996/97) 2-27 Prof. Dr. K. Schmidt Nutzenfunktionen und Wahrscheinlichkeiten 2.8 ist oft einfacher, die Praferenzen des Konsumenten bei Es mit Hilfe von Nutzenfunktionen darzustellen. Unsicherheit Nutzen des Konsumenten hangt ab vom Konsum in den einzelnen Zustanden der Welt von den Wahrscheinlichkeiten, mit denen die jeweiligen Zustande der Welt erwartet werden. werden die Zustande der Welt immer so denieren, da Wir sich wechselseitig ausschlieen. ) Es wird immer exakt sie Zustand der Welt realisiert. ) Die Wahrscheinlichkeiten ein der Zustande mussen sich immer zu 1 aufaddieren. Beispiele fur Nutzenfunktionen: U(c 1 ; c 2 ; 1 ; 2 ) = 1 c c 2 = c 1 +(1,)c 2. U(c 1 ;c 2 ; 1 ; 2 ) = ln(c 1 ) + (1, )ln(c 2 ).

6 AVWL I (WS 1996/97) 2-28 Prof. Dr. K. Schmidt diese Beispiele sind linear in den Wahrscheinlichkeiten. Alle andere Nutzenfunktionen sind denkbar, aber Auch von Neumann und Oskar Morgenstern John in den 40er Jahren gezeigt, da die Nutzen- haben eines Konsumenten linear in den Wahrscheinlichkeitefunktion sein mu, wenn die Praferenzen Konsumenten bestimmten Konsistenzbedingungen des genugen. dieser Konsistenzbedinungen kennen wir bereits: Die Einige des Konsumenten soll vollstandig, re- Praferenzordnung exiv und transitiv sein. Neumann und Morgenstern stellen zusatzliche Anforderungen, Von die damit zusammenhangen, da die Konsumenten Unsicherheit zwischen verschiedenen Lotterien auswahlen. bei Anforderungen sind etwas technisch, so da wir sie Diese nicht im Detail erlautern konnen. Wenn diese Anforderungen erfullt sind, dann lassen Aber: die Praferenzen des Konsumenten durch eine Nutzen- sich funktion der Form darstellen. U(c 1 ; c 2 ; 1 ; 2 ) = u(c 1 )+(1,)u(c 2 )

7 AVWL I (WS 1996/97) 2-29 Prof. Dr. K. Schmidt Eine solche Nutzenfunktion heit auch von Neumann-Morgenstern Nutzenfunktion, bzw. Erwartungsnutzenfunktion, weil der Nutzen hier gleich Erwartungswert des Nutzens ist, der durch die dem Funktion u(c) gemessen wird. wir eine Erwartungsnutzenfunktion haben, dann konnen Wenn wir keine beliebige monotone Transformation mehr vornehmen, aber: eine Erwartungsnutzenfunktion die Praferenzen Wenn eines Konsumenten reprasentiert, dann werden Praferenzen auch durch jede lineare Transformation diese dieser Nutzenfunktion reprasentiert. Beispiel: Die Nutzenfunktion des Konsumenten sei: U(c 1 ; c 2 ;) = ln(c 1 ) + (1, )ln(c 2 ) nun die lineare Transformation V(U) = a + b U, Betrachte > 0. Dann ist auch die Nutzenfunktion b V (c 1 ;c 2 ;) = a+b[ln(c 1 ) + (1, )ln(c 2 )] = [a + b ln(c 1 )] + (1, )[a+bln(c 2 )] Erwartungsnutzenfunktion, die dieselben Praferenzen eine reprasentiert.

8 AVWL I (WS 1996/97) 2-30 Prof. Dr. K. Schmidt 2.9 Risikoaversion Betrachte eine einfache Lotterie: Konsument hat 10 DM. Er uberlegt, an einer Lotterie Ein bei der er teilzunehmen, mit 50% Wahrscheinlichkeit 5 DM verliert, mit 50% Wahrscheinlichkeit 5 DM gewinnt. Erwartungswert seines Vermogens ist also gerade Der DM. 10 Wie hoch ist sein Erwartungsnutzen? U = 0:5 u(5dm) + 0:5 u(15dm) Konsument wird an der Lotterie teilnehmen, genau Der wenn dann 0:5 u(5dm) + 0:5 u(15dm) 1 u(10dm) diese Bedingung erfullt ist, hangt von der Form der Ob u() ab. Funktion Wir konnen 2 Falle unterscheiden:

9 AVWL I (WS 1996/97) 2-31 Prof. Dr. K. Schmidt 1) Der Konsument ist riskoavers Nutzen r r r Figur 2.9: Risikoaversion r r r Vermogen risikoaverser Konsument wird die sichere Auszahlung Ein 10 DM einer Lotterie mit Erwartungswert von 10 DM von Das ist genau dann der Fall, wenn seine Nutzenfunktion vorziehen. u() konkav ist!

10 AVWL I (WS 1996/97) 2-32 Prof. Dr. K. Schmidt 2) Der Konsument ist riskofreudig Nutzen r r r Figur 2.10: Risikofreude r r r Vermogen risikofreudiger Konsument wird die Lotterie mit Erwartungswert Ein von 10 DM einer sicheren Auszahlung von 10 DM Das ist genau dann der Fall, wenn seine Nutzenfunktion vorziehen. u() konvex ist!

11 dk = (1, )u0 (30 + K, K), (1, )u 0 (50, K) = 0 dk 2 = (1, )2 u 00 (30 + K, K) + (1, ) 2 u 00 (50, K) < 0 0 (30 + K, K) u, )u 0 (50, K) = (1 AVWL I (WS 1996/97) 2-33 Prof. Dr. K. Schmidt 2.10 Die Nachfrage nach Versicherung Betrachten Sie wieder das Beispiel des Hausbrandes: Der Konsument besitzt 50 TDM. Die Wahrscheinlichkeit eines Brandes sei %. Der Verlust im Falle eines Brandes ist 20 TDM. Die Versicherung bietet 1 DM im Brandfall fur DM an. Pramie Der Konsument ist risikoavers, d.h. u 00 () < 0. Der Konsument maximiert: max K u(50, 20 + K, K) + (1, )u(50, K) Bedingung 1. Ordnung fur ein Maximum: d 2. Ordnung Bedingung 2 d ist global erfullt, weil u 00 < 0. Also mu im Optimum gelten: 1,

12 0 (30 + K, K) u, )u 0 (50, K) = (1 AVWL I (WS 1996/97) 2-34 Prof. Dr. K. Schmidt sagt nichts anderes, als da die Grenzrate der Substitution Das gleich der Steigung der Budgetgeraden sein mu. wir an, da die Versicherung im Erwartungswert Nehmen macht, d.h., eine \versicherungstechnisch fai- Nullgewinne ren" Tarif anbietet. Dann mu gelten: bzw. =. K, K = 0 ; impliziert fur das Maximierungsproblem des Konsumenten: Das bzw. 1, u 0 (30 + K, K) = u 0 (50, K) u() konkav ist, dann existiert nur ein K, das diese Wenn erfullt. Fur dieses K mu gelten: Bedingung 30 + K, K = 50, K nach K ergibt K = 20, d.h., der Konsument wird Auosen vollstandig versichern. sich Sie, da dieses Resultat vollig unabhangig von Beachten speziellen Form von u() ist, solange der Konsument der nur risikoavers ist.

13 AVWL I (WS 1996/97) 2-35 Prof. Dr. K. Schmidt 2.11 Der Umgang mit Risiken haben gesehen, da risikoaverse Konsumenten unter Wir leiden. Es gibt verschiedene Moglichkeiten, das Risiko Risiko selbst oder zumindest die Kosten des Risikos zu verringern. Versicherung. Hier ubernimmt die Versicherung das 1) des Konsumenten. Wenn die Versicherung risiko- Risiko oder zumindest weniger risikoavers als der Konsumenneutral ist, dann entstehen geringere Kosten, wenn die das Risiko tragt, als wenn der Konsument Versicherung Risiko tragt. das Risikovernichtung: Wenn bestimmte Risiken miteinander 2) korreliert sind, ist es moglich, die Risiken insgesamt zu verringern oder sogar ganz zu vernichten. Der Dollarkurs kann entweder steigen oder fallen. Beispiel: Wenn der Dollar steigt, macht Exporteur A einen { von 100 DM, wenn der Dollar fallt, macht er Gewinn einen Verlust von 100 DM. Wenn der Dollar steigt, macht Importeur B einen { von 100 DM, wenn der Dollar fallt, macht er Verlust einen Gewinn von 100 DM. Die Gewinne von A und B sind perfekt negativ kor-

14 AVWL I (WS 1996/97) 2-36 Prof. Dr. K. Schmidt Risiko kann vernichtet werden, indem der Exporteur reliert. die Halfte der Aktien des Importgeschafts und Importeur die Halfte der Aktien des Exportgeschafts der kauft. Wenn der Importeur 50 DM Verlust mit seinem ) macht, macht er gleichzeitig 50 DM Ge- Importgeschaft winn durch das Exportgeschaft, und umgekehrt. ) Beide haben eine sichere Auszahlung von 0. Risikostreuung: Die Kosten des Risikos konnen verringert 3) werden, indem es auf viele Schultern verteilt wird. Hausbrand. Ort mit Hausern. Die Wahrscheinlichkeit, Beispiel: da ein Haus binnen eines Jahres ab- ist 0:1%. Wahrscheinlichkeiten sind nicht korreliertbrennt Sie den folgenden Versicherungsverein auf Betrachten Gegenseitigkeit: Familie zahlt 2 DM an jede andere Familie, Jede Haus abbrennt. deren

15 AVWL I (WS 1996/97) 2-37 Prof. Dr. K. Schmidt ) Jede Familie erhalt bei Hausbrand 20 TDM. Jede Familie zahlt im Erwartungswert 20 DM pro ) Keine vollstandige Versicherung! Es konnen auch Jahr. DM oder noch mehr sein, aber die Wahrscheinlichkeit 40 Zahlungen ist extrem gering. Beachten Sie: Risi- hoherer verringert die Kosten des Risikos auch dann, kostreuung alle Beteiligten dieselbe Risikoaversion haben. wenn wichtiges Instrument zur Risikostreuung sind Aktienund Ein Wertpapiermarkte.

16 AVWL I (WS 1996/97) 2-38 Prof. Dr. K. Schmidt Exkurs: Das Allais-Paradox Sie, welche der beiden Lotterien A und B sie Entscheiden wurden: vorziehen A DM mit Wahrscheinlichkeit 1. DM mit 10% Wahrscheinlichkeit B mit 89% Wahrscheinlichkeit DM DM 0 mit 1% Wahrscheinlichkeit Schreiben Sie Ihre Antwort auf. Sie jetzt, welche der beiden Lotterien C und D Entscheiden vorziehen wurden: sie DM mit 11% Wahrscheinlichkeit. C 0 mit 89% Wahrscheinlichkeit. DM DM mit 10% Wahrscheinlichkeit D 0 mit 90% Wahrscheinlichkeit DM Schreiben Sie Ihre wieder Antwort auf.

17 0: : AVWL I (WS 1996/97) 2-39 Prof. Dr. K. Schmidt (1953) hat dieses Experiment mit zahlreichen Versuchspersonen Allais gemacht. Die groe Mehrheit wahlt A B D C Aber: Diese Wahl verletzt das Unabhangigkeits-Axiom. 1 [Unabhangigkeit von irrelevanten Annahme Fur alle p; q; r 2 P und 2 (0; 1) Alternativen] gilt: Wenn p q, dann gilt auch p (1, ) r q (1, ) r Warum verletzt die obige Wahl dieses Axiom? A B, 0:8950:115 0:8950:1250:010 Das Unabhangigkeitsaxiom verlangt, da dann auch 0:1 5 0:11 Wenn wir dieses Axiom nochmal anwenden, erhalten wir: Aber das bedeutet: C D = 0:1 25 0:

18 AVWL I (WS 1996/97) 2-40 Prof. Dr. K. Schmidt Beunruhigende am Allais-Paradox ist, da viele Versuchspersonen Das selbst dann bei ihrer Wahl bleiben, wenn man ihnen den Fehler erklart. Ein typisches Argument lautet: DM ist sehr viel Geld, das ich nicht auf's Spiel wurde, um mit einer kleinen Chance 2.5 Mio zu setzen gewinnen. Darum A B. Beim zweiten Paar von Lotterien ist es sowieso recht da ich uberhaupt etwas gewinne, und unwahrscheinlich, Wahrscheinlichkeit, da ich in D 2.5 Mio gewinne die nur marginal kleiner als die Wahrscheinlichkeit in C, ist da ich gewinne. Also D C. zeigt, da Menschen nicht linear in Wahrscheinlichkeiten Allais-Paradox denken. Zahlreiche andere Experimente, die das bestatigen (Tversky, Kahnemann, Selten). den letzten 10 Jahren sind erhebliche Anstrengungen In worden, eine \Non-expected utility theory" unternommen entwickeln, die auf das Unabhangigkeitsaxiom verzichtet zu (Machina). Die Aussagen dieser Theorie sind aber leider viel schwacher. Darum ist die Erwartungsnutzentheorie sehr in sehr vielen Gebieten der VWL (Informationsokonomik, der Finanzmarkte, Spieltheorie, Versicherungstheorie, Theorie etc.) immer noch unverzichtbar.

19 AVWL I (WS 1996/97) 2-41 Prof. Dr. K. Schmidt Literatur: Varian (1993), Kapitel 10 bis 13.