$Id: reihen.tex,v /12/07 11:30:30 hk Exp $ unendliche Summe. a 0 + a 1 + a 2 +.

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1 Mathematik für die Physik I, WS 208/209 Freitag 7.2 $Id: reihen.tex,v /2/07 :30:30 hk Exp $ 5 Reihen Eine Reihe ist eine unendliche Summe a 0 + a + a 2 +. Die Summanden a i können dabei reell oder komplex sein. Historisch sind Reihen sehr viel älter als Folgen, und im Gegensatz zu den Folgen sind sie auch von eigenständigen Interesse. Als ein erstes Beispiel wollen wir uns die sogenannte Zenonsche Paradoxie anschauen. Bei dieser betrachten wir ein Rennen zwischen zwei Läufern sehr unterschiedlicher Geschwindigkeit, etwa Achilles und eine Schildkröte. Der Einfachheit halber nehmen wir an das die Schildkröte eine konstante Geschwindigkeit v > 0 hat während Achilles sich konstant mit der hunderfachen Geschwindigkeit bewegt. Um den Anschein von Fairness zu erwecken startet die Schildkröte mit einem Vorsprung m > 0. Sei etwa m in Metern und v in Metern pro Sekunde gegeben. Dann hat Achilles den Startpunkt der Schildkröte nach m/(00v) Sekunden erreicht aber in dieser Zeit ist die Schildkröte schon etwa weiter gekommen und hat die Strecke (m/(00v)) v = m/00 zurückgelegt. Achilles braucht jetzt nur noch (m/00)/(00v) = 0 4 m/v Sekunden um auch diese Strecke zu überwinden, aber dann ist die Schildkröte wieder (0 4 m/v) v = 0 4 m vorangekommen. Dies geht jetzt immer so weiter, Achilles braucht nächstes Mal nur noch 0 6 m/v Sekunden, aber die Schildkröte ist wieder weg, dann dauert es nur noch 0 8 m/v Sekunden und die Schildkröte ist immer noch weiter vorne, und das setzt sich ewig so fort. Damit kann Achilles die Schildkröte niemals einholen, und so etwas wie Bewegung wäre ein in sich widersprüchliches Konzept. Diese Paradoxie ist eine von vielen in der Antike verwendeten Argumenten die Problematik von Unendlichkeiten einzusehen, wir denken uns hier ja die Zeit und die Rennstrecke als ins Unendliche teilbar. Wieweit diese Paradoxie ernst genommen wurde kann man heute natürlich nicht mehr einschätzen, man kann allerdings feststellen das die antike, griechische Mathematik jedliche Unendlichkeiten strikt vermieden hat. Um den Zusammenhang mit Reihen herzustellen, wollen wir uns überlegen wieviel Zeit vergeht bis die Schildkröte schließlich eingeholt ist. Dieser Zeitraum setzt sich aus all den oben beschriebenen Teilabschnitten zusammen, also erst die 0 2 m/v Sekunden, dann die nächsten 0 4 m/v gefolgt von den nächsten 0 6 m/v Sekunden und so weiter, also insgesamt 0 2 m v m v m v m v +. Hier werden unendlich viele positive Zahlen aufaddiert und man will das irgendwie doch eine endliche Summe herauskommt. Wir können auch von vornherein sagen was 4-

2 Mathematik für die Physik I, WS 208/209 Freitag 7.2 herauskommen sollte, denn Achilles ist nach t Sekunden gerade 00vt Meter von seinem Startpunkt entfernt während die Schildkröte zu diesem Zeitpunkt m + vt Meter weit von diesem weg ist, Achilles holt die Schildkröte also ein wenn 00vt = m + vt, d.h. t = m 99v ist. Es sollte also in irgendeinem Sinne 0 2 m v + m 0 4 v + m 0 6 v + m 0 8 v + = m 99 v gelten. Bevor dies allerdings auch nur eine sinnvolle Vermutung ist, muss erst einmal definiert werden was solch eine unendliche Summe denn überhaupt sein soll, wir benötigen einen Grenzwertbegriff für Reihen. 5. Konvergenz von Reihen Wir hatten in 4. gesagt das Folgen und ihr Konvergenzbegriff ein Hilfsbegriff sind, auf den viele andere Grenzwertbegriffe zurückgeführt werden und dementsprechend werden wir unendliche Summen in Termen von Folgengrenzwerten definieren. Angenommen die Folge (a n ) n N ist gegeben. Dann betrachten wir die sogenannten Partialsummen s 0 := a 0, s := a 0 + a, s 2 := a 0 + a + a 2, und allgemein s n := a k, also die endlichen Summen die jeweils durch Summation der ersten n + Summanden unserer unendlichen Summe gebildet werden. Damit können wir definieren: Definition 5.: Sei K {R, C} und sei (a n ) n N eine Folge in K. Bezeichne ( ) (s n ) n N := a k die Folge der zugehörigen Partialsummen. Wir nennen die Reihe a n konvergent wenn die Folge (s n ) n N der Partialsummen konvergent ist und schreiben in diesem Fall a n := lim s n = lim a k. Andernfalls heißt die Reihe divergent. Oftmals bezeichnen wir mit dem Symbol a n auch die Folge der Partialsummen, selbst wenn die Reihe divergent ist. Dass das Symbol a n sowohl die Folge der Partialsummen als auch den eventuellen Grenzwert bezeichnet, ist normalerweise unproblematisch. Die jeweilige Bedeutung ist immer aus dem Kontext heraus klar. Außerdem schreiben wir mit einem weiteren Bezeichnungsmißbrauch auch einfach n N Sei a n eine Reihe, 4-2

3 Mathematik für die Physik I, WS 208/209 Freitag 7.2 dies soll dann bedeuten, dass (a n ) n N eine Folge ist und wir beabsichtigen die zugehörige Folge der Partialsummen zu untersuchen. Genau wie bei Folgen betrachtet man auch Reihen mit einem beliebigen Startindex n 0 N anstelle des Startindex 0, zum Beispiel die Reihe n= /n2 mit dem Startindex n 0 =. Die Partialsummen sind in diesem Fall s n = n 0 +n k=n 0 a k für n N. Oft ist es in diesem Zusammenhang dann etwas bequemer auch für die Folge der Partialsummen einen anderen Startindex zu verwenden, beispielsweise s n = n k=n 0 a k für n N mit n n 0. Die hiermit verbundene Willkür ist dabei unproblematisch, da die Wahl des Startindex auf Konvergenz und eventuelle Summe der Reihe keinen Einfluß hat. Genau wie im vorigen Kapitel formulieren wir die meisten Aussagen mit dem Startindex 0 oder, es sind aber implizit auch immer alle Reihen mit einem anderen Startindex mit gemeint. Lassen wir endlich viele Summanden am Beginn der Reihe einfach weg, so ändert sich nichts am Konvergenzverhalten der Reihe aber sehr wohl am Grenzwert. In der Tat, ist a n eine Reihe und n 0 N, so hängen die Partialsummen s n = n a k der Originalreihe und t n = n 0 +n k=n 0 a k der verkürzten Reihe über die Beziehung s n = a k = 0 a k + k=n 0 a k = 0 a k + t n n0 für alle n N mit n n 0 zusammen, und somit konvergiert die Folge (s n ) n N genau dann wenn die Folge (t n ) n N konvergiert und in diesem Fall ist a n = 0 a n + n=n 0 a n. Wir wollen jetzt einige Beispiele von Reihen besprechen, und beginnen mit der Reihe n(n ) = = In diesem Beispiel können wir die Partialsummen s n explizit berechnen, dies haben wir bereits am Anfang von 4 getan. Im einleitenden Beispiel (5) von 4 hatten wir s n = k=2 k(k ) = n für alle n N mit n 2 nachgerechnet. Damit ist die Reihe konvergent und ihr Grenzwert ist ( n(n ) = lim ) =. n Das nächste Beispiel ist die sogenannte geometrische Reihe, dies ist die aus den Potenzen einer festen Zahl q C gebildete Reihe. Dieses Beispiel wird sich als derart wichtig herausstellen das wir es in einem Satz festhalten wollen. 4-3

4 Mathematik für die Physik I, WS 208/209 Freitag 7.2 Satz 5. (Die geometrische Reihe) Sei q C. Dann ist die geometrische Reihe qn genau dann konvergent wenn q < ist, und in diesem Fall gilt q n = q. Beweis: Nach 4.Lemma 4 ist die n-te Partialsumme für jedes n N als s n := q k = { q n+, q q, n +, q = gegeben. Für q = ist die Folge der Partialsummen (s n ) n N = (n + ) n N divergent. Nun sei q. Dann ist die Folge (s n ) n N nach 4.Satz 6.(a,b) genau dann konvergent wenn die Folge (q n+ ) n N konvergent ist und wie wir in einem Beispiel in 4. gesehen haben ist dies genau dann der Fall wenn q < gilt. Ist q <, so ist nach dem erwähnten Beispiel und 4.Satz 6.(a,b) auch q n = lim q n+ q = lim q n+ q = q. Zum Abschluß der heutigen Sitzung wollen wir beginnen einige konkrete Beispiele geometrischer Reihen durchzugehen.. Die Reihe können wir auch als 2 n = = ( ) n n 2 schreiben, sie ist also eine geometrische Reihe mit q = /2. Nach dem eben bewiesenen Satz ist sie somit konvergent mit der Summe 2 n = 2 = 2. Die Summe der Reziproken der von Eins verschiedenen Zweierpotenzen n= 2 n =

5 Mathematik für die Physik I, WS 208/209 Freitag 7.2 ergibt sich damit als n= ( ) 2 = =. n 2 n 2. Wir berechnen die Zahl 0, 9. Nach der Definition der Dezimalschreibweise, die wir zwar streng genommen in dieser Vorlesung nie definiert haben aber trotzdem benutzen wollen, ist 0, 9 = = 9 ( ) In der Klammer steht im wesentlichen eine geometrische Reihe mit q = /0, und der Satz über die geometrische Reihe ergibt ( ) ( n ( ) n ( ) 0, 9 = 9 = 9 ) = = 9 9 =. 0 n= 3. Ganz entsprechend können wir das einleitende Beispiel dieses Kapitels behandeln, es ist in den dort verwendeten Bezeichnungen ( ) n 0 2 m v m v m v m v + = m v 00 ( = 00 n= ) m v = m 99v. 4. Als viertes und letztes Beispiel behandeln wir die Reihe ( ) n = 2 n Dies ist eine geometrische Reihe mit q = /2, also ergibt sich ( ) n ( = n = 2 2) n ( ) = Nach diesen Beispielen zur geometrischen Reihe wollen wir zu einem komplizierteren Beispiel kommen, wir betrachten die Reihe Hierzu setzen wir für jedes n N mit n s n := n! = k! und a n := 4-5 ( + n) n,

6 Mathematik für die Physik I, WS 208/209 Freitag 7.2 und wie schon in einem der einleitenden Beispiele des 4 gesehen können wir auch a n = k! k j= n j + n schreiben und insbesondere ist a n s n. Die Folge (a n ) n N hatten wir bereits in 4. zur Definition der eulerschen Konstante ( e = lim + ) n n verwendet. Sei wieder n N mit n gegeben. Für jedes m N mit m n ist dann a m = m k! k j= m j + m k! k j= m j +, m also liefern 4.Lemma 5.(a) und die Rechenregeln 4.Satz 6 für Folgengrenzwerte auch e = lim m a m k! k ( j= lim m ) m j + = m k! = s n. Für jedes n N mit n haben wir damit a n s n e und das Einschnürungslemma 4.Lemma 5.(b) ergibt schließlich n! = lim s n = e. 5.2 Grundeigenschaften von Reihen Über die Partialsummen sind Reihen vollständig auf den Folgenbegriff zurückgeführt, und wir können jetzt den ganzen in 4 entwickelten Apperat auf Reihen loslassen. Dies führt zu einer ganzen Sequenz von grundlegenden Sätzen, Lemmata und Beobachtungen über Reihen und ihre Konvergenz. Wir beginnen mit einer einfachen Feststellung über den Zusammenhang von reellen und komplexen Reihen. Lemma 5.2 (Real- und Imaginärteil komplexer Reihen) Eine komplexe Reihe z n ist genau dann konvergent wenn die beiden reellen Reihen Re(z n) und Im(z n) konvergent sind, und in diesem Fall gilt z n = Re(z n ) + i Im(z n ). Weiter ist eine reelle Reihe genau dann in R konvergent wenn sie in C konvergent ist. 4-6

7 Mathematik für die Physik I, WS 208/209 Freitag 7.2 Beweis: Klar nach 4.Lemma.(e,f). Wie bei Folgen ist der komplexe Fall damit auch bei Reihen der allgemeine Fall. Nun wollen wir einsehen, dass die Summanden einer konvergenten Reihe eine Nullfolge bilden müssen. Leider stellt sich heraus, dass die Umkehrung dieser Tatsache nicht gilt, eine Reihe deren Summanden gegen Null konvergieren ist im allgemeinen nicht selbst konvergent. Ein Beispiel hierfür werden wir bald sehen. Lemma 5.3 (Summanden und Partialsummen konvergenter Reihen) Sei K {R, C} und sei a n eine konvergente Reihe in K. Dann ist (a n ) n N eine Nullfolge und die Folge (s n ) n N der Partialsummen der Reihe ist beschränkt. Beweis: Nach 4.Lemma 2.(a) ist die Folge (s n ) n N beschränkt, und nach 4.Satz 6.(a,b) ist die Folge (a n ) n = (s n s n ) n eine Nullfolge, also ist auch die Folge (a n ) n N selbst eine Nullfolge. Im allgemeinen muss eine Reihe mit beschränkten Partialsummen nicht konvergent sein, ein einfaches solches Beispiel ist die divergente Reihe ( ) n = und man kann sogar Beispiele konstruieren in denen die Summanden der Reihe eine Nullfolge bilden. Es gibt aber einen wichtigen Spezialfall in dem die die Beschränktheit der Partialsummen die Konvergenz der Reihe impliziert, nämlich wenn alle Summanden der Reihe reell und nicht negativ sind. Wir können für reelle Reihen sogar noch etwas weiter gehen und wie in 4.2 zusätzlich noch den Begriff der Konvergenz in den erweiterten reellen Zahlen R einführen, und dann können auch ± als Summen von Reihen auftauchen. Für Reihen mit konstanten Vorzeichen ergibt sich dann der folgende Satz: Satz 5.4 (Monotonieeigenschaften reeller Reihen) Es gelten: (a) Sind a n und b n zwei in R konvergente reelle Reihen mit a n b n für alle n N, so gilt auch a n b n. (b) Eine reelle Reihe a n mit a n 0 für alle n N ist in R konvergent und ihr Grenzwert ist das Supremum der Menge aller Partialsummen der Reihe. Die Reihe ist genau dann in R konvergent wenn a n < ist, wenn also die Folge der Partialsummen der Reihe beschränkt ist. 4-7

8 Mathematik für die Physik I, WS 208/209 Freitag 7.2 Beweis: (a) Für jedes n N gilt auch für die Partialsummen der beiden Reihen die Ungleichung n a k n b k und mit 4.Lemma 5.(a) folgt die Behauptung. (b) Bezeichnet (s n ) n N die Folge der Partialsummen unserer Reihe, so gilt n+ s n+ = a k = s n + a n+ s n für jedes n N da a n+ 0 ist, die Folge (s n ) n N ist also monoton steigend. Damit folgen alle Aussagen mit 4.Satz 3.(a). Eine (b) entsprechende Aussage gilt natürlich auch für Reihen mit negativen Summanden. Wie bei Folgen gibt es auch für Reihen Rechenregeln für die Grenzwerte. Die beiden einfachsten dieser Regeln betreffen Summen und Vielfache von Reihen und sollen jetzt schon bewiesen werden. Lemma 5.5: Sei K {R, C} und seien a n und b n zwei konvergente Reihen in K. (a) Die Reihe (a n + b n ) ist konvergent mit (a n + b n ) = a n + b n. (b) Für jedes c K ist die Reihe ca n konvergent mit (ca n ) = c a n. Beweis: Die jeweiligen Partialsummen sind die Summen beziehungsweise Vielfachen der Partialsummen der gegebenen Reihen, und die Behauptung folgt damit mit 4.Satz 6.(a,b). Wir wollen diese Sätze nun zur Behandlung einiger weiterer Beispiele verwenden. Wir kennen bereits die Reihe n(n ) = und mit dieser erhalten wir auch = n(n ) = n= n(n + ) = n(n + ),

9 Mathematik für die Physik I, WS 208/209 Freitag 7.2 also ist n(n + ) = 2. Beachten wir nun das für jedes n N mit n 2 stets n(n ) + n(n + ) gilt, so ergibt sich mit Lemma 5 n 2 = ( [ 2 = (n + ) + (n ) n(n )(n + ) = 2 n 2 n(n ) + n(n + ) ]) = 2 ( + ) = Während wir bisher bei all unseren Beispielen nicht nur die Konvergenz beweisen konnten sondern gleich auch den Reihenwert berechnet haben, wollen wir uns jetzt ein Beispiel anschauen bei dem wir nur die Konvergenz der Reihe einsehen werden. Hierzu wird Satz 4 verwendet, konkret wollen wir zeigen, dass die Reihe n= /n2 konvergiert. Nach dem Satz ist hierzu zu zeigen, dass ihre Partialsummen beschränkt bleiben, beziehungsweise das n= /n2 < gilt. Nun haben wir für jedes n N mit n 2 die Abschätzung /n 2 /n(n ) und damit folgt n= n = + 2 n + 2 n(n ) = 2 <. Dies beweist die Konvergenz der Reihe. Die explizite Berechnung der Summe ist schon recht schwer, und für uns an dieser Stelle nicht direkt möglich. Das Problem der Berechnung dieser Reihe wurde erstmals im Jahr 644 von Mensoli gestellt und war rund 90 Jahre offen bis Euler 735 n= n = = π2 6 zeigen konnte. Es gibt über zwanzig verschiedene Beweise dieser Formel, im Rahmen der Mathematik für Physiker Reihe kommen wir aber erst im vierten Semester zu einer Stelle an der ein bequemer Beweis möglich ist. Etwas allgemeiner ist jetzt auch für jeden Exponenten k N mit k 2 n= n k n 2 <, 2 n= d.h. auch n= /nk konvergiert. Eine explizite Formel für diese Summe ist nur bei geraden k bekannt, und auch diese wurde bereits von Euler angegeben. Eine einfache und explizite Formel selbst für den einfachsten ungeraden Fall n= /n3 ist bis heute nicht bekannt, seit den achtziger Jahren des vorigen Jahrhunderts weiss man aber 4-9

10 Mathematik für die Physik I, WS 208/209 Freitag 7.2 zumindest das diese Summe irrational ist. Es verbleibt der Fall k =. Man nennt die Reihe n = (Harmonische Reihe) n= die harmonische Reihe. Die Summanden der Reihe bilden eine Nullfolge, es wird sich aber herausstellen das die Reihe trotzdem divergiert. Es bezeichne s n := n k= /k für n N mit n die Partialsummen der harmonischen Reihe. Dann gelten und allgemein ergibt sich s 2 0 =, s 2 = + 2 = + 2, s 2 2 = }{{} >/4 + 4 > + 2 2, s 2 3 = s }{{ 7} 8 > + 3 2, jeweils > /8 s 2 n > + n für alle n N mit n 2. 2 Insbesondere ist die Folge der Partialsummen der harmonischen Reihe nach dem archimedischen Prinzip.Lemma 5 nicht nach oben beschränkt, d.h. n= n =. In der Abschätzung wird die harmonische Reihe nur sehr langsam größer, um beispielsweise über 0 = +8 (/2) zu kommen, braucht es bereits 2 8 = Summanden. Man kann zeigen, dass die Partialsummen in Abhängigkeit von n die Größenordnung s n γ + ln(n) haben, wobei γ eine Konstante etwas größer als /2 ist. Wir hatten die Divergenz der harmonischen Reihe eingesehen indem wir die Summanden der harmonischen Reihe in Blöcken von Zweierpotenzlänge zusammengefasst hatten und so für jedes n N mit n 2 2 n k > + n 2 k= gezeigt hatten. Dieses Argument kann man auch in einer etwas allgemeineren Situation verwenden, es ist nicht wirklich wichtig das die Summanden der Reihe die Stammbrüche sind, sie müssen nur monoton fallend sein. Angenommen wir haben eine monoton fallende Folge (a n ) n positiver reeller Zahlen. Für jedes n N haben wir dann 2 n k=2 n + a k 2 n a 2 n und n k=2 n a k 2 n a 2 n,

11 Mathematik für die Physik I, WS 208/209 Freitag 7.2 im wesentlichen lassen sich die Partialsummen der Reihe n= a n also nach oben und unten durch Partialsummen der sogenannten kondensierten Reihe 2n a 2 n abschätzen. Dies führt uns zum folgenden sogenannten Kondensationskriterium oder Verdichtungskriterium. Satz 5.6 (Cauchys Kondensationskriterium) Sei (a n ) n eine monoton fallende, reelle Zahlenfolge mit a n 0 für alle n N mit n. Dann ist die Reihe a n genau dann konvergent wenn die Reihe n= 2 n a 2 n konvergent ist. Beweis: Es seien s n := a k beziehungsweise t n := k= 2 k a 2 k für jedes n N die Partialsummen der Ausgangsreihe beziehungsweise der kondensierten Reihe. Nach Satz 4.(b) ist n= a n genau dann konvergent wenn die Folge (s n ) n nach oben beschränkt ist und die kondensierte Reihe 2n a 2 n ist genau dann konvergent wenn die Folge (t n ) n N nach oben beschränkt ist. Es ist also nur zu zeigen, dass (s n ) n genau dann nach oben beschränkt ist wenn (t n ) n N dies ist. = Sei also (s n ) n nach oben beschränkt, d.h. es gibt ein C R mit s n C für jedes n N mit n. Für jedes n N mit n gilt a 2 n a k für alle k N mit 2 n < k 2 n, da die Folge (a k ) k N als monoton fallend vorausgesetzt ist, also auch Für jedes n N folgt weiter 2 n a 2 n = 2 n k=2 n + a 2 n 2 n k=2 n + a k. t n = 2 k a 2 k = a k a 2 k a + 2 k= k= l=2 k + k= 2 k a l 2 2 n a k = 2s 2 n 2C, d.h. auch die Folge (t n ) n N ist nach oben beschränkt. = Nun nehme umgekehrt an das (t n ) n N nach oben beschränkt ist, es gibt also ein C R mit t n C für jedes n N. Wieder da die Folge (a n ) n N monoton fallend ist haben wir für jedes n N und alle k N mit 2 n k < 2 n+ stets a k a 2 n und somit auch 2 n+ k=2 n a k 2 n+ k=2 n a 2 n = 2 n a 2 n. 4-

12 Mathematik für die Physik I, WS 208/209 Freitag 7.2 Ist also n N, so ergibt die Bernoullische Ungleichung.Lemma 6 zunächst 2 n n und damit ist auch n s n s 2 n = 2 k+ d.h. die Folge (s n ) n ist nach oben beschränkt. n a l 2 k a 2 k = t n C, l=2 k Wir wollen das Kriterium einmal dazu verwenden, die Konvergenz der Reihe n= für ein allgemeines α R zu entscheiden. Ist α 0, so gilt für jedes n N mit n auch n α n 0 = also /n α und damit ist (/n α ) n nicht einmal eine Nullfolge, wir können uns also auf den Fall α > 0 beschränken. Dann ist die Folge (/n α ) n eine monoton fallende Nullfolge. Nach dem Kondensationskriterium müssen wir also die Reihe 2 n (2 n ) = 2 n α (2 α ) = ( ) n 2 n 2 α untersuchen. Dies ist eine geometrische Reihe und nach Satz genau dann konvergent wenn 2/2 α <, also wenn 2 α > 2 = 2, gilt. Dies ist weiter gleichwertig zu α > und wir haben < α >. nα n= Ein Phänomen das die Behandlung der Konvergenz von Reihen deutlich erschwert, ist das diese nicht nur vom Betrag der Summanden sondern auch von deren Vorzeichen, beziehungsweise ihrem Argument im komplexen Fall, abhängt. Beispielsweise ist die harmonische Reihe n = n= wie gesehen divergent, aber die Reihe n= n α ( ) n = n wird sich gleich als konvergent herausstellen. Derartige Reihen bei denen das Vorzeichen ständig hin und her wechselt werden als alternierende Reihen bezeichnet, und das folgende sogenannte Leibniz-Kriterium wird zeigen, dass eine große Zahl dieser Reihen konvergent ist. Satz 5.7 (Leibniz-Kriterium) Sei (a n ) n N eine monoton fallende, reelle Nullfolge mit a n 0 für alle n N. Dann 4-2

13 Mathematik für die Physik I, WS 208/209 Freitag 7.2 ist die alternierende Reihe ( )n a n konvergent. Ist (s n ) n N die Folge der Partialsummen dieser Reihe, so gilt s 2n ( ) k a k s 2n+ für alle n N. Beweis: Für jedes n N gelten da a 2n+2 a 2n+ ist und s 2(n+) = s 2n+2 = s 2n a 2n+ + a 2n+2 s 2n s 2(n+)+ = s 2n+3 = s 2n+ + a 2n+2 a 2n+3 s 2n+ da a 2n+2 a 2n+3 ist. Damit ist die Folge (s 2n ) n N monoton fallend und die Folge (s 2n+ ) n N ist monoton steigend. Für jedes n N gilt außerdem s s 2n+ = s 2n a 2n+ s 2n s 0, d.h. (s 2n ) n N ist nach unten und (s 2n+ ) n N ist nach oben beschränkt. Nach 4.Satz 3 existieren die beiden Grenzwerte Nach 4.Satz 6.(a,b) ist dabei s := lim s 2n und t := lim s 2n+. t s = lim s 2n+ lim s 2n = lim (s 2n+ s 2n ) = lim a 2n+ = 0, also haben wir s = t. Nach 4.Lemma.(d) ist auch die Folge (s n ) n N konvergent mit dem Grenzwert s = t. Dies zeigt die Konvergenz der Reihe ( )n a n sowie für jedes n N. s 2n s = ( ) n a n = t s 2n+ Beispielsweise komvergiert damit die Reihe ( ) n. n n= 4-3