Magnetics 4 Freaks Alles rund um den Elektromagnetismus Sommersemester 2012

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1 Magnetics 4 Freaks Alles rund um den Elektromagnetismus Sommersemester 2012 Willkommen an der Reinhold Würth Hochschule in Künzelsau Die Kolloquiumsreihe von Hochschule und Industrie Prof. Dr.-Ing. Jürgen Ulm Institut für schnelle mechatronische Systeme (ISM) Seite 1 Programm Wintersemester 2010/11 Falls Veranstaltung abgesagt werden muss Neuer Hinweis Seite 2 1

2 Programm Wintersemester 2010/11 Seite 3 Neuigkeiten am Campus Künzelsau Studenten- und Dozentenaustausch mit der Northumbria University Newcastle Seite 4 2

3 Neuigkeiten am Campus Künzelsau Seite 5 Neuigkeiten am Campus Künzelsau Seite 6 3

4 Inhaltsverzeichnis 1. Mathematische Grundlagen 2. Klassifikation der Felder 3. Erste Maxwell sche Gleichung 4. Zweite Maxwell sche Gleichung 5. Dritte Maxwell sche Gleichung 6. Vierte Maxwell sche Gleichung 7. Magnetische Scherung 8. Magnetische Energie 9. Induktivität 10. Dauermagnete Seite 7 Inhaltsverzeichnis 1. Mathematische Grundlagen 2. Klassifikation der Felder 3. Erste Maxwell sche Gleichung 4. Zweite Maxwell sche Gleichung 5. Dritte Maxwell sche Gleichung 6. Vierte Maxwell sche Gleichung 7. Magnetische Scherung 8. Magnetische Energie 9. Induktivität 10. Dauermagnete Seite 8 4

5 1. Mathematische Grundlagen Flächen: Offene Fläche: Ein Fläche heißt offen, wenn zwei Punkte, die nicht auf der Fläche liegen, durch eine Kurve verbunden werden können. Geschlossene Fläche: Eine Fläche heißt geschlossen, wenn sie den Raum in zwei getrennte Bereiche teilt. z geschlossene Fläche z offene Fläche y P 1 P 2 y x x Beispiel: Kugel Seite 9 1. Mathematische Grundlagen Integrale: Kurven- Linienintegral: Der Integrationsweg ist eine Kurve. y ds P 1 P 2 x S P2 P1 f ( x, y) ds Umlauf- Kreisintegral: Ein Umlaufintegral ist ein Kurvenintegral über einen geschlossenen Integrationsweg. y ds S f ( x, y) ds s Integral über eine Fläche: z Volumen- Dreifachintegral: y x O f ( x, y) dxdy s Integral über eine geschlossene Fläche: z z y x O...dA A x y V f ( x, y, z) dzdydx x y z x Seite 10 5

6 Inhaltsverzeichnis 1. Mathematische Grundlagen 2. Klassifikation der Felder 3. Erste Maxwell sche Gleichung 4. Zweite Maxwell sche Gleichung 5. Dritte Maxwell sche Gleichung 6. Vierte Maxwell sche Gleichung 7. Magnetische Scherung 8. Magnetische Energie 9. Induktivität 10. Dauermagnete Seite Klassifikation der Felder Quellenfelder (wirbelfreie Felder): elektrostatische Felder Quellenfreie Felder (Wirbelfelder): Magnetische Feldlinien Feldlinien des induzierten elektrischen Feldes Eigenschaft: Feldlinien besitzen Anfang und Ende Eigenschaft: Feldlinien besitzen weder Anfang noch Ende Seite 12 6

7 Inhaltsverzeichnis 1. Mathematische Grundlagen 2. Klassifikation der Felder 3. Erste Maxwell sche Gleichung 4. Zweite Maxwell sche Gleichung 5. Dritte Maxwell sche Gleichung 6. Vierte Maxwell sche Gleichung 7. Magnetische Scherung 8. Magnetische Energie 9. Induktivität 10. Dauermagnete Seite Erste Maxwell sche Gleichung James Clerk Maxwell ( ) Begründer der Elektrodynamik Maxwellsche Gleichungen Übersicht: 1. Maxwell sche Gleichung: Durchflutungsgesetz (Ampère sche Gesetz) 2. Maxwell sche Gleichung: Induktionsgesetz (Faraday sche Gesetz) 3. Maxwell sche Gleichung: Quellenfreiheit (Divergenzfreiheit) des magnetischen Feldes 4. Maxwell sche Gleichung: quellenbehaftetes elektrisches Feld (Divergenz) Seite 14 7

8 3. Erste Maxwell sche Gleichung: Durchflutungsgesetz Gerader stromdurchflossener Leiter Rechte-Hand-Regel H [A/m], [A], s [m] Durchflutung (Theta) s H I Feldlinienlänge x Feldstärke = Durchflutung Seite Erste Maxwell sche Gleichung: Durchflutungsgesetz Anordnungen gleicher Durchflutung: N I konstant Seite 16 8

9 3. Erste Maxwell sche Gleichung: Durchflutungsgesetz Gerader stromdurchflossener Leiter der Umfang einer Feldlinie wird bequem mit dem Kreisintegral beschrieben s... ds damit wird das Durchflutungsgesetz erneut formuliert Hds N I Zirkulation = Vektortangentialkomponente Umfang Seite Erste Maxwell sche Gleichung: Durchflutungsgesetz Beispiel: Feld außerhalb des Leiters Hds s ds r d 2 H r d 0 H r 2 N I H 2 r r [R; ] N I Feld innerhalb des Leiters s s Hds J A Hds s Hds Mit: folgt H I 2 r [0;R] I r 2 R 2 r r R 2 2 Seite 18 9

10 3. Erste Maxwell sche Gleichung: Durchflutungsgesetz Beispiel: H fe s Hds N l fe H N I H Fe Hi li l Fe H l Legende: = Durchflutung (Theta) [A], N = Windungszahl, H = magnetische Feldstärke [A/m] In einem magnetischen Kreis entspricht die Summe der magnetischen Spannungsabfälle der Durchflutung. Seite Erste Maxwell sche Gleichung: Durchflutungsgesetz z r 1r2 Überlagerung (Superponierung): s Hds H s N I I ist für alle N Windungen gleich H I A si 2 ri 1 N H N i1 si Hi I si I Seite 20 10

11 3. Erste Maxwell sche Gleichung: Durchflutungsgesetz Gesetz von Biot-Savart: R 0 H(P) H ( z) I R 2 0 3/ 2 Z 2 2 z P 2R0 z ez Legende: R 0 = Spulenradius [m] I = Strom [A] P = Aufpunkt z = Abstand Mittelpunkt Spule zu Aufpunkt P N = Anzahl Windungen Anwendung: H-Feldberechnung einer Spule mit N Windungen H z Z Für N Leiterschleifen wird das Superpositionsprinzip angewendet. Seite Erste Maxwell sche Gleichung: Durchflutungsgesetz H-Feld einer Spule Magnetische Feldstärke H (for freaks only!) Seite 22 11

12 Inhaltsverzeichnis 1. Mathematische Grundlagen 2. Klassifikation der Felder 3. Erste Maxwell sche Gleichung 4. Zweite Maxwell sche Gleichung 5. Dritte Maxwell sche Gleichung 6. Vierte Maxwell sche Gleichung 7. Magnetische Scherung 8. Magnetische Energie 9. Induktivität 10. Dauermagnete Seite Zweite Maxwell sche Gleichung: Induktionsgesetz Linke-Hand-Regel der Induktion: Physikalischer Inhalt der zweiten Maxwell schen Gleichung: Jede(r) sich zeitlich ändernde magnetische Feldstärke, Fluss, Flussdichte umgibt sich mit einem elektrischen Feld Ei, dessen Feldlinien in sich geschlossen sind. Legende:, magnetischer Fluss [Vs]; Ei, induziertes elektrisches Wirbelfeld [V/m]; Beispiel mit zeitlich veränderlichen Fluss Seite 24 12

13 4. Zweite Maxwell sche Gleichung: Induktionsgesetz Der Stab wird durch das B-Feld bewegt. Die Lorentz-Kraft F L FL Qv B treibt die Elektronen nach hinten. Durch die Ladungsverschiebung entsteht die elektrische Kraft F el Fel QE die einen Gleichgewichtszustand hervorruft und den Ladungstrennungsvorgang beendet. Es verbleibt F L Fel Q = Ladung [As]; B = Flussdichte [Vs/m²]; E Q = elektrische Feldstärke (Quellenfeld) [V/m] E i = induziertes Feld (Wirbelfeld) [V/m] Bewegter Leiter im zeitl. konst. Feld. B B B B B B + F el B B B e B F L v E i Seite Zweite Maxwell sche Gleichung: Induktionsgesetz Die beiden Kräfte F L und F el werden durch ihre elektrischen und magnetischen Größen F L F QvB QE beschrieben. Eine Wegintegration über die Leiterlänge l führt zur gesuchten induzierten Spannung u ind zwischen den Stabenden 2innen 1innen vb dl el E EQ Ei 2außen 1außen u E dl ind _ außen Bewegter Leiter im zeitl. konst. Feld. B B 1 + F el B B e l F L v 2 B E Q Ei Seite 26 13

14 4. Zweite Maxwell sche Gleichung: Induktionsgesetz Zeitlich veränderl. Feld, ruhender Leiter. Es sei d/dt > 0, also zunehmender Fluss. u ind Ei E dl u ind (t) = im Ringsegment induzierte Spannung [V], E Q = elektrische Feldstärke (Quellenfeld) [V/m] Ei = induziertes Feld (Wirbelfeld) [V/m] Q u Induzierte Spannung: ind _ außen 0 Ei E Q dl 2außen 1außen 2innen 1innen - Ei E Q EQ Ei dl d dl dt Ei dl 2innen Ei EQ uind 1innen d dt Linke-Hand Regel: Die Richtung der im Leiter induzierten Spannung (Daumen) ist der Richtung der Flussänderung (Finger) so zugeordnet, wie die Drehrichtung einer linksgängigen Schraube. Seite Zweite Maxwell sche Gleichung: Induktionsgesetz Vom offenen Ringsegment zum geschlossenen Kreis: Grenzübergangsbetrachtung Spaltbreite b0: 2 dl dl 1 E Q 0 damit findet ein Ladungsausgleich statt, der einen Stromfluss zur Folge hat. Im Leiter mit der Querschnittsfläche A stellt sich die Stromdichte J ein. Es ist J i E; J A d E dl dt J l iind l A A d iind l dt = spezifische elektrische Leitfähigkeit des Leiters [1/(m)], J = Stromdichte [A/m²], Seite 28 14

15 4. Zweite Maxwell sche Gleichung: Induktionsgesetz Anwendungsbeispiel 1: uind = in Leiterschleife induzierte Spannung [V], E = elektrische Feldstärke [V/m], v = Leiterschleifengeschwindigkeit [m/s], B = magnetische Flussdichte [Vs/m²], dc = differenzieller Leiterschleifenumfang [m], c = Leiterschleifenumfang [m], Seite Zweite Maxwell sche Gleichung: Induktionsgesetz Anwendungsbeispiel 1: Seite 30 15

16 4. Zweite Maxwell sche Gleichung: Induktionsgesetz Anwendungsbeispiel 1: Seite Zweite Maxwell sche Gleichung: Induktionsgesetz Anwendungsbeispiel 2: MATLAB-Simulationsergebnis bz = Zahnbreite [m], bm = Magnetbreite [m], = Luftspalt [m]. Seite 32 16

17 Inhaltsverzeichnis 1. Mathematische Grundlagen 2. Klassifikation der Felder 3. Erste Maxwell sche Gleichung 4. Zweite Maxwell sche Gleichung 5. Dritte Maxwell sche Gleichung 6. Vierte Maxwell sche Gleichung 7. Magnetische Scherung 8. Magnetische Energie 9. Induktivität 10. Dauermagnete Seite Dritte Maxwell sche Gleichung Quellenfreiheit magnetischer Felder: Kontrollvolumen Die in die Volumenoberfläche eintretenden magnetischen Feldlinien sind gleich den aus der Volumenoberfläche austretenden Feldlinien. A B da 0 Die Integration erfolgt über eine geschlossene Oberfläche. Aus dieser Gleichung geht hervor, dass Magnetische Feldlinien weder Anfang noch Ende haben und damit quellenfrei sind. A = Oberfläche des Kontrollvolumens [m²] Seite 34 17

18 Inhaltsverzeichnis 1. Mathematische Grundlagen 2. Klassifikation der Felder 3. Erste Maxwell sche Gleichung 4. Zweite Maxwell sche Gleichung 5. Dritte Maxwell sche Gleichung 6. Vierte Maxwell sche Gleichung 7. Magnetische Scherung 8. Magnetische Energie 9. Induktivität 10. Dauermagnete Seite Vierte Maxwell sche Gleichung Außerhalb des Volumens Ladungszufuhr durch die Oberfläche = Innerhalb des Volumens Ladungserhöhung im Volumen Q m² m² zufuhr Qinnen m³ m³ Q m² zufuhr m² Q m³ innen m³ Q = elektrische Ladung [As], = Ladungsdichte, Raumladungsdichte [As/m³], = Permittivität [As/(Vm)], D = elektrische Flussdichte [As/m²], D m² m³ Seite 36 18

19 6. Vierte Maxwell sche Gleichung Die über eine geschlossene Oberfläche A eintretende elektrische Ladung Q ist gleich der Zunahme der im Volumen befindlichen Ladungsdichte D da A V dv (Ladungserhaltungsgesetz) Q = elektrische Ladung [As], = Ladungsdichte, Raumladungsdichte [As/m³], D = elektrische Flussdichte [As/m²], Es ist D = E. Damit wird A E da dv, V 0 was auch bedeutet, dass ein elektrisches Feld, welches über eine Oberfläche in ein Volumen eindringt, innerhalb des Volumens enden kann. Damit haben elektrische Feldlinien einen Anfang und Ende. Elektrische Felder sind somit Quellenfelder. Seite 37 Inhaltsverzeichnis 1. Mathematische Grundlagen 2. Klassifikation der Felder 3. Erste Maxwell sche Gleichung 4. Zweite Maxwell sche Gleichung 5. Dritte Maxwell sche Gleichung 6. Vierte Maxwell sche Gleichung 7. Magnetische Scherung 8. Magnetische Energie 9. Induktivität 10. Dauermagnete Seite 38 19

20 7. Magnetische Scherung Definition der Scherung (Transvektion): Unter Scherung (Transvektion) versteht man in der Geometrie die Überführung einer zweidimensionalen geometrischen Figur in eine andere Figur unter Beibehaltung der Höhe. Die Gerade a ist parallel zur Geraden, die durch P und P festgelegt ist. A ist der Fußpunkt des Lots von P auf a. Der Winkel entsteht durch Translation von P nach P. Durch Anwendung der Transvektion wird ein Parallelogramm zu einem Rechteck. Seite Magnetische Scherung Anwendung der Scherung auf den magnetischen Kreis: H fe Magnetische Durchflutung: H fe l fe H H B fe mit Bfe H 0 folgt Bfe Hfe lfe 0 durch Umstellen nach der Flussdichte B fe folgt 0 l fe H fe 0 Seite 40 20

21 7. Magnetische Scherung Geradensteigung: B fe 0 l fe H fe 0 Annahme H fe = 0: Bfe 0 Annahme B fe = 0: H fe lfe Seite Magnetische Scherung Scherungsgerade: Fazit: ein Luftspalt bewirkt eine Linearisierung der Kennlinie Seite 42 21

22 7. Magnetische Scherung Anwendung der Scherung an dem Beispiel einer nichtlinearen Werkstoffkennlinie: Seite 43 Inhaltsverzeichnis 1. Mathematische Grundlagen 2. Klassifikation der Felder 3. Erste Maxwell sche Gleichung 4. Zweite Maxwell sche Gleichung 5. Dritte Maxwell sche Gleichung 6. Vierte Maxwell sche Gleichung 7. Magnetische Scherung 8. Magnetische Energie 9. Induktivität 10. Dauermagnete Seite 44 22

23 8. Magnetische Energie Definition Energie und Co-Energie: H [A/m]; B [Vs/m²] Magnetische Energiedichte w mag B HdB; [J/m³] Magnetische Co-Energiedichte w co mag Magnetische Energie W Magnetische Co-Energie W mag co mag H V V BdH; w w mag co mag dv; [J] dv; [J/m³] [J] Seite Magnetische Energie Magnetischer Fluss B da B A A Magnetische Durchflutung: N I [A]; [Vs]; B [Vs/m²]; Seite 46 23

24 8. Magnetische Energie Wandlung magnetischer Energie in mechanische Energie: W mech Mechanische Energie berechnet aus der Co-Energie-Differenz W mech W co mag co minw max mag Seite 47 Inhaltsverzeichnis 1. Mathematische Grundlagen 2. Klassifikation der Felder 3. Erste Maxwell sche Gleichung 4. Zweite Maxwell sche Gleichung 5. Dritte Maxwell sche Gleichung 6. Vierte Maxwell sche Gleichung 7. Magnetische Scherung 8. Magnetische Energie 9. Induktivität 10. Dauermagnete Seite 48 24

25 9. Induktivität Magnetischer und verketteter magnetischer Fluss: Legende:, magnetischer Fluss [Vs];, verketteter magnetischer Fluss [Vs]; A, Fläche [m²] B, Flussdichte [Vs/m²]; N, Windungszahl [1]; N/S, Nord/Süd Seite Induktivität Induktivität im linearen Magnetkreis: Im linearen Magnetkreis ist der verkettete Fluss dem durch die Spule fließenden Strom proportional: L I I I L I Induktivität im nichtlinearen Magnetkreis: Im nichtlinearen Magnetkreis zeigt die Induktivität eine Stromabhängigkeit. Es wird deshalb die differentielle Induktivität eingeführt: Ld L d di di L d d I Seite 50 25

26 9. Induktivität Gegenüberstellung von Induktivität mit differenzieller Induktivität am Beispiel einer MATLAB-Simulation: Differenzielle Induktivität Induktivität Seite 51 Inhaltsverzeichnis 1. Mathematische Grundlagen 2. Klassifikation der Felder 3. Erste Maxwell sche Gleichung 4. Zweite Maxwell sche Gleichung 5. Dritte Maxwell sche Gleichung 6. Vierte Maxwell sche Gleichung 7. Magnetische Scherung 8. Magnetische Energie 9. Induktivität 10. Dauermagnete Seite 52 26

27 10. Dauermagnete Ermittlung des Arbeitspunktes: Die Ermittlung des Arbeitspunktes erfolgt mit Hilfe des Energiedichteprodukts (BH)max, dessen Lage die Flussdichte B und damit verbunden die Feldstärke H vorgibt. Das Energiedichteprodukt wird mit BH berechnet und auf der x-achse (Abszisse) als unabhängige Variable von B=f(BH) aufgetragen. Seite Dauermagnete Einfluss Arbeitsluftspalt auf den Arbeitspunkt: Seite 54 27

28 10. Dauermagnete Einfluss Arbeitsluftspalt auf den Arbeitspunkt: Bei Luftspaltvergrößerung von 1 2 wandert d. Arbeitspunkt auf Entmagnetisierungskennlinie 1 von P1 P2. Bei anschließender Luftspaltverkleinerung von 21 wandert der Arbeitspunkt auf der Magnetisierungskennlinie 2 von P2 P3. Die Folge ist eine irreversible Entmagnetisierung von Br1 auf Br2, da Arbeitspunkt unterhalb des Knies wandert. Seite Dauermagnete Einfluss Temperatur T auf den Arbeitspunkt: Es sei die Temperatur T1<T2<T3<T4. Die Erhöhung der Temperatur bewirkt eine Verschiebung des Arbeitspunkts P1 auf der Arbeitsgeraden hin zu P4. Die Folge ist eine irreversible Entmagnetisierung bei P4, da Arbeitspunkt unterhalb des Knies wandert. Seite 56 28

29 10. Dauermagnete Einfluss Bauform auf den Arbeitspunkt: Die optimale Platzierung des Arbeitspunkts erfordert die richtige Dimensionierung der Magnetabmessungen. Werkstoffe mit hoher Remanenzinduktion und geringer Koerzitivfeldstärke (AlNiCo) sollen geometrisch vorzugsweise langgestreckt sein. Werkstoffe mit geringer Remanenzinduktion und hoher Koerzitivfeldstärke (Ferrit) sind geometrisch eher breit und kurz zu verwenden. Seite 57 Programm Wintersemester 2010/11 Seite 58 29

30 Magnetics 4 Freaks Alles rund um den Elektromagnetismus Wintersemester 2011/12 Willkommen an der Reinhold Würth Hochschule in Künzelsau Die Kolloquiumsreihe von Hochschule und Industrie Prof. Dr.-Ing. Jürgen Ulm Institut für schnelle mechatronische Systeme (ISM) Seite 59 30