Mathematikaufgabe 117

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1 Mathematikaufgabe 7 Copright 7 Manfre Hiebl Alle echte vorbehalten eite Home tarteite Impreum ontakt Gätebuch Aufgabe: Berechnen ie en Flächenchwerpunkt einer Viertel- un Achtelphäre in karteichen un phärichen oorinaten Zeigen ie aß ich ie chwerpunkte weier phäricher Dreiecke nur in karteichen oorinaten u Mittelwerten aieren laen Löung: Der chwerpunkt einer Fläche it efiniert urch Aufgrun er ugelgleichung liegt ie Fläche al Funktion von un vor: Damit läßt ich er chwerpunkt eine phärichen Dreieck al Oberflächenintegral erter Art berechnen: f f wobei Mit en partiellen Ableitungen it

2 Mathematikaufgabe 7 Copright 7 Manfre Hiebl Alle echte vorbehalten eite Die Achtelphäre e erten Quaranten hat amit ie Oberfläche arcin Ferner in ie - un -oorinate gegeben urch arcin un arcin womit ich ein mmetricher chwerpunkt auf em 5 Breiten- un Längengra ergibt: Dieer it in Grun- un eitenriß in Abb argetellt Abbilung Grun- un eitenriß er Achtelphäre mit eingeeichnetem 5 Längen- un Breitenkrei Für ie Viertelphäre e erten un weiten Quaranten gilt

3 Mathematikaufgabe 7 Copright 7 Manfre Hiebl Alle echte vorbehalten eite arcin owie arcin un arcin Da liefert en Oberflächenchwerpunkt bei er in phärichen oorinaten auf em 9 Längen- un em 6 Breitengra liegt: arctan arctan arctan Grun- un eitenriß in in Abb argetellt Abbilung Grun- un eitenriß er Viertelphäre mit 9 Längen- un 6 Breitenkrei

4 Mathematikaufgabe 7 Au mmetriegrünen muß ie -omponente verchwinen Wir eigen nun aß ich ie chwerpunkte weier Achtelphären um chwerpunkt einer Viertelphäre ergänen Die beien Achtelphären haben eineln ie chwerpunktkoorinaten () () () () () () ie in phärichen oorinaten en folgenen Längen un Breiten entprechen: bw () () ( ) () arctan arctan () () () () () ( ) () arctan arctan () () () Wie man leicht ieht aieren ich ie - un -oorinaten um chwerpunkt einer Viertelphäre: () () () () Bei er chwerpunktbetimmung eigt e ich aß wir ie - un -omponenten er einelnen chwerpunkte arithmetich mitteln müen um en Geamtchwerpunkt u erhalten Die -omponenten hingegen müen jeweil eineln berechnet weren un auf er ugeloberfläche liegen Wir führen nachfolgen ur ontrolle ie Berechnung in ugelkoorinaten urch Mit en krummlinigen oorinaten un für ie geographiche Länge un Breite ie mit en karteichen oorinaten un wie folgt uammenhängen: co co co in in lauten ie Tangentialvektoren an ie oorinatenlinien: r r e e e e e e Damit ergibt ich al Flächeninhalt auf em phärichen Dreieck EG F co Copright 7 Manfre Hiebl Alle echte vorbehalten eite

5 Mathematikaufgabe 7 Copright 7 Manfre Hiebl Alle echte vorbehalten eite 5 wobei ie oeffiienten er Funktionaleterminante gegeben in urch co E G un F Damit läßt ich ie Oberfläche er Achtelphäre weentlich einfacher berechnen al in karteichen oorinaten: in co co währen wir für ie Oberfläche er Viertelphäre en bereit bekannten Wert in co co erhalten Aufgrun er Definition e chwerpunkt in ugelkoorinaten haben wir ie Integrale co in co co co co auuwerten Für ie Achtelphäre it ie -omponente e chwerpunktintegral gegeben urch co in co co un ie -omponente lautet: co co in co Darau ergeben ich ie gleichen chwerpunktkoorinaten wie in er karteichen Berechnung wa heißt aß unere echnung timmt:

6 Mathematikaufgabe 7 Copright 7 Manfre Hiebl Alle echte vorbehalten eite 6 Für ie Viertelphäre it ie -omponente e chwerpunktintegral gegeben urch co in co co un ie -omponente lautet: co co in co womit ich auch hier ie alten Werte ergeben: Grunätlich it ie Berechnung er Oberflächenintegrale erter Art in ugelkoorinaten einfacher jeoch auch ann kommen wir nicht umhin für ie Aition er chwerpunkte karteiche oorinaten u verwenen Anchließen müen wir a Ergebni er Mittelwertbilung wieer urück in ugelkoorinaten tranformieren Wenn wir wien wollen wo er chwerpunkt in geographichen oorinaten liegt