Herbrand-Strukturen. o.b.d.a. sei immer mindestens ein Konstantensymbol in τ vorhanden

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1 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.6 Prädikatenlogik Herbrand-Theorie 155 Herbrand-Strukturen Def.: Grundterm ist variablenfreier Term. GT τ = Menge aller Grundterme über Signatur τ o.b.d.a. sei immer mindestens ein Konstantensymbol in τ vorhanden Def.: A mit Universum A heißt Herbrand-Struktur, falls A = GT τ für alle Funktionssymbole f und alle Grundterme t 1,...,t k mit k 0 gilt f A (t 1,...,t k )=f (t 1,...,t k ) Herbrand-Modell einer Formel ist Modell, welches auch Herbrand-Struktur ist beachte: in Herbrand-Strukturen nur die Interpretation von Funktionssymbolen festgelegt Syntax wird zur Semantik

2 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.6 Prädikatenlogik Herbrand-Theorie 156 Herbrand-Expansion Ziel: Resultate von Aussagenlogik auf FO übertragen Def.: Sei Φ Menge von FO [τ]-sätzen. Die Herbrand-Expansion ist die kleinste Menge HE(Φ), für die gilt: falls x 1... x n ψ Φ mit ψ quantorenfrei, dann ist {ψ[t 1 /x 1,...,t n /x n ] t i GT τ für i =1,...,n} HE(Φ) beachte: HE(Φ) ist aussagenlogische Formelmenge über Aussagenvariablen der Form R(t 1,...,t n )! Bsp.: τ = (2), f (1), c (0),wasist HE({ x x f (x), x y.c = x x f (y)})?

3 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.6 Prädikatenlogik Herbrand-Theorie 157 Erfüllbare Herbrand-Expansionen sei τ und Φ gegeben und I = HE(Φ) definiere Herbrand-Struktur H I eindeutig durch R H I := {(t 1,...,t n ) I(R(t 1,...,t n )) = 1} Lemma: Für alle quantoren-freien ψ(x 1,...,x n ) FO[τ] und alle t 1,...,t n GT τ gilt H I = ψ[t 1 /x 1,...,t n /x n ] gdw. I = ψ[t 1 /x 1,...,t n /x n ] Beweis: Per Induktion über ψ. Übung. Achtung! Lemma gilt nicht für FO[=,τ]!

4 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.6 Prädikatenlogik Herbrand-Theorie 158 Satz von Herbrand für FO ohne Gleichheit Theorem 22 Sei Φ Menge von FO [τ]-sätzen. Dann ist Φ erfüllbar gdw. HE(Φ) erfüllbar ist. Beweis: Angenommen, HE(Φ) hat Modell I. Beachte: Variablen sind von der Form R(t 1,...,t n ). Wir zeigen: H I (wie oben definiert) ist Modell von Φ. Sei ϕ = x 1... x n ψ Φ, ψ quantorenfrei. Dann gilt H I = ϕ gdw. für alle t 1,...,t n : H I, [x 1 t 1,...,x n t n ] = ψ gdw. für alle t 1,...,t n : H I = ψ[t 1 /x 1,...,t n /x n ] gdw. für alle t 1,...,t n : I = ψ[t 1 /x 1,...,t n /x n ] Somit gilt dann auch H I =Φ.

5 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.6 Prädikatenlogik Herbrand-Theorie 159 Beweis des Satzes von Herbrand Angenommen, es gibt A mit Universum U, sodassa =Φ. Definiere aussagenlogische Interpretation I A wie folgt. 1, falls ([[t 1 ]] A,...,[[t n ]] A ) R A I A (R(t 1,...,t n )) = 0, sonst Sei ψ := ψ[t 1 /x 1,...,t n /x n ] HE(Φ). Per Induktion über ψ zeigt man: I A = ψ gdw. A = ψ. Sei nun ϕ := x 1... x n ψ Φ. Es gilt A = ϕ A, [x 1 a 1,...,x n a n ] = ψ für alle a 1,...,a n U A, [x 1 [[t 1 ]] A,...,x n [[t n ]] A ] = ψ für alle t 1,...,t n GT τ A = ψ[t 1 /x 1,...,t n /x n ] für alle t 1,...,t n GT τ I A = ψ[t 1 /x 1,...,t n /x n ] für alle t 1,...,t n GT τ Somit gilt auch I A = HE(Φ).

6 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.6 Prädikatenlogik Herbrand-Theorie 160 Erfüllbarkeit in Herbrand-Modellen Theorem 23 a) Jede erfüllbare Menge von FO [τ]-sätzen hat ein Herbrand-Modell. b) Jede erfüllbare Menge von FO[τ]-Sätzen hat ein Herbrand-Modell. Beweis: (a) folgt sofort aus dem Beweis von Thm. 22; (b) folgt aus (a) und Thm. 21 Achtung! Wo ist der Unterschied in den Modellen bei (a) und (b)? Thm. 23 gilt so nicht für FO[=,τ]! Übung: Findeerfüllbaren FO[=,τ]-Satz ϕ, derkein Herbrand-Modell hat.

7 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.6 Prädikatenlogik Herbrand-Theorie 161 Die Sonderrolle der Gleichheit angenommen, Sonderrolle. = wäre nur 2-stelliges Relationssymbol ohne dann könnte. = durch Struktur beliebig interpretiert werden die folgenden Formeln wären dann alle erfüllbar, sind aber unerfüllbar, wenn. = nur als Gleichheit interpretiert werden kann x (x. = x) x y.x. = y (y. = x) x y z.x. = y y. = z (x. = z)

8 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.6 Prädikatenlogik Herbrand-Theorie 162 Herbrand-Expansion mit Gleichheit Ist Φ={R(c), c. = f (c), x.r(x) R(f (x))} erfüllbar? Was ist HE(Φ); isteserfüllbar? Definition von HE(Φ) darf Zusammenhänge über Gleichheit nicht vergessen! Nicht ausreichend: nur vorhandene Gleichheits-Formeln betrachten; können auch in Unterformeln relevant sein. Bsp.: { (c. = d), e. = c e. = d, P(e) P(c), P(e) P(d)}

9 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.6 Prädikatenlogik Herbrand-Theorie 163 Boole scher Abschluss Def.: Eine aussagenlogische Formelmenge Φ in PNF ist Boole sch-abgeschlossen, fallsfür alle ϕ ψ Φ gilt: {ϕ, ψ} Φ, ϕ ψ Φ gilt: ϕ Φ oder ψ Φ. Φ heißt Boole scher Abschluss von Φ, fallsφ eine kleinste (bzgl. ) Menge ist, die abgeschlossen ist und Φ enthält. Theorem 24 Wenn I =Φdann gibt es Boole schen Abschluss Φ von Φ mit I =Φ. Wenn Φ Boole scher Abschluss von Φ und I =Φ,dann auch I =Φ Beweis: Übung.

10 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.6 Prädikatenlogik Herbrand-Theorie 164 Gleichheits-Abschluss Def.: Sei Φ Menge von quantoren-freien FO[=,τ]-Formeln. Der Gleichheits-Abschluss von Φ ist die kleinste Menge GA(Φ), für die gilt: Φ GA(Φ). Für jeden Grundterm t ist t. = t GA(Φ). Ist ψ[t/x] GA(Φ) und t. = t GA(Φ), soistauch ψ[t /x] GA(Φ) Bsp.: Bilde den Gleichheitsabschluss von {R(c), c. = f (c)} {R(f i (c)) R(f i+1 (c)) i N}

11 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.6 Prädikatenlogik Herbrand-Theorie 165 Der Satz von Herbrand Def.: ein Herbrand-Abschluss einer Menge Φ von FO [=,τ]-sätzen entsteht folgendermaßen 1 bilde Herbrand-Expansion HE(Φ) 2 bilde einen Boole schen Abschluss Φ von HE(Φ) 3 bilde Gleichheitsabschluss GA(Φ ) beachte: Schritt 2 kann verschiedene Resultate hervorbringen Theorem 25 Sei Φ Menge von FO [=,τ]-sätzen. Φ ist erfüllbar gdw. es einen erfüllbaren Herbrand-Abschluss Ψ von Φ gibt.

12 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.6 Prädikatenlogik Herbrand-Theorie 166 Beweis des Satzes von Herbrand eine Richtung (fast) genauso wie im Satz von Herbrand für FO [τ] Beweis: SeiA Modell von Φ. Definieredaraus aussagenlogische Interpretation I A via I A (R(t 1,...,t n )) = 1 gdw. ([[t 1 ]] A,...,[[t n ]] A ) R A I A (t. = t )=1 gdw. [[t]] A =[[t ]] A Beachte: es gilt I A = HE(Φ). Nach Thm. 24 gibt es Boole schen Abschluss Φ davon, so dass I A =Φ. Man überzeuge sich noch davon, dass sogar I A = GA(Φ ) gilt.

13 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.6 Prädikatenlogik Herbrand-Theorie 167 Faktorstrukturen Ist Äquivalenzrelation, so bezeichnet [x] die Äquivalenzklasse von x, d.h.[x] := {y x y}. Def.: Sei A =(U, R 1,...,R n, f 1,...,f m ) Struktur und Kongruenzrelation auf U bzgl. R 1,...,R n, f 1,...,f m.definiereden Faktor von A bzgl. als A/ =(U, R1,...,R n, f1,...,f m ), wobei U = {[x] x A} fi ([x 1 ],...,[x n ] )=[f i (t 1,...,t n )] ([x 1 ],...,[x n ] ) R i gdw. (x 1,...,x n ) R i Beachte: Faktorstruktur ist wohldefiniert, falls wirklich Kongruenz ist.

14 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.6 Prädikatenlogik Herbrand-Theorie 168 Beispiele Übung: was sind A/= für beliebiges A, (N, +,, 17)/ 2, wobei x 2 y gdw. xmod2=ymod2, (N, +,, isprime, 17)/ 2? (Kal, Montag,...,Sonntag, naechstertag)/, wobei Kal = {1.Jan.1, 2.Jan.1,...,10.Dez.2012,...} und x y gdw. x und y derselbe Wochentag sind (Kal, Montag,...,Sonntag, naechstertag)/, wobei x y gdw. sich x und y höchstens in der Jahreszahl unterscheiden (GT τ, f, g, c)/ wobei τ = f (1), g (1), c (0) und t t,falls die Anzahl der Vorkommen von f und g in t und t jeweils gleich sind

15 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.6 Prädikatenlogik Herbrand-Theorie 169 Beweis des Satzes von Herbrand Beweis: Angenommen, es gibt Herbrand-Abschluss Ψ von Φ mit Modell I. Konstruiere zunächst Herbrand-Struktur H I mittels (t 1,...,t n ) R H I gdw. I(R(t 1,...,t n )) = 1 Beachte: i.a. gilt nicht H I =Φ! Definiere nun auf den Grundtermen eine 2-stellige Relation durch Zeige: t t gdw. t. = t Ψ 1 ist Kongruenz auf H I bzgl. zugrundeliegender Signatur τ. 2 H I / =Φ.