Grundwissen Mathematik 10. Klasse. Eigenschaften Besonderheiten - Beispiele

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1 Themen Eigenschften Besonderheiten - Beispiele Kreis beknnt us Klsse 8: U Kreis = 2 π r A Kreis = r 2 π Kreissektor Bogenlänge b Flächeninhlt Kreissektor: Die Länge b des Kreisbogens und der Flächeninhlt A S sind proportionl zum Mittelpunktswinkel ϕ. A S = ϕ 360 r2 π b = ϕ r π Kugel Volumen der Kugel: V Kugel = 4 3 r3 π Oberfläche der Kugel: O Kugel = 4 r 2 π Bogenmß Bogenmß: Ds Bogenmß x eines Winkels ϕ ist die Länge des zugehörigen Kreisbogens im Einheitskreis (Kreis mit r =1). x = ϕ 360 2π Wichtige Werte: 360 ˆ= 2π, 180 ˆ= π, 90 ˆ= π 2, 45 ˆ= π 4, 30 ˆ= π 6 Sinus und Kosinus m Einheitskreis Ein Punkt P, der uf dem Einheitskreis liegt, ht die Koordinten x = cosϕ und y = sinϕ. ϕ ist hierbei der Winkel zwischen der positiven x-achse und der Hlbgerden vom Ursprung durch P. Die Werte von Sinus und Kosinus für beliebige Winkel lssen sich us den Werten im I. Qudrnten herleiten. Beispiele: 1 cos 210 = cos( )= cos 30 = sin 225 = sin( ) = sin45 = 2 2 Berechnungen in llgemeinen Dreiecken: Sinusstz Kosinusstz In jedem beliebigen Dreieck ABC verhlten sich die Längen zweier Seiten wie die Sinuswerte ihrer Gegenwinkel: b = sinα sinβ ; b c = sinβ sinγ In jedem beliebigen Dreieck gilt: 2 = b 2 + c 2 2bc cosα b 2 = 2 + c 2 2c cosβ c 2 = 2 + b 2 2b cos γ ; c = sinα sinγ

2 Gnzrtionle Funktionen Nullstellen bei gnzrtionlen Funktionen Polynomdivision Terme wie z.b. 3x 4 2x 2 + x 4, die us Summen von Potenzen derselben Vriblen und zugehörigen Koeffizienten bestehen, nennt mn Polynome. Der höchste in einem Polynom bei einer Vrible vorkommende Exponent heißt Grd des Polynoms. Eine Funktion f : x f(x), deren Term ein Polynom ist, heißt gnzrtionle Funktion oder Polynomfunktion. Eine gnzrtionle Funktion vom Grd n ht höchstens n Nullstellen. Zu jeder Nullstelle x 0 gehört der Linerfktor (x x 0 ). Die Division des zur gnzrtionlen Funktion gehörenden Polynoms durch den Linerfktor geht sicher uf. Beispiel : Finde NS von f(x) = x 3 2x 2 5x + 6 eine Nullstelle errten: hier x 1 = 1 Linerfktor: (x 1) (x 3 2x 2 5x + 6) :(x 1) = x 2 x 6 f(x) = (x 1)(x 2 x 6) (x 3 x 2 ) x 2 5x ( x 2 + x) 6x +6 ( 6x + 6) 0 =0 Biqudrtische Terme f(x) = 2x 4 2x 2 12 Substitution: z = x 2 f(z) = 2z 2 2z 12 z = 3 und z = 2 Rücksubstitution: x 2 = 3 und x 2 = 2 x = ± 3 und keine weiteren NS Vielfchheit von Nullstellen Liegt eine Polynomfunktion bereits in fktorisierter Form, lso ls Produkt von Linerfktoren vor, so unterscheidet mn zwischen Nullstellen von ungerder und von gerder Vielfchheit, je nchdem wie oft der zugehörige Linerfktor in der Linerfktorzerlegung des Funktionsterms vorkommt. Beispiel: x = -2 ist NS von ungerder Vielfchheit G f schneidet die x-achse, f wechselt ds Vorzeichen; x = 3 ist NS von gerder Vielfchheit G f berührt nur die x-achse, f wechselt nicht ds Vorzeichen;

3 Exponentilfunktion Funktionen der Form f b x mit x IR heißen Exponentilfunktionen. Die Konstnte gibt den Wchstumsfktor n ( >0; 1). Die Konstnte b gibt den Anfngswert der Funktion für x = 0 n. Für > 1 ist der Grph monoton steigend (exponentielles Wchstum), für 0<<1 ist der Grph monoton fllend (exponentielle Abnhme). Anwendungsbeispiele: ) Exponentielles Wchstum: Eine Bkterienkultur von nfänglich 1000 Bkterien wächst stündlich um 20% : f : t ,2 t b) Exponentielle Abnhme: In einer Zellkultur mit nfngs 200 Zellen sterben die Zellen mit einer Hlbwertszeit von 3 Tgen b: " 1 f : t 200 $ % t # 2& ' 3 Logrithmus Der Logrithmus ist die Umkehrung der Exponentilrechnung, d.h. Die Lösung der Gleichung x = u ist x = log u ( Logrithmus von u zur Bsis ) Beispiel: log 4 64 = 3 d 4 3 = 64 Regeln für ds Rechnen mit Logrithmen: log ( b c) = log b + log c log ( b : c) = log b log c log ( b c ) = c log b Umrechnungsformel: log u = log b u log b Bsiswechsel, z.b. für ds Rechnen mit TR (Tste log ˆ= log 10, Tste ln ˆ= log e!) Exponentilgleichungen Lösen von Exponentilgleichungen Substitution Gleichungen, bei denen die Unbeknnte x nur im Exponenten vorkommt, heißen Exponentilgleichungen. Substitution: 10 2 x 9 = 2 2x 2 2x 10 2 x + 9 = 0 (2 x ) x + 9 = 0 z = 2 x : z 2 10z + 9 = 0 z = 9 und z = 1 Rücksubstitution: 9 = 2 x x = log 2 9 1= 2 x x = log 2 1= 0 Potenzgesetze Logrithmusregeln Anwenden von Potenzgesetzen: 6 x 5 = 2 x 4 6 x 2 x = 4 5 Anwenden von Logrithmusregeln: 3 x = 0,8 x = log 3 0, x = 5 2 x log(2 3 2x ) = log(5 2 x ) log2 + log(3 2x ) = log5 + log(2 x ) log2 + 2x log3 = log5 +( x) log2 2x log3 + x log2 = log5 log2 x (2 log3 + log2) = log5 log2 x = log5 log2 2log3 + log2

4 Zusmmengesetzte Zufllsexperimente Mehrstufige Zufllsexperimente Vierfeldertfel Betrchtet mn zwei Ereignisse eines Zufllsexperiments, so sind für deren gemeinsme Drstellung die sogennnte Schnitt- bzw. Vereinigungsmenge hilfreich. A={Len, Sophie, Alex, Tom} B={Len, Kthrin, Tom} Schnittmenge: Vereinigungsmenge: { } A und B { } A oder B A B= Len,Tom A B = Len,Tom,Sophie,Kthrin,Alex Ein Zufllsexperiment, ds us mehreren Teilexperimenten besteht, nennt mn mehrstufiges Zufllsexperiment. In der Vierfeldertfel lssen sich die Whrscheinlichkeiten nschulich drstellen: A A B P(A B) P(A B) P(B) B P(A B) P(A B) P(B) P(A) P(A) 1 Bumdigrmm Eine ndere Vernschulichung ist ds Bumdigrmm. Vorteile des Bumdigrmms sind: leichte Bestimmung der Mächtigkeit von Ω und übersichtliche Bestimmung von Whrscheinlichkeiten mithilfe der Pfdregeln. Beispiel: Bei Lehrer Müller kommt es in einer Unterrichtsstunde mit einer Whrscheinlichkeit von 25% zu einer Unterrichtsstörung. Im Flle einer Unterrichtsstörung erhöht sich der Blutdruck von Lehrer Müller mit 80% Whrscheinlichkeit. Jedoch kommt es bei der Lehrkrft uch ohne Unterrichtsstörung mit 10% Whrscheinlichkeit zu erhöhtem Blutdruck. Bedingte Whrscheinlichkeit Sind A und B zwei Ereignisse eines Zufllsexperiments, so versteht mn unter der bedingten Whrscheinlichkeit P A (B) die Whrscheinlichkeit, dss ds Ereignis B eintritt, wenn mn bereits weiß, dss ds Ereignis A eingetreten ist. Es gilt: P(A B) P A (B) = P(A) Beispiel: In einer Urne liegen 3 rote und 5 schwrze Kugeln. Mn zieht zwei Kugeln ncheinnder, ohne die erste Kugel wieder zurückzulegen. Mit welcher Whrscheinlichkeit zieht mn beim zweiten Ml eine schwrze Kugel, wenn mn beim ersten Zug eine rote Kugel gezogen ht? P rote Kugel beim ersten Ziehen (schwrze Kugel beim zweiten Ziehen) = 5 7

5 Verschieben von Funktionsgrphen Viele Funktionsgrphen knn mn sich us nderen Grphen hervorgegngen vorstellen. Flls der Grph G f der Funktion f beknnt ist, so gilt für die Grphen f1 mit f 1 (x) = f(x) + d geht us G f hervor durch Verschiebung von G f um d in y-richtung; f2 mit f 2 (x) = f(x c) geht us G f hervor durch Verschiebung von G f um c in x-richtung; f3 mit f 3 (x) = f(x) geht us G f hervor durch Streckung/Stuchung von G f in y-richtung; f4 mit f 4 (x) = f(b x) geht us G f hervor durch Streckung/Stuchung von G f in x-richtung; vergleiche uch llgemeine Sinusfunktion Sonderfälle: = 1, d.h. f 3 (x) = f(x) : G f3 geht us G f durch Spiegelung n der x- Achse hervor; b = 1, d.h. f 4 (x) = f( x) : G f4 geht us G f durch Spiegelung n der y- Achse hervor; Symmetrie von Funktionsgrphen G f ist symmetrisch zur y-achse G f ist punktsymmetrisch zum Ursprung f( x) = f(x) f( x) = f(x) Verhlten im Unendlichen Berechnen von Grenzwerten Nähern sich die Funktionswerte f(x) einer Funktion f für x + bzw. x gegen einen feste Zhl, so heißt die Funktion konvergent gegen. Die Zhl heißt Grenzwert der Funktion im Unendlichen. Schreibweise: lim f(x) = bzw. lim f(x) = x bei gnzrtionlen Funktionen: Ausklmmern der höchsten Potenz lim(x 3 4x 2 +1) = lim x 3 ( ) = + + x x 3 1 bei gebrochen-rtionlen Funktionen: Ausklmmern der höchsten Nennerpotenz und Kürzen des Bruchterms x 2 x lim 1+ 2x 2 = lim x 2 (1 1 x ) x 2 ( 1 x 2 + 2) = lim 1 (1 1 ) x ( 1 = ) x 2 2

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