Quantenmechanik Ferienkurs: Drehimpuls, Schrödingergleichung in Kugelkoordinaten und Spin

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1 Quantenmechanik Ferienkurs: Drehimpuls, Schrödingergleichung in Kugelkoordinaten und Spin Lukas Neumeier August 3, 010 Inhaltsverzeichnis 1 Drehimpulsoperator Drehimpulsalgebra Normierung der Leiteroperatoren Eigenfunktionen des Drehimpulsoperators in Kugelkoordinaten 4 3 Schrödingergleichung im Zentralpotential 5 4 Spin Spinalgebra Spin-Spin-Kopplung 8 1 Drehimpulsoperator Klassisch: L = x p Quantenmechanisches Korrespondenzprinzip: ˆp i = i i mit i = x,y,z Ergibt den quantenmechanischen Drehimpulsoperator: ˆL = ˆx ˆp 1

2 1.1 Drehimpulsalgebra Die Kommutatoren von L x, L y, L z sind: [ ˆL i, ˆL j ] = i ɛ ijk ˆLk Das kann man direkt ausrechnen: Übungsaufgabe! Da ˆL x, ˆL y, ˆL z paarweise nicht kommutieren, sind sie gleichzeitig nicht scharf messbar und unterliegen der Heisenbergschen Unschärferelation. ( 1 σaσ B [Â, ˆB] i Aber: ˆLx, ˆL kommutieren! (Auch das kann man direkt ausrechnen [ ˆL i, ˆL ] = 0 Das heiÿt, es existiert ein gemeinsames Eigenfunktionensystem von ˆL und zb ˆL z Aus diesen fundamentalen Kommutatorrelationen kann die komplette Drehimpulstheorie hergeleitet werden! und Wir nehmen an, es gibt gemeinsame Eigenzustände von L z und L. L f = λf L z f = µf Jetzt denieren wir noch Auf- und Absteigeoperatoren: diese sind adjungiert zueinander: L ± = L x ± il y ˆL + = ˆL Es gelten folgende Kommutatorrelationen (leicht nachrechenbar: Probieren wir mal aus, wie L ± wirkt. [Ĵ, Ĵ±] = 0, [Ĵz, Ĵ±] = ± Ĵ± ˆL ˆL± f = ˆL ± ˆL f = λˆl ± f ˆL ± f = c ± f Daraus folgt, dass L ± f eine Eigenfunktion von L ist, mit dem gleichen Eigenwert λ. Das gleiche machen wir nun mit L z : ˆL z ˆL± f = (ˆL± ˆLz + [ˆL z, ˆL ± ] f = (µˆl ± ± ˆL ± f = (µ ± ˆL ± f

3 Daraus folgt, dass L ± f eine Eigenfunktion von L z ist, mit einem NEUEN Eigenwert: µ±. Deswegen ist der Name Auf bzw Absteigeoperator gerechtfertigt. (Bilder der Leiter zur Veranschaulichung Wenn wir den Aufsteigeoperator immer wieder anwenden, klettern wir die Leiter immer weiter nach oben. Aber irgenwann ist die Projektion auf die z-achse gröÿer als der Gesamtvektor, und das ist natürlich unmöglich. Deshalb muss es ein Limit nach oben geben, ab dem gilt: L + f t = 0 Bezeichnen wir einfach mal willkürlich den Eigenwert von L z an der Spitze der Leiter mit l. L z f t = lf t ; L f t = λf t Jetzt wollen wir den Eigenwert λ an der Spitze der Leiter bestimmen. Dazu müssen wir L durch L ± ausdrücken. Das ist nicht weiter schwer: L ± L = (L x ± il y (L x il y = L x + L y i(l x L y L y L x = L L z i(i L z Daraus folgt: und natürlich: L f t = (L L + + L z + L z f t = (0 + l + lf t = l(l + 1f t λ = l(l + 1 Wir wissen nun also den Eigenwert von L in Abhängigkeit des Maximalen Eigenwertes von L z. Die gleiche Geschichte können wir mit dem unteren Ende der Leiter veranstalten: Da wieder die L z -Komponente nicht gröÿer sein kann als der Gesamtdrehimpuls gilt: L f b = 0 Diesmal nennen wir den Eigenwert für das untere Ende der Leiter willkürlich l L z f b = lf b L f b = λf b Und wieder den L durch L ± ausgedrückt: und damit: L f b = (L + L + L z L z f b = (0 + l lfb = l( l 1fb λ = l( l 1 Wenn wir nun unsere beiden λ gleichsetzen. Bekommen wir raus: l = l Also sind die Eigenwerte von L z m, wobei m von -l bis l in N integer Schritten geht. Genauer: l = l + N und deswegen l = N/ und darum musst l eine ganze Zahl oder eine halbe Zahl sein. Die Eigenfunktionen werden also durch die Quantenzahlen l und m bestimmt. 3

4 Wir nennen nun die gemeinsamen Eigenzustände von ˆL z und ˆL lm Dann gilt: L lm = l(l + 1 lm, l = 0, 1, 1, 3... L z lm = m lm, m = l, l + 1,...l Das ganze gilt allgemein für jede Art von Drehimpuls inklusive Spin und zusammengesetzte Drehimpulse. 1. Normierung der Leiteroperatoren c ± = c ± j, m ± 1 = Ĵ± j, m = j, m Ĵ ±Ĵ± j, m = j, m Ĵ Ĵ± j, m = j, m Ĵ Ĵ z Ĵz j, m = j(j + 1 m m c ± = (j m(j ± m + 1 c ± = (j m(j ± m + 1 Eigenfunktionen des Drehimpulsoperators in Kugelkoordinaten Mit dem Nabla/Laplaceoperator in Kugelkoordinaten: = r + r erhält man für den Drehimpuls: = e r r + e 1 θ r θ + e 1 ϕ r sin θ ϕ. ˆL = ( 1 sin θ r + 1 r θ + 1 cos θ r sin θ ˆL z = i ϕ θ sin θ θ + 1 sin θ θ + 1 r sin θ ϕ. ϕ = θ,ϕ Wobei θ,ϕ der Winkelanteil der Laplaceoperators ist. Eigenfunktionen von θ,ϕ sind gerade die Kugelächenfunktionen Y l,m (θ, ϕ Also gilt: ˆL Y l,m (θ, ϕ = l(l + 1Y l,m (θ, ϕ ˆL z Y l,m (θ, ϕ = my l,m (θ, ϕ 4

5 Kurz wichtigeste Eigenschaften der Kugelächenfunktionen: l darf nur ganzzahlige Werte annehmen: l = 0, 1,,... m = l,..., l Die Kugelächenfunktionen bilden ein vollständiges Orthonormalsystem auf der Einheitskugel. π 0 π dθ dϕ sin θ Yl,m (θ, ϕ Y k,n(θ, ϕ = δ l,k δ m,n 0 3 Schrödingergleichung im Zentralpotential Wir haben ein Teilchen mit Masse m in einem Kugelsymmetrischen Potential. Das heiÿt das Potential V = V (r ist nur vom Abstand und nicht von einem Winkel abhängig. Dazu schreiben wir uns den Hamiltonoperator in Ortsdarstellung auf: Ĥ = + V (r, t m Nach Einsetzen des Laplaceoperators in Kugelkoordinaten, ersetzen durch den Drehimpulsoperator L und Einsetzen in die zeitunabhängige Schrödingergleichung erhält man: ] [ 1 m r r(r r + L mr + V (r ψ(r, θ, ϕ = Eψ(r, θ, ϕ Der Hamiltonoperator ist oensichtlich rotationsinvariant, weil der Kommutator von L bzw L z mit Ĥ verschwindet. Und V(r sowieso rotationsinvariant ist. Es liegt also Nahe folgenden Separationsansatz zu versuchen: ψ(r, θ, ϕ = R(r Y l,m (θ, ϕ Nach einsetzen der Drehimpuls Eigenwerte erhält man folgende Gleichung für den Radialteil: [ ] 1 m r r(r r + l(l + 1 mr + V (r R(r = ER(r Das heiÿt wir haben es jetzt geschat aus einem 3D-Problem ein 1D-Problem zu machen. Toll! Durch eine geschickte Substitution erhalten wir eine elegantere Gleichung. R(r = u(r r und man kann sich davon überzeugen dass dann gilt: 1 r r(r r R(r = 1 r r u(r substituiert ergibt das eine relativ einfache Gleichung für u(r: [ d ] m dr + l(l + 1 mr + V (r u(r = Eu(r 5

6 Das ist die fundamentale Gleichung, auf die immer zurückgegrien wird bei rotationssymmetrischen Problemen der QM! zb Atomphysik und Kernphysik. Wie erwähnt ist das eine eindimensionale Schröderingergleichung mit dem eektiven Potential: V eff = l(l + 1 mr + V (r Wobei der Drehimpulsterm anschaulich die Fliehkraft berücksichtigt. Das hat den Effekt, dass das Potential für l 0 einen repulsiven Anteil enthält der mit 1 geht. (Der r Drehimpulsterm ist immer positiv 4 Spin Der Spin ist eine quantenmechanische Eigenschaft, der sich mathematisch wie ein Drehimpuls verhält. Er genügt den selben Vertauschungsrelationen wie der Bahndrehimpuls. Ist aber was anderes. Das klassische Analogon zur Eigenrotation eines Körpers ist mit Vorsicht zu genieÿen. (groÿer Unterschied: gyromagnetisches Verhältnis Der Drehimpulserhaltungssatz gilt nur für die Summe aller Drehimpulse. Also im Falle von Bahndrehimpuls und Spin für die Summe aus beiden. Messbar ist der Gesamtdrehimpuls über das magnetische Moment: µ = q e g µ B S Wobei µ B = e m das Bohrsche Magneton und g der sogenannte Landé-Faktor ist. Dieser wird für Elektronen auf ca gemessen. Die Quantenelektrodynamik bestätigt diesen Wert theoretisch. Korrekturen entstehen durch die mögliche Erzeugung und Vernichtung von Photonen und Elektron-Positron-Paaren und durch die Ankopplung des Elektrons an das Magnetfeld. Interessant: g Elektron,theoretisch =, (8 g Elektron,gemessen =, ( Das ist bis jetzt die genaueste Übereinstimmung von Experiment und Theorie in den Naturwissenschaften. Der Spinoperator S = (S x, S y, S z hat genau wie der Bahndrehimpuls folgende Wirkung auf Eigenzustände: S s, m s = s(s + 1 s, m s S z s, m s = m s s, m s Mit Ŝ = Ŝ x + Ŝ y + Ŝ z. Das ganze ist ein wenig einfacher, da für Fermionen gilt: s = 1 und m s = ± 1 6

7 4.1 Spinalgebra Wie bereits erwähnt unterscheiden sich die Vertauschungrelationen im wesentlichen nicht von denen des Bahndrehimpulses. Zur Wiederholung: [S i, S j ] = i ɛ ijk S k [ Si, S ] = 0 Für Fermionen mit s = 1 also zb Elektronen gibt es genau zwei Eigenzustände von S z. Diese bezeichnen wir als Spin up und Spin down. Man kann das ganze in einer Vektor/Matrix schreibweise in einer zweidimensionalen Basis sehr anschaulich darstellen. Für s, m s gibt es genau verschiedene Möglichkeiten aber mehrere verschiedene Schreibweisen: 1, 1 = + = 1, 1 = = Diese Zustände erfüllen die Eigenwertgleichungen: Ŝ ± = 3 4 ± Ŝ z ± = ± ± Auch die gleichen Auf-und Absteigeoperatoren mit den gleichen Eigenschaften lassen sich sinnvoll denieren: S ± = S x ± is y Ŝ + = +, Ŝ + + = 0 Ŝ + =, Ŝ = 0 Die oben erwähnte Matrixdarstellung all unser bisher denierten Operatoren: Ŝ x = ( = ( 1 0, =, Ŝ y = ( 0 i i 0 ( Ŝ = ( 0 1, Ŝ z = wobei Ŝi = ˆσ i gilt. Die σ i sind die Paulimatrizen. Und schlieÿlich noch die Auf- und Absteigeoperatoren: ( ( Ŝ + =, Ŝ 0 0 = 1 0 (

8 5 Spin-Spin-Kopplung Zwei Spins werden durch einfache Vektoraddition miteinander gekoppelt. Ŝ = Ŝ1 + Ŝ Da die Spinquantenzahlen s 1 und s beide 1 sind und die Spinquantenzahl m s nur ± 1 annehmen kann. Können die Gesamtspinquantenzahlen S, M s nur folgende Werte annehmen: S = 0 M s = 0 S = 1 M s = 1, 0, 1 also ein Singulett und ein Triplett. Nochmal zur Erinnerung: Wir arbeiten hier mit verschiedenen Basen. 1. Die nicht gekoppelte Basis: Produktzustände der einzelnen Spins. + +,, + +. Die gekoppelte Basis: Basis der Zumme der einzelnen Spins. S, M s (auch 4 Möglichkeiten Wenn man die gekoppelte Basis durch die ungekoppelte Basis ausdrücken möchte, kommt man auf folgendes Ergebnis: 1, 1 = +; + 1, 0 = 1 ( +; + ; + 1, 1 = ; Diese Basiszustände haben alle S = 1 und deshalb fassen wir sie in eine Gruppe zusammen: Das Triplett. 0, 0 = 1 ( +; ; + S = 0 Das Singulett 8