Inhaltsverzeichnis Unendliche Reihen Komplexe Zahlen
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- Ferdinand Schulz
- vor 5 Jahren
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1 Inhaltsverzeichnis 1 Unendliche Reihen Folgen und Reihen Achill und die Schildkröte Rechnen mit Grenzwerten Anwendungen von unendlichen Reihen Konvergenz und Divergenz Konvergenztests für Reihen Potenzreihen Einfache Wege zur Potenzreihe Konvergenz und Genauigkeit Anwendungen Was war da noch? Funktionenreihen Divergente Reihen Aufgaben und Lösungen Aufgaben Lösungen Literatur Komplexe Zahlen Komplexe Zahlen und die komplexe Ebene Komplexe Reihen Funktionen komplexer Variablen Exponentialfunktion und trigonometrische Funktionen Wurzeln Andere Umkehrfunktionen Riemannsche Blätter Schnittstruktur einiger Funktionen Anwendungen Aufgaben und Lösungen Aufgaben IX
2 X Inhaltsverzeichnis Lösungen Literatur Vektoren und Matrizen Lineare Gleichungssysteme Determinanten Lösung eines linearen Gleichungssystems Matrizen Lineare Algebra der Matrizen Die inverse Matrix Lösung durch Matrixinversion Weiteres Zubehör Lineare Abhängigkeit Rang einer Matrix Vektoren und ihre Algebra Vektoren Vektoralgebra Analytische Geometrie Das Eigenwertproblem Quadratische Formen Funktionen von Matrizen Aufgaben und Lösungen Aufgaben Lösungen Literatur Differenzialrechnung Die lineare Näherung Funktionen mehrerer Variablen Verschiedene Methoden der Differenziation Kettenregel und Produktregel Implizite Differenziation Extremwertaufgaben Nebenbedingungen Elimination Lagrangesche Multiplikatoren Randpunkte Aufgaben und Lösungen Aufgaben Lösungen Literatur
3 Inhaltsverzeichnis XI 5 Integralrechnung Das Integral Die Stammfunktion Lebesgue-Integral Integrationstechnik Einfache Regeln Transformation der Variablen Partielle Integration Systematische Verfahren Integration entlang einer Kurve Uneigentliche Integrale Differenziation von Integralen Mehrdimensionale Integrale Variablentransformation Aufgaben und Lösungen Aufgaben Lösungen Literatur Gewöhnliche Differenzialgleichungen Allgemeines Einleitung Klassifikation Gewöhnliche Differenzialgleichungen 1. Ordnung Existenz und Eindeutigkeit Lineare Differenzialgleichungen 1. Ordnung Nichtlineare Differenzialgleichungen 1. Ordnung Numerische Integration Gewöhnliche Differenzialgleichungen höherer Ordnung Allgemeines Konstante Koeffizienten Inhomogene lineare Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten Nichtkonstante Koeffizienten Systeme von Differenzialgleichungen Formulierung und linearer Fall Stabilitätsanalyse und dynamische Systeme Zum Abschluss Aufgaben und Lösungen Aufgaben Lösungen Literatur
4 XII Inhaltsverzeichnis 7 Grundlagen der Vektoranalysis Differenziation von Vektoren Bogenlänge, Krümmung und Torsion Linien- und Oberflächenintegrale Skalare Felder: Niveauflächen und Gradient Divergenz und Rotation von Vektorfeldern Bedeutung der Divergenz Bedeutung der Rotation Aufgaben und Lösungen Aufgaben Lösungen Literatur Basissysteme krummliniger Koordinaten Gebräuchliche Koordinatensysteme Bestimmung von Vektorkomponenten Bogen-, Flächen- und Volumenelement Aufgaben und Lösungen Aufgaben Lösungen Literatur Integralsätze Der Gaußsche Integralsatz Der Greensche Satz in der Ebene Der Integralsatz von Stokes Aufgaben und Lösungen Aufgaben Lösungen Literatur Elemente der Tensorrechnung Definition eines Tensors Rechenregel für Tensoren Beispiele für Tensoren Der -Tensor Der Trägheitstensor Differenzialoperationen und Tensoren Drehung um eine Achse Ko- und kontravariante Darstellung Wechsel der Basis Aufgaben und Lösungen
5 Inhaltsverzeichnis XIII Aufgaben Lösungen Literatur Ein wenig Differenzialformen Äußere Formen Äußere Ableitung Integralsätze Aufgaben und Lösungen Aufgaben Lösungen Literatur Funktionenräume Vektorräume Rückblick: Vektoren im R Lineare Räume Metrik, Norm, Skalarprodukt Metrik Norm Skalarprodukt Basis eines Vektorraums Orthonormale Basis Komponentendarstellung Aufgaben und Lösungen Aufgaben Lösungen Literatur Fourierreihe Motivation und Definition Konvergenzkriterien Tipps und Beispiele Komplexe Form der Fourierreihe Fourier-Kosinus- und Fourier-Sinus-Reihe Aufgaben und Lösungen Aufgaben Lösungen Literatur Integraltransformationen Vorwort Die Laplace-Transformation
6 XIV Inhaltsverzeichnis 14.3 Die Fouriertransformation Faltung Aufgaben und Lösungen Aufgaben Lösungen Literatur Funktionale und Variationsrechnung Funktionale Variationsrechnung Distributionen und die Diracsche Deltafunktion Aufgaben und Lösungen Aufgaben Lösungen Literatur Operatoren und Eigenwerte Einleitung Das Eigenwertproblem in der linearen Algebra Lineare Operatoren in Vektorräumen Eigenschaften Darstellungen Das Eigenwertproblem für Operatoren Die Differenzialgleichung als Eigenwertproblem Schwingungsgleichung Legendresche Differenzialgleichung Sturm-Liouville-Problem Aufgaben und Lösungen Aufgaben Lösungen Literatur Spezielle Differenzialgleichungen Die Legendresche Differenzialgleichung Kugelflächenfunktionen Die Besselsche Differenzialgleichung Die Hermitesche Differenzialgleichung Die Laguerresche Differenzialgleichung Aufgaben und Lösungen Aufgaben Lösungen Literatur
7 Inhaltsverzeichnis XV 18 Partielle Differenzialgleichungen Übersicht Elliptischer Typ Parabolischer Typ Hyperbolischer Typ Lösungsmethoden: Numerische Verfahren Analytische exakte Verfahren Integraldarstellung Integraltransformation Greensche Funktion Separation der Variablen Aufgaben und Lösungen Aufgaben Lösungen Literatur Funktionentheorie Analytische Funktionen Stetigkeit Differenzierbarkeit Potenzreihen Komplexe Integration Linienintegral Integralsatz von Cauchy Integralformel von Cauchy Laurentreihe Residuensatz Schnitte Anwendungen Integrale Fouriertransformation Dispersionsrelationen Hauptwertintegrale Konforme Abbildungen Aufgaben und Lösungen Aufgaben Lösungen Literatur Gruppen Symmetrien und Gruppen Zweierlei Klassen
8 XVI Inhaltsverzeichnis Konjugationsklassen Nebenklassen Einige Untergruppen Einige wichtige Gruppen Darstellung Kontinuierliche Gruppen Darstellung und Parameter Generatoren und Lie-Algebra Anwendungen in der Physik Aufgaben und Lösungen Aufgaben Lösungen Literatur Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Zufall und Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit Zufallsvariablen und Verteilungsfunktionen Erwartungswerte und Momente Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen Binomialverteilung Poisson-Verteilung Gleichverteilung Normalverteilung Exponentialverteilung Histogramme Funktionen von Zufallsvariablen Fehlerfortpflanzung Mehrere Zufallsvariablen Verteilungsfunktion und Verteilungsdichte Funktionen von mehreren Zufallsvariablen Zentraler Grenzwertsatz Autokorrelation Analyse von Daten und Fehlern Schätzung der Parameter einer Verteilung Andere Verfahren Fit, mach mit! Hypothesentest Aufgaben und Lösungen Aufgaben Lösungen Literatur
9 Inhaltsverzeichnis XVII A Abkürzungen und Anmerkungen B Zoologie elementarer Funktionen B.1 Polynome und rationale Funktionen B.2 Exponentialfunktion und Logarithmus B.3 Trigonometrische Funktionen C Programmbeispiele Literatur Sachverzeichnis
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