Lineare Algebra. Wintersemester 2017/2018. Skript zum Ferienkurs Tag Claudia Nagel Pablo Cova Fariña. Technische Universität München

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1 Technische Universität München Wintersemester 27/28 Lineare Algebra Skript zum Ferienkurs Tag Claudia Nagel Pablo Cova Fariña Wir danken Herrn Prof. Kemper vielmals für seine Unterstützung bei der Erstellung des Skriptes.

2 Inhaltsverzeichnis Linearkombinationen 2. Denitionen Lineare (Un-Abhängigkeit testen Basen 5 2. Eigenschaften von Basen Beispiele von Basen Bestimmung von Basen Bestimmung einer Basis aus einem Erzeugendensystem Bestimmung einer Basis aus einer Menge linear unabhängiger Vektoren 7 3 Lineare Abbildungen 8 3. Denition - Vektorraumhomomorphismus Bemerkungen Denition - Kern und Bild Bemerkungen Beispiel Dimensionssatz für lineare Abbildungen Beispiel Zeilenrang gleich Spaltenrang Denition - Invertierbarkeit Denition - Isomorphismus Bemerkungen Satz - Lineare Fortsetzung

3 Linearkombinationen. Denitionen Denition 5.. Sei V ein K-Vektorraum. Ein Vektor v V ist eine Linearkombination von unterschiedlichen Vektoren v,, v n V, falls man v durch Addition und Multiplikation mit Skalaren a,, a n K ausdrücken kann. Zusammengefasst ist also Beispiel: Sei V = R 2. Der Vektor v = ( und v 2 = Gleichungssystem: v ist Linearkombination von v,, v n v = n a k v k ( ( 3 ist eine Linearkombination von den Vektoren v 5 =, da v = 4v 2 v. Wir können die Koezienten bestimmen aus dem a ( + a 2 ( = a + a 2 = 3 a + a 2 = 5 2a 2 = 8 a 2 = 4, a = ( ( 3 Der Vektor v = ist keine Linearkombination von den Vektoren v 5 = ( 2 und v 2 =, da man hier keine Koezienten nden kann, sodass der untere Eintrag erzeugt wird. Mit Denition 5.. können wir ebenfalls den sogenannten erzeugten Unterraum denieren: Denition 5.2. Sei S V. Der erzeugte Unterraum S ist die Menge aller Linearkombinationen von S: ( 3 5 k= S = {v V v ist Linearkombination von S}. Für v, v n V gilt: { n } v,, v n = a k v k a,, a n K k= Beispiel: Sei V = R 2. ( ( Die Vektoren v = und v 2 = spannen den gesamten R 2, da man alle Vektoren des R 2 als Linearkombination von v und v 2 schreiben kann. Also: v, v 2 = R 2. Wie genau hängen die Vektoren des R 2 mit v und ( v 2 zusammen? Das x lässt sich mit dem folgenden Gleichungssystem bestimmen. Sei R y 2, dann: ( ( ( x a + a 2 = y 2

4 a + a 2 = x a + a 2 = y 2a 2 = x + y a 2 = x + y, a = x y 2 2 ( x = x y v y + x + y v ( ( 2 Die Vektoren v = und v 2 = spannen dagegen nur die x-achse des R {( 2, da bei beiden } der zweite Eintrag = festgelegt ist. Also: v, v 2 = v = λ λ R. Weiter kann man auch noch den Begri der linearen Unabhängigkeit denieren. Denition 5.3. Die Vektoren v,, v n V sin linear unabhängig, falls für Skalare a,, a n K folgende Bedingung gilt: a v + a 2 v 2 + a n v n = a, a 2, a n = Ist das nicht der Fall, so spricht man von linearer Abhängigkeit der Vektoren v,, v n. Eine Teilmenge S V ist linear unabhängig, falls alle ihre Elemente v,, v n S linear unabhängig sind. Andernfalls ist S linear abhängig. In anderen Worten: Eine Menge von Vektoren ist dann linear unabhängig, wenn sich keins von den Vektoren als Linearkombiantion der anderen darstellen lässt. Findet man Skalare, sodass die obere Gleichung gilt, so sind die Vektoren linear abhängig. Beispiel: Sei V = R 2. Wir überprüfen die lineare Unabhängigkeit von v = a v + a 2 v 2 = a ( + a 2 ( ( und v 2 = ( a + a = 2 = a a 2 a = a 2 a = a 2 a = a a = a 2 =. Also sind v und v 2 linear unabhängig. Man hätte in diesem Fall auch einfach argumentieren können, dass sie nicht Vielfache voneinander sind. ( ( 2 Wir überprüfen die lineare Unabhängigkeit von v = und v 2 =. Hier nden wir gleich a = 2 und a 2 =, sodass a v + a 2 v 2 =. Die Vektoren sind somit linear unabhängig, da sie Vielfache voneinander sind. ( (. 3

5 Hi.2 Lineare (Un-Abhängigkeit testen Um herauszunden, ob Vektoren v,, v n K m linear unabhängig sind, muss man im Wesentlichen Denition 5.. überprüfen. Die Formel a v + + a n v n = is äquivalent zur Matrix-Vektor-Schreibweise: v v 2 v n a a 2. a n =. Sind die Vektoren linear unabhängig, so ist ein einziger Vektor (nämlich der Nullvektor die Lösung dieses LGS. Dies ist äquivalent zur Aussage, dass der Rang von A gleich der Spaltenzahl n ist (siehe Kapitel 2. Also: v,, v n sind linear unabhängig rg(a = n. Um den Rang von A zu bestimmen, bringt man wie üblich die Matrix A auf Zeilenstufenform. Der Rang von A ist dann die Anzahl an Zeilen der Matrix in ZSF. Aus dieser Denition können wir noch folgendes schlieÿen: Da der Rang eine Matrix 4

6 2 Basen In Kapitel 6 haben wir für S V den Begri des erzeugten Unterraums S deniert als die Menge aller Vektoren v V, die durch Linearkombination von Elementen aus S hervorgehen können. Nun denieren wir zwei weitere Begrie, nämlich den des Erzeugendensystems und den der Basis: Denition 7. Sei S V. (a S ist Erzeugendensystem von V S = V. (b S ist Basis von V S ist Erzeugendensystem von V und S ist linear unabhängig. Man kann zusammenfassend sagen, das eine Basis ein linear unabhängiges Erzeugendensystem ist. Dies bedeutet, dass alle Vektoren in V durch eine eindeutige Linearkombination von Vektoren aus B darstellbar sind. Bei einer Basis muss man also überprüfen, dass sie den zugehörigen Vektorraum erzeugen und dass deren Vektoren linear unabhängig sind. 2. Eigenschaften von Basen Für eine Basis B von V gelten folgende Eigenschaften: B ist ein minimales Erzeugendensystem. Dies bedeutet: Wenn wir aus B einen Vektor v wegnehmen, so verliert B ihre erzeugende Eigenschaft. B ist maximal linear unabhängig. Dies bedeutet: Wenn wir B einen zusätzlichen Vektor v aus V einfügen, so verlierte B ihre lineare Unabhängigkeit. In der Regel ist die Basis eines Vektorraums uneindeutig. Für die meisten Vektorräume ndet man unendlich viele Basen. Aus diesen drei Bedingungen erkennt man, dass die Elementzahl jeder endlichen Basis eines gegebenen Vektorraums fest ist, obwohl die Basen selbst uneindeutig sind. Das motiviert die Denition vom Begri der Dimension: Denition 7.2 Die Dimension eines Vektorraums ist gleich der Anzahl an Elementen einer (und jeder Basis von V. V ist endlich-dimensional, falls die Basis eine endliche Anzahl von Elementen besitzt. Falls nicht, besitzt V die Dimension. Für ein homogenes LGS, also ein Gleichungssystem der Form A x =, kann man dann für die Dimension der Lösungsmenge angeben als: dim(l = n rang(a Dies bedeutet: wenn wir wissen wollen, wie viele Vektoren eine Basis von L bilden, ist dies durch n rang(a gegeben. Weiterhin gilt der Basissatz: Denition 7.3 (Basissatz Jeder Vektorraum hat eine Basis. Wenn man für v,, v n V überprüfen will, ob S = {v,, v n } eine Basis von V ist, muss man zeigen, dass S linear unabängig und erzeugend ist. Falls aber zusätzlich gilt, dass dim(v = n, also dass S genauso viele Elementen besitzt wie die Dimension von V, so muss nur eine von den zwei Bedingungen überprüft werden. Weiterhin gilt: dim(v < n v,, v n linear abhängig dim(v > n v,, v n V 5

7 2.2 Beispiele von Basen Für den Vektorraum K 3 kann man unterschiedliche Basen angeben, z.b. B =, 2, 3 oder B 2 =,, Die letzte Version nennt man kanonische Standardbasis. Für K 2 2 können wir ebenfalls eine kanonische Standardbasis angeben, nämlich {( ( ( ( } B =,,, Da die Basis von K 2 2 vier Elemente besitzt, ist dieser Vektorraum 4-dimensional. Das LGS aus Blatt Aufgabe 5(a, also x 2 + 2x 3 + 3x 4 = x + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 = 2x + 3x 2 + 4x 3 + 5x 4 = 3x + 4x 2 + 5x 3 + 6x 4 = besitzt die ZSF mit λ, µ R und die Lösungsmenge L = µ + 2λ 2µ 3λ µ λ Man kann erkennen, dass die Dimension des Lösungsraums n rang(a = 2 ist. Die Basis besitzt also zwei Elemente, und ist beispielsweise: B = 2, 2 3 (Beim ersten Vektor haben wir µ = und λ = gesetzt, beim zweiten µ = und λ =. 6

8 2.3 Bestimmung von Basen 2.3. Bestimmung einer Basis aus einem Erzeugendensystem Sei V ein endlich-dimensionaler Vektorraum und S = {v,, v m } ein Erzeugendensystem von V. Um eine Basis aus diesem Erzeugendensystem zu ermitteln, muss noch die lineare Unabängigkeit der Vektoren zugesichert werden. Man muss also prüfen, ob sich ein Vektor von S als Linearkombination von den anderen Vektoren darstellen lässt. Für den Standardfall K n lässt sich das folgendermaÿen berechnen: Sei U K n und v,, v m ein Erzeugendensystem von U. Wir bilden die Matrix A = v v 2 v m mit v,, v m in den Zeilen. Nun bringen diese Matrix auf Zeilenstufenform. Die Zeilen der resultierenden Matrix bilden eine Basis von U. Dies folgt aus der Tatsache, dass die Zeilen einer Matrix in ZSF immer linear unabhängig sind Bestimmung einer Basis aus einer Menge linear unabhängiger Vektoren Sei nun wieder V ein endlich-dimensionaler Vektorraum und S V linear unabhängig. Dann kann man S durch Hinzufügen von weiteren Vektoren zu einer Basis von V gemacht werden. Die neue Basis B bezeichnen wir als Basisergänzung von S. Man muss hier aufpassen, dass die hinzugefügten Vektoren linear unabhängig zu den Vektoren in S sind. 7

9 3 Lineare Abbildungen Im Kapitel über Gruppen haben wir uns mit Gruppenhomomorphismen beschäftigt. Dieses Konzept gibt es auch für Vektorräume: 3. Denition - Vektorraumhomomorphismus Eine Abbildung φ : V W heiÿt Vektorraumhomomorphismus, falls gelten:. Für alle v, v V : φ(v + v = φ(v + φ(v. (Hierbei ist das + auf der linken Seite das von V, das auf der rechten das von W. 2. Für alle v V und a K: φ(a v = a φ(v. Man nennt eine solche Abbildung auch lineare Abbildung. 3.2 Bemerkungen Eine lineare Abbildung bildet den Nullvektor von V auf den Nullvektor von W ab. Die Verknüpfung von linearen Abbildungen ist wieder eine lineare Abbildung. Wenn man die Denition eines Vektorraumhomomorphismus mit der eines Gruppenhomomorphismus vergleicht, sieht man, dass das erste Axiom für VR-Homs gleich dem Axiom für Gruppenhomomorphismen ist. Für Vektorräume wird jedoch noch zusätzlich gefordert, dass die Abbildung auch mit der Skalarmultiplikation verträglich ist. Ganz wichtig ist zu beachten, dass der Ausgangs- und der Zielvektorraum den gleichen Grundkörper K haben müssen. Sei A K m n. Dann ist φ A : K n K m, v A v eine lineare Abbildung. Dies ist einer der wichtigsten Typen von linearen Abbildungen. Notation: Die Bezeichnung φ A werden wir in Zukunft weiter benutzen. Sie stellt die Abbildung dar, die von der Matrix A induziert, d.h. hervorgerufen wird. An dieser Stelle möchten wir an die Denitionen von injektiv, surjektiv und bijektiv erinnern und daran, dass man sie auch für Homomorphismen verwendet. Wir werden diese Begrie gleich wieder brauchen. 3.3 Denition - Kern und Bild Es sei φ : V W linear.. Kern: Ker(φ := {v V φ(v = } V. In Worten: Der Kern ist die Menge aller Vektoren in V, die von φ auf die in W abgebildet werden. 2. Bild: im(φ := φ(v = {φ(v v V } W. In Worten: Da Bild ist die Menge, die man erhält, wenn man alle Vektoren in V mit φ nach W abbildet. 8

10 3.4 Bemerkungen. ker(φ V ist ein Unterraum von V, also des Ausgangsvektorraumes und enthält insbesondere V. 2. im(φ W ist ein Unterraum von W, also des Zielvektorraumes und enthält insbesondere W 3. Es sind gleichbedeutend: φ ist injektiv ker(φ = {} (man sagt 'der Kern ist trivial' 3.5 Beispiel Sei A K m n. Dann ist ker(φ A die Lösungsmenge des homogenen LGS A x =. Also sind äquivalent: φ A ist injektiv ker(φ = {} rang(a = n und man sagt: 'der Kern ist trivial'. 3.6 Dimensionssatz für lineare Abbildungen Sei φ : V W linear. Dann gilt der Dimensionssatz: dim(v = dim (ker(φ + dim (im(φ. In Worten: Die Dimension des Ausgangsraumes ist die Summe aus der Dimension des Kerns (der im Ausgangsraum lebt und der Dimension des Bildes (das im Zielraum lebt. Den Beweis ndet man zum Beispiel im Vorlesungsskript von Prof. Kemper. 3.7 Beispiel Sei V = R 3 mit der Standardbasis B = e, e 2, e 3. Wir wählen die Abbildung φ : R 3 R 2, (e, e 2, e 3 (e, e 2 und sehen, dass der Kern eindimensional ist und alles, was nicht im Kern liegt, das Bild erzeugt und dieses zweidimensional ist. In Summe ergibt sich die Dimension des Ausgangsraumes: Zeilenrang gleich Spaltenrang Das Bild besteht genau aus allen Linearkombinationen der Spalten von A. Der Rang einer Matrix A K m n ist die Dimension des von den Spalten aufgespannten Unterraums von K m. Es gilt: Zeilenrang = Spaltenrang. 3.9 Denition - Invertierbarkeit Eine quadratische Matrix A K n n heiÿt invertierbar, falls es B K n n gibt mit A B = I n. B ist dann eindeutig bestimmt, und es gilt auch B A = I n. B heiÿt die Inverse von A und wird als B = A geschrieben. 9

11 3. Denition - Isomorphismus Eine lineare Abbildung φ : V W heiÿt Isomorphismus, falls φ bijektiv ist. Dann ist auch die Umkehrabbildung φ : W V ein Isomorphismus. V und W heiÿen isomorphe Vektorräume, falls es einen Isomorphismus von V nach W gibt. Notation: V = W. 3. Bemerkungen Es sei dim(v = dim(w <, und φ : V W sei eine lineare Abbildung. Dann sind äquivalent:. φ ist ein Isomorphismus. 2. φ ist injektiv. 3. φ ist surjektiv. Es muss darauf hingewiesen werden, dass diese Aussage nicht mehr gilt, wenn man dim(v = dim(w < weglässt. Es sei n := dim(v <. Dann gilt: V = K n. 3.2 Satz - Lineare Fortsetzung Es sei B = {v,..., v n } eine Basis von V. Eine lineare Abbildung φ : V W ist durch die Bilder der Basisvektoren v i eindeutig bestimmt. Mit anderen Worten: Ist ψ : V W eine weitere lineare Abbildung mit φ(v i = ψ(v i für alle i, so folgt φ = ψ. Man kann lineare Abbildungen also eindeutig durch die Bilder der Basisvektoren denieren. Dies wird das Prinzip der linearen Fortsetzung genannt.