Inhalt. Anwendungen der Stochastik in der Bankenaufsicht. Exkurse. 1. Bankenaufsicht in Deutschland

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1 Anwendungen der Stochastik in der Bankenaufsicht Inhalt 1 Bankenaufsicht in Deutschland (Folie 1) 2 Faktormodelle für Kreditrisikoportfolios (Folie 13) Dr. Dirk Tasche Banken und Finanzaufsicht Deutsche Bundesbank tasche@ma.tum.de Tel.: (0 69) Das Basel-II-Modell als Grenzfall (Folie 27) 4 Approximationsgüte im ASRF-Modell (Folie 40) 5 Der Satz von De Finetti (Folie 53) 6 ML-Schätzung mit der Vasicek-Verteilung (Folie 65) 7 Portfolios mit wenigen Ausfällen (Folie 84) 8 Risikomaße (Folie 125) Stand: Prinzipien für die Kapitalallokation (Folie 157) 10 Diskussion alternativer Allokationsverfahren (Folie 177) 11 Kapitalallokation mit dem Basel-II-Modell (Folie 190) Die auf diesen Folien ausgedrückten Ansichten sind die des Autors und spiegeln nicht notwendigerweise die offizielle Auffassung der Deutschen Bundesbank wider. 12 Kapitalallokation mit CreditRisk + (Folie 193) i ii Exkurse 1. Bankenaufsicht in Deutschland Poisson-Approximation für Ausfallereignisse (Folie 212) Aufsicht über Kreditinstitute (= Banken + Sparkassen) Unerwarteter Verlust (Unexpected Loss, UL) (Folie 225) Risikobeiträge und Diversifizierung (Folie 226) Schätzer für die Risikobeiträge (Folie 233) Aufsicht durch BaFin (Bundesanstalt für Finanzdienstleistungsaufsicht, und Deutsche Bundesbank ( Herausgehobene Rolle der Kreditinstitute für die Gesamtwirtschaft Funktionieren des Zahlungsverkehrs Verfügbarkeit von Krediten Verbraucherschutz iii 1

2 1. Bankenaufsicht in Deutschland - Forts. Rechtliche Regelungen in (u.a.) Gesetzen (z. Bsp. KWG (Kreditwesengesetz)) Verordnungen, z. Bsp. Grundsatz I (zur Solvenz, ab 2007 Solvabilitätsverordnung) Grundsatz II (zur Liquidität) Millionen- und Großkreditverordnung Rundschreiben der BaFin, z. Bsp. MaH (Mindestanforderungen an das Handelsgeschäft) MaK (Mindestanforderungen an das Kreditgeschäft) zu 18 KWG (Offenlegung der wirtschaftlichen Verhältnisse von Kreditnehmern) 2 1. Bankenaufsicht in Deutschland - Forts. Liquidität: Kurz- bis mittelfristige Zahlungsfähigkeit bei den alltäglichen Verpflichtungen Ziel der Aufsicht: unbedingte Gewährleistung (ohne Restrisiko) durch Vorhalten liquider Mittel Solvenz: Mittel- bis langfristige Zahlungsfähigkeit bei unerwartet großen Verlusten Ziel der Aufsicht: bedingte Gewährleistung (mit kleinem Restrisiko) durch Vorhalten von Eigenkapital Unbedingte Liquidität mit beschränkten Geldmitteln erreichbar. Unbedingte Solvenz würde 100%-ige Abdeckung der Risiken mit Eigenkapital erfordern und die Kreditvergabe drastisch einschränken Bankenaufsicht in Deutschland - Forts. 1. Bankenaufsicht in Deutschland - Forts. Maßnahmen zur Sicherung der Solvenz: Hinterlegung der Risiken mit Eigenkapital Großkreditgrenzen Millionenkreditmeldungen Sorgfaltspflicht bei Geschäften ( 18 KWG, MaH, MaK) Stochastische Modellierung anwendbar auf Eigenkapitalhinterlegung Großkreditgrenzen Eigenkapital: wieviel Kapital wird bei vorgegebener Grenze des Restrisikos benötigt? Überwachung bisher vor allem durch Meldewesen und Aufsichtsgespräche Großkredite: ab welcher Größe wird ein Kredit kritisch für ein Kreditinstitut? Zunehmend auch durch Vor-Ort-Prüfungen 4 5

3 1. Bankenaufsicht in Deutschland - Forts. 1. Bankenaufsicht in Deutschland - Forts. Eigenkapitalhinterlegung: Gegensatz regulatorisches / ökonomisches Kapital Ökonomisches Kapital: bankintern mit voller Modellierung berechnet Regulatorisches Kapital: gemäß einfachen aufsichtlichen Regeln bestimmt Großkreditgrenzen: Aufsichtlich: Meldepflicht ab 10% des aufsichtlichen Kernkapitals, Genehmigungspflicht ab 25% Bankintern: im allgemeinen einfache Regeln ohne Modellierungsaufwand 6 Regulatorische Kapitalanforderungen heute: Basel Capital Accord (Basel I) von 1988, umgesetzt in Grundsatz I Kapitalhinterlegung für Kredit- und Marktrisiken ( Amendment von 1996) Kreditrisiken: Grundsätzlich Hinterlegung mit 8% des Kreditvolumens (= 100% Risikogewicht) Verringerte Gewichte anwendbar für bestimmte Kreditnehmer (z. Bsp. 0% für OECD-Staaten) Marktrisiken: interne Modelle bei aufsichtlicher Genehmigung anwendbar 7 1. Bankenaufsicht in Deutschland - Forts. 1. Bankenaufsicht in Deutschland - Forts. Basel I: Fortschritt durch internationale Vereinheitlichung der Eigenkapitalanforderungen Basel I: Firmenkredite guter und schlechter Bonität mit identischer Kapitalhinterlegung Höhere Margen für Kredite schlechter Bonität Anreiz zur Vergabe schlechter Kredite, da Eigenkapitalrendite der Kreditinstitute scheinbar höher Gefährdung der Stabilität des Finanzsystems Basel II als Lösung 8 Basel II: Verringerung der Möglichkeiten zu regulatory capital arbitrage als Ziel, dabei möglichst nahe an Basel I bleiben Verhandlungsbeginn 1999, drei öffentliche Konsultationsphasen Vorläufiger Abschluss der Verhandlungen im Juni 2004 ( Midyear Framework ) Basel Committee on Banking Supervision (BCBS) Bank für Internationalen Zahlungsausgleich (BIZ), Basel Zentralbanken und Bankenaufsichtsbehörden der G10-Staaten Beschlüsse sind Empfehlungen zur Umsetzung in nationales Recht 9

4 1. Bankenaufsicht in Deutschland - Forts. Basel II: unterschiedliche Interessen Große, international aktive Banken: Wunsch nach möglichst genauer, realistischer Modellierung der Risiken Kleine, nur regional tätige Banken: möglichst einfache Modellierung der Risiken, um Implementierungskosten zu sparen Unterschiedliche Kreditkulturen : z. Bsp. US: auch kleinere Unternehmen durch Anleihen am Kapitalmarkt finanziert, privater Konsum eng verbunden mit Gebrauch von Kreditkarten z. Bsp. D: kleinere und mittlere Unternehmen finanzieren sich hauptsächlich durch Bankkredite, privater Konsum kaum über Kreditkarten Bankenaufsicht in Deutschland - Forts. Basel II: weitere Randbedingungen Risiko falscher Modellannahmen Schwierigkeiten bei Modellierung und Schätzung stochastischer Abhängigkeiten (wenig im Vergleich zu Marktrisiken Daten zu Kreditverlusten vorhanden) Auch fortgeschrittene Banken sind noch nicht sehr konsequent bei der Anwendung von Kreditrisikomodellen (Gegensatz Umsetzungstand öffentliche Äußerungen) Sprung von kein Risikomanagement zu interne Modelle zu groß für die meisten kleineren Banken Marktbeobachtung : sind die marktüblichen Modelle verlässlich genug? Bankenaufsicht in Deutschland - Forts. Ziel der Vorlesung: Darstellung der Mathematik, die mit dem Kreditrisikoteil von Basel II verbunden ist. Themen: Faktormodelle für Kreditrisikoportfolios Methoden der Kapitalallokation auf Portfolio- und Teilportfolioebene Schätz- und Validierungsmethoden für Basel-relevante Parameter Faktormodelle für Kreditrisikoportfolios Literatur Bluhm, C., Overbeck, L., Wagner, C. (2002) An Introduction to Credit risk Modeling. CRC Press, Boca Raton. McNeil, A., Frey, R. and P. Embrechts (2005) Quantitative Risk Management: concepts, techniques, and tools. University Press, Princeton. Aspekte der Modellierung Zeit: Eine Periode mehrere Perioden / zeitkontinuierlich Bewertung: Buchwerte ( Default mode ) Marktwerte ( Marked-to-Market ) Risikobehaftetes Volumen: Fest zufallsabhängig Abhängigkeiten: Konjunktureinfluss Ansteckung Hier: Buchwertbetrachtung im Ein-Perioden-Modell mit festen Risikovolumina unter Konjunktureinfluss. 13

5 2. Faktormodelle für Kreditrisikoportfolios - Forts. Basismodell: L = A L A. 2. Faktormodelle für Kreditrisikoportfolios - Forts. Sind Kreditausfälle unabhängig? L portfolioweiter Verlust. L A Verlust mit Kreditnehmer A. Summation über alle Kreditnehmer. Individueller Verlust: L A = ν A 1 DA mit Ausfallindikator 1, A fällt aus, 1 DA = 0, A fällt nicht aus. Anzahl der Ausfälle: N = 1 DA. A Ausfallraten in Portfolios vergleichbarer Bonität schwanken über die Jahre stark (Überdispersion). In Rezessionsjahren sind die Raten größer als in Zeiten wirtschaftlichen Aufschwungs. Seltenheit der Ausfallereignisse und Kürze der Zeitreihen erschweren die statistische Untersuchung. Einbeziehung von (konjunkturbedingten) Abhängigkeiten ist Standard in der Kreditportfolio-Modellierung Faktormodelle für Kreditrisikoportfolios - Forts. Faktormodelle Konjunktureinfluss wird durch endlich viele ökonomische Faktoren S = (S 1,..., S r ) abgebildet. Gegeben die Realisierungen der Faktoren sind die Ausfallereignisse unabhängig (bedingte Unabhängigkeit). Zweistufige Simulation: Erst ökonomische Faktoren, dann Ausfallereignisse mit bedingten Ausfallwahrscheinlichkeiten. Formal (A, B Kreditnehmer): P[A und B fallen aus S] = P[D A D B S] = P[D A S] P[D B S] = P[A fällt aus S] P[B fällt aus S]. Trotzdem: P[D A D B ] P[D A ] P[D B ] Faktormodelle für Kreditrisikoportfolios - Forts. Modellierung der bedingten Ausfallwahrscheinlichkeiten Unbedingte Ausfallwahrscheinlichkeit: p A = P[D A ] = E [ P[D A S] ]. Abhängigkeit von Faktoren ausgedrückt durch gewichtete Summe w A r S = w k,a S k. k=1 Häufige Annahme: Faktoren S k standardisiert, d.h. E[S k ] = 0, var[s k ] = 1. Kalibrierung: Bestimmung der Faktorgewichte w k,a. 17

6 2. Faktormodelle für Kreditrisikoportfolios - Forts. 2. Faktormodelle für Kreditrisikoportfolios - Forts. Probit-Ansatz Einsatz bei: CreditMetrics, Moody s / KMV, viele Banken Schwellenwertmodell: ξ A standardisierte Zufallsgröße, c A Ausfallschwelle. Dann beschreibt D A = { w 0,A ξ A + r } w k,a S k c A k=1 das Ereignis A fällt (innerhalb des nächsten Jahres) aus. (18.1) ξ A idiosynkratischer (individueller) Risikofaktor von A. Unabhängig von S und allen anderen ξ B. Interpretation: w 0,A ξ A + r k=1 w k,a S k als Wertveränderung der Aktiva von A. Ein großer Wertverlust löst den Kreditausfall aus. 18 Üblich: Faktorgewichte w A = (w 1,A,..., w k,a ) und w 0,A so, dass 1 = var [ w 0,A ξ A + r k=1 w ] k,a S k r = wk,a w l,a w k,a corr[s l, S k ]. k=0 0<l<k Übliche Annahme: S = (S 1,..., S k ) gemeinsam normalverteilt, ξ A normalverteilt. Folgerung: p A = Φ(c A ), P[D A S] = Φ ( c A w A S w 0,A ), (19.1) mit Φ Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung Faktormodelle für Kreditrisikoportfolios - Forts. Beispiel zum Probit-Ansatz (I) Zwei Faktoren S 1, S 2 Zum Bsp.: S 1 für globale Konjunktur, S 2 für lokale Konjunktur Kreditnehmer A, B mit Ausfallwahrscheinlichkeiten p A = 5% = p B A stark exponiert gegen S 1 : w 1,A = 0.8 A schwach exponiert gegen S 2 : w 2,A = 0.2 B gleich exponiert gegen S 1 und S 2 : w 1,B = 0.5 = w 2,B S 1, S 2 normal-verteilt mit (starker) Korrelation 0.5 Szenario: schlechte globale Konjunktur, S 1 = 2.33 neutrale lokale Konjunktur, S 2 = Faktormodelle für Kreditrisikoportfolios - Forts. Beispiel zum Probit-Ansatz (II) P[A und B fallen aus (S 1, S 2 ) = ( 2.33, 0)] = P[D A (S 1, S 2 ) = ( 2.33, 0)] P[D B (S 1, S 2 ) = ( 2.33, 0)] ( ) ( ) = Φ ( 2.33) Φ ( 2.33) = = P[A und B fallen aus] = P[D A D B ] = P [ 1 var[0.8 S S 2 ] ξ A S S , 1 var[0.5 S S 2 ] ξ B S S ] = Φ 2 ( 1.64, 1.64; 0.75) = > = = P[D A ] P[D B ] 21

7 2. Faktormodelle für Kreditrisikoportfolios - Forts. Was ist eine bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit? 2. Faktormodelle für Kreditrisikoportfolios - Forts. Logit-Ansatz Erinnerung: M Ereignis, V Zufallsvektor P[M V ] = arg min { E [ (1 M X) 2] : X σ(v ) messbar } P[M V ] ist also bei Kenntnis von V die im quadratischen Mittel beste Vorhersage von M. Verallgemeinerte Regression: V = (V 1,..., V r ) P[M V ] arg min { E [ (1 M Ψ(a 0 + r k=1 a k V k )) 2] : a 0,..., a r R }. Dabei ist Ψ eine geeignete Link-Funktion. Ψ(x) = Φ(x): Ψ(x) = 1/(1 + e x ): Probit-Regression, Logit-Regression. Einsatz in CreditPortfolioView (McKinsey) Ansatz: P[D A S] = exp ( c A w A S ). w 0,A (1 + e x ) 1 ist die Verteilungsfunktion der logistischen Verteilung. c A Ausfallschwelle, so zu wählen, dass p A = E [( 1 + exp( c A w A S w 0,A ) ) 1 ] Faktormodelle für Kreditrisikoportfolios - Forts. Versicherungsmathematischer Ansatz Einsatz in CreditRisk +, CSFB. Approximation von 1 DA durch eine bedingt Poisson-verteilte Größe, 1 DA I A, P[I A = k S] = (p A (w 0,A + w A S))k exp ( p A (w 0,A + w A k! S)), E[I A S 1,..., S r ] = p A (w 0,A + w A S). V.M. Gundlach und F.B. Lehrbass (Hrsg.) (2004) CreditRisk + in the Banking Industry. Springer Faktormodelle für Kreditrisikoportfolios - Forts. Praktische Berechnung: Verteilung der Ausfallanzahl Gemeinsame unbedingte Ausfallwahrscheinlichkeit der Kreditnehmer A 1,..., A l (Spezialfall S mit Dichte): P[D A1... D Al ] = E [ P[D A1... D Al S] ] (25.1) = l P[D Ai S = (s 1,..., s r )] f(s 1,..., s r ) ds 1... ds r. i=1 f steht für eine gemeinsame Dichte der ökonomischen Faktoren S = (S 1,..., S r ). Unbedingte Wahrscheinlichkeit von genau l Ausfällen: P[N = l] = P[ D Ai D Aj ], (25.2) J I, J =l i I j J\I dabei I = {A 1,..., A I } Menge aller Kreditnehmer, D für fällt nicht aus. 25

8 2. Faktormodelle für Kreditrisikoportfolios - Forts. 3. Das Basel-II-Modell als Grenzfall Formel für die Verlustwahrscheinlichkeit P[L = z] ist ähnlich zu (25.2). Die Summe läuft dann über alle Auswahlen A 1,..., A l von Kreditnehmern, die ν Ai = z erfüllen. Die Auswertung von multi-dimensionalen Integralen wie in (25.1) wird im allgemeinen mit Hilfe von Monte-Carlo-Simulationen durchgeführt. Das Finanzsystem ist durch den Ausfall großer Banken besonders gefährdet. Wegen ihrer besonderen Bedeutung sollen die Basel-II-Risikogewichte möglichst gut auf die Portfolios großer Banken passen. Große Banken haben hoffentlich gut diversifizierte Portfolios. Ohne Simulationen: Ein-Faktor-Modell (Basel II) und Poisson-Modell (CreditRisk + ). Diversifiziert bedeutet hier: nur dem systemischen Risiko ausgesetzt. Tendenz der Bankenaufsicht zu rechnerisch einfachen Modellen, um den Aufwand kleinerer Kreditinstitute gering zu halten. 26 Ziel in diesem Kapitel: Modell einführen, in dem es nur systemisches Risiko gibt Das Basel-II-Modell als Grenzfall - Forts. 3. Das Basel-II-Modell als Grenzfall - Forts. Gordy, M. (2003) A Risk-Factor Model Foundation for Ratings- Based Bank Capital Rules. Journal of Financial Intermediation 12(3), Faktormodell wie auf Folie 14 und in (18.1), d.h. L = L A, A L A = ν A 1 DA, (28.1) D A = { w 0,A ξ A + r k=1 } w k,a S k c A. Probit-Ansatz, d.h. S = (S 1,..., S r ) gemeinsam standard-normalverteilt. Idiosynkratische Risikofaktoren ξ A unabhängig und standard-normalverteilt. Folgerung: P[D A ] = p A = Φ(c A ). ν A steht für den Kreditbetrag bei Kreditnehmer A. u A = ν A B ν ist der relative Anteil von A am Gesamtkreditvolumen B (Gewicht von A im Portfolio). Prozentualer Portfolioverlust: L % = A Normalisierte Verlustverteilung: u A 1 DA = L A ν A. (29.1) l P[L % l], 0 l 1. (29.2) 28 29

9 3. Das Basel-II-Modell als Grenzfall - Forts. Satz 30.1 Für n N seien X 1,n,..., X kn,n beschränkte Zufallsgrößen, so dass gilt: sup X k,n M <. (30.1) n,k A sei eine σ-algebra, so dass, bedingt auf A, (X k,n ) k=1,...,kn für jedes n N eine Familie unabhängiger Zufallsgrößen ist. k n Für jedes n seien Gewichte u 1,n,..., u kn,n [0, 1] mit u k,n = 1 k=1 k n gegeben. Aus lim u 2 n k,n = 0 folgt dann k=1 k n k n u k,n X k,n u k,n E[X k,n A] k=1 k=1 L 2 n 0. (30.2) 3. Das Basel-II-Modell als Grenzfall - Forts. Beweis von Satz 30.1: k n k n var u k,n X k,n u k,n E[X k,n A] k=1 k=1 k n = E var u k,n X k,n A k=1 = k n u 2 k,n E[ var[x k,n A] ] k=1 4 M 2 k n u 2 k,n k=1 n Das Basel-II-Modell als Grenzfall - Forts. Satz 32.1 Für n N seien X 1,n,..., X kn,n beschränkte Zufallsgrößen, so dass (30.1) gilt. A sei eine σ-algebra, so dass, bedingt auf A, (X k,n ) k=1,...,kn für jedes n N eine Familie unabhängiger Zufallsgrößen ist. k n Für jedes n seien Gewichte u 1,n,..., u kn,n [0, 1] mit u k,n = 1 gegeben. Es gebe eine Folge a n, so dass gilt: n Dann folgt k n a n u 2 k,n n=1 k=1 k n k n u k,n X k,n u k,n E[X k,n A] k=1 k=1 k=1 <. (32.1) fast sicher n 0. (32.2) Das Basel-II-Modell als Grenzfall - Forts. Lemma 33.1 Seien ξ, ξ 1, ξ 2,... relle Zufallsgrößen und ɛ 1, ɛ 2,... positive Zahlen, so dass gilt: ɛ n n 0 und P[ ξ n ξ > ɛ n ] <. (33.1) n=1 Dann gilt auch lim n ξ n = ξ fast sicher. (33.2) Beweis: Zu zeigen ist P [ n=1 m=n { ξ m ξ > ɛ} ] = 0 für ɛ > 0 beliebig. Wähle n 0 so groß, dass ɛ n ɛ für n n 0 gilt. Damit ergibt sich für n n 0 P [ { ξ m ξ > ɛ} ] P [ { ξ m ξ > ɛ m } ] P[{ ξ m ξ > ɛ m }] m=n m=n m=n und wegen P [ n=1 m=n { ξ m ξ > ɛ} ] = lim n P [ m=n { ξ m ξ > ɛ} ] die Behauptung. 33

10 3. Das Basel-II-Modell als Grenzfall - Forts. 3. Das Basel-II-Modell als Grenzfall - Forts. Beweis von Satz 32.1: Wähle ɛ n = 1/ a n. Damit ergibt sich wie im Beweis von Satz 30.1 k n k n P u k,n X k,n u k,n E[X k,n A] > ɛ n n=1 k=1 k=1 ɛ 2 k n k n n var u k,n X k,n u k,n E[X k,n A] n=1 k=1 k=1 4 M 2 k n a n u 2 k,n n=1 k=1 <. Die Behauptung folgt nun aus Lemma Beispiel 35.1 Approximation des prozentualen Portfolioverlusts L %, Gl. (29.1). Die Ausfallereignisse D A aus (28.1) sind, gegeben Realisierungen der ökonomischen Faktoren S = (S 1,..., S r ), bedingt unabhängig. Satz 30.1 legt nahe, L % durch L % L % = E[L % S] = A u A P[D A S] (35.1) anzunähern, sofern A A u 2 A = ν2 A ( A ν 2 klein (nahe bei 0?) ist. A) Definition 35.2 Der Herfindahl-Index eines Kreditportfolios wie auf Folie 14 wird berechnet als u 2 A = A νa 2 A ( A ν A ) 2. (35.2) Das Basel-II-Modell als Grenzfall - Forts. 3. Das Basel-II-Modell als Grenzfall - Forts. Satz 36.1 Wertebereich des Herfindahl-Index Seien u 1,..., u k [0, 1] Gewichte (in einem Kreditportfolio wie auf Folie 14) mit k i=1 u i = 1. Dann gilt Ferner gilt 1/k k u 2 i 1. (36.1) i=1 k 1/k = u 2 i u i = 1/k, i = 1,..., k (36.2) i=1 k 1 = u 2 i u i = 1 für ein i, u j = 0 für j i. (36.3) i=1 36 Beweis von Satz 36.1: Definition: H(u 1,..., u k ) = k i=1 u 2 i. (u 1,..., u k ) kompakte Menge Minimum und Maximum von H werden angenommen. Lagrange-Funktion: L(u 1,..., u k ; λ) = H(u 1,..., u k ) λ ( ki=1 u i 1 ). L(u 1,..., u k ; λ) = 2 u i λ u i (37.1) L(u 1,..., u k ; λ) = k λ i=1 u i 1. (37.2) Gleichsetzen mit 0 ergibt aus (37.1): u i = λ/2. Gleichsetzen mit 0 ergibt aus (37.2): λ = 2/k und u i = 1/k. H(1, 0,..., 0) = 1 Eindeutiges Minimum bei (u 1,..., u k ) = (1/k,..., 1/k). 0 < u j < 1 H(u 1,..., u k ) u 2 j + i j u i < 1 und H(u 1,..., u k ) k i=1 u i = 1 (36.3) 37

11 3. Das Basel-II-Modell als Grenzfall - Forts. 3. Das Basel-II-Modell als Grenzfall - Forts. Der Herfindahl-Index schaut nur auf die Größenverhältnisse der Kreditbeträge. Je gleicher, desto besser. Ein Maß für die Approximationsgüte in (35.1) sollte auch die Stärke des systemischen Einflusses berücksichtigen. Der Beweis von Satz 30.1 zeigt, dass E [ var[l % S] ] klein sein sollte (idiosynkratischer Teil der Varianz). Wegen var[l % ] = var [ E[L % S] ] + E [ var[l % S] ] wird gerne R 2 (Determinationskoeffizient) betrachtet: R 2 = var[ E[L % S] ] var[l % ] 1 (38.1) Werte von R 2 nahe bei 1 deuten auf gute Approximation hin. 38 Gordy (2003): Leite Basel-II-Risikogewichte aus einem approximativen Einfaktor-Modell im Sinne von Bsp ab (ASRF (Asymptotic Single Risk Factor) Model). Also: Ein-Faktor-Modell (mit eindim. Faktor S) L % = A u A 1 { ϱa S+ 1 ϱ A ξ A c A } (39.1) des relativen Portfolio-Verlusts wird angenähert durch (vgl. (19.1)) L % = E[L % S] = ( ca ) ϱ u A Φ A S 1 ϱa. (39.2) A Diese Näherung wird ökonomisch als Elimination (durch Diversifikation in großen Portfolios) des idiosynkratischen Risikos interpretiert Approximationsgüte im ASRF-Modell Ziel: Gefühl für Approximationsgüte im Basel-II-ASRF-Modell (vgl. Folie 39) bekommen. Hier: Einfluss der Größenverhältnisse der Kreditbeträge und der Ein-Faktor -Annahme. Zwei Portfolios mit homogener und inhomogener Größenstruktur der Kreditbeträge. Zunächst: Herleitung einer konkreten Formel für R 2 (vgl. (38.1)). 4. Approximationsgüte im ASRF-Modell - Forts. Berechnung von E[L % S]: E[L % S] = A = A u A P[D A S] (mit Unabhängigkeit von S und ξ A ) = A u A P[ ϱ A S + 1 ϱ A ξ A c A S] u A P [ ξ A c A ϱ A s] s=s 1 ϱa (ξ A als standard-normalverteilt angenommen) = ( ca ) ϱ u A Φ A S. (41.1) A 1 ϱa Schrittweise: E[L % S], var[l % S], E [ var[l % S] ], var [ E[L % S] ]

12 4. Approximationsgüte im ASRF-Modell - Forts. Berechnung von E[L 2 % S]: E[L 2 % S] = E[( ) 2 ] u A 1 DA S A = u 2 A P[D A S] + u A u B P[D A D B S] A A B A (mit bedingter Unabhängigkeit) = u 2 A P[D A S] ( 1 P[D A S] ) + E[L % S] 2 A 4. Approximationsgüte im ASRF-Modell - Forts. Sei D A = { ϱ A S + 1 ϱ A ξ A c A} mit unabhängigen ξ A, ξ A. Dann E [ var[l % S] ] = u 2 ( A pa E [ P[D A S] 2]) A = u 2 ( A pa P[D A D A ]) A = u 2 ( A pa P[ ϱ A S + 1 ϱ A ξ A c A, A ϱa S + 1 ϱ A ξ A c A] ) Folgerung: = A u 2 A ( pa Φ 2 (c A, c A ; ϱ A ) ). (43.1) var[l % S] = E[L 2 % S] E[L % S]2 = u 2 A P[D A S] ( 1 P[D A S] ) A = u 2 A Φ( c A ϱ A S )( ( ca ϱ 1 ϱa 1 Φ A S )) 1 ϱa A (42.1) Insbesondere kann wegen p A = Φ(c A ) der Term E [ var[l % S] ] außer Acht gelassen werden, wenn A u 2 A klein ist oder min A ϱ A nahe bei 1 ist Approximationsgüte im ASRF-Modell - Forts. 4. Approximationsgüte im ASRF-Modell - Forts. Berechnung von var [ E[L % S] ] : Sei D A wie in (43.1). Dann var [ E[L % S] ] = u A u B E [ Φ ( c A ϱ A S ) ( cb ϱ 1 ϱa Φ B S )] ( ) 2 1 ϱb u A p A A,B A = u A u B P[D A D B ] ( ) 2 u A p A A,B A = u A u B Φ 2 (c A, c B ; ϱ A ϱ B ) ( ) 2. u A p A A,B A Folgerung: var[l % ] = A u 2 A p A (1 p A ) + ( u A u B Φ2 (c A, c B ; ) ϱ A ϱ B ) p A p B. A B Φ 2 (x, y; ϱ) steht für die Verteilungsfunktion der bivariaten Standard- Normalverteilung mit Korrelation ϱ, d.h. es gilt Φ 2 (x, y; ϱ) = P[X x, Y y], (X, Y ) N ( (0, 0), ( )) 1 ϱ ϱ Semi-homogener Fall des ASRF-Modells (Folie 39): ϱ A = ϱ, p A = p für alle Kredite. Folgerung: L % = E[L % S] = A S standard-normalverteilt. u A Φ ( Φ 1 (p A ) ϱ A S ) ( Φ 1 (p) ϱ S ) 1 ϱa = Φ 1 ϱ, Verteilungsfunktion von L % (Vasicek-Verteilung): P[ L % l] = Φ ( 1 ϱ Φ 1 (l) Φ 1 (p) ϱ ), l (0, 1). Dichte der Vasicek-Verteilung: 1 ϱ ϱ l d d l P[ L % l] = (45.1) exp ( 1 2 { Φ 1 (l) 2 ( 1 ϱ Φ 1 (l) Φ 1 (p) ϱ ) 2 }). 45

13 4. Approximationsgüte im ASRF-Modell - Forts. Exakte Verteilung des Portfolio-Verlusts L (vgl. (29.1)) mittels Monte-Carlo-Simulation. Simulation von n + 1 (n Anzahl der Kreditnehmer) unabhängigen, gleich auf (0, 1) verteilten Zufallsgrößen U 1,..., U n, V. Transformation in unabhängige, standard-normalverteilte Zufallsgrößen: ξ 1 = Φ 1 (U 1 ),..., ξ n = Φ 1 (U n ), S = Φ 1 (V ). L = Summe über alle ν A, für die gilt: ϱa S + 1 ϱ A ξ A < Φ 1 (p A ) = c A. Interpretation: Verlust des Schuldners A über kritischer Grenze Approximationsgüte im ASRF-Modell - Forts. Semi-homogenes Portfolio mit 1000 Krediten, p = 10%, ϱ = 0.1: 1. Homogener Fall: alle Kredite mit gleichem Betrag 1. Herfindahl-Index: 0.001, R 2 = Heterogener Fall: 950 Kredite mit Betrag 1, 40 mit 10, 9 mit 50 und 1 mit 250. Herfindahl-Index: 0.021, R 2 = Zwei-Faktor-Fall: alle Kredite mit gleichem Betrag 1, je 500 allein von zwei unabhängigen Faktoren abhängig. Herfindahl-Index: 0.001, R 2 = , bei Approximation durch asymptotisches Zwei-Faktor- Modell Approximationsgüte im ASRF-Modell - Forts. 4. Approximationsgüte im ASRF-Modell - Forts. Vasicek-Approximation in allen drei Fällen gleich, je Simulationsläufe. Quantilsniveau in %: Quantil in % des Gesamtkreditbetrags: Approximation Fall Fall Fall Density Sector, homogeneous case Approximation Simulation Loss in percent of total exposure 48 49

14 4. Approximationsgüte im ASRF-Modell - Forts. 1 Sector, heterogeneous case 4. Approximationsgüte im ASRF-Modell - Forts. Two independent sectors Density Approximation Simulation Loss in percent of total exposure Density Simulation 1 factor approximation 2 factor approximation Loss in percent of total exposure Approximationsgüte im ASRF-Modell - Forts. 5. Der Satz von De Finetti Beobachtungen: Im homogenen Ein-Faktor-Fall ist die Vasicek-Approximation fast perfekt ausreichende Portfoliogröße vorausgesetzt. Im heterogenen Ein-Faktor-Fall unterschätzt die Vasicek-Approximation Quantilswerte zu hohen Niveaus. Im homogenen Zwei-Faktor-Fall überschätzt die Approximation mit dem Ein-Faktor-Vasicek-Modell Quantilswerte zu hohen Niveaus. Wie gut ist das ASRF-Modell (vgl. Folie 39)? Unklar: Effekt der Annahme der bedingten Unabhängigkeit. Kapitel 4 Für heterogene Portfolios ist das ASRF-Modell schlechter. Vermutung: Asymptotik führt zu Risikounterschätzung. Berechtigung der Ein-Faktor-Annahme? 52 53

15 5. Der Satz von De Finetti - Forts. 5. Der Satz von De Finetti - Forts. Messraum (S, S). Für n N: Eine Permutation der Länge n ist eine bijektive Abbildung π : {1,..., n} {1,..., n}. Ω = S = S S... Projektionen (X 1, X 2,...) X k : Ω S, (s 1, s 2,...) s k. σ-algebren F = σ(x k : k N), F n = σ(x k : k n). Für Permutationen π der Länge n: F-F-messbare Abbildung X π : Ω Ω, (s 1,..., s n, s n+1,...) (s π(1),..., s π(n), s n+1,...). (55.1) E n = {A F : X 1 π (A) = A für alle π der Länge n} ist die σ- Algebra der n-austauschbaren Ereignisse. E n+1 E n. P Wahrscheinlichkeitsmaß auf (Ω, F). E = n=1 E n ist die σ-algebra der austauschbaren Ereignisse Der Satz von De Finetti - Forts. Satz 56.1 (Satz von De Finetti) Seien (Ω, F, P) und (X 1, X 2,...) wie auf Folie 54. E F sei die σ-algebra der austauschbaren Ereignisse wie auf Folie 55. (X 1, X 2,...) sei austauschbar, d.h. für jede Permutation π endlicher Länge und jedes Ereignis A F gelte (mit X π wie in (55.1)): P[(X 1, X 2,...) A] = P[X π A]. (56.1) Bedingt auf E sind dann X 1, X 2,... unabhängig und identisch verteilt, d.h. für beliebige n N und A 1,..., A n S gilt P[X 1 A 1,..., X n A n E] = n P[X 1 A k E]. (56.2) k=1 5. Der Satz von De Finetti - Forts. Beweis von Satz 56.1: Für 1 k n sei I k,n = {(i 1,..., i k ) : 1 i 1,..., i k n, i j i l für j l}. Es gilt dann: I k,n = n (n 1)... (n k + 1) = (n) k. Definiere für ϕ : S k R messbar und beschränkt A n (ϕ) = 1 ϕ(x (n) i1,..., X ik ). (57.1) k (i 1,...,i k ) I k,n Es gilt A n (ϕ) = A n (ϕ) X π für beliebige Permutationen der Länge n X 1 ( π An (ϕ) 1 (M) ) = (A n (ϕ) X π ) 1 (M) = A n (ϕ) 1 (M) A n (ϕ) ist E n -messbar

16 5. Der Satz von De Finetti - Forts. Lemma 58.1 Für alle (i 1,..., i k ) I k,n und alle beschränkten und messbaren Funktionen ϕ : S k R gilt: E[ϕ(X i1,..., X ik ) E n ] = E[ϕ(X 1,..., X k ) E n ]. Beweis: Wähle eine Permutation π : {1,..., n} {1,..., n}, so dass gilt: π(j) = i j, j = 1,..., k. Sei A E n beliebig. Wegen (56.1) ergibt sich dann E[ϕ(X i1,..., X ik ) 1 A ] = E[ϕ(X i1,..., X ik ) 1 A X π ] und daraus die Behauptung. = E[ϕ(X π(1),..., X π(k) ) 1 A X π ] = E[ϕ(X 1,..., X k ) 1 A ] Der Satz von De Finetti - Forts. Aus Lemma 58.1 und der E n -Messbarkeit von A n (ϕ) folgt: A n (ϕ) = E[A n (ϕ) E n ] = 1 E[ϕ(X (n) i1,..., X ik ) E n ] k (i 1,...,i k ) I k,n Konvergenzsatz für Rückwärts-Martingale = E[ϕ(X 1,..., X k ) E n ]. (59.1) Y L 1, A 1 A 2... lim E[Y A n n ] = E[Y A n ] fast sicher. (59.2) n=1 (Satz (6.3) aus Durrett, R. (1995) Probability: Theory and Examples. 2nd Edition. Duxbury Press, Belmont) Aus (59.1) und (59.2) folgt lim n A n(ϕ) = E[ϕ(X 1,..., X k ) E] fast sicher. (59.3) Der Satz von De Finetti - Forts. Für messbare und beschränkte Funktionen f : S k 1 R und g : S R gilt: n (n) k 1 A n (f) n A n (g) = f(x i1,..., X ik 1 ) g(x i ) (i 1,...,i k 1 ) I k 1,n i=1 = f(x i1,..., X ik 1 )g(x ik ) (60.1) (i 1,...,i k ) I k,n Definiere und k 1 + f(x i1,..., X ik 1 ) g(x ij ). (i 1,...,i k 1 ) I k 1,n j=1 ϕ(s 1,..., s k ) = f(s 1,..., s k 1 ) g(s k ) (60.2) ϕ j (s 1,..., s k 1 ) = f(s 1,..., s k 1 ) g(s j ). (60.3) Der Satz von De Finetti - Forts. Mit den Bezeichnungen aus (60.2) und (60.3) folgt wegen (n) k 1 n (n) k = aus (60.1) die Gleichheit A n (ϕ) = n n k + 1 und (n) k 1 (n) k = n n k + 1 A 1 n(f) A n (g) n k + 1 Für n folgt wegen (59.3) aus (61.1): k 1 1 n k + 1 A n (ϕ j ). (61.1) j=1 E[f(X 1,..., X k 1 ) g(x k ) E] = E[f(X 1,..., X k 1 ) E] E[g(X k ) E]. Mit Induktion über k folgt daraus für alle messbaren und beschränkten Abbildungen f 1,..., f k : S R, dass gilt k k E f j (X j ) E = E[f j (X j ) E]. j=1 j=1 Mit Lemma 58.1 ergibt sich daraus (56.2). 61

17 5. Der Satz von De Finetti - Forts. Korollar 62.1 Sei (Y 1, Y 2,...) eine {0, 1}-wertige, austauschbare Folge von Zufallsgrößen, d.h. es gelte für jede Permutation π der Länge n und jedes Tupel (i 1,..., i n ) {0, 1} n : P[Y π(1) = i 1,..., Y π(n) = i n ] = P[Y 1 = i 1,..., Y n = i n ]. Dann gibt es eine [0, 1]-wertige Zufallsgröße Z (eventuell auf einem anderen Wahrscheinlichkeitsraum), so dass gilt: [ nj=1 i P[Y 1 = i 1,..., Y n = i n ] = E Z j (1 Z) n ] n j=1 i j. Beweis: Ohne Einschränkung der Allgemeinheit sei (Y 1, Y 2,...) definiert auf Ω = {0, 1}. Nach Satz 56.1 gilt dann: P[Y 1 = i 1,..., Y n = i n ] = E [ P[Y 1 = i 1,..., Y n = i n E] ] [ nj=1 i = E P[Y 1 = 1 E] j P[Y 1 = 0 E] n ] n j=1 i j. Wähle also Z = P[Y 1 = 1 E] Der Satz von De Finetti - Forts. Bemerkung 63.1 Im semi-homogenen Fall des ASRF-Modells (Folien 39 und 45) ist die Zufallsgröße Z aus Korollar 62.1 gegeben durch ( Φ 1 (p) ) ϱ S Z = Φ mit S N(0, 1). 1 ϱ Z ist dann also Vasicek-verteilt. Wenn n die Anzahl der Kreditnehmer bezeichnet, ergibt sich daraus und aus (25.2) für die Wahrscheinlichkeit, genau l n Ausfälle zu beobachten: P[N = l] = ( ) ( n Φ l ϕ(z) Φ 1 (p) ) l ϱ S 1 ϱ (1 Φ ( Φ 1 (p) )) n l ϱ S 1 ϱ dz. (63.1) Dabei bezeichnet ϕ(z) die Dichte der Standardnormalverteilung Der Satz von De Finetti - Forts. 6. ML-Schätzung mit der Vasicek-Verteilung Bedeutung von Homogenität eines Portfolios in der Praxis? Variante 1: identische Ausfallwahrscheinlichkeiten, identische gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeiten von Paaren. Variante 2: Weitgehend identische Charakteristika aller Kreditnehmer. Deutung von Variante 1 als Austauschbarkeit im Sinne von (56.1) naheliegend. Aber: Satz 62.1 verlangt eine unendliche Folge von {0, 1}-Zufallsgrößen. Also Anwendbarkeit auf sehr große Portfolios? Dann noch Homogenität gegeben? 64 Gegeben: Homogenes (vgl. Folie 64) Kreditportfolio. T Jahre (z. Bsp. T = 5) Ausfallhistorie. Viele Kreditnehmer. Problem: Schätzung der Ausfallwahrscheinlichkeit. Einschätzung der Abhängigkeit im Portfolio. Ansatz: ASRF-Modell wie auf Folie 39, mit gleich großen Gewichten für alle Kreditnehmer. 65

18 6. ML-Schätzung mit der Vasicek-Verteilung - Forts. Umsetzung: Ausfallraten Q 1,..., Q T (0, 1) unabhängig und identisch verteilt. Realisierungen q 1,..., q T (0, 1) gegegeben. Q i Vasicek-verteilt, d.h. P[Q i q] = Φ ( 1 ϱ Φ 1 (q) Φ 1 (p) ϱ ), q (0, 1). (66.1) Zu schätzende Parameter: 6. ML-Schätzung mit der Vasicek-Verteilung - Forts. Satz 67.1 (ML-Schätzer für p und ϱ) q 1,..., q T (0, 1) seien Realisierungen von unabhängig und identisch Vasicek-verteilten Zufallsgrößen Q 1,..., Q T wie auf Folie 66. Dann existiert der Maximum- Likelihood-Schätzer ( p, ϱ) des Parametervektors (p, ϱ), und es gilt: p = Φ ( ) z, 1+z 2 z 2 (67.1) ϱ = z2 z 2 1+z 2 z 2, mit z = T 1 Tt=1 Φ 1 (q t ) und z 2 = T 1 Tt=1 Φ 1 (q t ) 2. (67.2) Ausfallwahrscheinlichkeit p. Korrelation ϱ. Bemerkung 67.2 Im allgemeinen gilt p 1 T Tt=1 q t ML-Schätzung mit der Vasicek-Verteilung - Forts. Beweis von Satz 67.1: Q 1,..., Q T kann geschrieben werden als (vgl. (45.1)) mit S 1,..., S T N(µ, σ 2 ) unabhängig und Q t = Φ(S t ), t = 1,..., T, (68.1) µ = Φ 1 (p) 1 ϱ und σ 2 = ϱ 1 ϱ. (68.2) Allgemein: X Zufallsgröße mit Dichte φ, h streng monoton wachsend und differenzierbar h(x) hat die Dichte φ(h 1 (u)) h (h 1 (u)). Bezeichne ϕ µ,σ die Dichte von N(µ, σ 2 ) und sei ϕ = ϕ 0,1. Dann folgt aus (68.1): Q t hat die Dichte ϕ µ,σ(φ 1 (q)) ϕ(φ 1 (q)). (68.3) ML-Schätzung mit der Vasicek-Verteilung - Forts. Fortsetzung Beweis von Satz 67.1: Aus (68.3) ergibt sich für die Log-Likelihood-Funktion einer Ausfallratenstichprobe q 1,..., q T : log L(µ, σ q 1,..., q T ) = 1 T 2 Φ 1 (q t ) 2 1 T ( Φ 1 ) (q t ) µ 2. 2 σ (69.1) t=1 t=1 Maximierung von (69.1) bezüglich (µ, σ) ergibt die bekannten ML- Schätzer bei Normalverteilungen: ˆµ = T 1 T q t und ˆσ 2 = 1 T T qt 2 ˆµ 2. (69.2) t=1 t=1 Einsetzen dieser Werte in (68.2) und Auflösen nach p und ϱ ergibt die eindeutige Lösung (67.1). 69

19 6. ML-Schätzung mit der Vasicek-Verteilung - Forts. Aus (67.2) ergibt sich, dass der ML-Schätzer der Vasicek-Verteilung nur eingesetzt werden kann, wenn die beobachteten Ausfallraten alle größer als Null sind. Modifizierter ML-Schätzer: Ersetze Ausfallraten 0 durch 1/n (n Gesamtzahl der Kreditnehmer). Konservativ, überschätzt die Ausfallwahrscheinlichkeit. Alternativer Ansatz: Momentenmethode Bestimme k Parameter der Verteilung durch Gleichsetzen der ersten k Verteilungsmomente mit den entsprechenden Stichprobenmomenten. 6. ML-Schätzung mit der Vasicek-Verteilung - Forts. Lemma 71.1 (Momente der Vasicek-Verteilung) Sei L eine Vasicek-verteilte Zufallsgröße (Folie 45) mit Parametern p und ϱ. Dann gilt für alle n N: E[L n ] = Φ n (Φ 1 (p),..., Φ 1 (p); ϱ). (71.1) Dabei steht Φ(z 1,..., z n ; ϱ) für die Verteilungsfunktion der n-variaten Normalverteilung mit Mittelwert µ = 0. R n 0 und Kovarianzmatrix mit c i,i = 1 und c i,j = ϱ, i j. C = c i,j R n n ML-Schätzung mit der Vasicek-Verteilung - Forts. Beweis von Lemma 71.1: Nach Folie 45 gilt für eine standardnormalverteilte Größe S: [ E[L n ] = E Φ ( Φ 1 (p) ϱ S ) ] n 1 ϱ = E [ P[ ϱ S + 1 ϱ ξ Φ 1 (p) S] n] mit ξ N(0, 1) und unabhängig von S = E [ n j=1 P[ ϱ S + 1 ϱ ξ j Φ 1 (p) S] ] 6. ML-Schätzung mit der Vasicek-Verteilung - Forts. Lemma 73.1 (Bivariate Normalverteilung, Ableitung nach ϱ) Es bezeichne x y ( Φ 2 (x, y; ϱ) = 1 exp s2 2 ϱ s t+t 2 ) 2 π 1 ϱ 2 2 (1 ϱ 2 dt ds ) x y = ϕ 2(s, t; ϱ) dt ds die Verteilungsfunktion der bivariaten Standard-Normalverteilung mit Korrelation ϱ. Dann gilt für ϱ ( 1, 1): mit ξ 1,..., ξ n N(0, 1) und unabhängig von S = E [ P[ ϱ S + 1 ϱ ξ j Φ 1 (p), j = 1,..., n S] ] = P[ ϱ S + 1 ϱ ξ j Φ 1 (p), j = 1,..., n] Behauptung, da ϱ S + 1 ϱ ξ j N(0, 1) und corr[ ϱ S + 1 ϱ ξ j, ϱ S + 1 ϱ ξ l ] = ϱ, j l. Φ 2 ϱ (x, y; ϱ) = ϕ 2(x, y; ϱ). Korollar 73.2 ϱ Φ 2 (x, y; ϱ), [ 1, 1] (0, 1) wächst streng monoton

20 6. ML-Schätzung mit der Vasicek-Verteilung - Forts. Beweis von Lemma 73.1: Mit der Produktregel: Φ 2 (x, y; ϱ) = ϱ ϱ 1 ϱ 2 Φ 2(x, y; ϱ) x y + 1 (1 ϱ 2 ) 2 (s t (1 + ϱ 2 ) ϱ s 2 ϱ t 2 ) ϕ 2 (s, t; ϱ) dt ds = I + II. (74.1) Mit s t (1 + ϱ 2 ) ϱ s 2 ϱ t 2 = (s ϱ t) (t ϱ s) durch partielle Integration: y II = 1 1 ϱ 2 (t ϱ x) ϕ 2 (x, t; ϱ) dt ϱ 1 ϱ 2 Φ 2(x, y; ϱ) = ϕ 2 (x, y; ϱ) ϱ 1 ϱ 2 Φ 2(x, y; ϱ) Einsetzen für II in (74.1) liefert die Behauptung. 6. ML-Schätzung mit der Vasicek-Verteilung - Forts. Bemerkung 75.1 Momentenschätzer der Vasicek-Verteilung Ausfallraten Q 1,..., Q T [0, 1] und Realisierungen q 1,..., q T [0, 1] wie auf Folie < T t=1 q 2 t < n. Schätzer ( p, ϱ) für (p, ϱ) aus p = T 1 T q t und Φ 2 (Φ 1 ( p), Φ 1 ( p); ϱ) = 1 T T qt 2. (75.1) t=1 t=1 Eindeutige Lösbarkeit von (75.1) aus Korollar ML-Schätzung mit der Vasicek-Verteilung - Forts. Beispiel 76.1 Vergleich ML- und Momentenschätzer Simuliere (unabhängig) mal T = 5 und T = 20 mal Vasicek- Verteilung mit Parametern p = 0.05 und ϱ = 0.1. T = 5: Schätzer: mittl. p p in % Std.-Abw. p mittl. ϱ ϱ p ϱ in % Std.-Abw. ϱ ML 24,45 0, ,71 0,0506 Moment 24,52 0, ,60 0,0478 T = 20: Schätzer: mittl. p p in % Std.-Abw. p mittl. ϱ ϱ p ϱ in % Std.-Abw. ϱ ML 12,40 0, ,80 0,0277 Moment 12,42 0, ,44 0,0330 Für p beide Schätzer ungefähr gleich, bei ϱ ist ML-Schätzer mit zunehmender Länge deutlich besser, aber immer noch schlecht ML-Schätzung mit der Vasicek-Verteilung - Forts. ML-Schätzer aus Satz 67.1 und Momentenschätzer aus Bemerkung 75.1 für p und ϱ beruhen auf asymptotischer Verteilung der Ausfallrate, d.h. es wird ein sehr großes Portfolio vorausgesetzt. Die asymptotische Verteilung berücksichtigt nur die systemische Variation der Ausfallrate. Bei den endlich großen Praxisportfolios kommt idiosynkratische / individuelle Variation der einzelnen Ausfallindikatoren hinzu. Folge: Überschätzung der Korrelation ϱ. Momentenschätzer kann für Endlichkeitskorrektur modifiziert werden. 77

21 6. ML-Schätzung mit der Vasicek-Verteilung - Forts. Gegeben: Für Perioden t = 1,..., T Gesamtkreditnehmerzahlen n 1,..., n T und Ausfallzahlen d 1,..., d T. Modell: Systemische Faktoren S 1,..., S T unabhängig und identisch verteilt. In Periode t Ausfallereignisse D 1,t, D 2,t,..., unabhängig von S 1,..., S t 1, S t+1,..., S T und unabhängig gegeben S t. Identische Ausfallwahrscheinlichkeit p = P[D i,t ], t = 1,..., T, i = 1, 2,... Interpretation von n 1,..., n T als Realisierungen von unabhängigen, identisch verteilten Zufallsanzahlen η 1,..., η T, unabhängig von allen S t und D i,t. 6. ML-Schätzung mit der Vasicek-Verteilung - Forts. Weitere Modellannahmen: Homogenes Einfaktormodell wie in (39.1), d.h. D i,t = { ϱ S t + 1 ϱ ξ i,t Φ 1 (p)}. (79.1) In (79.1) alle S t und ξ i,t unabhängig und standard-normalverteilt und unabhängig von η 1,..., η T. Folgerung: Jährliche Ausfallzahlen N 1,..., N T sind unabhängig und identisch verteilt. mit N t = η t j=1 1 D j,t E[N t ] = E [ E[N t η t ] ] = p E[η 1 ]. (79.2) ML-Schätzung mit der Vasicek-Verteilung - Forts. 6. ML-Schätzung mit der Vasicek-Verteilung - Forts. Varianz von N t : var[n t ] = E [ var[n t η t ] ] + var [ E[N t η t ] ] (80.1) = E [ var [ n ] ] [ [ n ] ] 1 n=ηt Dj,t + var E 1 n=ηt Dj,t j=1 mit Folie 44, Fall u A = 1 = u B j=1 = E[η 1 ] p (1 p) + E[η 1 (η 1 1)] ( Φ 2 (Φ 1 (p), Φ 1 (p); ϱ) p 2) + var[η 1 ] p 2 = Φ 2 (Φ 1 (p), Φ 1 (p); ϱ) ( E[η 2 1 ] E[η 1] ) + E[η 1 ] p E[η 2 1 ] p2. Mit (79.2) und (80.1) können Momentengleichungen für Schätzer p und ϱ von p und ϱ aufgestellt werden. Schätzer µ und σ 2 für E[N t ] = E[N 1 ] und var[n t ] = var[n 1 ]: µ = T 1 T d t t=1 (81.1) σ 2 = T 1 1 T (d t µ) 2. t=1 Schätzer ν und ν 2 von E[η 1 ] und E[η1 2]: ν = T 1 T n t t=1 (81.2) ν 2 = T 1 T n 2 t. t=

22 6. ML-Schätzung mit der Vasicek-Verteilung - Forts. Schätzer p von Ausfallwahrscheinlichkeit p (aus (79.2)): p = µ ν. (82.1) Schätzer ϱ von Korrelation ϱ (aus (80.1)) ergibt sich durch numerische Lösung von: Φ 2 (Φ 1 ( p), Φ 1 ( p); ϱ) = σ2 ν p + ν 2 p 2 ν 2. (82.2) ν p, σ 2 wie in (81.1), ν, ν 2 wie in (81.2). Hat (82.2) immer eine Lösung? Falls nicht, Rückgriff auf Momentenschätzer wie in Bemerkung 75.1? 6. ML-Schätzung mit der Vasicek-Verteilung - Forts. Beispiel 83.1 Momentenschätzer mit Endlichkeitskorrektur Simuliere unabhängig mal n 1 = 100, n 2 = 50, n 3 = 200, n 4 = 50, n 5 = 100) (Nicht-)Ausfallereignisse wie auf Folie 79. Dabei ϱ = 0.1 und p = 0.05 und p = p = 0.05, Gleichung (82.2) lösbar in 9992 Fällen: mittl. p p in % Std.-Abw. p mittl. ϱ ϱ in % Std.-Abw. ϱ 31,56 0, ,57 0,0948 p = 0.005, Gleichung (82.2) lösbar in 8566 Fällen: mittl. p p in % Std.-Abw. p mittl. ϱ ϱ in % Std.-Abw. ϱ 59,06 0, ,33 0,0888 Bei p = 0.05 (82.2) nicht lösbar, weil rechte Seite > p. Bei p = (82.2) nicht lösbar, weil rechte Seite 0 (Fälle ohne Ausfallbeobachtung) Portfolios mit wenigen Ausfällen 7. Portfolios mit wenigen Ausfällen - Forts. Pluto, K. und D. Tasche (2005) Thinking positively. Risk 18(8) (August 2005), In manchen Kreditportfolios werden über Jahre hinweg keine oder nur sehr wenige Ausfälle beobachtet. Z. Bsp. bei Staaten, Projektfinanzierungen oder Hypotheken. Konsequenz: geschätzte Ausfallrate 0% oder nahe bei 0. Glaubwürdigkeit dieser Schätzung? Der Basel-II-IRB -Ansatz verlangt positive Ausfallwahrscheinlichkeiten. IRB = Internal Ratings Based 84 Häufig ist eine Einteilung in Ratingklassen vorhanden, die Unterschiede in der Bonität der Kreditnehmer widerspiegeln soll. Solche Ratingsysteme werden anhand ökonomischer Betrachtungen der Kreditnehmerqualität entwickelt. Anforderung: Die unterschiedlichen Bonitäten der Ratingklassen sollten zu unterschiedlichen Schätzungen der Ausfallwahrscheinlichkeiten der Klassen führen. Anforderung: Monotonie der Ausfallwahrscheinlichkeiten, d.h. je besser die Bonität, desto kleiner die Ausfallwahrscheinlichkeit. 85

23 7. Portfolios mit wenigen Ausfällen - Forts. 7. Portfolios mit wenigen Ausfällen - Forts. Lösungsansatz: Mapping auf externe Ratings (z. Bsp. Moody s, S & P) Korrespondenz zwischen internen und externen Ratingklassen anhand qualitativer Kriterien. Übernahme der extern beobachteten Ausfallraten. Lösungsansatz: Verteilen einer extern geschätzten durchschnittlichen Ausfallwahrscheinlichkeit auf die Ratingklassen. Externe Schätzung z. Bsp. von anderen Banken mit größeren Portfolios. Verteilung z. Bsp. durch Forderung, dass Ausfallwahrscheinlichkeiten von Klasse zu Klasse um konstanten Faktor zunehmen. 86 Verlässlichkeit von Mapping- und Verteilen -Methode? Problem: Finde eine statistisch begründbare Methode zur Schätzung von Ausfallwahrscheinlichkeiten in Portfolios ohne Ausfälle. Grundidee: Benutze obere Konfidenzgrenzen. Je mehr Kreditnehmer nicht ausgefallen sind, desto kleiner wird die Konfidenzgrenze sein. Aber: Klassenweise Schätzung mit Konfidenzgrenzen führt im allgemeinen zu nicht-monotonen Schätzwerten Portfolios mit wenigen Ausfällen - Forts. Ansatz: Prinzip der vorsichtigsten Schätzung. Annahme: Das Ranking der Kreditnehmer durch die gegebenen Ratingklassen ist korrekt und auch die Ausfallwahrscheinlichkeiten sind entsprechend monoton. Bezeichne p l die Ausfallwahrscheinlichkeit von Ratingklasse l. Bei k Ratingklassen also p 1 p 2... p k. Worst case für p 1 : p 1 = p 2 =... = p k. Worst case für p l : p l 1 < p l =... = p k. 7. Portfolios mit wenigen Ausfällen - Forts. Weitere Annahmen: k Ratingklassen. Klasse 1 mit bester Bonität, Klasse k mit geringster Bonität. Beobachtungen (zunächst) für ein Jahr. Klasse l mit n l Kreditnehmern. In Klasse l wurden d l Ausfälle beobachtet. Alle Kreditnehmer von Klasse l haben dieselbe (zu schätzende) Ausfallwahrscheinlichkeit p l. Vorläufig: Die Ausfallereignisse sind stochastisch unabhängig

24 7. Portfolios mit wenigen Ausfällen - Forts. Vorsichtigste Schätzung von p l : Da nach Annahme p l =... = p k, können die Klassen l,..., k als ein homogenes Portfolio zusammengefasst werden. Also Portfolio mit k i=l n i Kreditnehmern und k i=l d i Ausfällen. Gebe Konfidenzwahrscheinlichkeit γ vor (z. Bsp. 50%, 75% oder 99%). Einseitiges Konfidenzintervall I l,γ zum Niveau γ: Menge aller π, so dass Hypothese p l π zum Niveau 1 γ nicht abgelehnt werden kann. I l,γ = { π : P π [ #Ausfälle k i=l d i] > 1 γ }. (90.1) 7. Portfolios mit wenigen Ausfällen - Forts. Unabhängigkeitsannahme # Ausfälle ist binomial-verteilt. [ k P π #Ausfälle i=l d ] i = d l +...+d k i=0 ( ) nl +...+n k i π i (1 π) n l+...+n k i. (91.1) P π [ #Ausfälle ki=l d i ] fällt streng monoton in π und ist stetig. Die Ungleichung in (90.1) hat daher eine eindeutig bestimmte größte Lösung sup I l,γ = ˆp l, die obere Konfidenzgrenze zum Niveau γ für p l. ˆp l ist die vorsichtigste Schätzung (zum Niveau γ) für p l Portfolios mit wenigen Ausfällen - Forts. 7. Portfolios mit wenigen Ausfällen - Forts. Beispiel 92.1 Portfolio ohne Ausfälle 3 Ratingklassen, k = 3. Bestimmung von ˆp 2 als größte Lösung von 1 γ (1 p 2 ) n 2+n 3 p2 1 (1 γ) 1/(n 2+n 3 ). Besetzungszahlen: n 1 = 100, n 2 = 400, n 3 = 300. Bestimmung von ˆp 3 als größte Lösung von 1 γ (1 p 3 ) n 3 p 3 1 (1 γ) 1/n 3. Keine Ausfälle beobachtet: d 1 = d 2 = d 3 = 0. Bestimmung von ˆp 1 als größte Lösung von 1 γ (1 p 1 ) n 1+n 2 +n 3 p1 1 (1 γ) 1/(n 1+n 2 +n 3 ). γ 50% 75% 90% 95% 99% 99.9% ˆp % 0.17% 0.29% 0.37% 0.57% 0.86% ˆp % 0.20% 0.33% 0.43% 0.66% 0.98% ˆp % 0.46% 0.76% 0.99% 1.52% 2.28% 92 93

25 7. Portfolios mit wenigen Ausfällen - Forts. Lemma 94.1 Sei X eine binomial-verteilte Zufallsgröße mit Größenparameter n und Erfolgswahrscheinlichkeit p. Dann gilt für jede ganze Zahl 0 k n 1 k ( n i ) p i (1 p) n i = P[X k] i=0 = 1 P[Y p] (94.1) = n! k! (n k 1)! 1 p tk (1 t) n k 1 dt. In (94.1) bezeichnet Y eine β-verteilte Zufallsgröße mit Parametern α = k + 1 und β = n k. D.h. es gilt P[Y y] = Γ(α+β) y Γ(α) Γ(β) 0 tα 1 (1 t) β 1 dt Portfolios mit wenigen Ausfällen - Forts. Beweis von Lemma 94.1: d k ( n i ) p i (1 p) n i dp i=0 = n (1 p) n 1 k + ( n ( i ) i p i 1 (1 p) n i (n i) p i (1 p) n i 1) i=1 = n! k! (n k 1)! pk (1 p) n k 1. Folgerung (beachte k n 1): 1 1 n! k! (n k 1)! p tk (1 t) n k 1 k dt = ( n i ) t i (1 t) n i i=0 p k = ( n i ) p i (1 p) n i. i= Portfolios mit wenigen Ausfällen - Forts. Beispiel 96.1 Portfolio mit wenigen Ausfällen 7. Portfolios mit wenigen Ausfällen - Forts. Bestimmung von ˆp 2 als größte Lösung von 3 Ratingklassen, k = 3. 1 γ 3 i=0 ( ) n2 +n 3 i p i 2 (1 p 2 ) n 2+n 3 i. Besetzungszahlen: n 1 = 100, n 2 = 400, n 3 = 300. Bestimmung von ˆp 3 als größte Lösung von Drei Ausfälle beobachtet: d 1 = 0, d 2 = 2, d 3 = 1. Bestimmung von ˆp 1 als größte Lösung von 1 γ 3 i=0 Mit Lemma 94.1 als Quantil einer β-verteilung. ( ) n1 +n 2 +n 3 i p i 1 (1 p 1 ) n 1+n 2 +n 3 i. 1 γ 3 i=0 ( n3 i ) p i 3 (1 p 3 ) n 3 i. γ 50% 75% 90% 95% 99% 99.9% ˆp % 0.65% 0.83% 0.97% 1.25% 1.62% ˆp % 0.73% 0.95% 1.10% 1.43% 1.85% ˆp % 0.90% 1.29% 1.57% 2.19% 3.04% 96 97

26 7. Portfolios mit wenigen Ausfällen - Forts. Vergleich Beispiele 92.1 und 96.1: Keine Ausfälle: γ 50% 75% 90% 95% 99% 99.9% ˆp % 0.17% 0.29% 0.37% 0.57% 0.86% ˆp % 0.20% 0.33% 0.43% 0.66% 0.98% ˆp % 0.46% 0.76% 0.99% 1.52% 2.28% 3 Ausfälle: γ 50% 75% 90% 95% 99% 99.9% ˆp % 0.65% 0.83% 0.97% 1.25% 1.62% ˆp % 0.73% 0.95% 1.10% 1.43% 1.85% ˆp % 0.90% 1.29% 1.57% 2.19% 3.04% Unterschied nimmt mit wachsendem Konfidenzniveau stark ab. Einfluss der Ausfallzahlen deutlich erkennbar Portfolios mit wenigen Ausfällen - Forts. Vorsichtigste Schätzung bei stochastischer Abhängigkeit: Annahmen wie auf Folie 89. Unabhängigkeitsannahme wird durch Ein-Faktor-Abhängigkeit wie in (79.1) ersetzt. (212.1) zu ersetzen durch [ k P π #Ausfälle i=l d ] i (99.1) kj=l d j ( kj=l ) = ϕ(y) n j G(π, ϱ, y) i kj=l n (1 G(π, ϱ, y)) j i d y. i i=0 ( Φ G(π, ϱ, y) = Φ 1 (π) ϱ y 1 ϱ ) Portfolios mit wenigen Ausfällen - Forts. Beispiel Portfolio ohne Ausfälle, abhängiger Fall 3 Ratingklassen, k = 3. Besetzungszahlen: n 1 = 100, n 2 = 400, n 3 = 300. Keine Ausfälle beobachtet: d 1 = d 2 = d 3 = 0. Korrelation ϱ = 0.12 (Mindestwert aus Basel II für Unternehmen). 7. Portfolios mit wenigen Ausfällen - Forts. Bestimmung von ˆp 2 als größte Lösung von 1 γ ϕ(y) ( 1 Φ ( Φ 1 (p 2 ) ϱ y 1 ϱ ) ) n 2 +n 3 d y. Bestimmung von ˆp 3 als größte Lösung von ( 1 γ ϕ(y) 1 Φ ( Φ 1 (p 3 ) ϱ y) ) n 3 d y. 1 ϱ Bestimmung von ˆp 1 als größte Lösung von ( 1 γ ϕ(y) 1 Φ ( Φ 1 (p 1 ) ϱ y) ) n 1 +n 2 +n 3 dy. 1 ϱ γ 50% 75% 90% 95% 99% 99.9% ˆp % 0.40% 0.86% 1.31% 2.65% 5.29% ˆp % 0.45% 0.96% 1.45% 2.92% 5.77% ˆp % 0.92% 1.89% 2.78% 5.30% 9.84%

27 7. Portfolios mit wenigen Ausfällen - Forts. Beispiel Portfolio mit 3 Ausfällen, abhängiger Fall 3 Ratingklassen, k = 3. Besetzungszahlen: n 1 = 100, n 2 = 400, n 3 = 300. Drei Ausfälle beobachtet: d 1 = 0, d 2 = 2, d 3 = 1. Korrelation ϱ = 0.12 (Mindestwert aus Basel II für Unternehmen). Bestimmung von ˆp 1 als größte Lösung von 3 ( ) 1 γ ϕ(y) n1 +n 2 +n 3 G(p1, ϱ, y) i (1 G(p i 1, ϱ, y)) n 1+n 2 +n 3 i dy. i=0 ( Φ G(π, ϱ, y) = Φ 1 (π) ϱ y 1 ϱ ). Analog für ˆp 2 und ˆp Portfolios mit wenigen Ausfällen - Forts. Vergleich abhängiger Fall / unabhängiger Fall: 3 Ausfälle, Abhängigkeit: γ 50% 75% 90% 95% 99% 99.9% ˆp % 1.42% 2.50% 3.42% 5.88% 10.08% ˆp % 1.59% 2.77% 3.77% 6.43% 10.92% ˆp % 1.76% 3.19% 4.41% 7.68% 13.14% 3 Ausfälle, Unabhängigkeit: γ 50% 75% 90% 95% 99% 99.9% ˆp % 0.65% 0.83% 0.97% 1.25% 1.62% ˆp % 0.73% 0.95% 1.10% 1.43% 1.85% ˆp % 0.90% 1.29% 1.57% 2.19% 3.04% Kein Ausfall, Abhängigkeit: γ 50% 75% 90% 95% 99% 99.9% ˆp % 0.40% 0.86% 1.31% 2.65% 5.29% ˆp % 0.45% 0.96% 1.45% 2.92% 5.77% ˆp % 0.92% 1.89% 2.78% 5.30% 9.84% Portfolios mit wenigen Ausfällen - Forts. Zwischenresume: 7. Portfolios mit wenigen Ausfällen - Forts. Vorsichtigste Schätzung mit Korrekturfaktor: Bisher Schätzmethode für Ein-Perioden-Stichprobe Unabhängigkeit oder Vorgabe einer festen Korrelation Beobachtung: Falls positive Anzahl von Ausfällen beobachtet wurde, sind die Konfidenzgrenzen (für alle Klassen) immer größer als die portfolio-weite Ausfallhäufigkeit. Unerwünschter Effekt? Mehr-Perioden-Fall? Betrachte Erweiterungen mit Tendenz-Korrektur-Faktor und für mehrere Perioden. 104 Beispiel 96.1: Portfolioweite Ausfallrate 3/800 = 0.375%. ˆp 1 bei γ = 50%: 0.46%. Idee: Benutze Konfidenzgrenzen zur Verteilung einer durchschnittlichen portfolioweiten Ausfallwahrscheinlichkeit auf die Ratingklassen. Dadurch Berücksichtigung der Besetzungszahlen und der empirisch beobachteten Ausfallzahlen pro Klasse. Aber: Verlust der Verlässlichkeit! Ökonomisch zu rechtfertigen? 105

28 7. Portfolios mit wenigen Ausfällen - Forts. Ansatz Vorsichtigste Schätzung mit Korrekturfaktor : Gegeben: Durchschnittliche Portfolioausfallwahrscheinlichkeit p ( Central Tendency ). Gegeben: Schätzungen der Klassenausfallwahrscheinlichkeiten ˆp 1 <... < ˆp k. Gegeben: Klassenbesetzungszahlen n 1,..., n k. Angepasste Schätzung p l : p l = ˆp l p k i=1 n i ki=1 n i ˆp i. (106.1) Portfolios mit wenigen Ausfällen - Forts. Beispiele 96.1 und revisited : 3 Ausfälle beobachtet p = 0.375%. Unabhängigkeitsannahme: γ 50% 75% 90% 95% 99% 99.9% Central tendency 0.375% 0.375% 0.375% 0.375% 0.375% 0.375% Skalierung p % 0.31% 0.29% 0.29% 0.28% 0.27% p % 0.35% 0.34% 0.33% 0.32% 0.31% p % 0.43% 0.46% 0.47% 0.49% 0.50% Abhängigkeit, Korrelation 12%: γ 50% 75% 90% 95% 99% 99.9% Central tendency 0.375% 0.375% 0.375% 0.375% 0.375% 0.375% Skalierung p % 0.33% 0.32% 0.32% 0.32% 0.32% p % 0.37% 0.36% 0.36% 0.35% 0.35% p % 0.40% 0.41% 0.42% 0.42% 0.42% Portfolios mit wenigen Ausfällen - Forts. Konfidenzgrenze statt Central Tendency: 3 Ausfälle beobachtet, p = obere Konfidenzgrenzen für portfolioweite Ausfallwahrscheinlichkeiten zu verschiedenen Niveaus. Unabhängigkeit: γ 50% 75% 90% 95% 99% 99.9% Konfidenzgr. Portfolio-PD 0.46% 0.65% 0.83% 0.97% 1.25% 1.62% Skalierung p % 0.54% 0.65% 0.74% 0.92% 1.16% p % 0.61% 0.74% 0.84% 1.06% 1.32% p % 0.75% 1.01% 1.22% 1.62% 2.17% Abhängigkeit, Korrelation 12%: γ 50% 75% 90% 95% 99% 99.9% Konfidenzgr. Portfolio-PD 0.71% 1.42% 2.50% 3.42% 5.88% 10.08% Skalierung p % 1.24% 2.16% 2.95% 5.06% 8.72% p % 1.38% 2.39% 3.25% 5.54% 9.54% p % 1.53% 2.76% 3.80% 6.61% 11.37% Portfolios mit wenigen Ausfällen - Forts. Resume Vorsichtigste Schätzung mit Korrekturfaktor : Reiner Ansatz liefert zu hohe Schätzwerte keine Akzeptanz bei Praktikern. Daher Kombination mit Verteilen -Ansatz. Verteilen einer Central Tendency über die Klassen liefert stabile (bei verschiedenen Konfidenzniveaus) Klassenausfallwahrscheinlichkeiten. Spreizung der Schätzwerte über Klassen unter Unabhängigkeitsannahme am größten. Konservatismus kann durch Wahl von portfolioweiter Konfidenzgrenze als Central Tendency erreicht werden. 109