Mathematik für Informatiker I Mitschrift zur Vorlesung vom

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1 Mathematik für Informatiker I Mitschrift zur Vorlesung vom Zur Wiederholung: Das Kartesische Produkt dient dem Ordnen von Mengen. A B = {(a, b) : a A, b B)} Spezialfall A = Äquivalenzrelation A = {a, b}, B = {1, 2} R = {(a, 1)} A R 1 Wichtige Eigenschaften der Relation: - a R a reflexiv, - a R b b R a symmetrisch, - a R b, b R a a = b antisymmetrisch, - a R b, b R c a R c transitiv. Beispiel: (2 < 3) (3 < 2) wahr }{{ falsch} wahr 2 = 3 antisymmetrisch Man kann aus einer Falschheit alles ableiten, deshalb müssen wir a R b, b R a a = b a R b b R a als a R b, b R a a = b a R b b R a schreiben.

2 Partition Eine Partition von einer Menge A ist eine Kollektion von Mengen A a, A b..., so dass A a A b... A 2 = A und A y A y +, wenn x y Satz: Jede Äquivalenzrelation auf einer Menge A (nicht leer) definiert eine Partition von A. Beispiele: Menge der Dreiecke R. Seien A und B Dreiecke, A B wenn A und B die gleichen Winkel haben. A β α γ B β α γ Anderes Beispiel: Folgende Menge ist gegeben

3 x R y falls xy > 0 Z{0} A 1 = {x x 1 > 0} positive Zahlen ab 1 A 2 = {x x 2 > 0} positive Zahlen ab 2 A 1 = {x x( 1) > 0} = {x x < 0} negative Zahlen Wir entnehmen aus der Menge die Null, da man nicht weiß, welches Vorzeichen die Null hat. Beweis des Satzes: Jede Äquivalenzrelation auf einer Menge A (nicht leer) definiert eine Partition von A. Jedes Element von A gehört zu einer der Mengen in der Partition. (A a A b... A z... = A) Für x A nehmen wir A x = {y x y} und x A x weil A x R x (Reflexivität) A y = A y a, Ay ist die Äquivalenzklasse von y. Außerdem sind die Äquivalenzklassen disjunkt. Seien A x und A y die Äquivalenzklassen von x und y. Sei x y Zu zeigen ist, dass A x A y =. Wir beweisen dies zunächst per Widerspruch Nehmen wir an A x A y

4 A x A y z A x A y z A x, z A y z y, z x wegen Symmetrie y z, x z wegen Transitivität x y Widerspruch d.h. A x A y = Widerspruch! D.h. A x A y = Halbordnung Eine Halbordnung ist eine Relation auf eine Menge A, die - reflexiv - antisymmetrisch - transitiv Nicht zu verwechseln mit Äquivalenzrelation, da für die Halbordnung die Antisymmetrie und nicht die Symmetrie gilt. Beispiel für Halbordnung: a a (a b) (b a) b = a (a b) (b c) a c Halbordnungen kann man mit Diagrammen darstellen. Beispiel: x R y wenn x y teilt A = {2, 3, 6, 9, 12, 18, 24} positive ganze Zahlen. Zunächst untersuchen wir die Relation algebraisch. Ist die Relation

5 reflexiv? Ja, da x/x = 1 antisymmetrisch? transitiv? x teilt y x y und y teilt x y y daraus folgt, dass x und y gleich sein müssen. Da die Gleichheit zugelassen ist, können wir x = y setzen, sonst wäre es ein Widerspruch. x = y ja, antisymmetrisch. x teilt y und y teilt z Diagramm: graphische Darstellung y/x = K 1 N 2/y = K 2 N 2 = 2 y = K x y x 1 K 2 N Ja, die Relation ist transitiv. Anderes Beispiel für Halbordnung 1 {1,..., 5}

6 Aufgrund der Transivität kann man sich die meisten Pfeile sparen. Für Halbordnung gilt die Teilbarkeit, x R y x teilt y 3 R 7 7 R 3 da sich in der Halbordnung diese beiden Elemente nicht teilen lassen, d. h. sie stehen nicht in Relation. Wir müssen eine neue Ordnung definieren. Total-Ordnung Die Total-Ordnung auf A A ist eine Halbordnung, bei der zwei beliebige Elemente x, y A in Relatin stehen. Beispiel: 1 ist eine Totalordnungsrelation. Funktionen (Abbildung) A B R ist eine Untermenge von A B

7 Relation A B Def.bereich A Abbildungsbereich B Funktion Vom Definitionsbereich führt immer nur ein Pfeil auf den Abbildungsbereich. Beispiel: f(x) = x 2 x Z Definitionsbereich ist Z. Abbildungsbereich Z + {0} Definition: Eine Funktion f von der Menge A auf die Menge B ist { } f = (a, b) a A, b B, und b ist eindeutig für gegebenes a Anders gesagt: (a, b) f, (a, c) f b = c Funktionen sind Spezialfälle von Relationen.

8 Notation: f : A B f ist eine Funktion definiert von A auf B. Inverse Funktionen Bei Inversen Funktionen wandelt sich der Definitionsbereich in den Abbildungsbereich und der Abbildungsbereich in den Definitionsbereich um. Man kann aber nicht aus jeder Funktion die Inverse bilden. Beispiel für nicht invertierbar: f(x) = x 2 Definitionsbereich R Abbildungsbereich R + {0} y D A x f 1 (x) = x Definitionsbereich R + {0} Abbildungsbereich R y D A x

9 Für einen x-wert dürfen nicht 2 y-werte gelten. Die Funktion f(x) = x 2 ist nicht invertierbar, da sonst für einen Definitionswert nicht zwei Abbildungswerte existieren dürfen. Beispiel für invertierbare Funktionen: y y D A f (1, 1) (2, 8) ( 1, 1) x Inverse f 1 (1, 1) (8, 2) ( 1, 1) x D A f(x) = x 3 Inverse Funktionen bezeichnet man auch als invertierbar. Nicht-Inverse Funktionen bezeichnet man auch als nicht invertierbar.