Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 2

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1 PD Dr. Frank Heyde TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik Statistik II für Betriebswirte Vorlesung Oktober 2014

2 Verbundene Stichproben Liegen zwei Stichproben vor, deren Werte einander paarweise zugeordnet sind, spricht man von oder abhängigen Stichproben. Diese entstehen z.b. dann, wenn man jeweils zwei Merkmale an statistischen Objekt beobachtet. Beispiele: Messwerte für die Wirkungen jeweils zweier Medikamente für einund dieselben Patienten Anzahl von Bestellungen einer Kundengruppe vor (1. Stichprobe) und nach (2. Stichprobe) einer Werbeaktion mathematische Modellierung erfolgt über zwei endliche Folgen X 1, X 2,..., X n und Y 1, Y 2,..., Y n von jeweils n Zufallsgrößen dabei sind die Zufallsgrößen innerhalb einer Folge stochastisch unabhängig, aber für jedes i = 1,..., n sind die Zufallsgrößen X i und Y i abhängig verbundene (mathematische) Stichprobe wird durch unabhängige Zufallsvektoren (X 1, Y 1 ),..., (X n, Y n ) modelliert PD Dr. Frank Heyde (TUBAF) Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 2 1

3 Mittelwertvergleich bei verbundenen normalverteilten Stichproben gegeben: zwei abh. Merkmale X N (µ X, σ 2 X ), Y N (µ Y, σ 2 Y ) ; entsprechend verbundene Stichprobe vom Umfang n, d.h. (X 1, Y 1 ),... (X n, Y n ). Grundlage: Ist der Zufallsvektor (X, Y ) normalverteilt, dann ist die Differenz D = X Y normalverteilt mit dem Erwartungswert µ D = ED = EX EY =. Ein Test zum Beispiel mit könnte dann als Test H 0 : µ X = µ Y, H A : µ X µ Y, H 0 : µ D = 0, H A : µ D 0, für die normalverteilte Stichprobe D 1,..., D n werden (t-test). durchgeführt PD Dr. Frank Heyde (TUBAF) Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 2 2

4 Test für die Wahrscheinlichkeit p eines Ereignisses Sei p die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses A Die Zufallsgröße X mit X(ω) = ist Bernoulli-verteilt mit Parameter p. { 1 falls 0 sonst Eine Stichprobe X 1,..., X n vom Umfang n besteht aus den Ergebnissen von n Wiederholungen dieses Versuches, d.h. tritt beim i-ten Versuch A ein setzt man X i = 1, ansonsten X i = 0. PD Dr. Frank Heyde (TUBAF) Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 2 3

5 Test für die Wahrscheinlichkeit p eines Ereignisses Hypothesen: H 0 : p = p 0, H A : p p 0 (zweiseitiger Test). Testgröße: T = nx np 0 np0 (1 p 0 ) (konv. gegen N (0, 1) für n ) nx = n i=1 X i ist die absolute Häufigkeit des Eintretens von A bei den n Versuchswiederholungen; X die relative Häufigkeit Kritischer Bereich: K α = {t R : t z 1 α/2 } Test ist asymptotisch, d.h. er funktioniert nur für (Faustregel: np 0 (1 p 0 ) 9) n analog können einseitige Tests durchgeführt werden PD Dr. Frank Heyde (TUBAF) Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 2 4

6 Beispiel: Ausschussprozentsatz Buchsen in der Gütekontrolle einer Automatendreherei wird ein Posten Buchsen ausgeliefert es soll zum Signifikanzniveau α = 0.01 festgestellt werden, ob der zulässige Ausschussprozentsatz von 5% nicht überschritten wird Kontrolleur entnimmt dem Posten eine Stichprobe vom Umfang n = 500 und untersucht an den einzelnen Teilen als wichtigstes Merkmal den Buchsenansatz bei 30 Buchsen liegt der Messwert für den Buchsenansatz nicht innerhalb der vorgeschriebenen Toleranzen; sie sind Ausschuss PD Dr. Frank Heyde (TUBAF) Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 2 5

7 Beispiel: Ausschussprozentsatz Buchsen X i Bernoulliverteilt mit Parameter p, n = 500, nx = 30, d.h. ˆp = x = 0.06 H 0 : p 0.05, H A : p > 0.05 T = nx np 0 np0 (1 p 0 ) ; t = = K = {t R : t z 1 α } = [z 0.99, ) = [2.326, ) t K H 0 wird nicht abgelehnt, die Abweichungen sind PD Dr. Frank Heyde (TUBAF) Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 2 6

8 Vergleich von Wahrscheinlichkeiten bei unabhängigen Stichproben X 1i Bernoulliverteilt mit Parameter p 1, i = 1,..., n 1 und davon X 2i Bernoulliverteilt mit Parameter p 2, i = 1,..., n 2 Hypothesen: H 0 : p 1 = p 2, H A : p 1 p 2 (zweiseitiger Test) X 1 X 2 Testgröße: T = ( ) mit X(1 X) n1 n2 X 1 = 1 n 1 X 1i, X 2 = 1 n 2 X 2i, n 1 n 2 X = n 1 i=1 i=1 X 1i + n 2 i=1 X 2i i=1 n 1 + n 2 = n 1X 1 + n 2 X 2 n 1 + n 2 PD Dr. Frank Heyde (TUBAF) Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 2 7

9 Vergleich von Wahrscheinlichkeiten bei unabhängigen Stichproben Kritischer Bereich: K = {t R : t z 1 α/2 } Test ist asymptotisch, d.h. er gilt nur für große n 1 und n 2 Faustregel: n 1 50, n 2 50, (n 1 + n 2 )x > 5, (n 1 + n 2 )(1 x) > 5 analog können einseitige Tests durchgeführt werden PD Dr. Frank Heyde (TUBAF) Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 2 8

10 4.2 Verteilungsfreie, nichtparametrische oder parameterfreie Tests parameterfreie Tests benötigen oft nur geringe Voraussetzungen parameterfreie Tests werden angewendet, wenn nicht ein Parameter eines bestimmten Verteilungstyps (wie z.b. der Erwartungswert einer Normalverteilung) überprüft werden soll oder man kann gar nicht von einem bestimmten Verteilungstyp (z.b. Normalverteilung) der Zufallsgröße ausgehen kann wenn der Stichprobenumfang n klein ist oder wenn nur ordinale Daten vorliegen Gibt es allerdings zum Verteilungstyp der Grundgesamtheit einen entsprechenden parametrischen Test, dann besitzt dieser häufig eine bessere Güte, d.h. er lehnt die Nullhypothese öfter ab, wenn sie falsch ist. PD Dr. Frank Heyde (TUBAF) Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 2 9

11 Vorzeichen- oder Zeichentest Vorzeichen- oder Zeichentest kann für Einstichproben- oder Zweistichprobenprobleme verwendet werden im Einstichprobenfall dient er z.b. als Test für den Verteilung im Zweistichprobenfall dient er unter anderem zum Lagevergleich verbundener Stichproben und kann den t-test für zwei verbundene Stichproben bei nichtnormalverteilten Grundgesamtheiten ersetzen Grundlage: für den Median X 0.5 einer stetigen Zufallsgröße gelten P (X < X 0.5 ) = 0.5 und P (X > X 0.5 ) = 0.5 der PD Dr. Frank Heyde (TUBAF) Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 2 10

12 Vorzeichentest für Median Voraussetzung: Stichprobe X 1,..., X n mit stetiger Verteilungsfunktion F X für die Zufallsgrößen X i ; M sei ein hypothetischer Wert für den Median der Verteilung. Hypothesen: H 0 : X 0.5 = M, H A : X 0.5 M (zweiseitiger Test) { Y i + 1, falls Xi > M, := 0, falls X i < M. Test für kleine n: Testgröße: T = i=0 n i=1 Y + i H 0 Bin(n, 0.5) Kritischer Bereich: K = {0, 1,..., c} {n c,..., n}, c ( n so dass )2 n α2 c+1 i, ( ) n 2 n > α (Binomialtest). i 2 i=0 PD Dr. Frank Heyde (TUBAF) Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 2 11

13 Vorzeichentest für Median Test für große n (n 20): Testgröße: T = 1 n (2 n i=1 Y + i n Kritischer Bereich: K = {t R : t z 1 α/2 } Beispiel: (Familieneinkommen) untersucht wird Familieneinkommen in einer bestimmten Region und in einem bestimmten Jahr in den USA in 1000 US-Dollar Stichprobendaten: 22, 30, 28, 22, 34, 19, 42, 18, 16, 26, 30, 25, 29, 20, 17, 33, 32, 24, 15, 31. Hypothesen: H 0 : X , H A : X 0.5 > 24 ) PD Dr. Frank Heyde (TUBAF) Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 2 12

14 Vorzeichentest für gebundene Stichprobe Voraussetzung: gebundene Stichprobe (X 1, Y 1 ),..., (X n, Y n ) mit stetiger Verteilungsfunktion F X für die Zufallsgrößen X i und stetiger Verteilungsfunktion F Y für die Zufallsgrößen Y i, so dass P (X i = Y i ) = 0, i = 1,..., n. man bildet Differenzen: D i = X i Y i, i = 1,..., n Hypothesen: H 0 : D 0.5 = 0, H A : D (zweiseitiger Test) man verwendet den Vorzeichentest von oben zur Stichprobe D 1,..., D n mit M = 0. PD Dr. Frank Heyde (TUBAF) Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 2 13

15 Beispiel: Returns von 2 Fonds Returns in % von 2 Fonds (Fond A, Fond B) in 15 Monaten. Stichprobendaten: A: B: Vorzeichentest zur Untersuchung, ob beide Fonds gleich sind PD Dr. Frank Heyde (TUBAF) Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 2 14

16 Wilcoxon-Vorzeichen-Rangtest Rangzahlen Der Test wird unter denselben Voraussetzungen und mit denselben Hypothesen wie der einfache Vorzeichentest für gebundene Stichproben durchgeführt, d.h. H 0 : D 0.5 = 0, H A : D Die Güte dieses Tests ist aber besser als die Güte eines entsprechenden einfachen Vorzeichentests, da hier die Größe der Differenzen mit berücksichtigt wird. Vorgehen: Man ordnet die der Differenzen und vergibt Rangzahlen R i +. Dabei erhält der kleinste Wert die Rangzahl 1 und der größte Wert die Rangzahl n. Tritt ein Wert mehrfach auf, erhalten (z.b.) alle diese Werte den arithmetischen Mittelwert der zugehörigen Ordnungsnummern als Rangzahl. Außerdem verwendet man die Indikatorgrößen { 1, falls Di > 0, Z i := 0, falls D i < 0. PD Dr. Frank Heyde (TUBAF) Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 2 15

17 Beispiel: Studentenvergleich Noten von zwei Studenten in 5 Fächern: Student 1 (X i ) Student 2 (Y i ) Differenz (D i = X i Y i ) Beträge der Differenzen Ordnungsnummern Rangzahlen (R i + ) Indikatorgrößen Z i PD Dr. Frank Heyde (TUBAF) Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 2 16

18 Wilcoxon-Vorzeichen-Rangtest Testgröße und kritischer Bereich Testgröße: T = W + n := es gilt n R i + i=1 = n i=1 n i=1 R + i i = n(n+1) 2 Z i Kritischer Bereich: K = {t : t w + n;α/2 } {t : t w+ n,1 α/2 } die Quantile w + n;α/2 und w+ n,1 α/2 kann man aus Tabellen ablesen (z.b. im Anhang der Formelsammlung) es gilt w + n,1 α/2 = n(n+1) 2 w + n;α/2 Für große n (n 20): T = W n + n(n+1) 4 n(n+1)(2n+1) 24 ist näherungsweise standardnormalverteilt, so dass man zur Bestimmung des kritischen Bereichs die entsprechenden Quantile der Standardnormalverteilung nutzen kann. PD Dr. Frank Heyde (TUBAF) Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 2 17

19 Beispiel: Studentenvergleich Test Noten von zwei Studenten in 5 Fächern: Student 1 (X i ) Student 2 (Y i ) Differenz (D i = X i Y i ) Rangzahlen (R i + ) Indikatorgrößen Z i H 0 : D 0.5 = 0, H A : D 0.5 0, α = 0.1. Aus der Tabelle: w 5;0.95 = w 5;0.05 = 15 0 = 15 K = {0} {15}. W 5 + = = 12 K H 0 wird nicht abgelehnt, die Unterschiede sind nicht signifikant. PD Dr. Frank Heyde (TUBAF) Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 2 18

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