Der kinetische Ansatz zur Beschreibung von Selbstorganisationsprozessen. mögliche Variationen und Erweiterungen: diskrete Gleichungen (endliches t):

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1 Ludwig Pohlmann Thermodynamik offener Syseme und Selbsorganisaionsphänomene SS 007 Der kineische Ansaz zur Beschreibung von Selbsorganisaionsprozessen. Die Beschreibung von Prozessen Prozesse (Veränderungen, Bewegungen) werden am einfachsen durch Angabe der Änderungsgeschwindigkeien aller maßgeblichen Parameer A, A,... beschrieben: A (,,..., ) ( ) = f A A + F mögliche Variaionen und Erweierungen: diskree Gleichungen (endliches ): ( ) n A + n n = f A, A,... (DSKGL) (parielle) Differenialgleichungen ( 0): A A A = f A, A,...,,,..., ((P)DGL) z z Inegro-Differenialgleichungen: A ( ( ) ( ) ) = f A, A,..., d (IDGL) 0 5-

2 Ludwig Pohlmann Thermodynamik offener Syseme und Selbsorganisaionsphänomene SS 007. Beispiele für kineische Gleichungen ) chemische Kineik: z.b. Syn-/Disproporionierung: A + B == C [ ] d A [ ][ ] [ ] = k A B + k C ) Reakions-Diffusions-Syseme: [ A] [ A] (DGL) = k [ A][ B] + k [ C] + D (PDGL) z 3) elekrische Sromkreise (z.b. RC-Glied): UR = IR, I=C du C, U 0 =UR + U di + RC I = 0 I() ep - RC C (DGL) 4) Keimwachsumskineik: ds [ ] kn( ) r( ) d = 0 (IDGL) 5) Populaionsdynamik: N+ = N + an bn i i i i (DSKGL) (z.b. bei Feldmäusen: Gebursrae a = 4.5/Jahr) 5-

3 Ludwig Pohlmann Thermodynamik offener Syseme und Selbsorganisaionsphänomene SS Nichlineare Differenialgleichungen Differenialgleichungen beschreiben ein Richungsfeld: Anfangsbedingungen sind nöig, um eine eindeuige Lösung zu erhalen. Nichlineare DGL lassen sich, außer in Spezialfällen, nich analyisch lösen! Zwei Auswege: - numerische Lösungen: anschaulich, aber nich allgemein - qualiaive Analyse: allgemeinere Ergebnisse, aber nur ü- ber besimme Eigenschafen der Lösung 5-3

4 Ludwig Pohlmann Thermodynamik offener Syseme und Selbsorganisaionsphänomene SS 007 Qualiaive Analyse ) Suche nach den saionären Zusänden: Nullsezen der Zeiableiung und Lösung der verbleibenden algebraischen Gleichung (bzw. des Gleichungssysems): Beispiele aus der Reakionskineik: (A) Reakion erser Ordnung: A == B, A = cons. db ( ) = fab, = ka kb ka kb = 0 B s = k k A saionäre Konzenraion von B (B) Auokaalyse 3. Ordnung (Schlögl-Reakion): A + X == 3X, B + X == C, A, B, C - konsan dx I 3 I = kax kx kbx + kc =0! Gleichung 3. Grades in X ma. 3 reelle Lösungen bei einem gegebenen Parameersaz können bis zu drei saionäre Konzenraionen von X parallel eisieren! 5-4

5 Ludwig Pohlmann Thermodynamik offener Syseme und Selbsorganisaionsphänomene SS 007 ) Analyse der Sabiliä von saionären Zusänden Definiion der Sabiliä nach Lyapunov Eine saionäre Lösung s einer DGL is: (einfach) sabil: wenn eine kleine Abweichung von s klein bleib asympoisch sabil: wenn eine kleine Abweichung gegen Null geh insabil: wenn eine kleine Abweichung weier anwächs insabil s kleine Sörung sabil asymp. sabil 5-5

6 Ludwig Pohlmann Thermodynamik offener Syseme und Selbsorganisaionsphänomene SS 007 Sabiliä von linearen DGL am Beispiel eines Sysems von zwei DGL: d dy = a + by, = = c + dy, y = s s 0 0 Beispiel: harmonischer Oszillaor: a = 0, b =, c = -k/m, d = -y Lösungsansaz: ( ) = ep( ), y( ) = ep( ) k y k 0 0 führ zum Gleichungssysem: ( ) + ( ) a k + by = 0, 0 0 c d k y 0 0 =0, Lösbarkeisbedingung: a k b c d k = 0 charakerisische Gleichung des Sysems (bei zwei Gleichungen: quadraische Gl. in k): ( ) ( ) k a + d k + ad bc = 0 k, = a+ d a+ d ± ( ad bc) die k sind die "Eigenwere" des ensprechenden DGL- Sysems dann is die allgemeine Lösung: () = C ep(k ) + C ep(k ) 5-6

7 Ludwig Pohlmann Thermodynamik offener Syseme und Selbsorganisaionsphänomene SS 007 Darsellung der verschiedenen Lösungsypen im Phasenraum: Darsellung der Lösungen von DGL im Phasenraum Trajekorie: Bahnkurve (), y() im Phasenraum (,y): y = = 0 Aus der Eindeuigkei der Lösungen von DGL folg, daß sich die Trajekorien im Phasenraum nich schneiden dürfen. Scheinbare Ausnahmen: Singuläre Punke, die den saionären Zusänden ensprechen enaree Trajekorien, die in endlicher Zei nich erreich werden können. 5-7

8 Ludwig Pohlmann Thermodynamik offener Syseme und Selbsorganisaionsphänomene SS 007 Je nach dem Charaker der beiden Koeffizienen k und k sind verschiedene Aren des zeilichen Verhalens von () möglich:. 0 < 4(ad-bc) < (a+d) : k und k reell.. (a+d) < 0: sabiler Knoen k i < 0.. (a+d) > 0: insabiler Knoen k i > 0. 4(ad-bc) > (a+d) : k und k komple.. (a+d) < 0: sabiler Srudel Re(k i ) < 0.. (a+d) > 0: insabiler Srudel Re(k i ) > 0 5-8

9 Ludwig Pohlmann Thermodynamik offener Syseme und Selbsorganisaionsphänomene SS (ad-bc) < 0: k > 0 und k < 0 oder umgekehr Sael (immer insabil) 4. (a+d) = 0: Re(k i ) = 0 Wirbel (einfach sabil) Allgemeine Schlußfolgerungen: In linearen Sysemen gib es nur einen saionären Zusand, der sabil oder insabil sein kann. Oszillaionen sind nur als einfach sabile möglich: kleine Veränderungen der Parameer 5-9

10 Ludwig Pohlmann Thermodynamik offener Syseme und Selbsorganisaionsphänomene SS 007 zersören den Wirbel sabiler oder insabiler Srudelpunk! (keine Srukursabiliä!) Mehode der Linearisierung zur Besimmung der Sabiliä von nichlinearen DGL: Unersuchung der lokalen Sabiliä von saionären Zusänden nichlinearer DGL, indem das Verhalens der DGL um den jeweiligen Zusand herum (z.b. s ) analysier wird: () = + u (), u () s 0 Einsezen und Reihenenwicklung: d du df = f ( ) = f ( s + u ()) = f ( s) + u () +... d s bzw. du df = u ( ), da f ( s ) = d s 0 analog für den Fall von zwei Gleichungen mi zwei Variablen: d du dy = fy (, ), = gy (, ) ( (), ()) = f + u y + v = s s df df = f ( s) + u () + v () +... d dy, y, y s s s s 5-0

11 Ludwig Pohlmann Thermodynamik offener Syseme und Selbsorganisaionsphänomene SS 007 Die Koeffizienen des so erhalenen linearen Sysems sind nichs anderes die Jacobi-Mari des nichlinearen Sysems: d dy f = g f y g y r y d r, bzw. = J Daraus folg für die Analyse der Sabiliä des ausgewählen saionären Zusandes folgender Algorihmus: Bildung der charakerisischen Deerminanen aus der Jacobimari J k E = 0 Lösung der charakerisischen Gleichung Unersuchung der Vorzeichen der Realeile aller Eigenwere: wenn auch nur ein Re(k i ) > 0 Zusand is insabil! "REPELLOR" wenn alle Re(k i ) < 0 Zusand is asympoisch sabil! "ATTRAKTOR" 5-

12 Ludwig Pohlmann Thermodynamik offener Syseme und Selbsorganisaionsphänomene SS 007 Analyse von Ein-Variablen-Sysemen am Beispiel der Schlögl-Reakion Der Einfachhei halber sei k '= 0: ( ) Jacobi - "Mari": I 3 fx = kax kx kbx =0 k ( ) df X I = = kax 3kX kb dx 3 saionäre Zusände: X < X < X 3 X = 0 k = -k B < 0 : asympoisch sabil X : insabil X : asympoisch sabil graphischer Beweis: f (X) X Bisabiliä f ' (X) X 5-