Prof. Dr. Javier Esparza Garching b. München, den Klausur Einführung in die theoretische Informatik Sommer-Semester 2017

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1 Prof. Dr. Jvier Esprz Grching. München, den Klusur Einführung in die theoretische Informtik Sommer-Semester 2017 Bechten Sie: Soweit nicht nders ngegeen, ist stets eine Begründung zw. der Rechenweg nzugeen! Die Klusur esteht us 8 Aufgen uf 6 Seiten. Insgesmt können Sie 40 Punkte erreichen. w für w Σ und Σ ezeichnet die Anzhl der s in w, z.b. = 3. Nichtechtung der ufgenspezifischen Hinweise knn zu Punktzug führen. Viel Erfolg! Aufge 1 (Quiz zu Regulären und Kontextfreien Sprchen) Begründen Sie, o die folgenden Aussgen jeweils korrekt oder inkorrekt sind. Flls die Aussge korrekt ist, eziehen Sie sich dzu uf die entsprechenden Ergenisse us der Vorlesung. Flls die Aussge inkorrekt ist, geen Sie itte ein pssendes Gegeneispiel n. () Seien A und B nicht-reguläre Sprchen. Dnn ist A B nicht regulär. Nicht korrekt. Setze A = { n n n 0} und B = A. A ist nch Vorlesung nicht regulär und, d reguläre Sprchen unter Komplement geschlossen sind, uch nicht B. Es somit gilt A B = A A = Σ. Dmit ist die Vereinigung er regulär. () Seien A eine reguläre, nicht-leere und B eine nicht-reguläre Sprche. Dnn ist AB nicht regulär. Nicht korrekt. Setze A = Σ und B = { n n n 0}. Dnn ist AB = Σ und dmit regulär, owohl A regulär und B nicht regulär ist. (c) Sei A Σ eine reguläre Sprche üer dem Alphet Σ = {, }. Dnn git es mindestens eine Myhill-Nerode- Äquivlenzklsse K ezüglich A mit K =. Korrekt. D A regulär ist, git es nur endlich viele Äquivlenzklsse, die Σ prtionieren. D er Σ unendlich groß ist, muss es eine Klsse K mit K = geen. (d) Es git keinen minimlen DFA D = (Q, Σ, δ, q 0, F) mit Q = 2 und F = 0. Korrekt. Für jeden DFA D mit F = 0 gilt: L(D) =. Der minimile DFA für ht er nur genu einen Zustnd. Somit ist kein DFA mit diesen Eigenschften miniml. (e) Für jeden PDA P git es einen PDA P mit L ε (P) \ {ε} = L ε (P ), der keine ε-trnsitionen esitzt. Korrekt. Nch Vorlesung git es zu jedem PDA P eine Grmmtik G, die die gleiche Sprche eschreit. Mn knn G unter Erhltung der Sprchgleichheit is uf ds leere Wort ε in G in Greich-Normlform trnsformieren. Dzu git es nch Vorlesung einen PDA P, der die gleiche Sprche kzeptiert und keine ε-trnsitionen enthält. Zusmmengefsst: P G G in Greich Normlform P ohne ε-trnsitionen

2 Aufge 2 (Minimierung) Betrchten Sie den folgenden DFA D üer dem Alphet Σ = {, }: (7 Punkte) () Minimieren Sie den DFA D. Geen Sie ußerdem die Telle der kürzesten unterscheidenden Wörter n, die Sie zur Minimierung des Automten verwenden. () Bestimmen Sie die Anzhl der Myhill-Nerode-Äquivlenzklssen der Sprche L(D). (c) Geen Sie zu jeder Klsse einen regulären Ausdruck n, der lle Wörter der Klsse eschreit. Eine Begründung hierfür ist nicht notwendig. () Die Telle zur Minimierung mit den kürzesten unterscheidenden Wörtern: ε 3 ε 4 ε 5 ε ε ε Der Minimlutomt: 1,3 2,5 4 () Anzhl der Myhill-Nerode-Klssen: 3 (c) Zuordnung von Nummer zu Äquivlenzklsse und regulärem Ausdruck Nummer Äquivlenzklsse regulärer Ausdruck 1,3 [ε] ( ) 2,5 [] ( ) 4 [] ( )

3 Aufge 3 (Sprchdifferenz) (3 Punkte) Konstruieren Sie unter Verwendung der Produktkonstruktion einen DFA D 3 mit L(D 3 ) = L(D 1 ) \ L(D 2 ). D 1 : D 2 : p 0 p 1 q 0 q 1 q 2 Hinweis: Beschriften Sie die Zustände mit Pren von Zuständen von D 1 und D 2. D 3 : p 0, q 0 p 0, q 1 p 0, q 2 p 1, q 0 p 1, q 1 p 1, q 2 Aufge 4 (Reguläre Sprchen) Sei Σ ein Alphet und RE die Menge ller regulären Ausdrücke üer Σ. () Geen Sie eine rekursive Prozedur f : RE B n, so dss f(r) ε L(r). () Sei L Σ eine Sprche üer dem Alphet Σ. Für jedes x Σ definieren wir L x Σ ls: L x := {w Σ wx L} Beispiel: Sei Σ = {,, c} und L = {c, c,, }. Dnn ist L = {ε, c}. Geen Sie eine rekursive Prozedur g : Σ RE RE n, so dss L(g(x, r)) = L(r) x für jeden regulären Ausdruck r und jedes x Σ. Hinweis: Für die Definition von g dürfen Sie f verwenden. f( ) = flse f(ε) = true f() = flse f(α β) = f(α) f(β) f(αβ) = f(α) f(β) f(α ) = true g(x, ) = g(x, ε) = { ε g(x, ) = flls x = sonst g(x, α β) = g(x, α) g(x, β) { g(x, α) αg(x, β) g(x, αβ) = αg(x, β) g(x, α ) = α g(x, α) flls f(β) sonst

4 Aufge 5 (Kontextfreie Sprchen) Betrchten Sie die Sprche L = { i j c k i = j + 2k i, j, k 0} üer dem Alphet Σ = {,, c}. () Konstruieren Sie einen DPDA P mit L = L F (P), d.h. P kzeptiert L mit Endzuständen. () Konstruieren Sie eine CFG G mit L = L(G). Hinweise: Achten Sie druf, dss Ihr PDA P deterministisch ist und geen Sie δ des DPDAs grphisch n. Verwenden Sie für den DPDA P mximl 2 Stcksymole und 8 Zustände. Bechten Sie, dss unsere Lösung weniger Zustände verwendet. Verwenden Sie für G mximl 3 Vrilen und mximl 5 Produktionen. Bechten Sie, dss unsere Lösung weniger Vrilen und Produktionen verwendet. Achtung: Stellen Sie sicher, dss Ihr DPDA zw. Ihre Grmmtik folgende Wörter erkennt ε,, c, c und folgende Wörter nicht erkennt, c, c. Sonst wird die Aufge mit 0 Punkten ewertet. DPDA P = ({q ε, q, q, q c, q c, q f }, {, A}, δ,, {q ε, q f }) mit δ:, A/AA, A/ε, /A, A/ε q ε q q ε, / c, A/ε q c c, A/ε ε, A/ε q c ε, / q f c, A/ε CFG G = ({S, S }, Σ, P, S) mit P : S Sc S S S ε Aufge 6 (Pumping-Lemm für Kontextfreie Sprchen) Zeigen Sie mithilfe des Pumping-Lemms für kontextfreie Sprchen, dss L = { i j c k i = j k i, j, k 0} üer dem Alphet Σ = {,, c} nicht kontextfrei ist. Wir nehmen n, dss L kontextfrei ist und führen diese Annhme zum Widerspruch. Sei n 1 eine Pumping-Lemm-Zhl für die kontextfreie Sprche L. Wir wählen z = n2 n c n. Somit gilt z L und z n. Gemäß Pumping-Lemm git es dnn eine Zerlegung z = uvwxy mit Wörtern u, v, w, x, y Σ und den folgenden Eigenschften: Wir unterscheiden die folgenden zwei Fälle: (1) vx ε (2) vwx n (3) i N 0. uv i wx i y L vx > 0: Wegen (2) gilt vx c = 0. Sei i = vx und sei j = vx. Aus (3) folgt uwy L und somit muss es uch ein Lösung für n 2 i = (n j) n geen. Nch Umstellung erhlten wir die Gleichung i = j n, für die es keine Lösung unter der Rndedingung 1 i + j n (1,2) git. Wiederspruch. vx = 0: Sei i = vx und sei j = vx c. Aus (3) folgt uv 2 wx 2 y L und somit muss es uch ein Lösung für n 2 = (n + i) (n + j) geen. Nch Umstellung erhlten wir die Gleichung 0 = i n + j n + i j, für die es keine Lösung unter der Rndedingung 1 i + j n (1,2) git. Wiederspruch.

5 D jeder Fll zu einem Widerspruch führt und die oigen Fälle lle möglichen Zerlegungen decken, knn die ursprüngliche Annhme nicht gelten. Also ist L nicht kontextfrei. Aufge 7 (Quiz zu Entscheidrkeit) Begründen Sie, o die folgenden Aussgen jeweils korrekt oder inkorrekt sind. Flls die Aussge korrekt ist, eziehen Sie sich dzu uf die entsprechenden Ergenisse us der Vorlesung. Flls die Aussge inkorrekt ist, geen Sie itte ein pssendes Gegeneispiel n. () Für jede entscheidre Menge A {0, 1} git es eine TM, mit mehr ls 314 Zuständen, die χ A erechnet. Korrekt. Füge nicht erreichre Zustände hinzu is die Turing-Mschine mehr ls 314 Zustände ht. () Seien A und B Sprchen. Ist A B und A entscheidr, dnn ist uch B entscheidr. Inkorrekt. Sei Σ = {0, 1}, A = {1} und B = H 0. Wir verwenden die Funktion, die 1 uf ein Element von H 0 ildet und lle nderen uf ein Element von H 0, ls Reduktion von A uf H 0. Diese Funktion ist eindeutig erechenr, A ist entscheidr, H 0 er nicht. (c) Rekursiv ufzählre Sprchen sind unter Komplement geschlossen. Inkorrekt. Eine Sprche ist rekursiv ufzählr genu dnn, wenn sie semi-entscheidr ist. Ds Hlteprolem uf leerem Bnd H 0 ist semi-entscheidr, H 0 ist er nicht semi-entscheidr. (d) Sei (L i ) i N eine Fmilie entscheidrer Sprchen, d.h. jedes L i ist entscheidr. Dnn ist uch i N L i entscheidr. Inkorrekt. H 0 {0, 1} und dmit zählr. Dher git es eine surjektive Funktion f : N H 0. Wir setzen L i := {f(i)}. D endliche Sprchen entscheidr sind, ist L i für lle i N entscheidr. d endliche Mengen regulär sind und somit entscheidr. Es gilt i N L i = H 0 und dmit nicht entscheidr. (e) Es git keine erechenre Funktion f : CFG CFG N 0, die im Fll L(G 1 ) L(G 2 ) die Länge eines kürzesten unterscheidenden Wortes w L(G 1 ) \ L(G 2 ) zurückgit: f(g 1, G 2 ) = w. Flls L(G 1 ) L(G 2 ) gilt, knn f uf einen elieigen Wert ilden. Korrekt. Sollte es eine solche Funktion geen, wäre L(G 1 ) L(G 2 ) mit folgendem Algorithmus entscheidr: Berechne c = f(g 1, G 2 ) und enumeriere lle Wörter w der Länge c und teste für jedes w L(G 1 ) und w L(G 2 ). Flls es so ein w git, terminiere und gee Nein us. Flls es kein solches w git, dnn gee J. Aufge 8 (Reduktionen) Mit DOUBLE-SAT ezeichnen wir im Folgenden ds Prolem, gegeen eine ussgenlogische Formel zu entscheiden, o sie mindestens zwei erfüllre Belegungen ht. Forml: Sei F die Menge ller ussgenlogischen Formeln üer einer unendlichen Menge V von Vrilen. Sei σ : V {0, 1} eine Belegung. Wie ülich wird σ konsistent mit der Semntik der Aussgenlogik uf F {0, 1} erweitert. Dnn können wir die zwei Mengen SAT und DOUBLE-SAT definieren: SAT := {F F σ : V {0, 1}. σ(f ) = 1} DOUBLE-SAT := {F F σ, σ : V {0, 1}. σ(f ) = 1 = σ (F ) σ(x) σ (x) für eine Vrile x, die in F vorkommt.}

6 Zeigen Sie die eiden folgenden Aussgen, indem Sie pssende Reduktionen ngeen und deren Korrektheit egründen. Geen Sie uch n, welche Reduktion zeigt, dss DOUBLE-SAT in NP liegt, und welche zeigt, dss DOUBLE-SAT NP-schwer (NP-hrt) ist. Begründen Sie Ihre Antwort. () DOUBLE-SAT p SAT Reduktion: f(f ) = F F [x x x V(F )] ( x V(F ) x x ), d.h. wir ersetzen jedes x V(F ) mit einer neuen Vrile x, die nicht in F vorkommt. Korrektheit: (1) F DOUBLE-SAT. Dnn existieren σ, σ mit σ(f ) = 1 = σ (F ) und σ(x) = 1 σ (x) für mindestens eine Vrile x in F. Wir konstruieren dnn ein σ (x) = σ(x) und σ (x ) = σ (x), d.h. σ verwendet die Belegung σ für die lten Vrilen x und σ für die kopierten Vrilen x. Somit gilt σ (f(f )) = 1 und deshl f(f ) SAT. (2) f(f ) SAT, dnn können wir us der Belegung σ zwei verschiedene Belegungen σ, σ nlog zu dem vorherigem Prinzip konstruiert werden. Somit F DOUBLE-SAT. Poly. Berechenrkeit: F muss einml kopiert werden und lle Vrilen ngepsst werden. Weiterhin muss die Disjunktion der Länge O( V(F ) ) ngehängt werden. Beides ist in polynomieller Lufzeit von einer DTM usführr. () zeigt DOUBLE-SAT NP, d SAT in NP liegt und wir mithilfe der Reduktion von () und der NTM für SAT eine NTM konstruieren können, die in polynomieller Zeit DOUBLE-SAT entscheidet. () SAT p DOUBLE-SAT Reduktion: f(f ) = F (x x), woei x V eine Vrile ist, die nicht in F vorkommt. Korrektheit: (1) Sei F SAT. Dnn existiert ein σ mit σ(f ) = 1. Wir setzen dnn σ (x) = 0 = 1 σ (x) und σ(y) = σ (y) = σ (y) für lle Vrilen y us F. Somit σ (f(f )) = 1 = σ (f(f )) und f(f ) DOUBLE-SAT. (2) Sei F SAT. Dnn existiert uch keine erfüllende Belegung für f(f ) und somit f(f ) DOUBLE-SAT. Poly. Berechenrkeit: F muss einml gelesen werden um ein frisches x zu finden und (x x) muss n F ngehängt werden. Beides ist in polynomieller Lufzeit von einer DTM usführr. () zeigt DOUBLE-SAT ist NP-schwer, d lut Vorlesung SAT NP-schwer ist und somit DOUBLE-SATmindestens uch NP-schwer ist.