Theoretische Physik 2 (Theoretische Mechanik)

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1 Theoretische Physik 2 (Theoretische Mechanik Prof. Dr. Th. Feldmann 21. Januar 2014 Kurzzusammenfassung Vorlesung 23 vom Satz von Liouville Der Fluß eines Hamilton schen Systems im Phasenraum ist volumenerhaltend. ( inkompressibel Was ist damit gemeint? Wir stellen uns zur Zeit t ein Volumenelement im Phasenraum vor. dγ = dq k (t dp k (t Jeder Punkt aus diesem Phasenraumvolumen ist Startpunkt einer Bahnkurve, die bei (t + τ endet. Die Gesamtheit der Endpunkte bildet wieder ein Phasenraumvolumen, dγ = dq k (t + τ dp k (t + τ = dq k (t dp k (t = det (Q i, P i (q j, p j dγ Die obige Aussage ist äquivalent zu der Forderung, dass die Jacobi-Determinante D = det (Q i,p i der Transformation gleich Eins ist. (q j,p j Betrachte allgemeine kanonische Transformationen, bei der zuerst die Impulse bei festem q transformiert werden, (q, p (q, P, und danach die Koordinaten bei festem Impuls, (q, P (Q, P. Die Determinante D ergibt sich als Produkt der Determinanten der Teiltransformationen: D = det ( (qi, P i (q j, p j det ( (Qi, P i (q j, P j 1

2 ( 1 ( pj Qi = det det P i q j (362 Die Transformation sei durch F = F 2 (q, P k Q kp k vermittelt, dann gilt (s.o. p k = F 2, Q k = F 2 q k P k Q i = 2 F 2 p j, = 2 F 2 (363 q j q j P i P i q j P i Das heisst jeweilige Determinanten sind gleich, und D = 1 für kanonische Trafos. Da Zeitentwicklung eines Hamilton-Systems als kanonische Transformation geschrieben werden kann, folgt die Behauptung des Satzes von Liouville. Poisson-Klammern Ausgangspunkt: Alle physikalischen Größen A eines mechanischen Systems können als Funktionen der kanonischen Variablen (q k, p k und der Zeit t geschrieben werden, A = A(q, p, t Wir definieren damit sog. Poisson-Klammern als mathematische Operation: 1 [A, B] f ( A A q k p k p k q k (364 Daraus lesen wir folgende Eigenschaften ab: ( Übung 1. Die Operation ist antisymmetrisch bzgl. der Funktionen A und B, 2. Die Operation ist linear in A, d.h. [A, B] = [B, A] [λ 1 A 1 + λ 2 A 2, B] = λ 1 [A 1, B] + λ 2 [A 2, B], (λ 1,2 R (365 und entsprechend für B. 3. Produkte von Funktionen werden folgendermaßen aufgelöst: [AB, C] = [A, C]B + A[B, C]. (366 1 In der Literatur findet man auch die Schreibweise {, }. Wir verwenden hier eckige Klammern, welche im Rahmen der Quantenmechanik dann durch sog. Kommutatoren von physikalischen Observablen zugeordneten mathematischen Operatoren auf Hilberträumen ersetzt werden. 2

3 4. Es gilt die sog. Jacobi-Identität : 5. Es gilt trivialerweise: [A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0. (367 [q k, q l ] = [p k, p l ] = 0, [q k, p l ] = δ kl. ( Für die Zeitableitung einer physikalischen Größe erhält man da dt = [A, H] + A t, (369 insbesondere: q k = [q k, H], ṗ k = [p k, H], Ḣ = H t. Erhaltungsgrößen erhält man demnach, falls t A = 0 und [A, H] = Sind A, B Erhaltungsgrößen, dann auch deren Poisson-Klammer [A, B]. 8. Die Poisson-Klammern sind invariant unter kanonischen Transformationen, (ohne Beweis [A, B] [A, B] (q,p f ( A = [A, B] (Q,P Q k A P k P k Q k ( Hamilton-Jacobi Gleichung Wir hatten bereits diskutiert, dass die Integration der Bewegungsgleichungen formal einfach wird, wenn alle Variablen Q k zyklisch sind. Noch einfacher wird es, falls man eine kanonische Transformation findet, so dass die neue Hamilton-Funktion identisch verschwindet, H 0 kan. Gl. Q k = const., P k = const. (371 was 2f Erhaltungsgrößen entspricht. Die dynamische Information steckt dann nicht mehr in den kanonischen Variablen (Q, P sondern in der Erzeugenden der kanonischen Transformation. Sei W (q, Q, t die Erzeugende dieser Transformation, und Q k = α k =const. Dann gilt p k = W (q, α, t q k, und H = H + W t. (372 Die letzte Gleichung ergibt dann ausgeschrieben die Hamilton-Jacobi Gleichung : ( W (q, α, t W (q, α, t W (q, α, t 0 = H q 1,..., q f,,...,, t + q 1 q f t (373 3

4 Die Hamilton-Jacobi Gleichung ist eine nicht-lineare, partielle DGL 1. Ordnung für die Erzeugende W (q, Q, t. Eine Lösung W (q, α, t, die für f unabhängige Koordinaten q k von f unabhängigen Integrationskonstanten β abhängt, heisst vollständiges Integral (auch Prinzipalfunktion oder Hamiltonsche Wirkungsfunktion. Angenommen, eine solche Lösung W (q, α, t sei gefunden, dann gilt P k = W W (q, α, t = β k = const. q k = q k (α, β, t, Q k α k W (q, α, t q=q(α,β,t p k = = p k (α, β, t. (374 q k D.h. daraus lässt sich die vollständige Lösung der Hamilton-Gleichungen, durch 2f Integrationskonstanten (α k, β k ausgedrückt, explizit konstruieren. 4

5 Separierbarkeit der Variablen I.A. sind partielle DGLs schwierieger zu lösen als gekoppelte gewöhnliche DGLs. Hamilton-Jacobi-Theorie wird aber einfach, wenn Variablen separiert werden können. Dazu zwei Beispiele: 1. 1-dimensionaler Harmonischer Oszillator (triviales Beispiel - nur t separieren: Hamilton-Funktion in den ursprünglichen Variablen aufstellen: H = H(q, p = p2 2m mω2 q 2. p durch W/ q ersetzen und H.-J.-Gleichung aufstellen: ( 2 1 W + 1 2m q 2 mω2 q 2 + W = 0. t Zeitabhängigkeit wird durch folgenden Ansatz separiert: W (q, α, t = S(q, E E t 1 ( 2 S + 1 2m q 2 mω2 q 2 = E, wobei wir die Integrationskonstante α = E identifiziert haben. Da die Zeit nicht mehr explizit auftaucht, kann S direkt integriert werden, S(q, E = mω mω 2 q2 dq Gemäß obiger Diskussion bestimmen wir nun (α = E W α = S E t = 1 ( 1 ω mω 2 q2 dq t β t + β = 1 [ ] m ω arcsin ω q q(t = Dann ergibt sich weiterhin m 1 ω sin(ω(t + β p = W q = S q = 2mE 2m 2 ω 2 q 2 = 2mE 1 sin 2 (ω(t + β = 2mE cos(ω(t + β. [Bei diesem einfachen Beispiel wäre natürlich die Lösung der gewöhnlichen DGLs direkter gewesen.] 5