INSTITUT FÜR PLANETARE GEODÄSIE

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Kora Meinhardt
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1 INSTITUT FÜR PLANETARE GEODÄSIE Übung Thortisch Godäsi Brchnung dr Elmnt ins Straintnsors und dr Strainllips Aufgab Nr.: Godäsi 99

2 Als rsts wird in Hilfskoordinatnsystm fstglgt, in dm man dn Punkt A in dn Ursprung lgt. Dis rfolgt infach durch Translation. Koordinatn vor dr Rotation: Epoch : Epoch : Punkt x y A 0 0 B 985,075-7,799 C 8, ,844 Punkt x y A 0 0 B 985,78-7,736 C 8, ,830 Brchnung ds Drhwinkls: 7,799 tanε 985,075 ε 9,8930

3 Koordinatn nach dr Rotation : cosε x R x mit R sin ε sin ε cosε Epoch : Punkt x y A 0 0 B 999, C -0, ,9856 Epoch : Punkt x y A 0 0 B 000,0345 0,0798 C -0, ,9664 Brchnung ds Dformationstnsors: Vrschibungsvktor u x' x df x df : Vrschibungsgradint, Dformationstnsor df x' x x d F δvx δx δv y δx δvx δy δv y δy yy α β yy 3

4 : Ändrung dr Vrschibung v x in x- Richtung A ' B ' A ' B ' 9, A ' B ' : Ändrung dr Vrschibung v y in y- Richtung yy yy A ' C ' A ' C ', A ' C ' β : Ändrung dr Vrschibung v x in y- Richtung ( A ' C ', A ' C ') 3,74704 rad β 0 α : Ändrung dr Vrschibung v y in x- Richtung α ( A ' B ', A ' B ') 7,9797 rad 0 Dformationstnsor: d F 9, , rad 3, rad 5, Zrlgung ds Dformationstnsors: Bi inm infinitsimaln Strain ist dr Dformationstnsor zrlgbar in inn symmtrischn und inn antisymmtrischn Til. df E + dr antisymmtrischr Til dr (diffrntill Rotation) dr T ( df df ) R I 0 ω ω 0 4

5 ω ist hirbi di Diffrnz dr Winklhalbirndn zwischn A ' B ' und A ' C' sowi A ' B ' und A ' C '. ω wird auch als diffrntill Ntzrotation bzichnt. ( f f ) 0, ω 00 ω : Rotationswinkl d R 0,634 0 rad, rad symmtrischr Til (Straintnsor) E ω T ( df + df ) + ω yy yy 9, E 5, , , Bstimmung dr Strainllips: Um di Strainllips indutig zu bstimmn, bnötigt man di zwi Hauptachsn und drn Orintirung. Jd (n,n)- Matrix bsitzt n Eignwrt, also in dism Fall. Eignwrtproblm zur Matrix E: E x λ x E λ I x mit λ : Eignwrt x : Eignvktor odr ( ) 0 Di Eignwrt sind di Lösung dr charaktristischn Glichung ( I ) 0 dt E λ. 9, λ 5, ( E λ I ) 5, , λ 9, π dt 5, , , λ, ,56 0 λ + λ 3,

6 λ 6,56 0 λ 5, λ, p ± p 4 q λ λ λ λ max min, , Zur Bstimmung dr Orintirung sind di dr Eignwrt zughörign Eignvktorn zu brchnn. λ x yy λ y ( E λ I ) x 0 0. Glichung: ( ) x + y 0 λ yy λ. Glichung: x + ( ) y 0 x y λ y x λ y λ tan Θ ' Θ ', 68 x y λ tan Θ ' Θ ', 68 x Um di Orintirung bzogn auf das ursprünglich Koordinatnsystm zu bstimmn, muss das Hilfskoordinatnsystm um dn Rotationswinkl ε zurückgdrht wrdn. Θ Θ ' ε, 75 bzw. Θ Θ ' ε 0, 75 6

7 Graphisch Darstllung und Intrprtation dr Ergbniss: Di brchntn Eignwrt bschribn in Ändrung dr Strainllips in Richtung ihrr großn und klinn Halbachs. Ist dr Eignwrt positiv, handlt s sich um in Dilatation. Es kommt somit zur Ausdhnung dr Ellips in Richtung inr Halbachs. Ein ngativr Eignwrt bdutt dmzufolg in Zusammnzihn dr Ellips in Richtung inr Halbachs. Man nnnt disn Vorgang in Kontraktion. λ > 0 Dilatation λ < 0 Kontraktion In dism Bispil handlt s sich um - in Dilatation von λ in Richtung Θ, 75 - in Kontraktion von λ in Richtung Θ 0, Dis Dilatation von λ,537 0 bschribt in Ändrung von,5cm auf km in Richtung dr großn Halbachs dr Strainllips. Durch di Kontraktion von λ, wird in Ändrung dr Strainllips von -5cm auf km in Richtung dr klinn Halbachs bschribn. Dis ist in dr folgndn Graphik durch das Achskruz dr Hauptstrainrichtungn dargstllt. Di Pfil zign (nicht maßstäblich) di Richtung dr Ändrung. Anhand dr Läng dr Pfil lässt sich das Vrhältnis dr Bträg ds Hauptstrains rknnn. 7

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