Übungsblatt 9. a) Wie groß ist der Impuls des Autos vor und nach der Kollision und wie groß ist die durchschnittliche Kraft, die auf das Auto wirkt?

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1 Aufgabe 32: Impuls Bei einem Crash-Test kollidiert ein Auto der Masse 2000Kg mit einer Wand. Die Anfangsund Endgeschwindigkeit des Autos sind jeweils v 0 = (-20m/s) e x und v f = (6m/s) e x. Die Kollision dauert 0.4s a) Wie groß ist der Impuls des Autos vor und nach der Kollision und wie groß ist die durchschnittliche Kraft, die auf das Auto wirkt? b) Angenommen das Auto würde nicht zurück federn, aber die Dauer der Kollision bleibt 0.4s. Wäre die Kraft auf das Auto dann größer oder kleiner? Lösung Bei einem Crash-Test kollidiert ein Auto der Masse 2000Kg mit einer Wand. Die Anfangs- und Endgeschwindigkeit des Autos sind jeweils v 0 = (-20m/s) e x und v f = (6m/s) e x. Die Kollision dauert 0.4s. a) Der Anfangs- und Endimpuls des Autos sind gegeben durch P 0 = m v 0 = ( Kg m/s) e x und P f = m v f = ( Kg m/s) e x. Die Veränderung des Impulses des Autos ist gleich dem Impuls der netto Kraft, die auf das Auto wirkt. Die Veränderung ist I = P = P f P 0, Also I = ( Kgm/s) e x. Die durchschnittliche Kraft, die die Wand auf das Auto ausübt ist F av = P t = ( N) e x. b) In der oberen Betrachtung federt das Auto zurück. Die Kraft sorgt in dem Zeitintervall also für zwei Dinge. Erst stoppt sie das Auto und dann beschleunigt sie das Auto in die andere Richtung, so dass es sich mit 6m/s bewegt. Wenn das Auto nicht zurück federt, stoppt die Kraft nur das Auto. Wir erwarten also eine kleinere Kraft. Mathematisch beschrieben erhalten wir 1

2 I = P = P f P 0 = 0 P 0, Also I = (40g m s ) e x. Die durchschnittliche Kraft durch die Wand auf das Auto ist F av = P t = ( N) e x. Wie erwartet ist die Kraft kleiner als im ersten Fall. Aufgabe 33: Zwei Körper-Kollision mit Feder Ein Block der Masse = 4 Kg bewegt sich anfänglich mit einer Geschwindigkeit von 8 m/s auf einer Reibungsfreien Fläche nach rechts. Er kollidiert dann mit einer Feder, die an einem zweiten Block der Masse m 2 = 6 Kg befestigt ist und der sich zunächst mir einer Geschwindigkeit von 4 m/s nach links bewegt (vgl. Abb. 1). Die Federkonstante ist 600 Nm. a) Wie groß sind die Geschwindigkeiten der beiden Blöcke nach der Kollision? b) Zu einem Zeitpunkt der Kollision bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 3 m/s nach rechts. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des Blocks der Masse m 2 zu diesem Zeitpunkt und bestimmen sie wie weit die Feder an diesem Zeitpunkt zusammengedrückt ist. Abbildung 1: Ein nach rechts rutschender Block kollidiert mit einer Feder, die an einem nach links rutschenden Block befestigt ist. Lösung a) Da die Federkraft eine konservative Kraft ist, wird während der Kompression keine kinetische Energie in innere Energie umgewandelt. Somit ist der Stoß elastisch. Aufgrund der Impulserhaltung gilt v 10 + m 2 v 20 = v 1f + m 2 v 2f, 2

3 einsetzen der Werte ergibt 2v 1f + 3v 2f = 4. für den elastischen Stoß ist bekannt, dass (vgl. Gl. (3) im Einschub) v 10 v 20 = (v 1f v 2f ), Einschub 1 Es folgt die Berechnung des elastischen Stoßes nach der klassischen Mechanik, d.h., die Geschwindigkeiten v 1, v 2, v 1, v 2 vor bzw. nach dem Stoß liegen weit unterhalb der Lichtgeschwindigkeit. Nach der Definition von elastisch muss die Summe der kinetischen Energie vor und nach dem Stoß gleich hoch sein: Ekin = E kin 2 v2 1 + m 2 2 v2 2 = 2 v m 2 2 v (v2 1 v 1 2 ) = m 2 2 (v 2 2 v2) 2 (1) Zugleich gilt für alle Arten von Stößen der vektorielle [[Impulserhaltungssatz]]: p = p v 1 + m 2 v 2 = v 1 + m 2 v 2 ( v 1 v 1 ) = m 2 ( v 2 v 2) Die letzte Zeile bedeutet, dass die vektoriellen Impuls änderungen entgegengesetzt gleich sind. Daraus folgt, dass auch die Geschwindigkeitsänderungen entgegengesetzte Richtung haben, ihre Beträge aber vom Massenverhältnis abhängen: v 1 v 1 = m 2 ( v 2 v 2) (2) Im Folgenden werden nur die Geschwindigkeitskomponenten in Richtung des Impulsübertrags betrachtet und mit v 1, v 1, v 2, v 2 bezeichnet. Die dazu [[orthogonal]]en Komponenten der Anfangsimpulse und -geschwindigkeiten können unbeachtet bleiben, denn sie ändern sich durch den Stoß nicht. So wird das ganze Problem auf den eindimensionalen Stoß zurückgeführt. Die obigen Gleichungen (1) und (2) werden 1 3

4 dann zu den folgenden Gleichungen (1 ) und (2 ), aus denen man durch Einsetzen Gleichung (3) erhält: 2 (v 1 v 1)(v 1 + v 1) = m 2 2 (v 2 v 2 ) (v 2 + v 2 ) (1 ) (v 1 v 1) = m 2 (v 2 v 2 ) (2 ) (v 1 + v 1) = (v 2 + v 2) (3) und somit v 2f v 1f = 12, Löst man oberes Gleichungssystem erhält man v 1f =-6.4 m/s und v 2f = 5.6 m/s. b) Da während der ganzen Kollision die mechanische Energie und der Impuls der beiden Blöcke erhalten bleibt, kann man den Stoß zu jedem Zeitpunkt als elastischen Stoß behandeln. Wir wählen den Zeitpunkt, an dem sich der Block mit einer Geschwindigkeit von 3 m/s bewegt, wie in Abbildung 1 unten gezeigt ist, also v 10 + m 2 v 20 = v 1f + m 2 v 2f, Durch Auflösen nach v 2f und einsetzen der Werte erhält man v 2f 1.6 m/s. Der positive Wert von v 2f zeigt, dass der Block zu diesem Zeitpunkt nach rechts rutscht. In dem System aus den zwei Blöcken und der Feder wirkt keine Reibung oder eine andere nicht-konservative Kraft, somit ist die mechanische Energie erhalten. oder K 0 + U 0 = K f + U f 1 2 v m 2v = 1 2 v 2 1f m 2v 2 2f κx2, Auflösen nach x und einsetzen der Werte ergibt, dass sich die Feder um x m zusammendrückt. Aufgabe 34: Proton - Proton Kollision Ein Proton kollidiert elastisch mit einem anderen ruhenden Proton. Das einlaufende Proton hat eine Anfangsgeschwindigkeit von m/s und kollidiert (nicht frontal) mit dem ruhenden Proton (Abbildung 2). Nach der Kollision fliegt ein Proton mit einem Winkel von θ = 60 zur ursprünglichen Bewegungsrichtung weiter und das andere mit einem Winkel φ zur selben Achse. Wie groß sind die Endgeschwindigkeiten beider Protonen und der Winkel φ? (4 Punkte) 4

5 Abbildung 2: Ein nach rechts rutschender Block kollidiert mit einer Feder, die an einem nach links rutschenden Block befestigt ist. Abbildung 3: Ein Proton kollidiert elastisch mit einem anderen ruhenden Proton. Lösung Ein Proton kollidiert elastisch mit einem anderen ruhenden Proton. Das einlaufende Proton hat eine Anfangsgeschwindigkeit von m/s und kollidiert (nicht frontal) mit dem ruhenden Proton (Abbildung 2). Nach der Kollision fliegt ein Proton mit einem Winkel von θ = 60 zur ursprünglichen Bewegungsrichtung weiter und das andere mit einem Winkel φ zur selben Achse. Offensichtlich ist in diesem isolierten System der Impuls des Systems erhalten. Also P 0 = P f. Aufgeteilt in x and y Komponenten ergibt das und v 10x + m 2 v 20x = v 1fx + m 2 v 2fx v 10y + m 2 v 20y = v 1fy + m 2 v 2fy. Da v 20 = 0 and = m 2 = m sieht man schnell, dass und v 1f cos 60 + v 2f cos φ = m/s, v 1f sin 60 v 2f sin φ = 0, 5

6 Durch Ausnutzung der Energieerhaltung (hier kinetische Energie) erhält man v 2 1f + v2 2f = (8 105 m/s) 2. Durch Umstellen der ersten beiden Gleichungen erhält man folgendes Gleichungssystem v 2f cos φ = m/s v 1f cos 60 v 2f sin φ = v 1f sin 60. Die beiden Gleichungen werden quadriert und dann addiert v 2 2f = ( m 2 /s 2 ) ( m/s)v 1f + v 2 1f Benutzt man noch die Beziehung, die man aus der Energieerhaltung gewonnen hat, d.h. v 2 1f + v2 2f = ( )m 2 /s 2 kann man die quadratische Gleichung lösen. Damit erhält man für die Endgeschwindigkeiten der beiden Protonen v 1f m/s und v 2f m/s. Man kann die zweite Gleichung (d.h. v 1f sin 60 = v 2f sin φ) benutzen um den Winkel φ zu bestimmen: ( ) φ = sin 1 v1f sin v 2f Abbildung 4: Ein Proton kollidiert elastisch mit einem anderen ruhenden Proton. Aufgabe 35: Rotationsenergie Eine Vinyl-Platte mit Radius R = 60 cm und Masse M = 360 g dreht sich mit 66 rpm (revolutions per minute). Eine sich nicht drehende konzentrische Platte mit m = 100 g und Radius r = 20 cm fällt aus einer vernachlässigbaren Höhe auf die erste und beide drehen sich anschließend zusammen. Berechnen sie die Endwinkelgeschwindigkeit ω und den Anteil der übriggebliebenen Rotationsenergie. Nutzen Sie dabei, dass das Trägheitsmoment einer Scheibe gegeben ist durch I = 1 2 MR2. 6

7 Lösung Die Vinyl Platte dreht sich mit einer Anfangsgeschwidigkeit von ω 0 = 66rmp 60s 2π = 6.91 rad/s dreht. Ihr Trägheitsmoment ist I 1 = 1 2 MR2 = Nm. Das Trägheitsmoment der zweiten nicht rotierenden Scheibe ist I 2 = Nm. Somit ist das gesamt Trägheitsmoment beider Scheiben zusammen I tot = Nm. Durch Anwendung von Drehimpulserhaltung, erhalten wir die Winkelgeschwindigkeit ω am Ende, I 1 ω 0 = I tot ω, ω = I 1 I tot ω = 6.7 rad/s. Der Anteil der übriggebliebenen Rotationsenergie kann folgendermaßen berechnet werden E rot,i = 1 2 I 1ω 2 0 = 1.55 J, E rot,f = 1 2 I totω 2 = 1.50 J E rot,f E rot,i 100 = 97%. 7