Mathematik 3 MB Übungsblatt 3 ***LÖSUNGSVORSCHLÄGE*** Themen: Mehrfachintegrale Doppelintegrale
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1 Mathmatik MB Übngsblatt Thmn: Mhrfachintgral Dopplintgral DHBW TUTTGRT MB MTHEMTK ETE VON fgab : Bstimmn i di Wrt dr folgndn Dopplintgral: a)... cos dd b)... dd c)... dd Lösngn: a) sin sin sin cos d d d dd 9 b) dd nnr ntgration: d Äßr ntgration: p d g f g f d d Normal Cosins - ntgration, Umkhrng dr Kttnrgl Hir möglich, da nabhängig on! Fnktionstrm für di äßr ntgration rstzn Unigntlichs ntgral
2 MTHEMTK TUDENGNG: MB ÜBUNGBLTT : GRENZWERTBLDUNG: lim, 75 () lim () = Fall: () lim () l'hospital c) dd d d Kttnrgl mgkhrt Partill ntgration fgab : Di in Figr skizzirt trapzförmig Grnzfläch zwir dilktrischr Mdin nthält di ortsabhängig Obrflächnladng, k mit i di Gsamtladng Q af dr Grnzfläch nach dr Forml Q, d. k,5 s/cm 5. Brchnn Lösng: Figr : Trapzförmig Grnzfläch. = nd = = + = DHBW TUTTGRT MB MTHEMTK ETE VON
3 MTHEMTK TUDENGNG: MB ÜBUNGBLTT s dr kizz sind di ntgrationsgrnzn z ntnhmn. Da on abhängt, int- grirn wir zrst nach. Es ist dabi, k Q k. k dd k d k d d Möglich, da on dn Variabln nabhängig!. Binomisch Forml fgab : k,656 k 5 5 Brchnn i mit Hilf dr ntgralrchnng das Volmn dr Drickspramid, di drch di Koordinatnachsn im kartsischn Koordinatnsstm nd di Ebn mit dr Koordinatnglichng im rstn Oktantn bgrnzt wird. s Mathmatik frtig, nr Zahlnwrt für noch ingstzt Figr : kizz dr gschtn Drickspramid. Lösng: Lösng ohn ntgralrchnng: s dr Koordinatnglichng könnn wir sofort di dri prpnkt ablsn: 6 Daon di Khrwrt nhmn (//) rgibt (//) (//) Drick: = 6 = 6 FE DHBW TUTTGRT MB MTHEMTK ETE VON
4 MTHEMTK TUDENGNG: MB ÜBUNGBLTT Da wir in Pramid mit dr Grndfläch Volmn drslbn brchnn: orlign habn, könnn wir wi folgt das Lösng mit ntgralrchnng: V h 6 P VE. Hir formn wir rst inmal nach z ( z ) m (nach dn andrn Variabln ist dis abr ach möglich): z z Di ntgrationsgrnzn ntnhmn wir as folgndr kizz (Btrachtng dr Pramid on obn): = = = nd = Nn könnn wir das ntgral afstlln ( z ist di ntgrandfnktion, di Grnzn sind dm rchtn Til dr kizz z ntnhmn) nd brchnn: V P, d dd d 6 d 6 ( ) z VE d. Binomisch Forml mit Minsklammr Etwas mständlichr di Lösng ohn ntgralrchnng, abr s fnktionirt! d DHBW TUTTGRT MB MTHEMTK ETE VON
5 MTHEMTK TUDENGNG: MB ÜBUNGBLTT fgab : Bstimmn i dn chwrpnkt dr zwischn dr Parabl chs glgnn Fläch. nd dr - Figr : Parabl nd chwrpnkt. Lösng: Wir bnötign für di Brchnng rst inmal dn Flächninhalt. Disn könnn wir mit dm stinknormaln Einfachintgral brchnn : Flächnbrchnng: d FE nschlißnd könnn wir ns dr igntlichn chwrpnktbrchnng zwndn, indm wir di Forml as dm kript bmühn. Drch di offnsichtlich mmtri zr chs mss dr -Wrt ds chwrpnkts natürlich sin: Brchnng ds chwrpnkts (nr dr -Wrt ist zr brchnn): ( ) = ( + ). BF ( ) d dd d 5 d Damit ist dr chwrpnkt. 5 d fgab 5: Di in bbildng skizzirt trapzförmig Fläch wird on ntn on dr Gradn brandt. m Dis sollt i or kin nnnnswrtn Problm stlln, zmal wir nr in ganzrational Fnktion z intgrirn habn! DHBW TUTTGRT MB MTHEMTK ETE 5 VON
6 MTHEMTK TUDENGNG: MB ÜBUNGBLTT a) Wi mss man di tigng m wähln, damit dr Flächnschwrpnkt af dr - chs ligt? b) Bstimmn i di gna Position ds chwrpnkts. Figr : chwrpnktanpassng. Lösngn: a) Damit dr chwrpnkt af dr -chs ligt, müssn wir fordrn. Di Grnzn bim ntgrirn rgbn sich as Figr. Wir formlirn dahr: d dd dd ( ) m m ntgralbrchnng: m 5 dd 5 m m d m d m m 7 9 9m m b) Um di Koordinatn ds chwrpnkts z bstimmn, müssn wir nr noch di - Koordinatn brchnn, di -Koordinat knnn wir brits as Til a). Zrst kümmrn wir ns dn Flächninhalt, dn wir nach dr bkanntn Forml as dm. mstr brchnn: b f ( ) g( ) d a für dn Flächninhalt zwischn dn chabildrn zwir Fnktionn f nd g in dn ggbnn Grnzn. DHBW TUTTGRT MB MTHEMTK ETE 6 VON
7 MTHEMTK TUDENGNG: MB ÜBUNGBLTT Flächninhalt: fgab 6: 7 d FE Brchnng dr fhlndn Koordinat: 5 ( ) d d Dr chwrpnkt ist also. Brchnn i dd d. Di Fläch ist in Figr 5 abgbildt. d Figr 5: Fläch für fgab 6. Lösng: fgrnd dr Rotationssmmtri bitt s sich an, in Polarkoordinatn z rchnn. Daz müssn wir di Transformationsrgln bachtn: = cos nd = sin = ( ) d r cos r sin rdrd r rdrd r rdr r r r r r r DHBW TUTTGRT MB MTHEMTK ETE 7 VON
8 MTHEMTK TUDENGNG: MB ÜBUNGBLTT fgab 7: Brchnn i dn Flächninhalt ds im rstn Qadrantn glgnn Flächnstücks, das drch di Kr r sin nd dn Einhitskris brandt wird ( r, sind Polarkoordinatn, Figr 6 zigt di Fläch). Lösng: Figr 6: Fläch z fgab 7. Di ntgrationsgrnzn sind Figr 6 z ntnhmn. Dabi gilt: Radis: r (ntn) nd r sin (obn) Winkl: (ntn) nd (obn, Virtlkris) Damit könnn wir di Flächnbrchnng ntr Brücksichtigng dr Transformationsrgln drchführn: = ( ) d sin r rdrd sin r sin sin r. BF d... ntgral: sin d n d n sin sin sin cos sin sin cos sin sin d cos sin für n n n n n = = DHBW TUTTGRT MB MTHEMTK ETE VON
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