Fortgeschrittene Teilchenphysik

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Gertrud Wetzel
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1 Albert-Ludwigs-Universität Freiburg Wintersemester 008/09 Fortgeschrittene Teilchenphysik Markus Schumacher Übung X Matthew Beckingham und Markus Warsinsky Anwesenheitsaufgaben Aufgabe 49 Z 0 -Breite und die Anzahl leichter Neutrinosorten (i) Die totale Zerfallsbreite des Z 0 -Bosons ist: Γ Z 0 = Γ e + Γ µ + Γ τ + Γ had + Γ inv Dabei sind die Partialbreiten aus Zerfällen in Leptonenpaare l l, Γ had die Partialbreite aus hadronischen Zerfällen und Γ inv die Partialbreite aus Zerfällen in unsichtbare Teilchen Zeigen sie, dass das Verhältnis von unsichtbarer und leptonischer Zerfallsbreite pro Familie gegeben ist durch R inv = Γ inv = [ 1πR l σ had peak M Z 0 ]1 R l 3 Dabei ist R l = Γ had und σpeak had ist der Wirkungsquerschnitt für Z0 Hadronen für s = m Z 0 (ii) Benutzen Sie die theoretische Vorhersage des Standardmodells Hinweise: sowie das Ergebnis R inv = N ν ( Γν ( Γνl ) SM ) SM = 1,9915, um zu zeigen, dass das Standardmodell N ν = 3 leichte Neutrinos enthält m Z 0 = 91,1876 GeV R l = 0,767 σpeak had = 41,540 nb

2 Aufgabe 50 Kinematik tiefinelastischer Elektron-Proton-Streuung Tiefinelastische Elektron-Proton-Streuung kann als elastische Streuung mit einem Parton betrachtet werden W Quark Dabei trägt das Parton den Anteil x des Protonenimpulses P Die Impulse des ein- und auslaufenden Elektrons sind k und k, der Impulsübertrag q = k k (i) Zeigen Sie, dass x gerade gleich x Bjorken = q P q ist, wenn der Transversalimpuls des Partons, die Partonenmasse sowie die Masse des Elektrons und die des Protons vernachlässigbar sind (ii) Zeigen Sie, dass die Lorentz-Invariante ν = P q M gleich dem Energieübertrag ν = E E des Elektrons im Ruhsystem des Protons ist (iii) Abbildung 1 zeigt ein typisches Ereignis tiefinelastischer Streuung, wie es mit dem ZEUS-Detektor am DESY aufgenommen wurde Dabei kommt das Positron von links mit einer Energie von 7,5 GeV, das Proton von rechts mit einer Energie von 80 GeV Der Polarwinkel wird bei ZEUS von der Richtung des Protonenstrahls aus gemessen Beim beschriebenen Ereignis wird das Elektron nach θ e = 39,3 gestreut und deponiert E e = 166 GeV im elektromagnetischen Kalorimeter Die folgenden Lorentz-Invarianten stehen für die kinematische Beschreibung des Ereignisses zur Verfügung: x = q P q y = P q P k s = (k + P) Q = q Leiten Sie eine Beziehung zwischen Q, x, y und s her Dabei ist s für den Kollisionsprozess fest, so dass zwei Freiheitsgrade bleiben Vernachlässigen Sie wiederum alle Teilchenmassen Berechnen Sie x und Q für das beschriebene Ereignis Hinweis: Berechnen Sie x aus y und Q

3 Abbildung 1: Bei ZEUS aufgezeichnetes Ereignis tiefinelastischer Streuung in der r-z-projektion (ol) und r-φ-projektion (or) sowie in der η-φ-ebene Der Polarwinkel wird bei ZEUS von der Richtung des Protonenstrahls aus gemessen ( von oben in der Abbildung ol) und definiert die in guter Näherung Lorentz-invariante Pseudorapidität η = lntan ( θ )

4 Hausaufgaben Aufgabe 51 Vorwärts-Rückwärts-Asymmetrie 4 Punkte In der Vorlesung wurde die Vorwärts-Rückwärts-Asymmetrie bei der Produktion von Fermionenpaaren f f angegeben: Dabei ist σ vorw σ rückw = N Cπ s A f vorw-rückw = σ vorw σ rückw σ tot [ 8αQ f R(χ) c ae c af + 16 χ 8c ve c vf c ae c af ] Bestimmen Sie für den Prozess e + e µ + µ numerisch die Vorwärts-Rückwärts-Asymmetrie A µ vorw-rückw für folgende Werte der Schwerpunktsenergie: s = 30 GeV, mz 0 1 GeV, m Z 0,m Z GeV und 00 GeV Aufgabe 5 Polarisationsbestimmung von τ-leptonen 6 Punkte Die Vorwärts-Rückwärts-Asymmetrie für die Produktion von τ-leptonen bei LEP wurde ua über die Messung der Polarisation der τ-leptonen über den Zerfall τ πν τ bestimmt (i) Betrachten Sie den Zerfall τ π ν τ im Ruhesystem des τ -Leptons Zeigen Sie grafisch, wie sich die bevorzugte Bewegungsrichtung der Pionen zur Spinrichtung der τ -Leptonen verhält (ii) Die differentielle Zerfallsbreite für τ π ν τ ist im Ruhesystem des τ -Leptons gegeben durch: 1 dγ = 1 Γ d cos θ π (1 + P τ cos θ π ) Dabei ist θ π der Winkel zwischen dem Impuls des Pions und dem Spin des τ -Leptons sowie P τ die Polarisation des τ -Leptons Zeigen Sie durch eine Koordinatentransformation, dass die differentielle Zerfallsbreite im Laborsystem durch 1 dγ = 1 + P τ (κ π 1) Γ dκ π gegeben ist Dabei ist κ π = Eπ E τ die mit der Energie des τ -Leptons skalierte Energie des Pions Beachten Sie, dass die Gesamtenergie des τ -Leptons sehr viel größer als dessen Ruhemasse ist und machen Sie sich die Konsequenzen für die Impulse der Zerfallsprodukte senkrecht und parallel zur τ -Flugrichtung klar dγ (iii) Wie sieht die Verteilung 1 Γ dκ π für P τ = ±1 sowie für P τ = 14 % (LEP-Messwert) aus? Aufgabe 53 Tiefinelastische Streuung im Quark-Parton-Modell 6 Punkte Die Ergebnisse tiefinelastischer ep-streuung sollen auf elastische Streuprozesse mit den im Proton enthaltenen Partonen zurückgeführt werden (i) Der Wirkungsquerschnitt des elastischen Streuprozesses eines Elektrons an einem punktförmigen Teilchen in Ruhe (Ladung q, Spin 1 ) ist gegeben durch: dσ dω = α q E θ Q (cos 4E sin 4 θ + θ ) E M sin (1) Dabei sind E und E die Energien des ein- bzw auslaufenden Elektrons, θ der Streuwinkel und Q = t der Impulsübertrag auf das Proton Erklären Sie die Bedeutung der verschiedenen Terme in Gleichung (1) Wie verändert sich der Wirkungsquerschnitt in den Fällen spinloser Targetteilchen bzw sehr schwerer Targetteilchen? (ii) Die elastische Streuung von Elektronen an Protonen wird durch die Rosenbluth-Gleichung beschrieben: dσ dω = α E ( 16M E sin 4 θ K (Q )cos θ E + K 1(Q )sin θ ) () Die Größen K 1 (Q ) und K (Q ) sind die aus der Vorlesung bekannten Formfaktoren, die über eine Fourier-Transformation mit der Ladungsverteilung und dem magnetischen Dipolmoment zusammenhängen Lesen Sie aus Gleichungen (1) und () die Formfaktoren eines punktförmigen Teilchens ab

5 (iii) Inelastische Streuprozesse von Elektronen an Protonen werden durch den differentiellen Wirkungsquerschnitt dσ α ( dωde = 4E sin 4 θ W (Q, x)cos θ + W 1(Q, x)sin θ ) (3) beschrieben Die Strukturfunktionen W 1 (Q, x) und W (Q, x) hängen von Q und der Bjorken-Variablen x ab Im Experiment werden üblicher Weise E und θ gemessen, zur theoretischen Beschreibung hingegen werden die Lorentz-Invarianten Q und x (oder ν) bevorzugt Nehmen Sie an, dass das Proton aus i Quarks der Massen m i besteht, wobei die Quarks Anteile z i am Gesamtimpuls des Protonenimpulses p tragen Leiten Sie einen Ausdruck für die Strukturfunktionen W i 1, her Der Ansatz W 1, (Q, x) = K 1,(Q, x) MQ δ(x 1) (4) für die Strukturfunktionen W 1, mit Gleichung (3) führt zur Rosenbluth-Gleichung (s Aufgabe 54), also x = 1 elastischer Streuung entspricht Welche Beziehungen bestehen zwischen den m i und der Gesamtmasse M sowie zwischen x i und x? (iv) Die Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Impulsanteile z i seien f i (z i ) Leiten Sie einen Ausdruck für W 1 und W her, indem Sie über z i integrieren und über alle Quarks des Protons summieren (v) Es wurde beobachtet, dass die dimensionslosen Strukturfunktionen F 1 (x) = MW 1 (Q, x) und F (x) = νw (Q, x) (5) in erster Ordnung nur von der Bjorken-Variablen x abhängen Dieses Phänomen ist als Bjorken-Skalierung bekannt Wie lässt sie sich im Quark-Parton-Modell erklären? Welche Beziehung zwischen F und F 1 erwarten Sie unter der Voraussetzung, dass die Partonen bzw Quarks jeweils Spin 1 tragen? Diese Beziehung ist als Callan-Gross-Beziehung bekannt Wie sieht sie für spinlose Partonen im Proton aus? Experimente liefern deutliche Hinweise auf die Gültigkeit von xf 1 F = 1 Aufgabe 54 Elastische Streuung als Grenzfall der Inelastischen Streuung 4 Punkte Setzen Sie den Ansatz aus Gleichung (4) in Gleichung (3) ein, um die Rosenbluth-Gleichung () für die elastische Streuung von Elektronen an Protonen herzuleiten Betrachten Sie dazu den Fall elastischer Streuung: d σ dωde d σ dωde δ(x 1) Schreiben Sie den differentiellen Wirkungsquerschnitt d σ dωde um als d σ dωdq Definieren Sie f(q ) x 1 und ermitteln Sie daraus Q 0, so dass f(q 0 ) =! 0 gilt Führen Sie so δ(x 1) auf eine Delta-Funktion in der Variablen Q zurück und berechnen Sie schließlich dσ dω aus d σ dωdq

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