Terme Allgemeines/Aufstellen von Termen, Formeln und Gleichungen:

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1 Terme Allgemeines/Aufstellen von Termen, Formeln und Gleichungen: Allgemeines zu Termen: Martin kauft im Supermarkt drei Liter Milch um je m, zwei Packungen Toastbrot um t und eine Packung Butter um b. a) Stelle eine Formel für den Gesamtpreis P auf. b) Berechne den Gesamtpreis, wenn Milch 0,85 pro Liter, eine Packung Toastbrot 1,29 und eine Packung Butter 1,89 kostet. 1.2 Schreibe als Term unter Verwendung von Variablen. a) Die Summe dreier Zahlen und 12 b) Summe vom Quotienten zweier Zahlen und deren Differenz c) Produkt einer unbekannten natürlichen Zahl mit deren Nachfolger 1.3 Gegeben ist der Term T(x) = 2 3 x. a) Berechne T(1), T(2), T(3) b) Wie verändert sich der Wert des Terms jeweils, wenn x um 1 vergrößert wird? c) Wie lautet das 30. Glied dieser Zahlenfolge? d) Das wievielte Glied hat den Wert - 30? 1.4 Von dem Vierfachen einer Zahl z soll 9 subtrahiert werden. a) Schreibe diesen Rechenbefehl als Term. b) Bei welcher Belegung der Variablen z ist der Wert des Terms -1? c) Welche natürlichen Zahlen kann man für z einsetzen, sodass der Wert des Terms negativ ist? 1.5 Welche Zahl darf für die Variable nicht eingesetzt werden? a) 2 c) 2+3a x - 1 b e) 3 z z-1 b) 3 - y 2y+4 1 d) 2c - 8 f) 8 (2 + d) 1.6 Gib die nächsten drei Zahlen der Zahlenfolge an und erkläre, wie man von einer Zahl zur nächsten kommt. a) 3, 10, 17 b) 12, 9, 6 c) 800, 200, 50 d) 3, -21, In eine Klasse sind m Mädchen und b Buben. Stelle zum Text eine Gleichung auf. a) In der Klasse sind doppelt so viele Mädchen als Buben b) In der Klasse sind zwei Mädchen mehr als Burschen c) Wenn in der Klasse genau ein Mädchen fehlt, sind genau halb so viele Buben als Mädchen im Klassenraum. 1.8 Stelle eine Formel für den Umfang und den Flächeninhalt des abgebildeten Grundstücks auf. 1.9 Die Summe von 5 aufeinander folgenden natürlichen Zahlen ist stets durch 5 teilbar. a) Überprüfe diesen Satz anhand dreier Beispiele b) Beweise diesen Satz.

2 Rechnen mit Termen Addition und Subtraktion einfacher Terme: Addition und Subtraktion von Klammernterme: Multiplizieren und Dividieren: Vereinfache den Term. Kreuze die richtige Lösung an. 3a + 4b 2a + 3b 2a + 6b = a + 13b a + 13b 3a 13b 2.2 Vereinfache die Terme und ordne richtig zu. 2.3 Vereinfache den Term soweit wie möglich. a) (a + 3 b) 4 (2 a 3b) = 3 b) ( 4k + 2k ) 6 = 3 12 c) [3x + 7y-(z + 2x + 3)-5] = 2.4 Beschreibe, wie mit Termen gerechnet wird. Wähle aus den angebotenen Möglichkeiten die passenden aus.

3 Potenzschreibweise: Rechnen mit Potenztermen: Rechnen mit Termen, Probe: Multiplizieren von Termen: Multiplizieren von Termen: Multiplizieren von Termen: Gib in Potenzschreibweise an! 2.6 Berechne ohne Taschenrechner! 2.7 Beachte die Vorrangregeln und berechne. Markiere die richtigen Lösungen. 2.8 Vereinfache die Terme und verbinde mit dem richtigen Kasten.

4 2.9 Vereinfache die Terme! Gib gegebenenfalls an, welche Zahlen die Variablen nicht annehmen dürfen! 2.10 Vereinfache die Terme so weit wie möglich! 2.11 Die folgenden Termumformungen sind falsch. Stelle sie richtig! 2.12 Vereinfache soweit wie möglich! Gib gegebenenfalls an, welche Werte die Variablen nicht annehmen dürfen! a) (-4 x y) 3 = b) ( x2 y y 3 x )2 = c) 6a 2-4ab + 2c2 c -2a b2 + 7a 3 -(4a) 2 = d) 3x y y3 = e) (3xy + 4x - y) (y + 3x) = f) (3a + 2b2 b ) (ab2 b -ab) =

5 Gleitkommadarstellung Gleitkommadarstellung: Gib die Zahl in Gleitkommadarstellung mit einer möglichst kleinen natürlichen Zahl als Vorzahl an! 3.2 Schreibe das Ergebnis als Produkt einer natürlichen Zahl mit einer Zehnerpotenz! 3.3 Wie lautet die Zahl ausgeschrieben? 3.4 Rechne mit Zehnerpotenzen und schreibe als natürliche Zahl! 3.5 a) Der Abstand zwischen der Erde und unserem Mond beträgt ungefähr km. Gib diese Zahl in Gleitkommadarstellung an! b) Die Sonne ist von der Erde im Schnitt 390-mal so weit entfernt wie der Mond. Wie viel Kilometer sind das? Rechne mit Hilfe der Gleitkommadarstellung! c) Der Proxima Centauri ist nach der Sonne der nächst gelegene Fixstern. Er ist ungefähr 4,2 Lichtjahre von uns entfernt. Berechne die Entfernung in Kilometer. Ein Lichtjahr entspricht ungefähr 9, km. d) UDFy ist eines der am weitesten entfernten bekannten Objekte im Universum. Diese Galaxie hat einen derzeitigen Abstand von 30,3 Milliarden Lichtjahren zur Erde. Gib diesen Abstand in km mit und ohne Gleitkommadarstellung an!

6 Rechengesetze Binomische Formel: Beispiel zur Binomischen Formel: Herausheben: Herausheben, Kürzen, Binomische Formel: Herausheben gemeinsamer Faktoren: Wende die binomischen Formeln an. Verbinde gleichwertige Terme. 4.2 Wende die binomischen Formeln an! 4.3 Schreibe als Quadrat eines Binoms! 4.4 Vereinfache die Terme so weit wie möglich. Verbinde mit dem passenden Term. 4.5 Multipliziert man eine natürliche Zahl mit ihrem Nachfolger, erhält man die Summe des Quadrats der Zahl und der Zahl selbst. a) Überprüfe durch Einsetzen von Zahlen. b) Beweise diese Behauptung! 4.6 Berechne mit der binomischen Formel für (a + b) 2! 4.7 Forme die Terme durch Herausheben aller gemeinsamen Faktoren um.

7 4.8 Verbinde die gleichwertigen Rechenausdrücke. Achtung: Auch Mehrfachzuordnungen sind möglich! 4.9 Können die Terme als Quadrate von Binomen geschrieben werden? 4.10 Vereinfache durch Herausheben und Kürzen soweit wie möglich! Welche Werte dürfen die Variablen nicht annehmen? a) 2x4-3x 2 x 2 = c) 3y+6y3 3 (y-y 2 ) = e) a+a2 +a 3 a 4 = 9ab +3b+6ab2 b) 3b = d) a (b+2c)+d (b+2c) b+2c = f) 7x-4x+12x 13x-2x =

8 Flächeninhalt von Deltoid, Raute, Quadrat, Trapez, allgemeinen Vierecken und Vielecken Flächeninhalt Trapez- alternative Herleitung der Formel, Umkehraufgabe: Flächeninhalt Raute mit Formel A = a h: Flächeninhalt Deltoid- Herleitung und Umkehraufgabe: Flächeninhalt Übersicht: Ordne die Flächeninhaltsformeln den richtigen Figuren zu. 5.2 Markiere alle richtigen Flächeninhaltsformeln. 5.3 Berechne den Flächeninhalt des Trapezes! a = 45 mm, c = 21 mm, h = 32 mm 5.4 Markiere jeweils die richtige Lösung.

9 5.5 Bestimme jeweils die in der Umkehraufgabe gesuchte Größe! 5.6 Berechne den Flächeninhalt. Lies die benötigten Seitenlängen aus den Koordinaten ab. 5.7 Berechne den Flächeninhalt des allgemeinen Vielecks durch Zerlegen. 5.8 Kreuze die richtigen Aussagen an! Der Flächeninhalt des Parallelogramms lässt sich auch mit A = e f berechnen. Der Flächeninhalt des Trapezes ist genau halb so groß wie der Flächeninhalt eines Parallelogramms mit der Seitenlänge (a + c). Der Rhombus ist sowohl ein Deltoid als auch ein Parallelogramm, daher kann man beide Flächeninhaltsformeln verwenden. Alle Parallelogramme mit dem gleichen Flächeninhalt haben die gleiche Form. 5.9 Drücke die gesuchten Größen aus den Flächeninhaltsformel aus! Gib dabei alle Umformungsschritte an! Trapez: h = Raute: h a =

10 Deltoid: e = Trapez: c = 5.10 Begründe mit Hilfe des Bildes, dass man den Flächeninhalt des Deltoids mit A = e f: 2 berechnen kann! 5.11 Berechne den Flächeninhalt des allgemeinen Vielecks, indem du die außerhalb des Vielecks liegenden Dreiecke vom umliegenden Rechteck abziehst! 5.12 Berechne den Flächeninhalt des Vielecks! Wähle selbst geeignete Teilfiguren! Lies benötigte Seitenlängen aus den Koordinaten ab! 5.13 Berechne den Flächeninhalt der Figur! Wähle selbst geeignete Teilfiguren!

11 5.14 Konstruiere die gefragte Figur. Berechne dann den Flächeninhalt. Miss nur wenn nötig Längen in deiner Zeichnung ab! a) Deltoid: a = 5cm, b = 8cm, e = 10cm b) Deltoid: a = 4cm, f = 6,5cm, e = 8cm c) Deltoid: α = 110, β = 90, b = 5cm d) Raute: e = 6cm, f = 4cm e) Raute: a = 3,5cm, f = 3,5cm f) Raute: e = 8cm, β = 120 g) Trapez: a = 6cm, b = 3,5cm, β = 75, c = 3cm h) Trapez: c = 4cm, h = 4cm, d = 5cm, β = 70, δ > Wie verändert sich der Flächeninhalt eines Trapezes mit den parallelen Seiten a und c, wenn sich seine Höhe verdoppelt, die Seiten a und c jedoch gleich bleiben? 5.16 Von einer Raute kennt man die Größen a, h a, e. Leite mit Hilfe der beiden Flächeninhaltsformeln her, wie du f berechnen kannst! 5.17 Von einem Fünfeck kennt man die Eckpunkte A(2/3), B(3/5), C(6/5), D(7/3) und E(6/1). a) Zeichne das Fünfeck in ein Koordinatensystem ein! b) Berechne den Flächeninhalt, indem du das Fünfeck so unterteilst, dass du die benötigten Längen aus den Koordinaten ablesen kanns! Franzi möchte die Vorder- und Rückseite seines deltoidförmigen Drachens mit Alufolie verkleiden. Die Diagonalen betragen 80cm und 50cm. Dazu schneidet er von einer Alufolienrolle Quadrate mit 20cm x 20cm ab. Wie viele solcher Stücke benötigt er mindestens, wenn er mit 20% Verschnitt rechnet?

12 Lösungen: 1.1 P = 3m + 2t + b = 7, a) x + y + z + 12, b) x y + x y, c) n (n + 1) 1.3 a) T(1) = 2, T(2) = 4, T(3) = 6 = 2, b) Der Wert des Terms wird um 2 kleiner, c) T(30) = 20, d) 30 = x x = a) 4 z 9, b) z = 2, c) 0, 1, a) x 1, b) y 2, c) b 0, d) c 4, e) z 1, f) d a) 24, 31, 38 T(x) = 3 + 7x, b) 3, 0, -3 T(x) = 12 3x, c) 12,5; 3,125; 0,78125; Man dividiert die vorhergehende Zahl durch 4. d) 1029, -7203, 50421, Man multipliziert die vorhergehende Zahl mit a) m = 2b, b) m 2 = b, c) m 1 = 2b, m Mädchen, b Buben 1.8 u = a + a + b + a + a + a + c + a + a = 7a + b + c, A = a 2 + ab + a 2 + ab = 2 2a2 + 3ab Für Flächenberechnung 2 zum Beispiel in zwei Quadrate, ein Rechteck und ein rechtwinkeliges Dreieck unterteilen. 1.9 b) n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + (n + 4) = n + n n n n + 4 = n + n + n + n + n = 5n + 10 Da sowohl 5n, als auch 10 durch 5 teilbar ist (Produktregel), ist auch 5n + 10 durch 5 teilbar (Summenregel) a + 13b a) 1 a b, b) 9k, c) x + 7y z Nur gleiche Variablen, jedes Glied des einen Terms mit jedem Glied des anderen Terms, Plus und Minus 2.5 a) 5 5, b) , c) , d) a 2 b 5, e) r 3 s 2 t 2, f) 12e 4 f , 25, 8, , 12, 79, 229, 4, a) ( 4 x y) 3 = ( 4) 3 x 3 y 3 = 64x 3 y 3 b) ( x2 y y 3 x ) 2 = ( x y 2)2 und x, y 0 c) 6a 2 4ab + 2c2 2a c b2 + 7a 3 (4a) 2 = 6a 2 4ab + 2c 2ab 2 + 7a 3 16a 2 = 7a 3 10a 2 4ab 2ab 2 + 2c und c 0 d) 3x y y3 = 3x y3 = 3x 1 = 3x y 1 y y 3 y 4 e) (3xy + 4x y) (y + 3x) = 3xy 2 + 9x 2 y + 4xy + 12x 2 y 2 3xy = 3xy 2 + 9x 2 y + xy + 12x 2 y 2 f) (3a + 2b2 ) b (ab2 ab) = (3a + 2b) (ab ab) = (3a + 2b) 0 = 0 b

13 , km, b) 3, , km, c) 9, , = km, d) 9, , , km = km b) n (n + 1) = n 2 + n = ( ) 2 = = =

14 4.10 a) 2x 2 3, x 0 b) 3a ab, b 0 c) 3y+6y3 5.1 a (b+2c)+d (b+2c) b+2c 15x = 15, x 0 11x 11 = (b+2c) (a+d) b+2c = a + d, e) a+a2 +a 3 = 3y (1+2y2 ) 3 (y y 2 ) 3y (1 y) = a (1+a+a2 ) a 4 a 4 = 1+2y2, y 0; 1 d) 1 y = 1+a+a2, a 0, f) 7x 4x+12x = a 3 13x 2x , mm , a = 3,5cm; c = 5,6cm A = 30cm , Trapez: h = A 2: (a + c), Raute: h a = A: a, Deltoid: e = A 2: f, Trapez: c = A 2: h-a A = 30,5cm A = 29,5cm a) Dreieck ABC konstruieren und Dreieck ACD b) Dreieck ABD konstruieren, dann Dreieck BCD c) γ: 2 mit Winkelsumme berechnen: 180 = α: 2 + β + γ: 2. Dann Dreieck ABC und ACD konstruieren d) mit Hilfe der Eigenschaft konstruieren, dass sich die Diagonalen halbieren und normal aufeinander stehen e) Dreieck ABD und BCD konstruieren f) Mit Winkelsumme 180 = α: 2 + β + α: 2 = α + β den Winkel α berechnen, dann Dreieck ABC und ACD konstruieren g) Dreieck ABC konstruieren, dann von C nach links c parallel zu a zeichnen h) c zeichnen, h ungefähr in Mitte normal zu c, Gerade auf der a liegt zeichnen, dann von D d abschlagen und B mit Hilfe von β suchen. Zur Kontrolle ob du richtig konstruiert hast alle Angaben in deiner Zeichnung nachmessen! Flächeninhalt berechnen nicht vergessen! 5.15 A alt = (a+c) h A = a h a und A = e f und A neu = (a+c) 2h 2, also gilt a h 2 a = e f 2 = 2 (a+c) h = 2 A alt a h a = e f :e 2 a h a e = f

15 5.17 A = Franzi brauch 12 Aluquadrate