Kapitel VI. Eigenschaften differenzierbarer Funktionen

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1 Kpitel VI Eigeschfte differezierbrer Fuktioe S 6 (Fermt, 6-665) Die Fuktio f sei uf dem Itervll I defiiert ud ehme der iere Stelle ξ vo I eiem bsolute Extremum Ist f der Stelle ξ differezierbr, d gilt f '( ξ ) = S 6 (Rolle, 65-79), Die Fuktio f sei uf [ b ] stetig ud uf ], [ S existiert (midestes) ei ], ξ mit f '( ξ ) = Nch dem Stz vo Weierstrß ht f uf [, ] bsolutes Mximum m Wir uterscheide zwei Fälle: b differezierbr Ferer sei f = f( b) b ei bsolutes Miimum m ud ei m = m D ist f uf [, b ] kostt, lso f '( ξ ) = für jedes ], ξ m m D immt f wege f = f( b) midestes eie der beide bsolute Extrem eier iere Stelle ξ vo [, b ] Nch Stz S 6 ist d ber f '( ξ ) = B 6 Offebr k m de Stz vo Rolle uf folgedermße geometrisch iterpretiere: Uter de gegebee Vorussetzuge über die Fuktio f gibt es midestes eie Tgete der Bildkurve f, die zu der Sekte durch die Pukte (, ) f ud (, ) b f b prllel ist, die lso deselbe Astieg wie diese Sekte ht Der folgede wichtige Stz besgt u geometrisch, dss diese Aussge uch d gelte, we die Sekte icht otwedig horizotl verläuft M bechte: Der Astieg der Sekte s ist f( b) f, der Astieg der Tgete t ist f '( ξ ) S 6 (Mittelwertstz der Differetilrechug) Die Fuktio f sei uf [, b ] stetig ud uf ], b [ differezierbr D existiert (midestes) eie Stelle ξ mit f( b) f (6 ) = f '( ξ), ξ ],

2 Es sei f s diejeige Fuktio, dere Bildkurve sie Sekte s ist, lso Die Fuktio geügt ], eie Zhl ], f( b) f fs ( x) = f + x ϕ ( x) = f( x) f ( x) s ξ d uch[, b ] des Vorussetzuge des Stzes vo Rolle Dher existiert ξ mit = ϕ'( ξ) = f '( ξ) f '( ξ) = f '( ξ) s f( b) f Dmit ist der Stz bewiese B 6 Setzt m x, h b, lso x h b offebr i der Form = = + =, so k m jedes ξ ], = ] x, x + h[ schreibe Dmit k m sttt (6 ) uch schreibe: ( ) ξ = υ x + h + υ x = x + υh, υ, h (6 ) f( x + h) f( x) = f '( x + υh), υ, b h oder (6 3) f( x + h) f( x ) = h f '( x + υh), υ, b oder (6 4) f( x + h) = f( x ) + h f '( x + υh), υ, b Es sei bemerkt, dss (6 3) für kleies h i (6 5) f( x + h) f( x) h f '( x) übergeht

3 BS 6 Sei, : Kostte f x = cx c Offebr erfüllt f für jedes Itervll [ x, x h] Es gibt lso midestes eiυ, so dss (6 ) gilt, dh + die Vorussetzuge des Mittelwertstzes c x + h cx h ( υ ) υ = c x + h,, b BS 6 Aus eier füfstellige Tfel immt m de Wert l7 = 833 Gesucht ist ei Näherugswert für l7 l7 = l 7 + wede wir de Mittelwertstz uf die Fuktio Wege mit x = 7, h=, f '( x) = x Für beliebiges x ud h gilt f( x) = lx h l l,, x + υh ( x + h) = x + υ (! (6 4 )) 7 + υ (6 6 ) l7 = l7 +, υ ], [ Wege υ ], [ gilt (6 7 ) < < υ 7 + Aus (6 6) folgt (6 8 ) l7 + < l7 < l I l7 = 833 ist die 5 Stelle ch dem Komm gerudet, es gilt lso geuer (6 9 ) 8335 l7 < 8335 Ferer ist (6 ) (6 ) = > = < 3

4 Aus (6 8) folgt mit (6 9) (6 ) schließlich lso < l7 < , < l7 < 84498, oder bei Rudug uf drei Stelle ch dem Komm l7 = 845 S 6 4 Die Fuktio f sei uf dem Itervll I stetig ud jeder iere Stelle x vo I differezierbr mit f '( x ) = D ist f uf I kostt Wir wähle eie beliebige Zhl I Zu jedem x I, x, gibt es d ch dem Mittelwertstz, gewdt uf ds Itervll [, x ] eie im Iere dieses Itervlls gelegee Zhl ξ mit f( x) f = ( x ) f '( ξ ) Wege f '( ξ ) = folgt drus f( x) = f D x I beliebig wr, ht f uf I de kostte Wert f( ) uf I S 6 5 Die Fuktio f ud g seie uf I stetig ud jeder iere Stelle x vo I differezierbr mit f '( x) = g'( x) D uterscheide sich f ud g uf I ur um eie dditive Kostte Die Fuktio ϕ ( x): = f( g) g( x), x I erfüllt die Vorussetzuge des Stzes S 6 4 Folglich gibt es eie Zhl C mit S 6 6 C = ϕ( x) = f( g) g( x), x I Die Fuktio f ud g seie uf [, b ] stetig ud uf ], [ g'( x) für lle x ], D existiert midestes eie Stelle ξ mit f( b) f f '( ξ ),, gb g g'( ξ ) (6 ) = ξ ] b differezierbr Ferer sei 4

5 B 6 3 Es sei bemerkt, dss die like Seite vo (6 ) sivoll ist: Nch Stz S 6 3, gewdt uf g, existiert ämlich ei ], ξ mit gb gx = g '( ξ) ud wege g '( ξ) folgt drus gb g S 6 7 (Tylor-sche Formel für gze rtiole Fuktioe) Es sei g eie gze rtiole Fuktio te Grdes: (6 3 ) gx= + x+ x + + x R k=,, k,,,, Mit eier beliebige reelle Zhl x lässt sich gx ch Poteze vo ( x x ) etwickel: (6 4 ) g x = c + c x x + c x x + + c x x c, Dbei gilt (6 5 ) ( k ) ( x ),,,, g ck = k = k! Es gilt für die Ableituge vo (6 4): g'( x) = c + c ( x x ) + + c( x x ) g''( x) = c + + ( ) c ( ) x x ( g ) ( x) = ( ) c =! c ud speziell für x= x : gx = c g'( x ) = c =! c g''( x ) = c =! c 5

6 =!, g x c d h c = g( x ) c = g'( x)! (6 6 ) g''( x) c =! g ( x) c =! ud dmit gilt die Behuptug (6 5) B 6 4 Ist (6 7 ) = + ( ) + ( ) + + ( ), gx c c x x c x x c x x c eie dere Drstellug vo gx, d gilt uch ud dher mit (6 6 ) ( k ) ( x),,,, g ck = k =! ck = c,,,, k k = Speziell für x = folgt dmit der folgede Stz: S 6 8 (Methode des Koeffizietevergleichs) Ist ebe (6 3 ) uch eie Etwicklug vo gx, d gilt = , gx x x x k =,,,, k k = (Letzte Aktulisierug: 66) 6