Aufgaben Ebenen und Geraden

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1 Aufgaben Ebenen und Geraden Es folgen 4 Aufgaben jeweils vom selben Typ. Die Aufgaben unterscheiden sich lediglich in den Zahlen. Das Ziel besteht darin, durch Wiederholung die Koordinatengleichung einer Ebene und die Parameterform einer Geradengleichung aufstellen zu können. Weiterhin wird das Berechnen von Schnittpunkt, Schnittwinkel und Abständen trainiert. Aufgabe 1 Die Punkte A(1 1 1), B(0 2 0) und C(1 2 2) liegen in der Ebene E. Die Punkte P(2 1 0) und Q(4 4 11) liegen auf der Geraden g. h) Welche Punkte auf g haben zu E den Abstand 1? a) E: 2x 1 + x 2 + x = 6 b) Spurpunkte S 1 ( 0 0), S 2 (0 2 0), S (0 0 6). 2 2 c) g: x = ( 1) + t ( ) ; t R 0 11 d) S(1 0,5 5,5), zugehöriger Parameterwert von g ist t = 1 2. e) d(p, E) = 1 = 0,267, d(q, E) = = 0, f) α = 2,65 1 g) Mit SP = ( 1,5) und SQ = ( 4,5) folgt SQ = SP. Da der Faktor > 0 ist, zeigen SP und 5,5 16,5 SQ in dieselbe Richtung, d.h. P und Q liegen auf derselben Seite von E. h) U(4,742 5,11 15,081) und V( 2,742 6,11 26,081) Zugehörige Parameterwerte sind t 1 = 1,71, t 2 = 2,71.

2 Aufgabe 2 Die Punkte A(1 2 ), B(1 0 2) und C(2 1,5) liegen in der Ebene E. Die Punkte P( 1 2) und Q(5 8 5) liegen auf der Geraden g. h) Welche Punkte auf g haben zu E den Abstand 21? a) E: 4x 1 x 2 + 2x = 8 b) Spurpunkte S 1 (2 0 0), S 2 (0 8 0), S (0 0 4). 2 c) g: x = ( 1) + t ( 7) ; t R 2 d) S(1 6 1), zugehöriger Parameterwert von g ist t = 1. e) d(p, E) = 7 14 = 1,528, d(q, E) = =, f) α = 11, g) Mit SP = ( 7) und SQ = ( 14) folgt SQ = 2 SP. Da der Faktor 2 > 0 ist, zeigen SP und SQ in 6 dieselbe Richtung, d.h. P und Q liegen auf derselben Seite von E. h) U(7 15 8) und V( ) Zugehörige Parameterwerte sind t 1 = 2 bzw. t 2 = 4.

3 Aufgabe Die Punkte A(2 1 4), B( 1 2 7) und C(0 2) liegen in der Ebene E. Die Punkte P(4 2 2) und Q ( 7 0 0) liegen auf der Geraden g. h) Welche Punkte auf g haben zu E den Abstand 7 14? a) E: x 1 2x 2 x = 8 b) Spurpunkte S 1 ( 8 0 0), S 2(0 4 0), S (0 0 8). 4 5 c) g: x = ( 2) + t ( 2 ) ; t R 2 2 d) S ( 2 2 2), zugehöriger Parameterwert von g ist t = 2. e) d(p, E) = 2 1 = 0,55, d(q, E) = = 0, f) α =,54 10/ 5/2 g) Mit SP = ( 4) und SQ = ( 2) folgt SQ = 1 SP. Da der Faktor SQ in dieselbe Richtung, d.h. P und Q liegen auf derselben Seite von E. h) U( ) und V ( ). Zugehöriger Parameterwerte sind t 1 = 9 bzw. t 2 = 5. > 0 ist, zeigen SP und

4 Aufgabe 4 Die Punkte A(4 ), B(2 4 0) und C(8 1 ) liegen in der Ebene E. Die Punkte P( 8 1) und Q(1 2 ) liegen auf der Geraden g. h) Welche Punkte auf g haben zu E den Abstand 2? a) E: x 1 + 2x 2 = 10 b) Spurpunkte S 1 (10 0 0), S 2 (0 5 0). 2 c) x = ( 8 ) + t ( 6) ; t R 1 4 d) S(1,71 4,14 1,57), zugehöriger Parameterwert von g ist t = e) d(p, E) = 9 5 = 4,025, d(q, E) = 5 5 = 2,26 f) α = 6,7 1,29 0,71 g) Mit SP = (,86) und SQ = ( 2,14) folgt SQ = 0,55 SP. Da der Faktor 0,55 < 0 ist, 2,57 1,4 zeigen SP und SQ in verschiedene Richtung, d.h. P und Q liegen auf verschiedenen Seiten von E. h) U(,906 5,28 0,811) und V(5,694 0,08, 89) Zugehöriger Parameterwerte sind t 1 = 0,45 bzw. t 2 = 1,47.

5 Die folgenden 4 Aufgaben sind wie die vorherigen wieder vom selben Typ. Diesmal soll jedoch das Berechnen eines Schnittwinkels zwischen zwei Ebenen, das Berechnen der Schnittgeraden und erneut das Bestimmen von Abständen trainiert werden. Aufgabe 1 Gegeben Seien die Ebenen E: 2x 1 + x 2 + x = 6 und F: 4x 1 x 2 + 2x = 8, sowie der Punkt P(2 2 4). a) α = 65,91 2,25 0,5 b) Eine Parameterform für g ist z.b. g: x = ( 0,5) + t ( 0 0) ; t R 1 c) d(p, E) = 8 10 = 2,18, d(p, F) = = 2,182 P hat zu E den geringeren Abstand d) d(p, g) = 2,214 Aufgabe 2 Gegeben Seien die Ebenen E: x 1 + x 2 = 5 und F: x 1 x = 5, sowie der Punkt P(1 2 ). a) α = b) Eine Parameterform für g ist z.b. g: x = ( 0) + t ( 1) ; t R 0 1 c) d(p, E) = 2, d(p, F) = 7 P hat zu E den geringeren Abstand. 2 2 d) d(p, g) = 26 = 5,099.

6 Aufgabe Gegeben Seien die Ebenen E: x 1 2x 2 x = 8 und F: 4x 1 x 2 + 2x = 8, sowie der Punkt P(0 0 0). a) α = 45,58 1,6 1 b) Eine Parameterform für g ist z.b. g: x = ( 1,6) + t ( 2) ; t R 0 1 c) d(p, E) = 8 8, d(p, F) = P hat zu F den geringeren Abstand. 14 d) d(p, g) = 2, Aufgabe 4 Gegeben Seien die Ebenen E: x 1 + x 2 + x = 1 4 und F: 2x 1 + x 2 4x = 8, sowie der Punkt P( 1 0 5). a) α = 82,9 7,75 5 b) Eine Parameterform für g ist z.b. g: x = ( 7,5) + t ( 6) ; t R 0 1 c) d(p, E) = 15 0 = 2,165, d(p, F) = = 6,882 P hat zu E den geringeren Abstand d) d(p, g) = 6,684

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