Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik

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1 Krlsruher Institut für Technologie Institut für Anlysis Dr. Christoph Schmoeger Dipl.-Mth. Sebstin Schwrz Höhere Mthemtik für die Fchrichtung Physik Lösungsvorschläge zum. Übungsbltt Aufgbe 6 (Übung) ) Beweisen Sie den erweiterten Mittelwertstz: Ist f : [, b] R stetig und g R[.b] mit g oder g, so existiert ein ξ [,b] mit b b f (x)g(x) dx = f (ξ) g(x) dx. Folgern Sie drus den Mittelwertstz der Integrlrechnung: Ist f : [, b] R stetig, so existiert ein ξ [,b] mit b f (x) dx = f (ξ)(b ). b) Sei R fest. Untersuchen Sie die folgenden Ausdrücke uf Konvergenz berechnen Sie im Flle der Existenz den Grenzwert. (i) lim h + h +h h cos(x ) dx, +h (ii) lim log(x) dx, (iii) lim. h h +h h + Lösungsvorschlg ) D f stetig uf dem kompkten Intervll [,b] ist, nimmt es sein Mximum M und sein Minimum m n. Nch Stz.() gilt lso (unter der Annhme g, der ndere Fll funktioniert nlog) Also existiert ein K [m,m] mit b b b m g(x) dx f (x)g(x) dx M g(x) dx. b b f (x)g(x) dx = K g(x) dx. Zu diesem K existiert nch dem Zwischenwertstz ein ξ [,b] mit K = f (ξ), womit die erste Behuptung folgt. Setzt mn g, so folgt die zweite Behuptung mit b dx = b. b) (i) Sei R fest gewählt. D f : R R, x cos(x ) ls Komposition stetiger Funktionen uf R stetig ist, gibt es zu jedem h > nch dem Mittelwertstz der Integrlrechnung ein ξ h [ h, + h] mit +h h cos(x ) dx = ( ( + h) ( h) ) cos(ξ h ) = hcos(ξ h ).

2 Also ist +h h h cos(x ) dx = cos(ξh ) für jedes h >. Für h + konvergiert ξ h gegen und wegen der Stetigkeit von f konvergiert dmit uch cos(ξh ) gegen cos( ). Zusmmen folgt +h lim cos(x ) dx = cos( ). h + h h (ii) Sei R fest. Für jedes h > mx{, } (Mn muss h > fordern, dmit log: [ + h, + h] R überhupt definiert ist.) existiert nch dem Mittelwertstz der Integrlrechnung ein ξ h [ + h, + h] mit Demzufolge ist h +h +h +h +h log(x) dx = (( + h) ( + h))log(ξ h ) = hlog(ξ h ). log(x) dx = log(ξ h). Mit h geht ξ h gegen und dmit strebt +h log(x) dx für h nicht. +h uch log(ξ h ) gegen. Also konvergiert der Ausdruck h (iii) Wir zeigen, dss der Grenzwert ist. Sei dzu < ε <. Wir zerlegen ds Intervll [,] in zwei Teilintervlle so, dss der Betrg des Integrls über ein Teilintervll durch ε/ bgeschätzt werden knn. Ds erste Intervll soll die Länge ε/ hben. Nch dem Mittelwertstz der Integrlrechnung gibt es ein ξ [,ε/] mit ε = ε h ξ cos(ξ) ε für jedes h (,). Für ξ [ε/,] gilt ξ ε/. Sei nun h > so klein, dss h ε/ < ε/ ist. Dnn gilt nch dem Mittelwertstz der Integrlrechnung für ein ξ [ε/,] Zusmmen können wir bschätzen = ε ε Also ist lim h + hx cos(x) dx =. Aufgbe 6 (Tutorium) ( ε/) h ξ cos(ξ) < ε } {{ }. + ε ε + ε < ε. ) Sei > und f : [,] R stetig. Beweisen Sie: Ist f gerde, lso f ( x) = f (x) für lle x [,], so gilt f (x) dx = f (x) dx. Ist f ungerde, lso f ( x) = f (x) für lle x [,], so gilt f (x) dx =.

3 b) Zeigen Sie, dss die Funktionen F,G : R R, definiert durch F(x) := sin(x) sin(e t ) dt und G(x) := sin(x) sin(e t ) dt uf R differenzierbr sind und berechnen Sie jeweils die Ableitung. x Lösungsvorschlg ) Nch.6() gilt f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx Für ds erste Integrl nutzen wir die Substitution y(x) = x. In der Schreibweise der Merkregel us der Vorlesung gilt nun dy dx =, lso dx = dy. Außerdem gilt y( ) =, y() =. Nch der Substitutionsregel folgt demnch f (x) dx, f (x) dx = f ( x)( )dy = f ( x) dx = f gerde, f (x) dx, f ungerde. Dies liefert die Behuptung. b) Die Funktion x f : R R, f (x) = sin(e t ) dt, ist nch de Huptstz (.9) differenzierbr uf R mit f (x) = sin(e x ) für lle x R, d der Integrnd stetig ist. mit g(x) := sin(x) für x R gilt nun F(x) = f (g(x)) und G(x) = f (g(x)) f (x), somit folgt mit den üblichen Rechenregeln zur Differentition, dss F und G differenzierbr sind mit F (x) = f (g(x)) g (x) = sin(e sin(x) )cos(x) und G (x) = f (g(x)) g (x) f (x) = sin(e sin(x) )cos(x) sin(e x ) für lle x R. Aufgbe 63 (Übung) ) Leiten Sie mit Hilfe prtieller Integrtion eine Rekursionsformel für cos n (x) dx (n N) her und zeigen Sie dmit, dss für k N π cos k (x) dx = π j= j, j π cos k+ (x) dx = j= j j +. b) Beweisen Sie mit Hilfe von ), dss die Wllissche Produktfolge konvergiert mit lim n w n = π. w n := n k= 4k 4k c) Sei I R ein Intervll und f : I R stetig differenzierbr. Zeigen Sie, dss sich f ls Differenz zweier monoton wchsender, stetig differenzierbrer Funktionen schreiben lässt. 3

4 d) Beweisen Sie: Ist < b und f : [,b] R stetig mit b f (x) dx =, so ist f (x) = für lle x [,b]. Lösungsvorschlg ) Wir berechnen cos n (x) dx = cos n (x) cos(x) } {{ }}{{} dx P =.I. cos n (x)sin(x) (n ) = cos n (x)sin(x) + (n ) cos n (x)( cos (x)) dx = cos n (x)sin(x) + (n ) cos n (x) dx (n ) cos n (x) dx. cos n (x)( sin(x)) sin(x) dx Bringen wir den letzten Summnden uf die linke Seite und dividieren durch n, so erhlten wir die Rekursionsformel cos n (x) dx = cosn (x)sin(x) + n cos n (x) dx. n n D der erste Term für die Grenzen und π/ entfällt für n, ergibt sich π cos k (x) dx = k π cos (k ) (x) dx = = k j= π j cos (x) dx = π j j= j j sowie π cos k+ (x) dx = k π cos (k )+ (x) dx = = k + j= j j + π cos(x) dx } {{ } =sin( π /) sin()= = j= j j + für k N. b) Definieren wir so folgt w n = k= π c k := cos k (x) dx, n k k k + k = nk= k k+ nk= k k = π c n+ c n. Es bleibt lso zu zeigen, dss c lim n+ = n c n 4

5 Wegen cos(x) [,] für x [, π/] folgt cos n (x) cos n+ cos n+ (x) uf diesem Intervll, ws wegen der Monotonie des Integrls c n c n+ c n+ liefert. Deshlb folgt c n+ c n c n+ c n = n + n + = + n + n (n ), ws nch dem Sndwichprinzip für Folgen die Behuptung liefert. c) Für ein festes I und jedes x I definieren wir f (x) := x f (t) dt, f (x) = x f (t) dt f (x). Diese Funktionen sind wohldefiniert, d die Funktion t f (t) stetig uf dem Intervll,x ist für lle x I. Außerdem ist klr, dss f = f f gilt. Es bleibt zu zeigen, dss f und f monoton wchsend sind. Nch dem Huptstz (.9) gilt f (x) = f (x), f (x) = f (x) f (x), womit die Behuptung us Folgerung.7 folgt. d) Wir nehmen n, dss f (x) für ein x [,b]. Insbesondere gilt dies uch für ein x (,b): Sind f () = f (b) =, so ist dies klr, nsonsten sei o.b.d.a. f (). Dnn ist entweder f ( b+ ) (dnn wähle x = b+ b+ ) oder f ( ) =. Dnn existiert nch dem Zwischenwertstz ein x (, b+ ) mit f (x ) = f (). Setze ε := f (x ) >. D f stetig ist, existiert ein δ > mit [x δ,x + δ] [,b] (d x ein innerer Punkt von [,b] ist) und f (x ) f (x) ε x [x δ,x + δ]. Insbesondere gilt für diese x f (x) = f (x ) (f (x ) f (x)) f (x ) f (x ) f (x) = ε f (x ) f (x) ε. Wegen der Monotonie des Integrls folgt nun b x δ x +δ ε b f (x) dx dx + x δ dx + dx = δ ε = δε >, x +δ ein Widerspruch zur Vorussetzung, womit die Annhme flsch ist und die Behuptung folgt. Aufgbe 64 (Tutorium) ) Bestimmen Sie die folgenden Integrle (i) ( + x) 3 dx, (vii) 4 rctn ( x ) dx, (v) 4 x( + x) dx, (iv) π/4 sin(x) cos(x) dx, (ii) x dx, (viii) x 3 ( + x ) 3 / dx, 5

6 (iii) / rcsin(x) x dx, (vi) e x( + log(x)) dx, (ix) xe (x) sin(e (x) ) dx. Erinnerung: rcsin (x) = x, rctn (x) = +x, sin(π/6) =, sin( π/4) = cos(π/4) =. b) Bestimmen Sie, wo möglich, die folgenden unbestimmten Integrle. (i) rcsin(x) dx, (ii) e x dx, (iii) (log(x)) dx, (iv) x + x dx, Lösungsvorschlg (v) e x sin(x) dx, (vi) x + x + 4x + 8 dx. ) (i) Entweder wir erkennen direkt die Funktion x 8 ( + x)4 ls Stmmfunktion des Integrnden, oder wir nutzen die Substitution y(x) = + x (lso dy dx =, ws dy = dx liefert, sowie y() =, y() = 3). Dmit folgt ( + x) 3 dx = 3 y 3 dy = 8 y4 3 = 8 =. 8 (ii) Wir teilen ds Integrl uf, um den Betrg ufzulösen. Es gilt x dx = x dx + ( = ) ( ) + ( ) ( x dx = x ) x ( ) = 5. ( ) + x x (iii) Mit der Substitution y(x) = rcsin(x) gilt dy dx =, lso dx = dy, sowie y() =, x x y(/) = π/6. Es folgt / π/6 rcsin(x) dx = y dy = x y π/6 = π 7 (iv) Mit y(x) = sin(x) gilt dy dx = cos(x), lso cos(x)dx = dy, sowie y() =, y( π/4) = /. Es folgt π/4 sin(x) cos(x) dx = / y dy = y / = 4. (v) Mit y(x) = x gilt dy dx = x, lso x dx = dy, sowie y() =, y(4) =. Es folgt 4 dx = x( + x) + y dy = log( + y) = log(3) log() = log( 3/). (vi) Mit y(x) = logx gilt dy dx = x, lso x dx = dy, sowie y() =, y(e) =. Es folgt e x( + log(x)) dx = + y dy = log( + y) = log() log() = log(). 6

7 (vii) Mit y(x) = x gilt x = y(x) + sowie dy dx = 4 x x = 4(y +)y, lso dx = 4y(y +)dy, sowie y() =, y(4) =. Es folgt 4 x rctn( ) dx = (4y 3 + 4y)rctn(y) dx. Dieses Integrl berechnen wir mit Hilfe prtieller Integrtion. (4x 3 + 4x) } {{ } rctn(x) } {{ } u(x) dx P.I. = (x 4 + x )rctn(x) (viii) Durch schrfes Hinsehen erkennen wir, dss x x x (+x ) 3 / x 4 + x + x dx = 3π 4 ( + x ) + x dx = 3π 4 ( + x ) dx + + x dx = 3π 4 (x + 3 x3 ) + rctn(x) = 3π π 4 = π 4 3. (+x ) / ist. Deshlb folgt mit prtieller Integrtion, dss x 3 ( + x ) dx = x x 3 / }{{} ( + x ) 3 / } {{ } dx P.I. x = ( + x ) / + eine Stmmfunktion von x ( + x ) / dx = ( + x ) / 5 = = (ix) Durch schrfes Hinsehen erkennen wir, dss x cos(e(x) ) eine Stmmfunktion von x xe (x) sin(e (x) ) ist. Deshlb folgt mit prtieller Integrtion, dss xe x sin(e x ) dx = e (x ) }{{} b) (i) Mit prtieller Integrtion folgt rcsin(x) dx = rcsin(x) } {{ } für x (,). xe (x) sin(e (x) ) } {{ } dx P.I. = cos(e(x) )e (x ) + xe (x) cos(e (x) ) dx = cos(e)e + cos() + sin(e(x) ) = (cos() sin() + sin(e) ecos(e)). }{{} v (x) dx = x rcsin(x) x x dx = x rcsin(x)+ x +C (ii) Mit der Substitution y(x) = x gilt dy dx = x, lso dx = xdy = ydy. Somit folgt e x dx = ye y dy y= x. 7

8 Ds letzte Integrl berechnen wir über prtielle Integrtion. Es gilt y e y dy P =.I. ye }{{}}{{} y e y dy = ye y e y + C = (y )e y + C. Somit folgt insgesmt e x dx = ( x )e x + C für x >. (iii) Nch der Vorlesung (Vorgehen nlog zu (i)) ist eine Stmmfunktion von log gegeben durch x x log(x) x. Durch prtielle Integrtion folgt (log(x)) dx = log(x)log(x) dx P =.I. log(x)(x log(x) x) log(x) dx = log(x)(x log(x) x) (x log(x) x x) + C = x(log(x)) x log(x) + x + C für x >. Alterntiv können wir uch y(x) = log(x) substituieren und ds so entstehende Integrl über y e y mit prtieller Integrtion berechnen. (iv) Für x (,) folgt mit prtieller Integrtion, dss x + x dx = Mit ) folgt demnch x dx = x ( x) }{{} x } {{ } dx = ( x)rcsin(x) + rcsin(x) dx x + x dx = ( x)rcsin(x) + x rcsin(x) + x + C = rcsin(x) + x + C. (v) Mit zweimliger prtieller Integrtion folgt e }{{} x sin(x) dx P =.I. e x sin(x) } {{ } e x cos(x) dx }{{}} {{ } P.I. = e x sin(x) e x cos(x) e x sin(x) dx. Addieren wir uf beiden Seiten ds letzte Integrl und dividieren durch +, so erhlten wir e x sin(x) dx = ex (sin(x) cos(x)) + C + für x R. (vi) Es gilt x + x + 4x + 8 dx = x + 4 x + 4x + 8 dx 3 4 ( x + ) + dx. 8

9 Im erste Integrl erkennen wir im Zähler die Ableitung des Nenners, weswegen eine Stmmfunktion durch x log(x + 4x + 8) gegeben ist (eine Substitution y(x) = x + 4x + 8 mcht dies deutlich). Im zweiten Integrl substituieren wir y(x) = x dx = dy. Somit folgt x + x + 4x + 8 dx = log(x +4x+8)+C 3 + mit dy dx =, lso y + dy y= x + = log(x +4x+8) 3 ( ) x rctn + +C. für x R. Anmerkung: Der Ausdruck x + 4x + 8 ist positiv für lle x R. Stünde im Nenner des ersten Integrls ein Ausdruck, der (uch) negtiv sein knn, so müsste mn die Nullstellen für die Stmmfunktion ntürlich usschließen und die Stmmfunktion in den restlichen Punkten wäre durch den Logrithmus des Betrgs gegeben, wie mn nhnd einer Fllunterscheidung erkennt. Aufgbe 65 (Übung) Bestimmen Sie die Lösung des folgenden Anfngswertproblems. y (x) = x y(x) + x, y() =. + x Lösungsvorschlg Es hndelt sich bei der Differentilgleichung um eine linere homogene Differentilgleichung erster Ordnung. In der Nottion des Stzes. sei x =, y =, : R R mit x x und b : R R +x mit x x. Es gilt sowie x x e A(s) b(s) ds = x x s A(x) := (s) ds = ds = [ + s ] s=x = + x x + s s= x e +s + s ds = x [ s=x P.I. = + s e +s +] s= = + x e +x + + ( ) s + s e +s + ds + s x + [ e +s + s + s e +s + ds ] s=x s= = ( + x + )e +x + für lle x R. Nch dem Stz us Abschnitt. der Vorlesung ist y : R R mit x y(x) = y e A(x) + e A(x) e A(s) b(s) ds = 3e +x + x x für lle x R die mximle Lösung des Anfngswertproblems. Aufgbe 66 (Tutorium) Bestimmen Sie die Lösung der folgenden Anfngswertprobleme. ) y (x) = xy(x) + x 3, y() =. b) y (x) = x 4xy(x) +x, y() =. 9

10 Lösungsvorschlg ) Es hndelt sich bei der Differentilgleichung um eine linere Differentilgleichung erster Ordnung. In der Nottion des Stzes. sei x =, y =, : R R mit x x und b : R R mit x x 3. Es gilt sowie x x e A(s) b(s) ds = x A(x) := x s 3 e s ds = x (s) ds = x x s ds = [ s ] s=x s= = x = x e x [ e s ] s=x = s= ( + x )e x s ( s)e s ds P =.I. [ s e s] s=x x ( s)e s ds s= für lle x R. Nch dem Stz us Abschnitt.3 der Vorlesung ist u : R R mit y(x) = y e A(x) + e A(x) x x e A(s) b(s) ds = e x für lle t R die mximle Lösung des Anfngswertproblems. + x b) Es hndelt sich bei der Differentilgleichung um eine linere Differentilgleichung erster Ordnung. In der Nottion des Stzes. sei x =, y =, : R R mit x 4x b : R R mit t x. Es gilt +x x x A(x) := (s) ds = x sowie x x e A(s) b(s) ds = = x [ s 3 4s + s ds = [ log( + s ) ] ( s=x = log( + s= x ) = log ( e log 3 + s5 5 ) (+s ) ] s=x s= s + s ds = = x3 3 + x5 5 x ( + x ) ( + s ) s x + s ds = s + s 4 ds für lle x R. Nch der Bemerkung nch Stz. der Vorlesung ist y : R R mit y(x) = u e A(x) + e A(x) x x e A(s) b(s) ds = + x3 für lle x R die mximle Lösung des Anfngswertproblems. 3 + x5 5 ( + x ) +x und )