Nur für die Lehrkraft

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1 Senatsverwaltung für Bildung, Jugend und Wissenschaft Fach Abschlussprüfung an der Fachoberschule im Schuljahr 0/5 (A) Nur für die Lehrkraft Prüfungstag. Juni 05 Prüfungszeit Zugelassene Hilfsmittel Allgemeine und spezielle Arbeitshinweise Erwartungshorizonte 09:00 3:00 Uhr Nicht graphikfähiger Taschenrechner mit gelöschtem Programmierteil, kein CAS- Rechner, Handbuch/Gebrauchsanleitung muss vorliegen, Formelsammlung, Rechtschreib-Wörterbuch (siehe Aufgabendeckblatt) Beachten Sie bitte das Schülerdeckblatt. Die Beschreibungen der erwarteten Leistungen enthalten keine vollständigen Lösungen, sondern nur kurze Angaben. Hier nicht genannte, aber gleichwertige Lösungswege sind gleichberechtigt. Die aufgeführten Lösungswege zeigen immer nur eine Variante auf. Für andere Lösungswege oder Lösungsansätze, die schlüssig dargestellt werden und zu richtigen Zwischen- oder Endergebnissen führen, sind die vorgesehenen Bewertungseinheiten (BE) entsprechend zu vergeben. Wird jedoch der im Erwartungshorizont dargestellte Lösungsweg vom Prüfling verwendet, so sind die BE in der angegebenen Weise aufzuteilen. Damit die Möglichkeit besteht, den eigenen didaktischen Aspekten bei der Bewertung genug Raum zu geben, werden in der Regel die BE nicht kleinschrittig zugeordnet. Die Summe der BE pro ist verbindlich. Sind Zwischenergebnisse nicht korrekt ermittelt worden und die sich auf diesen Zwischenergebnissen aufbauenden weiteren Lösungswege schlüssig und nicht mit neuen Fehlern versehen, so sind die BE entsprechend zu erteilen (Folgefehler). Dieses Vorgehen ist nicht anzuwenden, wenn eine offensichtlich nicht sinnvolle Lösung unkommentiert bleibt oder der Lösungsweg durch den Fehler erheblich einfacher geworden ist. Die Verwendung von entsprechenden Operatoren in den Aufgabenstellungen erfordert vom Prüfling schriftliche Erläuterungen seiner Überlegungen. Bei der Bewertung dieser Erläuterungen, auf deren Darstellung im Erwartungshorizont weitgehend verzichtet wird, kann die Lehrkraft ihren pädagogischen Spielraum nutzen und sich an ihrer bisherigen Unterrichtspraxis orientieren. Im Erwartungshorizont wird teilweise auf formale mathematische Vollständigkeit verzichtet, wenn diese vom Schüler in der Regel nicht unbedingt zu erwarten ist. Aufgabe Nr.: Soll Summe: 00

2 Abschlussprüfung Fachoberschule 05 Aufgabenvorschlag A Funktionsuntersuchung /0 Gegeben sei die Funktion f mit der Funktionsgleichung = + ; x. f( x) x,5x 5,065 Der Graph von f ist G f.. Untersuchen Sie Gf auf Symmetrie. Begründen Sie Ihre Aussage. / Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte von f im Unendlichen.. Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes von G f mit der y-achse. Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f. /7.3 Bestimmen Sie die Hoch-, Tief- und Wendepunkte von G f. /5. Zeichnen Sie den Graphen von f im Intervall [ ;] unter Zuhilfenahme aller ermittelten Punkte. Berechnen Sie auch die Funktionswerte am Rand des Intervalls. Nutzen Sie hierfür das Koordinatensystem auf der folgenden Seite. /5.5 Weiterhin ist eine Parabel p mit der Funktionsgleichung px ( ) = x 6x + 6,5 ; x gegeben. /9 Durch Gleichsetzen der Funktionsterme von p und f erhält man eine Gleichung, deren Lösungen die Schnittstellen der beiden Funktionen sind. Stellen Sie diese Gleichung auf. Die gesuchte Schnittstelle ist eine Nullstelle der Funktion n mit nx ( ) = x 6,5x + 6x,375. Begründen Sie diesen Sachverhalt. Eine Schnittstelle der Graphen von p und f liegt bei ungefähr x =. Bestimmen Sie einen Näherungswert dieser Stelle mit einem geeigneten Verfahren. Brechen Sie das Verfahren nach drei Schritten ab. Betrachten Sie die Tendenz der Funktionswerte der ermittelten Näherungen und beurteilen Sie hiermit die Wirksamkeit des Näherungsverfahrens. Aufgabenvorschlag A Abschlussprüfung Fachoberschule 05 Seite von 5

3 A Koordinatensystem zu Aufgabe. Aufgabenvorschlag A Abschlussprüfung Fachoberschule 05 Seite von 5

4 A Rekonstruktion /5 Eine ganzrationale Funktion f dritten Grades besitzt den Wendepunkt W ( 6). Die Wendetangente in W schneidet die y-achse bei 0. Der Funktionswert von f an der Stelle - beträgt 0.. Bestimmen Sie das Gleichungssystem zur Berechnung der Funktionsgleichung dieser Funktion f. /9 Die Lösung dieses Gleichungssystems ist nicht erforderlich.. Lösen Sie stattdessen das folgende Gleichungssystem und bestimmen Sie 3 damit die gesuchte Funktionsgleichung f ( x) = ax + bx + cx + d der Funktion f : /6 3a + 9 b + c + d = 6 5a + 5 b c = 30 8a b + c + d = 6 a 6b c = 6 Aufgabenvorschlag A Abschlussprüfung Fachoberschule 05 Seite 3 von 5

5 A 3 Extremwertaufgabe /8 Gegeben ist die Funktion f mit 3 = + ; x [ ; 5] f( x) x x 35x 5 Für jeden Punkt P auf dem Graphen von P x f( x ), f bilden die drei Punkte ( ) N ( ) und ( 0) 0 Dreieck. F x ein rechtwinkliges 3. Bestimmen Sie die Flächeninhalte der Dreiecke für x = sowie für x =, 5. / 3. Der Flächeninhalt der Dreiecke in Abhängigkeit von x kann durch eine Funktion A beschrieben werden. Weisen Sie nach, dass die Funktion A die folgende Funktionsgleichung hat: 3 Ax ( ) = 0,5x 6x + 3x 30x +,5 /6 3.3 Bestimmen Sie den Wert von x, für den das Dreieck mit dem größtmöglichen Flächeninhalt entsteht. Berechnen Sie diesen maximalen Flächeninhalt. /8 Aufgabenvorschlag A Abschlussprüfung Fachoberschule 05 Seite von 5

6 A Integralrechnung /7 In der modernen Landwirtschaft werden zunehmend Erntemaschinen mit GPS-Steuerung eingesetzt. Hierzu werden die Formen der Felder erfasst und mathematisch beschrieben. Das in der Abbildung dargestellte Gerstenfeld wird durch die Koordinatenachsen sowie den Graphen G der Funktion n und den Graphen G der Funktion o begrenzt. Die Eckpunkte des n Feldes sind somit ABCO.,,, Eine Längeneinheit entspricht 0 Meter. Auf dem Feld befindet sich ein Feuchtbiotop, welches vollständig von dem Graphen Funktion p und dem Graphen Folgende Koordinaten wurden erfasst: Punkte: A( 0 0) Gn Funktionsgleichungen: o Gg der Funktion g eingeschlossen wird. B ( 0 8, ) G, G ( 5 0) n o C o G p der G O ( 0 0) 3 nx ( ) = 0,0006x 0,0x + 0,6x + 0 px ( ) = 0,6x 0x + 70 ox ( ) = 0,0x +,7 x+ 3,6 gx ( ) = 0,5x + 6 LE = 0 m. Wie viel landwirtschaftliche Nutzfläche ließe sich durch Trockenlegen des Feuchtbiotops gewinnen?. Berechnen Sie die Größe des abzuerntenden Feldes und geben Sie das Ergebnis in Quadratmetern an..3 Der durchschnittliche Ertrag pro Hektar (ha) liegt bei 6,9 Tonnen (t). Wieviel Gerste wird von diesem Feld geerntet, wenn mit einem Ernteverlust von zwei Prozent zu rechnen ist?. Für welchen Wert des Parameters a ( a ) hat die vom Graphen der Funktion f mit f ( x) = x + ax + und der x-achse im Intervall [ ; ] eingeschlossene Fläche den Flächeninhalt 6,5 FE? /9 /9 /5 / Aufgabenvorschlag A Abschlussprüfung Fachoberschule 05 Seite 5 von 5

7 Abschlussprüfung Fachoberschule 05 Erwartungshorizont für Aufgabenvorschlag A. Die Exponenten von x sind nur gerade, der Graph ist achsensymmetrisch zur y-achse. oder f( x) = f( x) Der höchste Exponent der Variablen im Funktionsterm von f ist. Da a im Summand ax positiv ist, verläuft der Graph von plus Unendlich nach plus Unendlich oder f( x) für x ±. Schnittpunkt mit y-achse: f(0) = 5,065; S y (0 5,065) Nullstellen: f( x ) = 0 x z,5x + 5,065 = 0 Substitution,5z+ 5,065 = 0 p-q-formel x = z z / =, 5 Resubstitution x = ± z x N =, 5 ; x N =, 5 Nullstellen 6.3 Extrema 3 f ( x) = x 9x = 0 notwendige Bedingung x(x 9) = 0 x E = 0 mögliche Extremstelle und x 9 = 0 x =, 5; x =, 5 mögliche Extremstellen E E3 E f ( x ) = x 9 0 Überprüfen der hinreichenden Bedingung für x E f (0) = 9 < 0 Maximum bei x = 0 f (, 5) = 8 > 0 Minimum bei x E =, 5 f (, 5) = 8 > 0 Minimum bei x E3 =, 5 f (0) = 5,065 Hochpunkt H (0 5,065) f (, 5) = 0 Tiefpunkt T (, 5 0) f (, 5) = 0 Tiefpunkt (, 5 0) 9 E Erwartungshorizont A Abschlussprüfung Fachoberschule 05 Seite von 6

8 Erwartungshorizont noch.3 Wendepunkte f ( x) = x 9 = 0 notwendige Bedingung x = 0,866; x = 0,866 mögliche Wendepunkte W W f '''( x) = x 0 notw. und hinreichende Bedingung f '''(0,866) = 0,78 > 0 Wendepunkt bei x = 0,866 f '''( 0,866) = 0,78 < 0 Wendepunkt bei x = 0,866 f (0,866) =,5 Wendepunkt (0,866,5) f ( 0,866) =,5 Wendepunkt ( 0,866,5) 6. Randpunkte f ( ) = 3,065 linker Randpunkt L( 3,065) f ( ) = 3,065 rechter Randpunkt R ( 3,065) w w Erwartungshorizont A Abschlussprüfung Fachoberschule 05 Seite von 6

9 Erwartungshorizont.5 f( x) = px ( ) x 6,5x + 6x,375 = 0 nx ( ) = 0, der Ansatz zum Bestimmen der Nullstellen von n, liefert dieselbe Gleichung wie f( x) = px ( ). Somit liefern Gleichsetzen der Funktionsterme von p und f bzw. das Bestimmen der Nullstellen von n die gleichen Lösungen. Näherungsverfahren 3 nx ( ) = x 6,5x + 6x,375, n'( x) = x 3x + 6 Startwert wählen; Berechnung Algorithmus kennen und anwenden (Bem.: Mögliche Lösung ist unten aufgeführt, auch andere Lösungsansätze sind denkbar.) Beispielrechnung für Startwert x s - erste Näherung x n f(x n ) f'(x n ) x n+ f(x n+ ) x s 0,565,9535 0, x,9535 0, ,697, ,00037, , ,935335, ,09E-09 x 5 Die Funktionswerte der ermittelten Näherungen laufen gegen Null, durch das Verfahren nähern wir uns der Nullstelle an. Mögliche BE Summe Aufgabe 0 Erwartungshorizont A Abschlussprüfung Fachoberschule 05 Seite 3 von 6

10 Erwartungshorizont. 3 f ( x) = ax + bx + cx + d ; f '( x) = 3ax + bx + c ; f ''( x) = 6ax + b f () = 6 Wendepunkt f ''() = 0 Wendepunkt 6 0 mt = f '() = = 3 0 Anstieg der Wendetangente f ( ) = 0 Funktionswert an der Stelle Gleichungssystem: 8a + b + c + d = 6 a + b = 0 a + b + c = 3 a + b c + d = Lösungen des Gleichungssystems berechnen a = ; b = 6 ; c = 5 ; d = 3 3 Funktionsgleichung: f( x) = x 6x + 5x Mögliche BE 0 Summe Aufgabe 5 3. A Δ g hg ( x ) f( x) = = ; A =,5 FE ; A,5, 53 FE 3. Hauptbedingung ( x ) f( x) Ax ( ) = Nebenbedingung 3 f( x) = x x + 35x 5 Zielfunktion 3 ( x ) ( x x + 35x 5) 3 Ax ( ) = = 0,5x 6x + 3x 30x +,5 Erwartungshorizont A Abschlussprüfung Fachoberschule 05 Seite von 6

11 Erwartungshorizont 3.3 Maxima bestimmen 3 A'( x) = x 8x + 6x 30 = 0 x = Dreieck mit Flächeninhalt Null; planvolles Raten Polynomdivision 3 (0,5x 6x + 3x 30x +,5) : ( x ) = x 6x + 30 x = 5 ; x 3 = 3 pq-formel A''( x) = 6x 36x + 6 A ''() = 6 > 0 Minimum A ''(3) = 8 < 0 Maximum A ''(5) = 6 > 0 Minimum A (3) = 8 maximaler Flächeninhalt Der maximale Flächeninhalt von 8 FE wird an der Stelle x = 3 erreicht. Mögliche BE Summe Aufgabe 8. Flächeninhalt des Biotop A Biotop Bestimmung der Schnittstellen der Graphen von g und p gx ( ) = px ( ); 0,6x 9,5x + 5 = 0 x = 8,9695 9,0 ; x = 3,5305 3,5 9,0 3,5 ( ) 3 AB = g( x) p( x) dx = 0,x 9,75x 5x + 6,09 A Biotop Rund = A 0 m 0 m 609 m B 609 m Nutzfläche sind zu gewinnen.. Flächeninhalt des Feldes A Feld 0 5 A = n( x) dx + o( x) dx A F AF = 0,0005x 0,033x + 0,3x + 0x 3 + 0,033x 0,86x 3,6x + + AB 0 A F = 0,6667 +,8333 6,09 = 6, A = A 0 m 0 m 6m Feld F Das Feld besitzt eine Fläche von B m. 9,0 3, Erwartungshorizont A Abschlussprüfung Fachoberschule 05 Seite 5 von 6

12 Erwartungshorizont.3 Ertrag E t t t E = A Feld 6,9 = 6m 6,9 =,6ha 6,9 = 8,73 t ha ha ha Ertrag nach Ernteverlust E V EV = E 0,98 = 8,57 t Es werden 8,57 t Gerste vom Feld geerntet.. ( x ax ) dx 6,5 + + = ; 3 a x + x + x = 6,5 6 3 a 3 a + + 6, = 6 a = Mögliche BE 0 6 Summe Aufgabe 7 Erwartungshorizont A Abschlussprüfung Fachoberschule 05 Seite 6 von 6