Anmerkungen zu Mengen und Abbildungen
|
|
- Julius Falko Brahms
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Anmerkungen zu Mengen und Abbildungen Kartesisches Produkt von n Mengen und n-stellige Relationen Sind M 1, M,, M n nichtleere Mengen, so ist ihr kartesisches Produkt erklärt als Menge aller geordneter n-tupel (x 1,, x n ) mit x 1 M 1, x M,, x n M n, dh M 1 M M n := { (x 1,, x n ) x k M k für k = 1,, n } Der R n := R R mit n Faktoren ist ein wichtiges Beispiel Eine beliebige Teilmenge des kartesischen Produktes M 1 M M n heißt auch eine n-stellige Relation Funktionen (=Abbildungen) Es seien A, B nichtleere Mengen Eine Funktion bzw Abbildung f mit Definitionsbereich A und Wertebereich B ist eine Zuordnung, die jedem x A genau einen Wert y B zuordnet Wir schreiben dann y = f(x) und nennen f(x) das Bild bzw den Funktionswert von x Formal gesehen sind Funktionen spezielle Teilmengen G A B der kartesischen Produktmenge A B mit der Eigenschaft, daß es zu jedem x A genau ein Paar (x, y) G gibt Im Sprachgebrauch nennt man G aber meistens den Graphen der Funktion f Die Funktion f heißt injektiv, wenn für alle x, y A aus f(x) = f(y) stets x = y folgt Die Funktion f heißt surjektiv, wenn es zu jedem z B mindestens ein x A gibt mit f(x) = z Eine injektive und surjektive Funktion f wird auch bijektiv bzw Bijektion genannt Zu jeder bijektiven Funktion f : A B gibt es die sogenannte Umkehrabbildung f 1 : B A, wobei für jedes y B der Wert x = f 1 (y) der Umkehrabbildung durch die Beziehung f(x) = f(f 1 (y)) = y eindeutig bestimmt ist Es gilt (f 1 ) 1 = f Verkettung von Funktionen Sind A, B, B, C nichtleere Mengen mit B B und h : A B bzw g : B C Abbildungen, so definiert ihre Verkettung oder Komposition eine neue Funktion g h : A C gemäß (g h)(x) = g(h(x)) für alle x A Sind h : A B, g : B C und f : C D Abbildungen, so sind die Verkettungen f (g h), (f g) h : A D definiert, und es gilt das Assoziativgesetz f (g h) = (f g) h 1
2 Beispiele Abgeschlossenes Intervall: [a, b] := { x R a x b } Offenes Intervall: (a, b) := { x R a < x < b } Die Menge R + := { x R x > 0 } ist ein unendliches offenes Intervall Halboffene Intervalle: (a, b] := { x R a < x b }, [a, b) := { x R a x < b } Die Menge R + 0 := { x R x 0 } ist ein unendliches halboffenes Intervall (a) f 1 : R [ 1, 1] mit aber nicht injektiv f 1 (x) := sin x ist eine surjektive Funktion, (b) f : [ π, π ] R mit f (x) := sin x ist injektiv, aber nicht surjektiv (c) f 3 : R + 0 R + 0 mit f 3 (x) := x ist bijektiv mit Umkehrabbildung f3 1 : R + 0 R + 0, f3 1 (x) = x (d) f 4 : R R mit f 4 (x) := x ist weder injektiv noch surjektiv (e) f 5 : R R + mit f 5 (x) := e x ist bijektiv mit Umkehrabbildung f5 1 : R + R, f5 1 (x) = ln x Kompositionen Betrachte die oben erklärten Funktionen f 1,, f 5 Kompositionen wie f 3 f 1 bzw f f 5 sind nicht möglich, da nicht [ 1, 1] R + 0 und auch nicht R + [ π, π] gelten Beispiele für erlaubte Kompositionen sind dagegen: (a) f 1 f 3 : R + 0 [ 1, 1] mit (f 1 f 3 )(x) = sin(x ) (b) f 4 f 1 : R R mit (f 4 f 1 )(x) = (sin x) (c) f 5 f : [ π, π ] R+ mit (f 5 f )(x) = e sin x (d) f 5 f 1 3 : R + 0 R + mit (f 5 f 1 3 )(x) = e x
3 Symbole der Logik und Mengenlehre Logische Symbole der mathematischen Umgangssprache (1) A nicht A, () A B A und B, (3) A B A oder B, (4) A B A impliziert B, (5) A B A und B sind äquivalent, (6) x M : A(x) für alle x in M gilt A(x), (7) x M : B(x) es gibt ein x in M für das B(x) gilt In (1)-(5) sind A,B Aussagen, in (6) und (7) dagegen Aussageformen, die von einer freien Variablen x abhängen dürfen Die Variable x entstammt dabei einer festen, vorgegebenen Grundmenge M, die A und B umfasst Symbole der (nicht formalisierten) Mengenlehre Wir betrachten hier Teilmengen K, L einer vorgegebenen Grundmenge M (1) x M \ K x / K Komplement von K, () x K L x K x L Durchschnitt, (3) x K L x K x L Vereinigung, (4) x (x K x L) K L Inklusion, (5) x (x K x L) K = L Mengengleichheit Wahrheitstabellen für aussagenlogische Verknüpfungen Hier sind α und β Aussagen mit dem Wahrheitsgehalt w=wahr oder f=falsch α β α α β α β α β α β w w f w w w w w f f f w f f f w w f w w f f f w f f w w 3
4 Permutationen Permutationen sind bijektive Abbildungen einer Menge auf sich selbst Bei unendlicher Trägermenge nennt man sie auch Transformationen Liegt dagegen eine endliche Trägermenge mit n 1 Elementen zugrunde, dann spricht man von Permutationen vom Grad n Wir wählen im folgenden die feste Trägermenge N n := { 1,,, n } Matrixdarstellung der Permutationen Eine Permutation f : N n N n läßt sich wie folgt als Matrix schreiben: ( ) 1 n f = f(1) f() f(n) Die Permutationsgruppe Σ n Sind f, g : N n N n zwei beliebige Permutationen auf N n, so lassen sie sich gemäß f g : N n N n mit (f g)(x) := f(g(x)) für alle x N n zu einer neuen Permutation f g verknüpfen Die Verknüpfung ist assoziativ, und jede Permutation lässt sich mit Hilfe ihrer Umkehrfunktion rückgängig machen Damit wird die Menge Σ n = (Σ n, ) aller Permutationen auf N n zu einer Gruppe, der sogenannten Permutationsgruppe n-ten Grades Sie besteht aus n! = 1 n Permutationen Bei dieser Verknüpfung ist nicht nur deshalb Vorsicht geboten, weil die Reihenfolge der Faktoren ia nicht vertauschbar ist, sondern auch deshalb, weil einige Autoren f g in der umgekehrten Reihenfolge g(f) definieren! Dies hängt damit zusammen, daß bei unserer geläufigeren Schreibweise die Funktionsauswertung zwar von rechts nach links erfolgt, aber die Komposition von links nach rechts aufgeschrieben wird Dies kann als Diskrepanz empfunden werden Das Einselement dieser Gruppe wird auch als Identität Id bzw Id n bezeichnet und hat die Darstellung ( ) 1 n Id = 1 n Die zu f inverse Permutation f 1 entsteht aus der Matrix von f durch Vertauschung ihrer beiden Zeilen, dh ( ) f(1) f() f(n) f 1 = 1 n So erhalten wir etwa für n = 4, dh N n = { 1,, 3, 4 }, das Beispiel ( ) ( ) ( ) f =, f 1 = =
5 Die Zyklenschreibweise für Permutationen Neben der Matrixdarstellung gibt es aber auch noch die Zerlegung einer Permutation in elementfremde Zyklen Diese führt auf eine weitere sehr wichtige Darstellung für Permutationen Wir betrachten als Beispiel die Permutationen f, g : N 6 N 6 mit ( ) ( ) f =, g = Die Permutation f vertauscht die Ziffern 1, miteinander, hat die Ziffer 3 als sogenannten Fixpunkt und überführt die Ziffern 4,6,5 zyklisch ineinander in der angegebenen Reihenfolge Entsprechend finden wir für g die beiden Zyklen bzw Allgemein schreibt man einen Zyklus k 1 k k m k 1 mit verschiedenen k 1,,k m in der Form Z = (k 1, k,, k m ) Mit Z = m bezeichnen wir die Länge dieses Zyklus Für f und g haben wir somit die folgenden Zerlegungen in elementfremde Zyklen gefunden: Allgemein gilt der wichtige f = [(1, )(3)(4, 6, 5)], g = [(1,, 3, 4)(5, 6)] Satz: Jede Permutation auf N n läßt sich in elementfremde Zyklen zerlegen Die Injektivität der Permutationen garantiert hierbei, daß sich jeder Zyklus wieder mit dem Element schließt, mit dem man begonnen hat! Fixpunkte, dh Zyklen der Länge 1, läßt man meistens weg und schreibt dann etwa f = [(1, )(4, 6, 5)], Id 6 = [ ] Wir können auch aus der Zyklenzerlegung sofort die Inversen bzw die Kompositionen erhalten: f 1 = [(, 1)(5, 6, 4)], g 1 = [(4, 3,, 1)(6, 5)], f g = [(, 3, 6, 4)], g f = [(1, 3, 4, 5)] Die Zyklenzerlegung der Permutationen läßt sich graphisch gut illustrieren: f : f :
6 Gerade und ungerade Permutationen Eine Transposition ist eine Permutation der Form [(a, b)], die nur zwei Ziffern a b miteinander vertauscht Für eine zyklische Permutation [(n 1, n,, n r )] mit der Zyklenlänge r besteht die folgende Zerlegung in (r 1) Transpositionen, die sich mittels vollständiger Induktion zeigen läßt: [(n 1, n,, n r )] = [(n 1, n r )] [(n 1, n )] Im folgenden sei f : N n N n eine Permutation und n Da sich nach dem vorigen Satz f in paarweise disjunkte (dh elementfremde) Zyklen Z 1,,Z s gemäß f = [Z 1 ] [Z ] [Z s ] zerlegen läßt und wir für f Id die Fixpunktzyklen aus dieser Zerlegung streichen können, folgt in diesem Fall die Zerlegbarkeit von f in ein Produkt von Transpositionen Für f = Id können wir dagegen wegen n die Zerlegung Id = [(1, )] [(1, )] angeben Definition: Eine Permutation f : N n N n heißt gerade, wenn sie sich in eine gerade Anzahl von Transpositionen faktorisieren läßt In diesem Falle schreiben wir sign(f) = +1 Ist dagegen eine solche Zerlegung nicht möglich, so heißt die Permutation ungerade, und wir schreiben dann sign(f) = 1 Hier gilt der folgende wichtige Satz: Wir betrachten die Permutationsgruppe (Σ n, ) auf N n, n (a) Für je zwei Permutationen f, g Σ n gilt sign(f g) = sign(f) sign(g), sign(id) = 1, sign(f 1 ) = sign(f) (b) Die geraden Permutationen bilden eine Untergruppe von (Σ n, ), die sogenannte alternierende Gruppe (A n, ), die aus 1 n! Permutationen besteht (c) Ist f vollständig in seine paarweise disjunkten (dh elementfremden) Zyklen zerlegt, so gilt die Beziehung sign(f) = ( 1) m mit m := Anzahl der Zyklen gerader Länge Beispiel: Ist f : N 8 N 8 in der Zyklenform f := [(1, 7, 8)(, 5, 4, 3)(6)] gegeben, so ist m = 1 und somit sign(f) = ( 1) 1 = 1 6
7 Die Zerlegung einer Permutation in Transpositionen ist im allgemeinen nicht eindeutig Der zuletzt genannte Satz über gerade und ungerade Permutationen mit seiner praktischen Berechnungsformel im Teil (c) ist aber nach den vorangegangenen Ausführungen erst dann vollständig bewiesen, wenn man den folgenden Hilfssatz (=Lemma) gezeigt hat Lemma: Die Permutation f : N n N n mit n sei auf zwei verschiedene Arten in Transpositionen T k, T k zerlegt gemäß f = T 1 T r = T 1 T r Dann sind r und r entweder beide gerade oder beide ungerade Nachweis: Wir bedienen uns eines berühmten Kunstgriffs, indem wir das folgende Polynom definieren: P (x 1, x,, x n ) := (x k x j ) 1 j<k n Nun geben wir zwei beliebige Zahlen m > m aus N n vor und zerlegen dieses Polynom in fünf Faktoren gemäß P (x 1, x,, x n ) = (x m x m ) (x k x j ) j>m m <k<m j<k j,k / {m,m } { } (x j x m )(x j x m ) k<m { } (x m x k )(x k x m ) { } (x m x k )(x m x k ) Produkte über einen leeren Indexbereich sollen hierbei den Wert 1 haben Vertauschen wir die Variablen x m und x m in P (x 1, x,, x n ), so wechselt das Polynom nur sein Vorzeichen, da die vier mit beginnenden Produkte hierbei unverändert bleiben, während der erste Faktor (x m x m ) sein Vorzeichen wechselt Wir definieren für jedes g Σ n das Polynom P g (x 1,, x n ) := P (x g(1),, x g(n) ) und beachten für alle g, h Σ n die Assoziativität (P g ) h = P g h Für die beliebige Transposition T = [(m, m )] folgt nach dem oben gezeigten P T (x 1,, x n ) = P (x 1,, x n ) Wenden wir die letzten beiden Beziehungen wiederholt auf die beiden Zerlegungen f = T 1 T r = T 1 T r an, so erhalten wir die folgende Gleichung, die unsere Ausgangsbehauptung beweist: P f (x 1,, x n ) = ( 1) r P (x 1,, x n ) = ( 1) r P (x 1,, x n ) Speziell für x k := k N n erhalten wir zudem sign(f) = P f (1,, n)/p (1,, n) 7
Blatt 0: Mathematik I für Ingenieure (B) Abbildungen und Kompositionen. apl. Prof. Dr. Matthias Kunik/ Dr. Uwe Risch
Blatt 0: Mathematik I für Ingenieure (B) apl. Prof. Dr. Matthias Kunik/ Dr. Uwe Risch 10.10.016 Abbildungen und Kompositionen Allgemeine Erklärungen: Siehe Seite 1 zu Anmerkungen zu Mengen und Abbildungen!
Mehr3 Werkzeuge der Mathematik
3.1 Mengen (18.11.2011) Definition 3.1 Die Menge heißt leere Menge. :=»x M x x Definition 3.2 Es seien N und M Mengen. Wir definieren: und analog M N : (x M x N). N M : (x N x M). Wir sagen M ist Teilmenge
Mehr2 Mengen und Abbildungen
2.1 Mengen Unter einer Menge verstehen wir eine Zusammenfassung von Objekten zu einem Ganzen. Die Objekte heiÿen Elemente. Ist M eine Menge und x ein Element von M so schreiben wir x M. Wir sagen auch:
Mehr6 Permutationen. Beispiele: a) f : R R, f(x) = x 2. b) f : R R, f(x) = e x. c) f : R 2 R, x (Projektion auf die x Achse) y
6 Permutationen Seien und B Mengen. Eine bbildung von nach B ist eine Vorschrift f, die jedem Element x ein eindeutig bestimmtes Element y = f(x) B zuordnet. Schreibe f : B, x f(x) Beispiele: a) f : R
Mehr3.1 Gruppen, Untergruppen und Gruppen-Homomorphismen
TEIL II: GRUPPEN In der modernen Algebra versucht man die Zahlen (Z, Q, R, ) durch die Konzentration auf Rechenoperationen (+,,... ), oder allgemeiner auf strukturelle Eigenschaften dieser Operationen,
MehrSkript und Übungen Teil II
Vorkurs Mathematik Herbst 2009 M. Carl E. Bönecke Skript und Übungen Teil II Das erste Semester wiederholt die Schulmathematik in einer neuen axiomatischen Sprache; es ähnelt damit dem nachträglichen Erlernen
MehrKapitel 1. Mengen und Abbildungen. 1.1 Mengen
Kapitel 1 Mengen und Abbildungen 1.1 Mengen Die Objekte der modernen Mathematik sind die Mengen. Obwohl die Logik einen axiomatischen Zugang zur Mengenlehre bietet, wollen wir uns in dieser Vorlesung auf
MehrPermutationen und symmetrische Gruppe
Permutationen und symmetrische Gruppe Für eine beliebige Menge M bilden die Bijektionen von M in M, versehen mit der Komposition von Abbildungen als Operation, eine Gruppe, die sogenannte symmetrische
MehrLösungsmenge L I = {x R 3x + 5 = 9} = L II = {x R 3x = 4} = L III = { }
Zur Einleitung: Lineare Gleichungssysteme Wir untersuchen zunächst mit Methoden, die Sie vermutlich aus der Schule kennen, explizit einige kleine lineare Gleichungssysteme. Das Gleichungssystem I wird
Mehr17 Lineare Abbildungen
Chr.Nelius: Lineare Algebra II (SS2005) 1 17 Lineare Abbildungen Wir beginnen mit der Klärung des Abbildungsbegriffes. (17.1) DEF: M und N seien nichtleere Mengen. Eine Abbildung f von M nach N (in Zeichen:
MehrLineare Algebra 1. Detlev W. Hoffmann. WS 2013/14, TU Dortmund
Lineare Algebra 1 Detlev W. Hoffmann WS 2013/14, TU Dortmund 1 Mengen und Zahlen 1.1 Mengen und Abbildungen Eine Menge ist eine Zusammenfassung wohlunterscheidbarer Objekte unserer Anschauung/unseres Denkens/unserer
MehrGruppen. Kapitel Operationen Definiton Gruppe, symmetrische Gruppen. Gruppen und Untergruppen, Lernziele 1. Erzeugendensysteme,
Kapitel 1 Gruppen 1.1 Operationen Lernziele 1. Gruppen und Untergruppen, Erzeugendensysteme, Operationen und Bahnen 1.1.1 Definiton Gruppe, symmetrische Gruppen Definition 1.1. Sei G eine nicht leere Menge
MehrTechnische Universität München. Ferienkurs Lineare Algebra 1. Mengenlehre, Aussagen, Relationen und Funktionen. 21. März 2011.
Technische Universität München Ferienkurs Lineare Algebra 1 Mengenlehre, Aussagen, Relationen und Funktionen 21. März 2011 Tanja Geib Inhaltsverzeichnis 1 Aussagen 1 2 Mengenlehre 3 2.1 Grundlegende Definitionen
MehrKapitel 1. Grundlagen Mengen
Kapitel 1. Grundlagen 1.1. Mengen Georg Cantor 1895 Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, wobei von jedem dieser Objekte eindeutig
Mehr: das Bild von ) unter der Funktion ist gegeben durch
% 1.3 Funktionen Seien und Mengen nennt man Funktion oder Abbildung. Beachte: Zuordnung ist eindeutig. Bezeichnungen: : Definitionsbereich : Bildbereich (Zielmenge) von Der Graph einer Funktion: graph!
MehrHM I Tutorium 1. Lucas Kunz. 27. Oktober 2016
HM I Tutorium 1 Lucas Kunz 27. Oktober 2016 Inhaltsverzeichnis 1 Theorie 2 1.1 Logische Verknüpfungen............................ 2 1.2 Quantoren.................................... 3 1.3 Mengen und ihre
MehrFunktionen. x : Variable von f oder Argument f x : Funktionswert, Wert der Funktion f an der Stelle x D f. : Definitionsmenge(Urbildmenge)
Funktionen Eine Funktion oder Abbildung ist eine Beziehung zwischen zwei nicht leere Mengen D f und Z, die jedem Element x aus einer Menge D f genau ein Element y aus anderer Menge Z zuordnet. f : D f
MehrKapitel 1. Grundlagen
Kapitel 1. Grundlagen 1.1. Mengen Georg Cantor 1895 Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, wobei von jedem dieser Objekte eindeutig
MehrAbbildungen. Kapitel Definition: (Abbildung) 5.2 Beispiel: 5.3 Wichtige Begriffe
Kapitel 5 Abbildungen 5.1 Definition: (Abbildung) Eine Abbildung zwischen zwei Mengen M und N ist eine Vorschrift f : M N, die jedem Element x M ein Element f(x) N zuordnet. Schreibweise: x f(x) 5. Beispiel:
MehrB Grundbegriffe zu Mengen und Abbildungen
B Grundbegriffe zu Mengen und Abbildungen Die Sprache der Mengen und Abbildungen hat sich als Basissprache in der modernen Mathematik durchgesetzt. Da sie sehr praktisch ist, wird sie auch in diesem Buch
Mehr0 Mengen und Abbildungen, Gruppen und Körper
0 Mengen und Abbildungen, Gruppen und Körper In diesem Paragrafen behandeln wir einige für die Lineare Algebra und für die Analysis wichtige Grundbegriffe. Wir beginnen mit dem Begriff der Menge. Auf Cantor
Mehr1 Algebraische Grundbegriffe
1 Algebraische Grundbegriffe Eine Algebra besteht aus einer Trägermenge S sowie eineroder mehreren Operationen. Eine Operation ist dabei eine k-stellige Abbildung, d.h. es gilt für eine Operation f f S
MehrKapitel 1. Grundlagen
Kapitel 1. Grundlagen 1.1. Mengen Georg Cantor 1895 Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, wobei von jedem dieser Objekte eindeutig
Mehr(1.18) Def.: Eine Abbildung f : M N heißt
Zurück zur Mengenlehre: Abbildungen zwischen Mengen (1.17) Def.: Es seien M, N Mengen. Eine Abbildung f : M N von M nach N ist eine Vorschrift, die jedem x M genau ein Element f(x) N zuordnet. a) M = N
MehrAnalysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften
Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg WiSe 08/9 c Dr. K. Rothe Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Hörsaalübung mit Beispielaufgaben zu Blatt Mengen Darstellung durch: a) Aufzählung
MehrAnalyis I - Grundlagen
Elementare Aussagenlogik October 23, 2008 Elementare Aussagenlogik Definition Eine Aussage im Sinne der Aussagenlogik ist eine sprachliche Aussage, bei der klar entschieden werden kann, ob sie wahr oder
MehrAnalysis I - Notizen 1. Daniel Lenz Jena - Wintersemester 2016
Analysis I - Notizen 1 Daniel Lenz Jena - Wintersemester 2016 1 Es handelt sich nicht um ein Skriptum zur Vorlesung. Besten Dank an alle, die zu Verbesserungen früherer Notizen zur Analysis I beigetragen
Mehr1.3 Relationen und Funktionen
1.3. RELATIONEN UND FUNKTIONEN 1 1.3 Relationen und Funktionen Es gibt eine Konstruktion (Übungsaufgabe!) einer Klasse (a, b) mit der Eigenschaft (a, b) = (c, d) a = c b = d. Diese Klasse (a, b) heißt
Mehr5.9 Permutationsgruppen. Sei nun π S n. Es existiert folgende naive Darstellung: Kürzer schreibt man auch
5.9 Permutationsgruppen Definition 103 Eine Permutation ist eine bijektive Abbildung einer endlichen Menge auf sich selbst; o. B. d. A. sei dies die Menge U := {1, 2,..., n}. S n (Symmetrische Gruppe für
Mehr3.1 Gruppen, Untergruppen und Gruppen-Homomorphismen
Inhaltsverzeichnis Teil II: Gruppen 2 3.1 Gruppen, Untergruppen und Gruppen-Homomorphismen.................. 2 3.1.1 Gruppen.......................................... 2 3.1.2 Untergruppen.......................................
MehrDiskrete Strukturen und Logik WiSe 2007/08 in Trier. Henning Fernau Universität Trier
Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2007/08 in Trier Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de 1 Diskrete Strukturen und Logik Gesamtübersicht Organisatorisches Einführung Logik & Mengenlehre
MehrÜbersichtsblatt Hertrampf/Bahrdt. 1 Mathematische Aussagen. Theoretische Informatik I WS2018/19
Theoretische Informatik I WS2018/19 Übersichtsblatt Hertrampf/Bahrdt Institut für Formale Methoden der Informatik Theoretische Informatik Universität Stuttgart 1 Mathematische Aussagen Um mathematische
MehrTutorium: Diskrete Mathematik
Tutorium: Diskrete Mathematik Vorbereitung der Bonusklausur am 01.12.2017 (Teil 1) 22. November 2017 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2017 Steven Köhler 22. November 2017
MehrDie umgekehrte Richtung
Die umgekehrte Richtung Satz 95 Sei n N, n 2. Dann gilt: b n 1 1 mod n für alle b Z n \ {0} = n ist prim. Beweis: [durch Widerspruch] Annahme: r n für ein r N, r > 1. Dann also r n 1 1 (r mod n) n 1 1
MehrSatz 94 Sei b N 0 und p N eine Primzahl. Dann gilt:
5.6 Satz von Fermat Satz 94 Sei b N 0 und p N eine Primzahl. Dann gilt: b p b mod p, (falls b 0 mod p : b p 1 1 mod p) (gemeint ist: die Gleichung b p = b gilt modulo p) Diskrete Strukturen 5.6 Satz von
MehrSurjektive, injektive und bijektive Funktionen.
Kapitel 1: Aussagen, Mengen, Funktionen Surjektive, injektive und bijektive Funktionen. Definition. Sei f : M N eine Funktion. Dann heißt f surjektiv, falls die Gleichung f(x) = y für jedes y N mindestens
Mehr3. Für beliebiges A bezeichnet man die Menge A A manchmal auch mit A 2 (in Worten:
35 4 Paarungen 4. Produktmengen Die Mengen {x, y} und {y, x} sind gleich, weil sie die gleichen Elemente enthalten. Manchmal legt man aber zusätzlich Wert auf die Reihenfolge der Elemente. Die Objekte
Mehr1.1 Mengen und Abbildungen
Lineare Algebra I WS 2015/16 c Rudolf Scharlau 3 1.1 Mengen und Abbildungen In diesem Abschnitt stellen wir die grundlegende mathematische Sprache und Notation zusammen, die für jede Art von heutiger Mathematik
MehrMathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/2018
Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/2018 11. Januar 2018 1/32 Erinnerung: Eine Gruppe ist eine algebraische Struktur (G, )
Mehr2. Symmetrische Gruppen
14 Andreas Gathmann 2 Symmetrische Gruppen Im letzten Kapitel haben wir Gruppen eingeführt und ihre elementaren Eigenschaften untersucht Wir wollen nun eine neue wichtige Klasse von Beispielen von Gruppen
Mehr1.3 Aussagen. Beispiel: Das Bruttosozialprodukt der Bundesrepublik Deutschland ist höher als das der USA ist eine offenbar falsche Aussage.
1.3 Aussagen In der Mathematik geht es um Aussagen. Eine Aussage ist ein statement, das entweder wahr oder falsch sein kann. Beides geht nicht! Äußerungen, die nicht die Eigenschaft haben, wahr oder falsch
MehrMathematik für Ökonomen 1
Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Herbstemester 2008 Mengen, Funktionen und Logik Inhalt: 1. Mengen 2. Funktionen 3. Logik Teil 1 Mengen
Mehr2.1. GRUPPEN Definition (Gruppoide, Halbgruppen, Monoide, Gruppen)
21 GRUPPEN 37 21 Gruppen Wir führen jetzt eine Hierarchie von algebraischen Strukturen ein, die für die weiteren Überlegungen sehr wichtig sind Dabei betrachten wir zunächst diejenigen, die aus einer Menge
MehrKurzskript MfI:AGS WS 2018/19 Teil II: Gruppen 9
Kurzskript MfI:AGS WS 2018/19 Teil II: Gruppen 9 Satz 3.1.15 Sei N eine Natürliche Zahl. Dann gilt S =! := 1 2. (D.h. -Fakultät Elemente.) Beweis : Um eine bijektive Abbildung σ : {1} {1} zu erhalten,
MehrNotizen zu Transformationen und Permutationen. T (A) = {f : A A}
Transformationen Notizen zu Transformationen und Permutationen Ist A eine Menge, so ist die Menge T (A) = {f : A A} bezüglich der Komposition (Hintereinanderausführung) als Operation und der identischen
MehrZur Zykelschreibweise von Permutationen
Zur Zykelschreibweise von Permutationen Olivier Sète 16. Juni 2010 1 Grundlagen Definition 1.1. Eine Permutation von {1, 2,..., n} ist eine bijektive Abbildung σ : {1, 2,..., n} {1, 2,..., n}, i σ(i).
Mehr2. Symmetrische Gruppen
2. Symmetrische Gruppen 15 2. Symmetrische Gruppen Im letzten Kapitel haben wir Gruppen eingeführt und ihre elementaren Eigenschaften untersucht. Wir wollen nun eine neue wichtige Klasse von Beispielen
MehrGliederung. Mengen und operationen. Relationen. Funktionen. Kardinalität von Mengen. Formale Grundlagen der Informatik Knorr/Fuchs SS 2000
Gliederung Mengen und operationen Relationen Funktionen Kardinalität von Mengen Mengen, Relationen, Funktionen 1 Mengen Definition (Naive Mengenlehre) Eine Menge ist die Zusammenfassung von Elementen unserer
MehrMengen, Funktionen und Logik
Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Mengen, Funktionen und Logik Literatur Referenz: Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen,
MehrPermutationsgruppen. 1 Zykelzerlegung und Signum. Jesko Hüttenhain. Winter 2013
Permutationsgruppen Jesko Hüttenhain Winter 2013 Sei N eine endliche Menge. Dann bezeichnen wir mit S N := {σ : N N σ bijektiv} die symmetrische Gruppe auf N. Für n N sei [n] := {1,..., n}. Wir schreiben
MehrMengen. (Nicht-) Elemente einer Menge { 3, 4 } { 1, { 2 }, { 3, 4 }, { 5 } } 3 { 1, { 2 }, { 3, 4 }, { 5 } }
Mengen Definition (Intuitive Mengenlehre) Eine Menge ist die Zusammenfassung von Elementen unserer Anschauung zu einem wohldefinierten Ganzen. (Georg Cantor) Notation 1. Aufzählung aller Elemente: { 1,
Mehr8 Gruppen und Körper
8 Gruppen und Körper (8.) Definition: Eine Gruppe G ist eine Menge zusammen mit einer Verknüpfung, die jedem Paar (a,b) von Elementen aus G ein weiteres Element a?b aus G zuordnet, so dass die folgenden
MehrBrückenkurs Mathematik 2015
Technische Universität Dresden Fachrichtung Mathematik, Institut für Analysis Dr.rer.nat.habil. Norbert Koksch Brückenkurs Mathematik 2015 1. Vorlesung Logik, Mengen und Funktionen Ich behaupte aber, dass
MehrEin geordnetes Paar (oder: ein 2-Tupel) enthält immer zwei Elemente, deren Reihenfolge festgelegt ist. Mehrfachnennungen sind nicht erlaubt!
Relationen, Funktionen und Partitionen 1. Geordnetes Paar Ein geordnetes Paar (oder: ein 2-Tupel) enthält immer zwei Elemente, deren Reihenfolge festgelegt ist. Mehrfachnennungen
MehrMengen. Eigenschaften. Spezielle Mengen (1) Prominente Mengen. ! Mengenzugehörigkeit
Mengen! Definition (Intuitive Mengenlehre) Eine Menge ist die Zusammenfassung von Elementen unserer Anschauung zu einem wohldefinierten Ganzen. (Georg Cantor)! Notation 1. Aufzählung aller Elemente: {
MehrMengen und Abbildungen
Mengen und Abbildungen Der Mengenbegriff Durchschnitt, Vereinigung, Differenzmenge Kartesisches Produkt Abbildungen Prinzip der kleinsten natürlichen Zahl Vollständige Induktion Mengen und Abbildungen
Mehrf(x) = x f 1 (x) = x. Aufgabe 2. Welche der folgenden Funktionen sind injektiv, surjektiv, bijektiv?
Umkehrfunktionen Aufgabe 1. Sei A = {1, 2, 3, 4}. Definieren Sie eine bijektive Funktion f A A und geben Sie ihre Umkehrfunktion f 1 an. Lösung von Aufgabe 1. Zum Beispiel f, f 1 A A mit f(x) = x f 1 (x)
Mehr2 Mengen, Relationen, Funktionen
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 1 2 Mengen, Relationen, Funktionen 2.1 Mengen Definition 2.1 [Georg Cantor 1895] Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Dinge unserer
Mehr3 Folgen, Reihen und stetige Funktionen
Höhere Mathematik 101 3 Folgen, Reihen und stetige Funktionen 3.1 Folgen und Reihen: Definitionen und Beispiele Eine reelle oder komplexe Zahlenfolge ist eine Abbildung, die jeder natürlichen Zahl n eine
MehrWS 2003/04. Diskrete Strukturen I
WS 2003/04 Ernst W. Mayr mayr@in.tum.de Institut für Informatik Technische Universität München 11-07-2004 Satz Sei b N 0 und p N eine Primzahl. Dann gilt: b p b mod p, (falls b 0 : b p 1 1 mod p) (gemeint
MehrInjektiv, Surjektiv, Bijektiv
Injektiv, Surjektiv, Bijektiv Aufgabe 1. Geben Sie einen ausführlichen Beweis für folgende Aussage: Wenn f A B surjektiv ist und R A A A eine reflexive Relation auf A ist, dann ist R B = {( f(x), f(y)
MehrLineare Algebra I, Musterlösung zu Blatt 9
Lineare Algebra I, Musterlösung zu Blatt 9 Wintersemester 2007/08 1. Untersuchen Sie, ob die folgenden Matrizen invertierbar sind und bestimmen Sie gegebenenfalls die Inverse. 8 1 3 1 a) A = 3 3 1 1 11
Mehr2 Mengen, Relationen, Funktionen
Grundlagen der Mathematik für Informatiker Grundlagen der Mathematik für Informatiker Mengen, Relationen, Funktionen. Mengen Definition. [Georg Cantor 895] Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter,
Mehr2 Von der Relation zur Funktion
2 Von der Relation zur Funktion 2.1 Relationen Gegeben seien zwei Zahlenmengen P = 1, 2, 3, 4 und Q = 5, 6, 7. Setzt man alle Elemente der Menge P in Beziehung zu allen Elementen der Menge Q, nennt man
MehrMathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/18
Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/18 19. Oktober 2017 1/27 Zu der Vorlesung gibt es ein Skript, welches auf meiner Homepage
Mehr3.1 Gruppen, Untergruppen und Gruppen-Homomorphismen
TEIL II: GRUPPEN In der modernen Algebra versucht man die Zahlen (Z, Q, R, ) durch die Konzentration auf Rechenoperationen (+,,... ), oder allgemeiner auf strukturelle Eigenschaften dieser Operationen,
MehrAlgebra für Informationssystemtechniker
Algebra für Informationssystemtechniker Prof. Dr. Ulrike Baumann 15.04.2019 9. Vorlesung Permutationsgruppen Zyklenschreibweise für Permutationen Darstellung von Permutationen als Produkt von Transpositionen
MehrMathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2015/16
Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2015/16 15. Oktober 2015 Zu der Vorlesung gibt es ein Skript, welches auf meiner Homepage veröffentlicht
MehrDiskrete Strukturen und Logik WiSe 2006/07 in Trier. Henning Fernau Universität Trier
Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2006/07 in Trier Henning Fernau Universität Trier fernau@informatik.uni-trier.de 1 Diskrete Strukturen und Logik Gesamtübersicht Organisatorisches Einführung Logik &
MehrEinführung in die Algebra
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2009 Einführung in die Algebra Vorlesung 8 Homomorphie- und Isomorphiesatz Satz 8.1. Seien G,Q und H Gruppen, es sei ϕ :G H ein Gruppenhomomorphismus und ψ : G Q ein surjektiver
MehrKAPITEL 6. Algebra Gruppen
KAPITEL 6 Algebra 6.. Gruppen Bekannt sind die Kongruenzklassen, bijektive Abbildungen, Permutationen. Wir hatten in diesen Fällen eine Verknüpfung auf einer Menge. (Addition bzw. Multiplikation bei den
MehrEinführung in die Mengenlehre
Einführung in die Mengenlehre D (Menge von Georg Cantor 845-98) Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter wohlunterschiedener Objekte unseres Denkens oder unserer Anschauung zu einem Ganzen wobei
MehrFU Berlin: WiSe (Analysis 1 - Lehr.) Übungsaufgaben Zettel 5. Aufgabe 18. Aufgabe 20. (siehe Musterlösung Zettel 4)
FU Berlin: WiSe 13-14 (Analysis 1 - Lehr.) Übungsaufgaben Zettel 5 Aufgabe 18 (siehe Musterlösung Zettel 4) Aufgabe 20 In der Menge R der reellen Zahlen sei die Relation 2 R 2 definiert durch: x 2 y :
MehrVorkurs Mathematik B
Vorkurs Mathematik B Dr. Thorsten Camps Fakultät für Mathematik TU Dortmund 8. September 2011 Für die Mathematik zentral sind Abbildungen und Funktionen. Häufig wird zwischen beiden Begriffen nicht unterschieden.
MehrDr. Jürgen Roth. Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik. Elemente der Algebra. Dr. Jürgen Roth 2.1
.1 Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik Elemente der Algebra . Inhaltsverzeichnis Elemente der Algebra & Argumentationsgrundlagen, Gleichungen & Gleichungssysteme Quadratische und Gleichungen
MehrEinführung in die Algebra
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2009 Einführung in die Algebra Vorlesung 9 Das Signum einer Permutation Definition 9.1. Sei M = {1,...,n} und sei σ eine Permutation auf M. Dann heißt die Zahl sgn(σ)
MehrInstitut für Analysis WiSe 2018/2019 Prof. Dr. Dirk Hundertmark Dr. Markus Lange. Analysis 1. Aufgabenzettel 4
Institut für Analysis WiSe 2018/2019 Prof. Dr. Dirk Hundertmark 08.11.2018 Dr. Markus Lange Analysis 1 Aufgabenzettel 4 Abgabe bis 14. November 2018, 19:00 Uhr Erinnerung: Die Anmeldung für den Übungsschein
MehrVorlesung Mathematik für Ingenieure 1 (Wintersemester 2008/09)
Vorlesung Mathematik für Ingenieure (Wintersemester 8/9) Kapitel 3:Abbildungen Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 4. November 8) Abbildungen / Funktionen Definition 3. Eine
MehrMATHEMATIK FÜR NATURWISSENSCHAFTLER I WINTERSEMESTER 2016/ OKTOBER 2016
MATHEMATIK FÜR NATURWISSENSCHAFTLER I WINTERSEMESTER 2016/17 MARK HAMILTON LMU MÜNCHEN 1.1. Grundbegriffe zu Mengen. 1. 17. OKTOBER 2016 Definition 1.1 (Mengen und Elemente). Eine Menge ist die Zusammenfassung
MehrVorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13)
Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS /, SS, WS /3) Kapitel 3: Abbildungen Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 4. November 0) Abbildungen / Funktionen Definition 3. Eine
Mehr1.1 Mengen und Abbildungen
Lineare Algebra 2005-2013 c Rudolf Scharlau 3 1.1 Mengen und Abbildungen In diesem Abschnitt stellen wir die grundlegende mathematische Sprache und Notation zusammen, die für jede Art von heutiger Mathematik
MehrLineare Algebra 6. Übungsblatt
Lineare Algebra 6. Übungsblatt Fachbereich Mathematik M. Schneider 16.05.01 Konstantin Pertschik, Daniel Körnlein Gruppenübung Aufgabe G19 Berechnen Sie das inverse Element bzgl. Multiplikation in der
MehrEinführung in die lineare Algebra und GeometrieWS 2018/19 October 30, 2018
1 Beweisen Sie folgende Aussage: Das Produkt zweier ungeraden Zahlen ist ungerade Beweisen Sie folgende Aussage: Es gibt keine ganzen Zahlen n, m mit 8m + 4n = 100 [Hinweis: Beweisen Sie indirekt Nehmen
Mehr1.3 Gruppen. Algebra I 9. April 2008 c Rudolf Scharlau,
Algebra I 9. April 2008 c Rudolf Scharlau, 2002 2008 18 1.3 Gruppen Der Begriff der Gruppe ordnet sich in gewisser Weise dem allgemeineren Konzept der Verknüpfung (auf einer Menge) unter. So ist zum Beispiel
MehrAufgabenblatt 1: Abgabe am vor der Vorlesung
Aufgabenblatt 1: Abgabe am 17.09.09 vor der Vorlesung Aufgabe 1. a.) (1P) Geben Sie die Lösungsmenge der folgenden Gleichung an: 6x + y = 10. Zeichnen Sie die Lösungsmenge in ein Koordinatensystem. b.)
Mehr3. Funktionen. 3.1 Grundbegriffe [Kö 4.1; Sch-St 4.3]
13 3. Funktionen 3.1 Grundbegriffe [Kö 4.1; Sch-St 4.3] Definition 1. A und B seien Mengen. a Eine Abbildung (oder Funktion f von A nach B (Schreibweise: f: A B ist eine Vorschrift, die jedem x A genau
MehrVorlesung Diskrete Strukturen Relationen
Vorlesung Diskrete Strukturen Relationen Bernhard Ganter WS 2009/10 Relationen Es seien A und B Mengen. Eine (binäre) Relation zwischen A und B ist eine Teilmenge von A B. Ein wichtiger Spezialfall ist
MehrFunktionen. Definition. Eine Funktion (oder Abbildung) ist eine Vorschrift, die jedem Element einer Menge A genau ein Element einer Menge B zuordnet.
1 Der Funktionsbegriff Funktionen Definition. Eine Funktion (oder Abbildung) ist eine Vorschrift, die jedem Element einer Menge A genau ein Element einer Menge B zuordnet. Dabei nennt man die Menge A Definitionsmenge
Mehr2 Mengen, Abbildungen und Relationen
Vorlesung WS 08 09 Analysis 1 Dr. Siegfried Echterhoff 2 Mengen, Abbildungen und Relationen Definition 2.1 (Mengen von Cantor, 1845 1918) Eine Menge M ist eine Zusammenfassung von wohlbestimmten und wohl
MehrDie Permutationsgruppe
Die Permutationsgruppe und ihre Bedeutung für die Theorie endlicher Gruppen Christian Gogolin 10.01.2008 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung der Permutationsgruppe 1 1.1 Die Permutationsgruppe................................
MehrFachwissenschaftliche Grundlagen
Fachwissenschaftliche Grundlagen Vorlesung im Wintersemester 2011/2012, Universität Landau Roland Gunesch 5. Vorlesung Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 5. Vorlesung 1 / 30 Themen
MehrVorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 17/18, SS 18, WS 18/19)
1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 17/18, SS 18, WS 18/19) Kapitel 3: Abbildungen Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 20. November 2017) Abbildungen / Funktionen 2
MehrVorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13)
Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS /, SS, WS /3) Kapitel 3: Abbildungen Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 4. November ) Abbildungen / Funktionen Definition 3. Eine
MehrGrundlagen. Kapitel Mengen
Kapitel 1 Grundlagen 1.1 Mengen Grundobjekte mathematischer Theorien sind Mengen. Zwar stellt man sich darunter Gesamtheiten von gewissen Dingen (den Elementen der Menge) vor, doch führt die uneingeschränkte
MehrAnalysis I. Yuri Kondratiev Universität Bielefeld WS 2016/17
Analysis I Yuri Kondratiev Universität Bielefeld WS 2016/17 ii Contents 1 Mengen und Zahlen 1 1.1 Grundbegriffe der Mengenlehre..................... 1 1.1.1 Mengen und Operationen auf den Mengen...........
Mehr4. Funktionen und Relationen
4. Funktionen und Relationen Nikolaus von Oresmes Richard Dedekind (1831-1916) René Descartes 1596-1650 Pierre de Fermat 1607/8-1665 Seite 1 Inhalt der Vorlesung Teil 4: Funktionen und Relationen 4.1 Funktionen:
MehrKapitel I. Grundlagen, Konventionen und Notationen. I.1 Quantoren und Logik
Kapitel I Grundlagen, Konventionen und Notationen Dieses Kapitel stellt eine Übersicht über in der Mathematik häufig gebrauchte Begriffe, Konventionen und Notationen dar. Der Inhalt dieses Kapitels wird
Mehr4. Morphismen. 30 Andreas Gathmann
30 Andreas Gathmann 4. Morphismen Wir haben nun viele Beispiele und Konstruktionen von Gruppen gesehen. Natürlich wollen wir diese vielen verschiedenen Gruppen jetzt auch irgendwie miteinander in Beziehung
MehrBrückenkurs Mathematik 2018
Mathematik 2018 1. Vorlesung Logik, Mengen und Funktionen Prof. Dr. 24. September 2018 Ich behaupte aber, dass in jeder besonderen Naturlehre nur so viel eigentliche Wissenschaft angetroffen werden könne,
Mehr