Die arithmetischen Eigenschaften der Binomialkoeffizienten

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1 Die arithetische Eigeschafte der Bioialkoeffiziete Christopher Egelschö, Thoas Fößl, Ihaltsverzeichis Bioialkoeffiziete - Eie kurze Eiführug. Defiitio ud Berechug Awedug i Kobiatorik ud Wahrscheilichkeitsrechug Das Pascalsche Dreieck 5 2. Eigeschafte des Pascalsche Dreiecks Kogrueze odulo p i Pascalsche Dreieck Catala Zahle Bioialkoeffiziete - Eie kurze Eiführug. Defiitio ud Berechug I userer schulische Laufbah stoße wir für gewöhlich bereits i der. Klasse (Uterstufe) erstals auf die sogeate Bioialkoeffiziete: bei der Berechug der bioische Forel. (a b) 0 (a b) a b (a b) 2 a 2 2ab b 2 (a b) a a 2 b ab 2 b usw. Da die Bioialkoeffiziete bei der Berechug der -te Potez des Bios (a b) als Koeffiziete auftrete, hat a sie deetspreched daach beat. Das brigt us zu folgeder Defiitio:

2 Defiitio. Es seie, N it 0 ud a, b R. Bei der Berechug vo (a b) schreibt a de Koeffiziete vo a b als (eist gesproche als über ; achal auch aus ). Beerkug. Mit dieser Defiitio ka a die Berechug der -te Potez ( N) vo (a b) allgeei agebe als: (a b) a 0 a b a b b Wie bestit bekat, spricht a bei dieser Forel vo bioische Lehrsatz. Jetzt stellt sich atürlich och die Frage, wie a eie beliebige Bioialkoeffiziet bereche ka. Wir werde u die zwei wesetliche Methode kee lere, die dazu verwedet werde köe. Satz (Rekursive Forel vo Pascal). Seie, N it 0. Da gilt wobei ( 0) : ud k N, k > : k : 0., Der Beweis dafür gestaltet sich dekbar eifach. Wir verwede dazu de bioische Lehrsatz aus Beerkug. Beweis. Es seie, N it 0 ud a, b R. Laut bioische Lehrsatz gilt (a b) a 0 a b a b b ( ) Adererseits ist (a b) (a b) (a b) wobei der bioische Lehrsatz agewadt auf (a b) folgedes ergibt: (ab) a a b a b b. 0 Es folgt: (a b) (a b) (a b) ( a b a b... )(a b) a b a b... [ ] a b... 2

3 Aus de Koeffizietevergleich des Ters a b it de selbige aus ( ) folgt schließlich. Beispiel. Bereche wir it der rekursive Forel vo Pascal de Bioialkoeffiziete 2. Aus de bioische Lehrsatz für (ab) 0 a a 2 b 2 ab 2 b a a 2 b ab 2 b erkee wir, dass die Forel für 2 das Ergebis liefer uss. Reche wir ach: Leider stellt sich diese Art der Berechug doch als etwas ühsa heraus ud scheit für große, beiahe uöglich. Eie weitere - wesetlich kopaktere - Methode eie Bioialkoeffiziet zu berechet bietet der folgede Satz. Dieser leitet sich direkt aus der soebe vorgestellte Rekursive Forel vo Pascal ab. Satz 2 (Berechug vo Bioialkoeffiziete). Seie, N it 0. Da gilt!!( )! Beweis. Seie, N it 0. Wir führe eie Iduktiosbeweis ach. Iduktiosafag: Sei 0 (ud soit 0): 0 0! 0 0 0!(0 0)! Dies ist offesichtlich richtig (Satz ). Iduktiosaahe: Die Forel! gelte für!( )!, also für alle zwische 0 ud. Iduktiosschritt: ( ) : ( )! ( )!( )! ( )!!( )! ( )! ( )!( )! ( )!!( )! ( )! ( )( )! ( )( )!!( )!!( )! ( )!!( )!!!( )!.

4 Beispiel 2. Bereche wir och eial 2 ud vergleiche user Ergebis it de aus Beispiel :! 2 2!( 2)!! 2!! Awedug i Kobiatorik ud Wahrscheilichkeitsrechug Nebe de bioische Lehrsatz spiele die Bioialkoeffiziete vor alle i Bereich der Kobiatorik ud Wahrscheilichkeitsrechug eie große Rolle. Wie bereits i Defiitio erwäht spricht a auch als aus. Der Grud hierfür folgt i Propositio. Propositio. Seie, N it 0. Da gibt es geau Möglichkeite, Objekte aus eier Grudege vo Objekte auszuwähle. Beweis. Seie, N it 0. Wir führe wieder eie Iduktiosbeweis ach. Iduktiosafag: Für de Fall 0 ist Propositio offesichtlich richtig. Iduktiosaahe: Es gelte Propositio für eie Grudege vo Objekte. Iduktiosschritt: ( ) : I dieser Grudege vo Objekte arkiere wir zuerst ei beliebiges Objekt, welches garatiert eies der ausgewählte Objekte sei soll. We wir jetzt das erste Objekt ehe, gibt es geau 2 verschiedee Fälle, die eitrete köe: Fall : Wir etscheide us für das arkierte Objekt. I weiterer Folge üsse wir da also och ( ) Objekte aus eier verbleibede Grudege vo ( ) Objekte wähle. Da für eie Grudege vo ( ) Objekte usere Iduktiosaahe gilt, gibt es isgesat Möglichkeite. Fall 2: Wir etscheide us icht für das arkierte Objekt. Da üsse wir och ier Objekte aus eier verbleibede Grudege vo ( ) Objekte auswähle. ) Auch hier gilt usere Iduktiosaahe, d.h. es gibt isgesat Möglichkeite. ( Da geau eier der beide Fälle eitrete uss, beträgt die Azahl aller Möglichkeite. Aus der rekursive Forel vo Pascal (Satz ) folgt: Beispiel (Lotto 6 aus 45). Wie viele ögliche Kobiatioe für die 6 Gewierzahle gibt es? Lösug. Es üsse 6 aus eier Grudege vo 45 Zahle gewählt werde. Laut Propositio gibt es dafür geau ögliche Kobiatioe. 4

5 2 Das Pascalsche Dreieck Bei Pascalsche Dreieck hadelt es sich u eie systeatische Auflistug der Bioialkoeffiziete (i For eies Dreiecks). Beat wurde es ach de frazösische Matheatiker Blaise Pascal (7. Jh.), tatsächlich aber ist diese scheatische Aordug weit älter als sei Naesgeber (0. Jh.). ( 0 0) ( 0 ) ( ) ( 0 2 ) ( ) ( ) ( ) Abbildug : Pascalsches Dreieck 2. Eigeschafte des Pascalsche Dreiecks Propositio 2. Es seie, N it 0. Da gelte:. ( ( 0) ) 2 2. ( 0) ( ) ( ) 0. ( ( ( ( ( 0) 2) 4) ) ) Syetrie: Beweis. Die Pukte ud 2 lasse sich gaz eifach ithilfe des Bioische Lehrsatzes beweise:. 2 ( ) ( ( 0) ) 2. 0 ( ) ( 0) ( ) ( ). Folgt uittelbar aus 2.:

6 U die Syetrie zu beweise bereche wir (... 5 ) it der Forel aus Satz 2:! ( )!( ( ))!! ( )!( ))!!!( )! 2.2 Kogrueze odulo p i Pascalsche Dreieck Wir begie it eie eifache Beispiel. Wir ehe das Pascalsche Dreieck her ud streiche alle gerade Zahle. Abbildug 2 soll dies visualisiere. Abbildug 2: Pascalsches Dreieck od 2 Wir erkee ei Muster i Pascalsche Dreieck ud versuche eie Zusaehag it de Bioialkoeffiziete herzustelle. Es sei 2 r < 2 r. Da gilt 2 2 r r od 2, 2 2 r r od 2, 2 r 2 r < < 2 r 0 od 2. 6

7 Betrachte wir hierzu ei kleies Zahlebeispiel. Beispiel 4. Es sei r ud soit 2 < 4. Das heißt 2 oder. 2 : : od 2, od 2, < < 2 0 od < < 2 existiert icht. od 2, od 2, Vo userer Beobachtug für de Fall p 2 koe wir u zu eie allgeeie Satz über Kogrueze i Pascalsche Dreieck od p. Für de Beweis des Satzes beötige wir ei Lea. Lea. Seie p P, N it 0 < < p. Da ist p durch p teilbar. Beweis. Sei p P, N it 0 < < p. Da ist ud p p p p(p )...(p )! Soit teilt p de Bioialkoeffiziet p. p p(p )... (p )! (p )... (p ).! Satz (Satz vo Lucas (872)). Sei p P eie Prizahl ud seie,, q, r N it 0 q < p ud 0 r < p. Da gilt p q p r q r od p 7

8 Beweis. Sei p P eie Prizahl ud seie,, q, r N it 0 q < p ud 0 r < p. Wege Lea gilt a, b R Daher ist (a b) p p i p a p i b i a p b p od p. i (a b) pq ((a b) p ) (a b) q (a p b p ) (a b) q od p. Bei geauerer Betrachtug vo (a p b p ) (a b) q erkee wir ( (a p b p ) (a b) q q )a p( i) b pi q a q j b j i0 i j0 j Wir ehe de -te Suade vo (a p b p ) ud de r-te Suade vo (ab) q ud erhalte q q a pr b p( )(q r) a pr b pq (pr). r r Soit folgt p q p r q r od p. Wir erier us, dass sich jede atürliche Zahl bezüglich eier Basis g i der For r ( r r... 0 ) g i g i, i0 it r N ud i {0,..., g }, i {0,... r} schreibe lässt. Beispiel 5. U die Erieriug ei weig aufzufrische betrachte wir ei paar Beispiele. (42) (0) (CF 9) Koe wir u zu eie Satz, der für p P ei schöes Resultat liefert. Satz 4. Seie p P, ( r r... 0 ) p ud ( r r... 0 ) p. Da gilt r r r r 0 0 od p. 8

9 Beweis. Wir führe eie Iduktiosbeweis. Seie p P, ( r r... 0 ) p ud ( r r q... 0 ) p. Iduktiosafag: Sei r 0. Da ist ( 0 ) p ud ( 0 ) p. Da ist die Aussage auf Grud vo 0 0 od p offesichtlich. Iduktiosaahe: Es gelte für ( r... 0 ) p ud ( r... 0 ) p r 0... od p. 0 r Iduktiosschritt: Es seie u p 0 ud p 0 it ( r... ) p ud ( r... ) p. Da folgt aus Satz ud der Iduktiosaahe, dass ( p ) 0 0 od p p gilt. Aus folgt die zu beweisede Aussage r r rr r r r... od p 0 0 od p. U diese Satz besser zu verstehe betrachte wir ei Beispiel. Beispiel 6. Wir wolle de Rest vo od, od 5 ud od 6 bestie. od : Wir starte it der Kovertierug der Zahle i Zahle der Basis. (6559) 0 ( ) Da ist (4294) 0 (222000) od 4294 od, Zur Kotrolle bereche wir od it eie Coputer Algebra Syste ud erhalte als Ergebis od

10 od 5 : Wir starte it der Kovertierug der Zahle i Zahle der Basis 5. (6559) 0 (20224) 5 (4294) 0 (44) 5 Da ist od 5, od Zur Kotrolle bereche wir od 5 it eie Coputer Algebra Syste ud erhalte als Ergebis od od 6 : Wir starte it der Kovertierug der Zahle i Zahle der Basis 6. (6559) 0 (99F ) 6 (4294) 0 (0C6) 6 Da ist F od 6, C od Zur Kotrolle bereche wir od 5 it eie Coputer Algebra Syste ud erhalte als Ergebis od Da 6 keie Prizahl ist köe wir Satz 4 icht awede ud soit köe wir icht zifferweise aufspalte. Wir wolle u usere Beobachtug über gerade ud ugerade Zahle i Pascalsche Dreieck ochals uter de Gesichtspukt vo Satz 4 betrachte. Es sei 2 r < 2 r. Da ist ( r... 0 ) 2 ud ( r r... 0 ) 2. Da gilt 2 r r 0 2 r... od 2, 2 r ) ( 0 ( r ) r r... 2 r < < 2 r i r : i < i ) ( 2 r 2 r 0 od 2. od 2, Soweit ei kleier Eiblick i das Pascalsche Dreieck ud Bioialkoeffiziete od p. I [] wird ei Ausblick auf Eigeschafte bezüglich höherer Poteze vo p gegebe. 0

11 Catala Zahle Eie iteressate Awedug des Bioialkoeffiziete ist die Eiführug der Catala Zahle. Wir wolle hier eie kurze Eiblick i dieses Thea gebe. Weiterführede Iforatioe zu de Catala Zahle fidet a zu Beispiel i [2]. Defiitio 2 (Catala Zahle). Sei N. Da heißt Catala Zahl. C : (2)!!( )! ( 2 ) Wir wolle die erste sechs Catala Zahle bereche. C 2! C! 2! 2 4! 2 C 2!! 6! 5! 4! C 4 8! 4 C 4! 5! 5 0! 42 C 5! 6! 6 2! 2 6! 7! Wir erkee, dass die erste sechs Catala Zahle atürliche Zahle sid. Es stellt sich die Frage, ob das für alle Catala Zahle gilt ud wolle diese Aahe it Hilfe eies Satzes bestätige. Satz 5. Es gilt N : C N. Beweis. Sei N Da gilt C (2)!!( )! ( ) (2)!!! (2)! ( )!( )! ( (2)! ( )!! ) 2 2. }{{}}{{} N N (2)! ( )!! Satz 6. Sei C(x) : 0 C x. Da gilt. (x C(x)) 2 0 x 2. Für 0 < x < 4 gilt C(x) 4x 2x Beweis. Sei C(x) 0 C x.. Aus C(x) 0 C x folgt uittelbar, dass x C(x) 0 C x ud (x C(x)) 0 ( ) C x ist. Soit ergibt sich die Aussage 2 (x C(x)) ( ) C x 2 ( ) 0 0 x x. 0

12 2. Sei 0 < x < 4. Aus (x C(x)) 0 ( 2 ) x! ( 4x) 2, was och zu zeige ist, folgt x C(x) ( 4x) 2 dx 4 U C zu bestie betrachte wir 0 C(0) 0 ( 4x) C 2 C C ( 4x) 2 2 C. Soit ist x C(x) 4x ud C(x) 4x. 2 2x Bleibt och zu zeige, dass 2 0 x ( 4x) 2 gilt. Aus der Aalysis wisse wir, dass für r, y R it y < ( y) r 0 r y ry r(r ) y ! ist. Wir setze u y 4x ud r. Soit uss x < sei. Wir erhalte 2 4 4x 2 ( 4x) 2 2 ( 4x) ! ud für de Ter ( 4x) gilt algeei ( 4x) ( )! 2 2 (2)! 2!2! 4 x 2 (2 ) ( 4x) 2! ! 4 x 2 Daraus folgt uittelbar die zu beweisede Aussage 2 x. 4x 0 x Satz 7. Sei N,. Da gilt C C p C q, it p, q N. pq 2

13 Beweis. Sei N,. Aus C(x) 4x 2x folgt ud Soit gilt C(x) x 4x 4x 2 x C(x) x 4x 2x 2x 2 4x 2x 2x 2 4x 2x. 2x x C(x) C(x) 4x 2x 2x 4x 2x 2x 2x 0. Wege C(x) 2 0 ( pq C p C q ) x köe wir x C(x) C(x) 0 auch durch ausdrücke. Soit folgt C p C q x C x 0 0 pq 0 0 C p C q x C x, pq 0 C p C q C x, pq 0 C p C q C, pq C C p C q pq ud es ergibt sich iduktiv, dass C C p C q pq it gilt. Abschließed wolle wir och eie geoetrische Awedug der Catala Zahle aschaue. Für dieses Beispiel beötige wir das Resultat vo Satz 7 Defiitio (Triagulatio). Es sei P ei beliebiges kovexes -Eck. Da heißt die Uterteilug vo P i 2 Dreiecke Triagulatio vo P. Satz 8. Es sei ud P ei beliebiges kovexes -Eck. Da gibt es für geau C 2 ögliche Triagulatioe vo P.

14 Beweis. Wir führe eie Iduktiosbeweis ach. Iduktiosafag: Es sei ud soit ist P ei Dreieck. Die Möglichkeite ei Dreieck zu triaguliere ist offesichtlich C. Diese eie Möglichkeit ist das Dreieck selbst. Iduktiosaahe: Die Aussage gelte für alle k-ecke it k <. Iduktiosschritt: Es sei u P Q Q 2... Q ei kovexes -Eck. Wir betrachte eie Triagulatio vo P. Sei k. Da ist (Q Q 2 Q k ) jees Dreieck der Triagulatio, welche die Pukte Q ud Q 2 ethält. Da köe wir die restliche Triagualatio durch die Triagulatio des (k-)-ecks Q 2 Q... Q k ud des (-k2)-ecks Q Q k Q k... Q. Da ist die Triagulatio vo P C k4 C k C k C pq C p C q C 2. Q 4 Q 4 Q 4 Q 5 Q Q 5 Q Q 5 Q Q Q 2 Q Q 2 Q Q 2 Q 4 Q 4 Q 5 Q Q 5 Q Q Q 2 Q Q 2 Abbildug : Triagulatioe eies Füfecks Literatur [] Fuchs, D., ad Tabachikov, S. Ei Schaubild Der Matheatik: 0 Vorlesuge Über Klassische Matheatik. Spriger, 20. [2] Schidthaer, J. Catala Zahle. ba266/catalaz.pdf,

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