Die Welt der Primzahlen

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1 Springer-Lehrbuch Die Welt der Primzahlen Geheimnisse und Rekorde Bearbeitet von Paulo Ribenboim, Wilfrid Keller, Jörg Richstein 1. Auflage Taschenbuch. XXIV, 356 S. Paperback ISBN Format (B x L): 15,5 x 23,5 cm Gewicht: 573 g Weitere Fachgebiete > Mathematik > Algebra > Zahlentheorie Zu Leseprobe schnell und portofrei erhältlich bei Die Online-Fachbuchhandlung beck-shop.de ist spezialisiert auf Fachbücher, insbesondere Recht, Steuern und Wirtschaft. Im Sortiment finden Sie alle Medien (Bücher, Zeitschriften, CDs, ebooks, etc.) aller Verlage. Ergänzt wird das Programm durch Services wie Neuerscheinungsdienst oder Zusammenstellungen von Büchern zu Sonderpreisen. Der Shop führt mehr als 8 Millionen Produkte.

2 Inhaltsverzeichnis Vorwort Danksagungen Anleitung für den Leser Erklärung der Symbole vii ix xv xvii Einleitung 1 1 Wieviele Primzahlen gibt es? 3 I Beweis von Euklid II Ein Beweis von Goldbach! III Beweis von Euler IV Beweis von Thue V Drei vergessene Beweise A Beweis von Perott B Beweis von Auric C Beweis von Métrod VI Beweis von Washington VII Beweis von Furstenberg Wie kann man Primzahlen erkennen? 15 I Das Sieb des Eratosthenes II Einige grundlegende Sätze über Kongruenzen

3 xii Inhaltsverzeichnis III D A Der kleine Satz von Fermat und Primitivwurzeln modulo einer Primzahl B Der Satz von Wilson C Die Eigenschaften von Giuga und von Wolstenholme Primzahlpotenzen als Teiler der Fakultät einer Zahl E Der chinesische Restsatz F Die Eulersche ϕ Funktion G Folgen von Binomialzahlen H Quadratische Reste Klassische Primzahltests auf der Grundlage von Kongruenzen IV Lucas-Folgen V Primzahltests auf der Grundlage von Lucas-Folgen VI Fermat-Zahlen VII Mersenne-Zahlen VIII Pseudoprimzahlen A Pseudoprimzahlen zur Basis 2 (psp) B Pseudoprimzahlen zur Basis a (psp(a)) C Euler-Pseudoprimzahlen zur Basis a (epsp(a)).. 96 D Starke Pseudoprimzahlen zur Basis a (spsp(a)). 98 IX Carmichael-Zahlen X Lucas-Pseudoprimzahlen A Fibonacci-Pseudoprimzahlen B Lucas-Pseudoprimzahlen (lpsp(p, Q)) C Euler-Lucas-Pseudoprimzahlen (elpsp(p, Q)) und starke Lucas-Pseudoprimzahlen (slpsp(p, Q)) D Carmichael-Lucas-Zahlen XI Primzahltests und Faktorisierung A Aufwand für einen Primzahltest B Weitere Primzahltests C Titanische und sonderbare Primzahlen D Faktorisierung E Kryptographie mit öffentlichem Schlüssel Gibt es primzahldefinierende Funktionen? 135 I Funktionen mit der Eigenschaft (a) II Funktionen mit der Eigenschaft (b) III Primzahlerzeugende Polynome A Primzahlwerte linearer Polynome

4 Inhaltsverzeichnis xiii B Über quadratische Zahlkörper C Primzahlerzeugende quadratische Polynome D Der Wettlauf um Primzahlwerte und Primteiler. 153 IV Funktionen mit der Eigenschaft (c) Wie sind die Primzahlen verteilt? 161 I Die Funktion π(x) A Historische Entwicklung B Summen unter Einschluß der Möbius-Funktion. 176 C Primzahltabellen D Exakte Werte von π(x) und Vergleiche mit x/ log x, Li(x) und R(x) E Die nichttrivialen Nullstellen von ζ(s) F Nullstellenfreie Bereiche von ζ(s) und das Fehlerglied im Primzahlsatz G Einige Eigenschaften von π(x) H Die Verteilung der Werte von Eulers Funktion. 188 II Die n-te Primzahl und Lücken zwischen Primzahlen A Die n-te Primzahl B Lücken zwischen Primzahlen III Primzahlzwillinge IV Primzahlmehrlinge V Primzahlen in arithmetischer Folge A Es gibt unendlich viele! B Die kleinste Primzahl in einer arithmetischen Folge C Primzahlreihen in arithmetischer Folge VI Goldbachs berühmte Vermutung VII Die Verteilung von Pseudoprimzahlen und Carmichael- Zahlen A Verteilung von Pseudoprimzahlen B Verteilung von Carmichael-Zahlen C Verteilung von Lucas-Pseudoprimzahlen Welche besonderen Arten von Primzahlen wurden untersucht? 229 I Reguläre Primzahlen II Sophie-Germain-Primzahlen III Wieferich-Primzahlen IV Wilson-Primzahlen V Repunit-Primzahlen

5 xiv Inhaltsverzeichnis VI Zahlen der Form k b n ± VII Primzahlen und linear rekurrente Folgen zweiter Ordnung Heuristische und probabilistische Betrachtungen 257 I Primzahlwerte linearer Polynome II Primzahlwerte von Polynomen beliebigen Grades III Polynome mit großen Bereichen zerlegbarer Werte IV Partitio Numerorum Anhang 277 Ausklang 281 Literatur 283 Webseiten 325 Primzahlen bis Verzeichnis der Tabellen 331 Verzeichnis der Rekorde 333 Namensverzeichnis 335 Sachverzeichnis 349