Tutorium Mathematik ITB1(B), WI1(B)

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1 Tutorium Mathematik ITB(B), WI(B) Aufgabenblatt D Differenzialrechnung Prof Dr Peter Plappert Fachbereich Grundlagen Die Aufgaben dieses Aufgabenblattes sollen ohne die Benutzung von Taschenrechnern bearbeitet werden Aufgabe : Die Funktion f ( ) soll untersucht werden 6 a) Bestimmen Sie den maimalen Definitionsbereich b) Berechnen Sie die Nullstellen c) Bestimmen Sie an den Definitionslücken jeweils den links- und den rechtsseitigen Grenzwert Hinweis: Zerlegen Sie hierzu den Nenner in Linearfaktoren d) Berechnen Sie lim f ( ) und lim f ( ) e) Geben Sie alle evtl vorhandenen Asmptoten an f) Berechnen Sie die Intervalle, in denen die Funktion monoton steigt bzw fällt Berechnen Sie, falls vorhanden, die Etrempunkte von f () g) Berechnen Sie die Intervalle, in denen die Funktion links- bzw rechtsgekrümmt ist Berechnen Sie, falls vorhanden, die Wendepunkte von f () h) Skizzieren Sie den Graphen von f () unter Benutzung der Resultate aus den vorigen Teilaufgaben i) Bestimmen Sie den Wertebereich der Funktion Aufgabe : Die Funktion f ( ) ln ( + ) soll untersucht werden a) Bestimmen Sie den maimalen Definitionsbereich b) Berechnen Sie die Nullstellen c) Bestimmen Sie Grenzwert, wenn sich dem linken Rand des Definitionsbereichs nähert d) Berechnen Sie lim f ( ) e) Geben Sie alle evtl vorhandenen Asmptoten an f) Berechnen Sie die Intervalle, in denen die Funktion monoton steigt bzw fällt Berechnen Sie, falls vorhanden, die Etrempunkte von f () g) Berechnen Sie die Intervalle, in denen die Funktion links- bzw rechtsgekrümmt ist Berechnen Sie, falls vorhanden, die Wendepunkte von f () h) Skizzieren Sie den Graphen von f () unter Benutzung der Resultate aus den vorigen Teilaufgaben i) Bestimmen Sie den Wertebereich der Funktion Tutorium ITB(B), WI(B) Blatt D Seite /6

2 Aufgabe : Die Funktion f ( ) soll untersucht werden + 4 a) Bestimmen Sie den maimalen Definitionsbereich b) Untersuchen Sie die Funktion auf Smmetrie c) Berechnen Sie das absolute Maimum und das absolute Minimum von f () Weisen Sie jeweils nach, dass ein Etremum vorliegt d) Welche Steigung hat der Funktionsgraph an der Stelle? Wie lautet die Gleichung der Tangente an dieser Stelle? e) Skizzieren Sie den Graphen von f () unter Benutzung der Resultate aus den vorigen Teilaufgaben Hinweis: Benutzen Sie außerdem (ohne dies nachzurechnen), dass es keine Wendepunkte gibt e Aufgabe 4: Die Funktion f ( ) 4 soll untersucht werden e + a) Bestimmen Sie den maimalen Definitionsbereich b) Berechnen Sie die Nullstellen c) Berechnen Sie lim f ( ) und lim f ( ) d) Geben Sie alle evtl vorhandenen Asmptoten an e) Berechnen Sie die Intervalle, in denen die Funktion monoton steigt bzw fällt Berechnen Sie, falls vorhanden, die Etrempunkte von f () f) Berechnen Sie die Intervalle, in denen die Funktion links- bzw rechtsgekrümmt ist Berechnen Sie, falls vorhanden, die Wendepunkte von f () g) Skizzieren Sie den Graphen von f () unter Benutzung der Resultate aus den vorigen Teilaufgaben Hinweis: ln( ),4 h) Bestimmen Sie den Wertebereich der Funktion Ergebnisse zum Aufgabenblatt D Diese Datei enthält nur Endergebnisse und nicht eventuell notwendige Zwischenschritte oder Überlegungen Bei Fragen und Problemen wenden Sie sich bitte an mich und vereinbaren ggf einen Termin für eine Sprechstunde! Bitte machen Sie mich darauf aufmerksam, wenn Sie Fehler in dieser Datei finden Aufgabe : a) \ c) Es ist lim, < D ma R { } ; b) Nullstellen sind und f ( ) Damit findet man lim f ( ) ( + ) ( ), lim f ( ),, f ( ), lim, > f ( ) < > d) lim f ( ) lim f ( ) e) Senkrechte Asmptoten und (siehe c)); waagrechte Asmptote (siehe d)) Tutorium ITB(B), WI(B) Blatt D Seite /6

3 Aufgabe f) + 6 f ( ) ( 6) ; f ( ) für An der Stelle liegt ein Vorzeichen- wechsel von f ( ) von + nach - vor, deshalb ist eine Maimumstelle Hochpunkt 5 streng monoton wachsend für < streng monoton wachsend für < f ( ) ist streng monoton fallend für < streng monoton fallend für < Anmerkung: Es gibt zwei Intervalle, in denen f ( ) wächst Die beiden Intervalle werden durch die Definitionslücke getrennt Entsprechend für die Intervalle, in denen f ( ) fällt g) f ( ) Die Gleichung f ( ) hat keine Lösung, also gibt es keine 6 ( ) Wendepunkte Es gilt: f ( ) > für < Linkskrümmung des f ( ) < für < < Rechtskrümmung des f ( ) > für < Linkskrümmung des h) Skizze Aufgabe (Asmptoten rot gezeichnet) Graphen von f ( ) Graphen von f ( ) Graphen von f ( ) 5 4 f() H i) W ( ; ] ( ; ) 5 Tutorium ITB(B), WI(B) Blatt D Seite /6

4 Aufgabe : f ( ) ln( + ) a) D ma ( ; ) b) c) lim f ( ), > d) lim f ( ) e) senkrechte Asmptote f) f ( ) + > für alle D, also ist die Funktion im ganzen Definitionsbereich streng monoton wachsend, und es gibt keine Etrema g) f ( ) ( + ) < für alle D, also ist der Funktionsgraph im ganzen Definitionsbereich rechtsgekrümmt, und es gibt keine Wendepunkte h) Skizze Aufgabe (Asmptote rot gezeichnet) f() N i) W R -5 Aufgabe : a) D ma [ ] ; b) f ( ) f ( ), also Smmetrie zur -Achse + 4 ( ) + 4 ( ) c) f ( ), also f ( ) An der Stelle liegt ein Vorzeichenwechsel von f ( ) von - nach + vor, deshalb ist eine Minimumstelle mit Funktionswert f ( ) Die einzigen weiteren Kandidaten für das absolute Maimum bzw Minimum sind die Funktionswerte am Rand von D Es ist f ( ) f ( ) Folglich gilt: absolutes Minimum, absolutes Maimum Tutorium ITB(B), WI(B) Blatt D Seite 4/6

5 d) f ( ) und f ( ) für, also liegt an der Stelle eine senkrechte Tangente vor Gleichung dieser Tangente ist e) Skizze Aufgabe,5,5 f() ,5 - -,5 - Aufgabe 4: a) D ma R b) ln( ) oder gleichwertig ln ln c) lim f ( ) 4, lim f ( ) 4 d) Für waagrechte Asmptote 4, für waagrechte Asmptote 4 e) f ( ) 48 e ( e + ) > für alle D, also ist die Funktion im ganzen Definitions- bereich streng monoton wachsend, und es gibt keine Etrema e f) f ( ) 48e Es ist e + ( ) > < ln( ) f ( ) für ln( ), also hat f ( ) an der Stelle ln( ) einen < > ln( ) Vorzeichenwechsel von + nach -, folglich ist ln( ) Wendepunktstelle Wendepunkt (ln( ) ) (,4 ) Tutorium ITB(B), WI(B) Blatt D Seite 5/6

6 g) Skizze Aufgabe 4 (Asmptoten rot gezeichnet) 5 4 f() N W h) W ( 44 ; ) Tutorium ITB(B), WI(B) Blatt D Seite 6/6