Tests in Kontingenztafeln

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1 Tests in Kontingenztafeln Der theoretische Phi-Koeffizient Der Phi-Koeffizient bei unabhängigen Zufallsvariablen Der Chiquadrat-Unabhängigkeitstest Der Chiquadrat-Unabhängigkeitstest in Vierfelder-Tafeln Exkurs: Der exakte Test von Fisher Weitere Fragestellungen Der McNemar-Test Ein Anbieter von IT-Sicherheitslösungen bietet neben entsprechender Hard- und Software seit einem Jahr auch eintägige produktunabhängige Schulungen für Netzwerk-Administratoren an, die bei den Administratoren das Bewusstsein für die Gefahr einer Kompromittierung ihrer EDV-Anlagen schärfen sollen. Es soll untersucht werden, ob diese Schulungen tatsächlich einen Beitrag zur Verbesserung der EDV-Sicherheit bei den Kunden leisten. Dazu stehen folgende Daten über die Auswirkungen eines Internet-Wurms (SQLSlammer) auf die Datenbankserver der Kunden zur Verfügung. Der theoretische Phi-Koeffizient Wir haben bereits die Kontingenztafel als eine Möglichkeit der Darstellung bivariater Datensätze kennen gelernt. Eine Kontingenztafel ermöglicht eine erste Einschätzung, ob zwischen den beiden betrachteten Merkmalen ein Zusammenhang besteht oder nicht. Im haben wir aus der Kontingenztafel die Maßzahl für den Zusammenhang zwischen Page 1

2 den beiden Merkmalen entwickelt. Der aus einer IxJ-Kontingenztafel berechnete Phi-Koeffizient ist stets. Wenn alle bedingten Verteilungen (vgl. ) identisch der jeweiligen unbedingten Verteilung sind, dann ist. Je mehr die bedingten Verteilungen von den unbedingten abweichen, je stärker mit anderen Worten der Zusammenhang zwischen den Merkmalen ist, desto größer wird sein. Nun können wir diese Maßzahl auch für theoretische Verteilungen bilden. Dazu gehen wir von einer bivariaten Verteilung von zwei kategorialen, diskreten oder klassifizierten stetigen Zufallsvariablen und aus. Die Ausprägungen der Zufallsvariablen und werden mit der Wahrscheinlichkeit ;, angenommen. Dann heißt mit und der Phi-Koeffizient oder auch Kontingenzkoeffizient der bivariaten Verteilung von und. Hier sehen wir, dass die Maßzahl nicht nur die "(Un-) Ähnlichkeit der bedingten Verteilungen" misst, sondern direkt die (Un-) Abhängigkeit der beiden Zufallsvariablen. Wie wir im Modul gesehen haben, liegt Unabhängigkeit zwischen den beiden Zufallsvariablen und nämlich genau dann vor, wenn für alle gilt. Wenn die Zufallsvariablen und unabhängig sind, also kein Zusammenhang zwischen ihnen besteht, ist. Andernfalls ist die theoretische Maßzahl größer als null. Beispiel: Der Phi-Koeffizient für eine bivariate Verteilung Ein Kosmetik-Konzern hat ein neues Kosmetikprodukt entwickelt, dass kurz vor der Markteinführung steht. Die Designer haben zwei konkurrierende Entwürfe für die Verpackung des neuen Produktes erstellt. Unter den Verantwortlichen herrscht Uneinheit über den zu favorisierenden Entwurf. Die Verfechter des ersten Entwurfs behaupten dabei, dass "ihre" Verpackung nobler aussähe und der Kunde daher bereit wäre, einen höheren Preis zu zahlen. Der Produktmanager, der keinen anderen Weg Page 2

3 sieht, den Streit zu schlichten, lässt eine Untersuchung mit 40 zufällig rekrutierten Testkäufern durchführen. Die Teilnehmer haben die Wahl zwischen dem Produkt mit der "einfachen" Verpackung und der noblen Verpackung jeweils zum ursprünglich geplanten Verkaufspreis und einem erhöhten Preis. Die Verpackungsentwürfe wurden marginal modifiziert, um vor den Testkäufern zu verbergen, dass es sich im Grunde vier mal um das gleiche Produkt handelt. Den Testkäufern wird eine Geldsumme ausgehändigt, von der sie eines der Produkte kaufen müssen - den Rest können sie als Aufwandsentschädigung behalten. Um dafür zu sorgen, dass die Kaufentscheidung in erster Linie basierend auf Verpackung und Preis getroffen wird, haben die Testkäufer für die Kaufentscheidung maximal 30 Sekunden Zeit. Es ergibt sich folgende Kontingenztafel: Das Ergebnis scheint den Verfechtern der aufwendigen Verpackung zumindest in der Hinsicht Recht zu geben, als dass die noble Verpackung tendenziell präferiert wird. Um festzustellen, ob allerdings auch ein Zusammenhang zwischen Verpackung und Zahlungsbereitschaft besteht, ermitteln wir den Phi-Koeffizienten. In die Formel wurden direkt die relativen Häufigkeiten eingesetzt, die sich durch Division mit dem Stichprobenumfang aus den absoluten Häufigkeiten ergeben: Aus der Stichprobe erhalten wir für den Zusammenhang zwischen Verpackung und Zahlungsbereitschaft einen Wert, der (wenn auch nur sehr schwach) von null abweicht. Wir sind allerdings noch nicht in der Lage, beurteilen zu können, ob wir anhand dieser kleinen Abweichung tatsächlich auf einen Zusammenhang zwischen den beiden Merkmalen schließen können. Der Phi-Koeffizient bei unabhängigen Zufallsvariablen Im haben wir ein Beispiel zur Technikakzeptanz betrachtet. Dort wird der Zusammenhang von Berufposition und Technik-Akzeptanz einer größeren Anzahl von Personen untersucht. Dabei haben wir den Wert für den Zusammenhang von Berufposition und Technikakzeptanz Page 3

4 erhalten. Es gibt also einen Zusammenhang in der Kontingenztafel, allerdings mit einem, das nicht sehr stark von null abweicht. Können wir daraus ableiten, dass ein Zusammenhang zwischen beiden Merkmalen besteht, weil wir in unserer Kontingenztafel einen Wert gefunden haben, der nicht genau null ist? Eine kurze Überlegung zeigt, dass dieser Schluss falsch ist, denn es ist praktisch unmöglich, eine Kontingenztafel mit zu erhalten, auch dann nicht, wenn tatsächlich kein Zusammenhang zwischen den beiden Merkmalen besteht. Das wollen wir uns mit einem Simulationsexperiment veranschaulichen. Wir geben uns zwei Zufallsvariablen und mit jeweils zwei Ausprägungen vor (auf die Anzahl der möglichen Ausprägungen kommt es im Moment nicht an), wählen den Fall der Unabhängigkeit von und, also bzw. ziehen Stichproben, stellen jeweils die Kontingenztafeln auf und berechnen Naiv würden wir erwarten, jeweils zu finden. Wir sind aber inzwischen so weit Statistiker, dass wir wissen, was sich ergibt: Die haben eine Verteilung, die in der Nähe von null liegt. Der Chiquadrat-Unabhängigkeitstest Annahmen Wir gehen von einer bivariaten Verteilung von zwei kategorialen, diskreten oder klassifizierten stetigen Zufallsvariablen und aus. Die Ausprägungen der Zufallsvariablen und werden mit der Wahrscheinlichkeit ;, angenommen. Hypothesen Ausgehend von der Vermutung, dass ein Zusammenhang zwischen besteht, formulieren wir die Alternative hierzu als Nullhypothese und unseres Tests: : Zwischen den beiden Zufallsvariablen und in der bivariaten Verteilung mit den Wahrscheinlichkeiten besteht kein Zusammenhang, d.h. es gilt für alle. Die Alternative ist selbstverständlich : Zwischen den beiden Zufallsvariablen und in der bivariaten Verteilung mit den Wahrscheinlichkeiten besteht ein Page 4

5 Zusammenhang, d.h. es gilt für mindestens ein Paar. Herleitung der Prüfgröße Wenn wir von einer bivariaten Verteilung, bei der und unabhängig sind, zu einer Verteilung übergehen, in der tatsächlich ein Zusammenhang besteht, also ist, dann verschiebt sich die Verteilung von nach rechts. Dies kann mit dem oben angegebenen Applet studiert werden. Die Verteilung verschiebt sich umso weiter, je größer wir gewählt haben. Aus dieser Erkenntnis folgt sofort die Vermutung, dass wir als Prüfgröße eines Tests auf Unabhängigkeit von und verwenden können. wäre eine sinnvolle Prüfgröße für diesen Test. Den kritischen Wert für könnten wir aus einem Simulationsexperiment bestimmen. Dazu müssten wir vorgeben, genügend viele Kontingenztafeln und deren durch Simulationen bestimmen und aus der Häufigkeitsverteilung von das zu unserem Signifikanzniveau gehörende -Quantil von als kritischen Wert bestimmen. Wir können uns das ersparen, weil theoretisch gezeigt werden kann, dass im Falle der Unabhängigkeit ( ) wobei die bei Unabhängigkeit in der Kontingenztafel erwarteten absoluten Häufigkeiten sind, unter bestimmten Bedingungen näherungsweise -verteilt ist mit Freiheitsgraden. Wir wählen daher als Prüfgröße. Testentscheidung Die Prüfgröße vergleicht im Wesentlichen die tatsächlich beobachteten mit den Page 5

6 unter der Nullhypothese erwarteten absoluten Häufigkeiten. Wir verwerfen folglich, wenn die quadrierten Unterschiede zu groß sind, genauer falls mit ist. Andernfalls behalten wir die Nullhypothese bei. Weil die Prüfgröße annähernd -verteilt ist, bezeichnen wir den Test als -Test, genauer als -Unabhängigkeitstest. Damit die Approximation der Verteilung von durch die -Verteilung gut ist, sollten folgende Bedingungen bei der Anwendung des -Tests erfüllt sein: - Jede der unter der Nullhypothese zu erwartenden Häufigkeiten muss größer als 1 sein, und - höchstens 20% dieser zu erwartenden Häufigkeiten dürfen kleiner als 5 sein. Die Bedingungen stellen also nur sicher, dass die Kontingenztafel nicht allzu dünn besetzt ist. Sollte das der Fall sein, dann können wir uns oft dadurch helfen, dass wir Zeilen bzw. Spalten der Kontingenztafel zusammenfassen. Beispielsweise könnten wir statt der Ausprägungen und von die Ausprägung betrachten, die mit den Häufigkeiten auftritt und könnten prüfen, ob dadurch die Bedingungen erfüllt sind. Wenn für die zusammengefasste Tabelle die Abhängigkeit nachgewiesen werden kann, gilt auch in der Ausgangstabelle die Abhängigkeit. Umgekehrt kann es allerdings vorkommen, dass durch das Zusammenfassen von Zeilen bzw. Spalten der Kontingenztafel Abhängigkeiten verschwinden, die gerade die zusammengefassten Zeilen bzw. Spalten betreffen. Der auf die zusammengefasste Kontingenztafel angewandte -Unabhängigkeitstest würde dann keine Abhängigkeit nachweisen können. Beispiel: Der Chiquadrat-Unabhängigkeitstest in einer IxJ-Tafel Wir beziehen uns an dieser Stelle noch einmal auf das Beispiel "Technikakzeptanz" aus dem. Die Kontingenztafel gibt das Ergebnis einer Befragung von berufstätigen Personen wieder. Untersucht wurde der Zusammenhang zwischen Berufposition und Technik-Akzeptanz Dabei haben wir den Wert für den Zusammenhang von Berufposition und Technikakzeptanz erhalten. Mit Hilfe des Chiquadrat-Unabhängigkeitstests sind wir jetzt in der Lage zu beurteilen, ob der gemessene Zusammenhang signifikant ist. Als Wert der Prüfgröße erhalten wir. Für Freiheitsgrade und zum Signifikanzniveau ergibt sich der kritische Wert. Wegen wird die Nullhypothese (Unabhängigkeit der Merkmale) abgelehnt. Der Chiquadrat-Unabhängigkeitstest in Vierfelder-Tafeln Herleitung der Prüfgröße Den -Unabhängigkeitstest können wir selbstverständlich auch in einer Vierfeldertafel (2x2-Tafel) durchführen (wieder vorausgesetzt, dass die beiden Page 6

7 Anwendungsbedingungen erfüllt sind). Die Prüfgröße hat in diesem Fall wegen nur vier Summanden: Dieser Ausdruck lässt sich durch einige arithmetische Umformungen vereinfachen zu Testentscheidung Bei Unabhängigkeit ist der Ausdruck näherungsweise -verteilt mit Freiheitsgrad. Die -Verteilung mit einem Freiheitsgrad ist die Verteilung des Quadrates einer standardisiert normalverteilten Zufallsvariablen (vgl. ). Wegen gilt genau dann, wenn bzw., d.h. der kritische Wert ist Die Nullhypothese der Unabhängigkeit von und wird verworfen, falls gilt. Die Approximation durch die -Verteilung wird besser, wenn man in die Prüfgröße eine Stetigkeitskorrektur (vgl. Modul Normalverteilung) anbringt. Als modifizierte Prüfgröße ergibt sich dann Beispiel: Chiquadrat-Unabhängigkeitstest in einer Vierfelder-Tafel An dieser Stelle wird das Kosmetik-Beispiel fortgeführt. Für den über eine Stichprobe vom Umfang ermittelten Zusammenhang zwischen Verpackung und Zahlungsbereitschaft haben wir den Phi-Koeffizient ( ) bereits berechnet. Wir können den Wert der Prüfgröße daher über bestimmen. Über die Gleichung kommen wir selbstverständlich zum identischen Ergebnis. Führen wir noch die Stetigkeitskorrektur durch, erhalten wir Um mithilfe des -Unabhängigkeitstests bestimmen zu können, ob der gemessene Zusammenhang als signifikant einzustufen ist, benötigen wir den kritischen Wert. Bei einem Signifikanzniveau von erhalten wir den kritischen Wert. Wegen (bzw. ) wird die Nullhypothese nicht abgelehnt. Es ist also davon auszugehen, dass kein Zusammenhang zwischen den angebotenen Verpackungsentwürfen und der Zahlungsbereitschaft der Kunden besteht. Page 7

8 Exkurs: Der exakte Test von Fisher Der -Unabhängigkeitstest in Vierfeldertafeln ist ein näherungsweiser Test, weil die Prüfgröße nur näherungsweise -verteilt ist. Dass es prinzipiell auch möglich ist, diesen Unabhängigkeitstest als exakten Test zu entwickeln, wollen wir im Folgenden klar machen. Herleitung der Prüfgröße Die Randhäufigkeiten und der Vierfeldertafel sagen darüber, ob Abhängigkeit zwischen und besteht, nichts aus. Eine Aussage darüber ergibt sich einzig und allein aus den absoluten Häufigkeiten und durch deren Vergleich mit den jeweiligen bei Unabhängigkeit zu erwartenden Häufigkeiten, die wiederum nur von den Randhäufigkeiten abhängen. D.h. die in unserer Prüfgröße genutzte Information besteht aus den Häufigkeiten bei gegebenen Randhäufigkeiten Nun sieht man leicht, dass man bei gegebenen Randhäufigkeiten nur eine der vier Häufigkeiten frei wählen kann, und dann liegen die anderen drei fest, weil sich in jeder der beiden Zeilen und Spalten der Vierfeldertafel die feste Randhäufigkeit ergeben muss. Wir können also sagen, dass es beim Unabhängigkeitstest allein auf (wir wählen also die Häufigkeit im Feld links oben) bei gegebenen Werten von ankommt, und wählen die Größe als Prüfgröße für den Unabhängigkeitstest. kann die Werte annehmen. Testentscheidung Bei Unabhängigkeit erwarten wir, dass einen Wert in der Nähe von annimmt. Wir müssten nun abzählen, wie viele Möglichkeiten es bei gegebenen Randhäufigkeiten gibt, dass die Zufallsvariable ihre Werte annimmt (das ist ein Problem der Kombinatorik) und daraus unter der Annahme der Unabhängigkeit von und die Wahrscheinlichkeiten für diese Werte errechnen. Wir hätten dann die Wahrscheinlichkeitsverteilung unserer Prüfgröße bei Gültigkeit der Nullhypothese, genau das, was wir für die Bestimmung des kritischen Wertes bzw. der kritischen Werte benötigen. Der so entwickelte exakte Test auf Unabhängigkeit in der Page 8

9 Vierfeldertafel ist als Fisher-Test bekannt. Seine kritischen Werte stehen jedoch nur bis zur Verfügung (Finney 1948; Finney et al. 1963; Latscha 1953), weil die kombinatorische Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Prüfgröße bei großen Stichprobenumfängen auch auf einem schnellen Computer zu zeitaufwändig ist. Üblicherweise führt man den Fisher-Test durch, so weit man dafür kritische Werte hat, und wählt sonst den -Unabhängigkeitstest. Beispiel: Der exakte Test von Fisher Wir wollen an dieser Stelle noch ein letztes Mal das Kosmetik-Beispiel aufgreifen. Die Untersuchung des Zusammenhangs zwischen Verpackung und Zahlungsbereitschaft der Kunden bei einem neuen Kosmetikprodukt ergab folgende Kontingenztabelle: Nachdem wir bereits mit dem -Test auf Unabhängigkeit getestet haben, wollen wir nun auf die gleichen Daten den exakten Test von Fisher anwenden. Wir setzen dazu das Statistiklabor ( d91.spf ) ein, da ansonsten umfangreiche Tabellen für die kritischen Werte erforderlich sind. Wir erhalten einen p-wert von und lehnen die Hypothese zum Signifikanzniveau ab. Beispiel: Motivation: IT-Sicherheit (Fortsetzung) Wir sind nun in der Lage, die eingangs gestellte Frage nach dem Nutzen der Schulungsveranstaltungen des Anbieters von IT-Sicherheitslösungen zu beantworten, indem wir zunächst den -Unabhängigkeitstest zum Signifikanzniveau durchführen. Ohne Stetigkeitskorrektur erhalten wir und lehnen wegen die Nullhypothese (Unabhängigkeit) ab. Führen wir eine Stetigkeitskorrektur durch, kommen wir wegen zur gleichen Testentscheidung. Auch der exakte Fisher-Test, den wir mit Hilfe des Statistiklabors durchführen können, lehnt wegen die Nullhypothese ab. Der Anbieter von IT-Sicherheitslösungen kann also davon ausgehen, dass ein Zusammenhang zwischen den durchgeführten Schulungsmaßnamen und der Infektion durch den Internet-Wurm besteht. Aus der Kontingenztafel ist auch die Richtung dieses Zusammenhangs erkennbar: Bestimmt man in den Zeilen die bedingten relativen Häufigkeiten, zeigt sich, dass der Anteil der infizierten Datenbankserver bei den geschulten Kunden geringer ist als bei den Kunden ohne Sicherheitsschulung. Weitere Fragestellungen Manchmal steht die Frage der Unabhängigkeit oder der Abhängigkeit der beiden Zufallsvariablen gar nicht im Vordergrund; vielmehr interessieren andere Fragen. Beispiel: Motivation: Auswirkung eines Wahlprogramms Die PR-Abteilung der Partei A möchte untersuchen, ob sich das Wahlverhalten der Bürger nach der Vorstellung ihres Wahlprogramms verändert hat. Sie hat dazu 68 Personen zufällig ausgewählt und jeden vor Veröffentlichung und nach Veröffentlichung des Wahlprogramms gefragt, ob er / sie die Partei wählen wird oder Page 9

10 die für die Antwort nachher. Jede der beiden Variablen kann die Werte "Partei A wird gewählt" und "Partei A wird nicht gewählt" annehmen. Die Ergebnisse der Untersuchung sind in der folgenden Vierfeldertafel wiedergegeben. Der PR-Abteilung war natürlich schon vor der Untersuchung bekannt, dass und abhängig sind, weil es einen großen Anteil Stammwähler (hier sind es 30) und "Stamm-Nichtwähler" (hier sind es 17) gibt. Da die Abhängigkeit evident ist, verzichtet man auf den Unabhängigkeitstest (führt man ihn zum Signifikanzniveau mit Stetigkeitskorrektur durch, dann wird verworfen, weil der Prüfwert größer ist als der kritische Wert ). Hier interessieren die Antworten auf die Fragen: Hat sich das Wahlprogramm positiv ausgewirkt, indem viele Nichtwähler von A durch das Wahlprogramm zu Wählern von A geworden sind? Oder war es eher umgekehrt, dass Wähler von A abgesprungen sind? Oder hat sich das Wahlprogramm dahingehend überhaupt nicht ausgewirkt? Diese Fragen betreffen die beiden Nebendiagonalfelder der Vierfeldertafel, in der die Wechsler gezählt werden, während die beiden Diagonalfelder, in denen die Stammwähler bzw. "Stamm-Nichtwähler" gezählt werden, zur Antwort auf die Fragen nicht beitragen können. Der McNemar-Test Annahmen Sei eine Kontingenztafel, die sich aus einer Stichprobe aus der bivariaten Verteilung (vgl. ) ergeben hat. Hypothesen Nullhypothese ist, d.h. die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von zusammen mit ist genau so groß wie das Auftreten von zusammen mit ; Alternativhypothese ist beim zweiseitigen Test Falls die Nullhypothese gilt, ist die Matrix der Wahrscheinlichkeiten der bivariaten Verteilung symmetrisch; der Test wird daher manchmal als Symmetrietest bezeichnet. Herleitung der Prüfgröße Die Prüfgröße des Tests finden wir einfach, indem wir auf das Prinzip des -Tests zurückgreifen und für die beiden Nebendiagonalfelder der Vierfeldertafel die beobachteten mit den unter erwarteten Häufigkeiten vergleichen. Wir erwarten, dass bei Symmetrie die absoluten Häufigkeiten in den Nebendiagonalfeldern gleich, also bei gegebenen Randhäufigkeiten gleich dem Mittelwert von und sind:. Page 10

11 Die Prüfgröße hat zwei Summanden, Diesen Term können wir vereinfachen zu: Die Prüfgröße ist asymptotisch -verteilt mit einem Freiheitsgrad. Testentscheidung Die Nullhypothese wird zum Signifikanzniveau verworfen, falls ist. Dieser Symmetrietest heißt McNemar-Test. Wir erinnern uns, dass die ursprüngliche Prüfgröße nur näherungsweise -verteilt ist. Dafür muss die Bedingung erfüllt sein, dass die erwartete Häufigkeit nicht zu klein ist: also Die Approximation der Verteilung der Prüfgröße durch die -Verteilung ist besser, wenn man eine Stetigkeitskorrektur anbringt. Dies führt beim McNemar-Tests zu der Prüfgröße Wenn ist, kann man den Symmetrietest als exakten Test durchführen. Ähnlich wie im Falle des Tests auf Unabhängigkeit mit dem Fisher-Test wählt man dazu als Prüfgröße, deren Verteilung unter bei gegebener Summe die Binomialverteilung mit den Parametern und ist. Der Symmetrietest ist damit auf einen Test auf () zurückgeführt. Die Nullhypothese des McNemar-Tests, dass Symmetrie herrscht, hat keineswegs immer eine sachliche Bedeutung. Eigentlich nur dann, wenn und das gleiche Merkmal ist, das jeweils an ein und demselben Objekt vor und nach einer "Maßnahme" oder "Behandlung" beobachtet wird, also dann, wenn es sich um paarweise verbundene Beobachtungswerte und handelt. Beispiel: Motivation: Auswirkung eines Wahlprogramms (Fortsetzung) In unserem Beispiel zum Wahlverhalten bezüglich Partei A ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Nichtwähler zum Wähler der Partei A wird, und die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wähler der Partei A zum Nichtwähler wird. Die Nullhypothese besagt, dass es zwar Wechselwähler gibt, aber mit derselben Wahrscheinlichkeit in beiden Richtungen. Als Alternativhypothese wählen wir, weil wir nicht vorher sehen können, ob die Veröffentlichung des Wahlprogramms für A positiv () oder negativ () wirkt. Der Test soll zum Signifikanzniveau durchgeführt werden, so dass der kritische Wert ist. Wegen ist seine Anwendung erlaubt. Der Wert der Prüfgröße ist. Weil ist, kann die Nullhypothese nicht verworfen werden. Die Untersuchung gibt keinen Hinweis darauf, dass das Wahlprogramm einen verstärkten Wählerwechsel in die eine oder andere Richtung bewirkt hat. Beispiel: Therapieerfolg Der Diabetes insipidus (Wasserharnruhr), eine Hormonerkrankung, ist charakterisiert durch das krankhafte Ausscheiden sehr hoher Urinmengen. Durch die Störung des Page 11

12 Wasserhaushalts werden statt normalerweise 1.5 bis 2 Liter Urin pro Tag bis zu 25 Liter täglich ausgeschieden. 2 Liter Flüssigkeit 15 Liter Flüssigkeit Eine Studie will den Nutzen einer neu entwickelten Strahlentherapie für Diabetes insipidus Patienten erforschen. Der Ausgang der Therapie zählt als Erfolg, wenn die behandelten Patienten nicht mehr als 5 Liter täglich urinieren. Es haben sich 50 Patienten gefunden, die sich freiwillig der neuen Strahlentherapie unterziehen wollen. Ihre täglichen Urinmengen wurden vor und nach der Therapie gemessen. ausgeschiedene Urinmenge vor der Beh. Liter. ausgeschiedene Urinmenge nach der Beh. Liter. In der nachfolgenden 2x2-Tafel ist der Ausgang der Experiments zu sehen. Für die Untersuchung, ob die Strahlentherapie zu einer signifikanten Veränderung des Wasserhaushaltes führt, interessiert uns die zweiseitige Fragestellung, ob die Wahrscheinlichkeit zu Wechseln gleich groß ist. Demnach: (die täglich abgelassene Urinmenge ändert sich nicht,) (die täglich abgelassene Urinmenge ändert sich) Die Testentscheidung soll zum 1%-Niveau durchgeführt werden, d.h. verwirf wenn der Wert der Prüfgröße den kritischen Wert überschreitet. Die McNemar-Prüfgröße berechnet sich als Da 8.76 > 6.63 kann die Nullhypothese verworfen werden. Die Strahlentherapie hat einen statistisch signifikanten Einfluss auf den Wasserhaushalt. Labordatei öffnen ( f43.zmpf ) (Mehr Informationen über die Krankheit können Sie beispielsweise auf nachlesen.) In einer Untersuchung zu Gewaltverbrechen möchte man u.a. herausfinden, ob Veröffentlichungen von Statistiken zu Gewaltverbrechen Angst und Schrecken verbreiten. Dazu hat man Anfang des Jahres 114 Bremer Bürger befragt, ob sie sich fürchten, in ihrer Stadt Opfer eines Gewaltverbrechens zu werden. Nachdem ein paar Monate später in Rundfunk, Fernsehen und diversen Zeitungen publik gemacht wurde, dass in deutschen Städten die Quote der Gewaltverbrechen in Bremen am höchsten ist, wurde denselben 114 Personen noch einmal die gleiche Frage gestellt. Die Bremer Landesflagge. Öffnen Sie die Laborseite und beantworten Sie folgende Fragen: A) Berechnen Sie die Prüfgröße, den kritischen Wert und den p-wert. Legen Sie dabei ein Signifikanzniveau von 0.1 zugrunde Page 12

13 B) Überprüfen Sie Ihre Ergebnisse aus A) indem Sie den vorprogrammierten Test aufrufen. C) Interpretieren Sie die Ergebnisse. Hat das Wissen darüber, dass Bremen die Stadt mit der höchsten Quote an Gewaltverbrechen ist, die Ängste der Bürger geschürt? Labordatei öffnen ( f5e.zmpf ) Leukozyten Quelle: Bei einer Studie wurden u.a. die Leukozyten bei Beginn und am Ende bestimmt. Es soll nun untersucht werden, ob sich während der Studie eine signifikante Änderung der Leukozyten hinsichtlich ihres Normbereichs ( Gpt/l) ergeben hat. Setzen Sie ein Signifikanzniveau von an. Labordatei öffnen ( f71.zmpf ) Erklärung Erklärung Erklärung Literaturangabe Finney, D.J. (1948): The Fisher-Yates test of significance in 2 x 2 contingency tables. Biometrike 35 (1948), S Finney, D.J., Latscha, R., Bennett, B.M., and Hsu, P. (1963): Tables for testing significance in a 2 x 2 contigency table. Cambridge University Press 1963 Latscha, R. (1953): Tests of significance in a 2 x 2 contingency table: extension Finneys table. Biometrika 40 (1953), S (c) Projekt Neue Statistik 2003, Freie Universität Berlin, Center für Digitale Systeme Kontakt: Page 13