Tim Behnke. 09. November Wintersemester 2017/2018 Proseminar Das Buch der Beweise. 4 Beweise für die Unendlichkeit der Primzahlen.

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1 4 e für 4 e für Dritter Vierter 09. November 2017 Wintersemester 2017/2018 Proseminar Das Buch e

2 4 e für Dritter Vierter Dritter 5 Vierter

3 Definitionen [I] 4 e für Dritter Vierter Definition Primzahl Eine natürliche Zahl p 1 ist eine Primzahl, falls p nur durch 1 und p teilbar ist. 1 Definition Primfaktorzerlegung Jede natürliche Zahl a 2 ist entwe selbst eine Primzahl o sie lässt sich als Produkt von (mindestens zwei) schreiben. Die Faktoren p1,..., p n, wobei n 2, heißen Primfaktoren natürlichen Zahlen a und sind (bis auf ihre Reihenfolge) eindeutig. 1 Beispiel Primfaktorzerlegung 45 = 5 9 = Dr. Bernhard Gerlach; Lineare Algebra für Informatiker(innen) Begriffe-Definitionen-Sätze;2016

4 Definitionen [II] 4 e für Dritter Vierter N = {1, 2, 3,...} für Menge natürlichen Zahlen (ohne 0) Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} für Menge ganzen Zahlen P = {2, 3, 5, 7,...} für Menge

5 Quelle 4 e für Dritter Vierter Martin,Aigner,Günther M. Ziegler; Das BUCH e; e 4. : sanu.ac.rs/files/ journals/tm/19/tm1021.pdf

6 History-Card: Euklid von Alexandria 4 e für Dritter Vierter 3. Jahrhunt v. u. Z. griechischer Mathematiker

7 (Beispiel) 4 e für Angenommen sind endlich. Beispiel Definition P Dritter Vierter P = {2, 3, 5} Dann lassen sich 30 und 31 nach Primfaktorzerlegung als ein Produkt von den Elementen aus P bilden.

8 (Beispiel) 4 e für Angenommen sind endlich. Beispiel Definition P Dritter Vierter P = {2, 3, 5} Dann lassen sich 30 und 31 nach Primfaktorzerlegung als ein Produkt von den Elementen aus P bilden. 30 = es exisiert ein gemeinsamer Primteiler von 30 und 31

9 (Beispiel) 4 e für Angenommen sind endlich. Beispiel Definition P Dritter Vierter P = {2, 3, 5} Dann lassen sich 30 und 31 nach Primfaktorzerlegung als ein Produkt von den Elementen aus P bilden. 30 = es exisiert ein gemeinsamer Primteiler von 30 und

10 (Beispiel) 4 e für Angenommen sind endlich. Beispiel Definition P Dritter Vierter P = {2, 3, 5} Dann lassen sich 30 und 31 nach Primfaktorzerlegung als ein Produkt von den Elementen aus P bilden. 30 = es exisiert ein gemeinsamer Primteiler von 30 und

11 (Beispiel) 4 e für Angenommen sind endlich. Beispiel Definition P Dritter Vierter P = {2, 3, 5} Dann lassen sich 30 und 31 nach Primfaktorzerlegung als ein Produkt von den Elementen aus P bilden. 30 = es exisiert ein gemeinsamer Primteiler von 30 und

12 (Beispiel) 4 e für Angenommen sind endlich. Beispiel Definition P Dritter Vierter P = {2, 3, 5} Dann lassen sich 30 und 31 nach Primfaktorzerlegung als ein Produkt von den Elementen aus P bilden. 30 = es exisiert ein gemeinsamer Primteiler von 30 und P {2, 3, 5}

13 4 e für Für eine beliebige endliche Menge P = {p 1,..., p r } von sei n := p 1 p 2... p r + 1 und z ein Primteiler von n. z p 1 p 2... p r z n z 1 Dritter Vierter

14 History-Card: Pierre de Fermat 4 e für Dritter Vierter französischer Mathematiker und Jurist

15 Fermat-Zahlen 4 e für Definition F n = 2 2n + 1 für n = 0, 1, 2,... Dritter Vierter Die ersten Fermat Zahlen F 0 = 3 F 1 = 5 F 2 = 17 F 3 = 257 F 4 = F 5 =

16 [I] 4 e für Dritter Vierter idee Es ist zu zeigen, dass je zwei Fermat-Zahlen paarweise relativ prim sind. Rekursion (welche zu beweisen ist) n 1 k=0 F k = F n 2 (n 1) Beispiel 2 k=0 F k = F = 257 2

17 Rekursion 4 e für Rekursion (welche zu beweisen ist) n 1 k=0 F k = F n 2 (n 1) über vollständige Induktion Dritter Vierter Induktionsanfang mit n = 1: Induktionsvoraussetzung: 1 1 k=0 F k = F = 5 2 n 1 k=0 F k = F n 2 (n 1) Induktionsbehauptung: n k=0 F k = F n+1 2 (n 1) Induktionsschritt: n k=0 F k = ( n 1 k=0 F k) F n = (F n 2) F n = (2 2n 1)(2 2n + 1) = 2 2n+1 1 = F n+1 2

18 [II] 4 e für Dritter Vierter Sei z ein gemeinsamer Teiler von F k und F n (mit k < n), so folgt aus Rekursion, dass z auch 2 teilt z = 1 z = 2 Beispiel F 0 F 1 F 2 F 3 F 4 0 (mod z) F 5 0 (mod z) F (mod z) 2 0 (mod z) z 2, weil alle Fermat-Zahlen ungerade sind z 1, wegen Definition.

19 History Card: Marin Mersenne 4 e für Dritter Vierter französischer Theologe, Mathematiker und Musiktheoretiker

20 Dritter (Definitionen) 4 e für Dritter Vierter Mersenne-Zahl 2 p 1 multiplikative Gruppe Z m 2 Z m = {1, 2,..., m 1} Menge (kanonischen) Vertreter Restklassen modulo m. Folgerung aus Satz von Lagrange 3 Ist G eine endliche (multiplikative) Gruppe und U eine Untergruppe, dann ist U ein Teiler von G. 2 Dr. Bernhard Gerlach; Lineare Algebra für Informatiker(innen) Begriffe-Definitionen-Sätze; Martin Aigner,Günter M.Ziegler; Das BUCH e;2015

21 Satz von Lagrange 6 4 e für Dritter Vierter Es seien G eine Gruppe und H eine Untergruppe von G. Satz von Lagrange 4 Sei [G : H] Index von H in G (Anzahl Nebenklassen von H in G) und Gruppenordnung wird mit bezeichnet. Dann gilt: G = [G : H] H. Definition Linksnebenklasse 5 Eine Linksnebenklasse ist einen Teilmenge von G Form wobei a G fest gewählt ist. ah := {ah h H}

22 4 e für Dritter Vierter Es seien G eine Gruppe und H eine Untergruppe von G. Satz von Lagrange Sei [G : H] Index von H in G (Anzahl Nebenklassen von H in G) und Gruppenordnung wird mit bezeichnet. Dann gilt: G = [G : H] H. Betrachte für jedes g G Linksnebenklasse gh = {gh h H}. h gh ist eine Bijektion zwischen H und gh,da surjektiv, nach Definition einer Linksnebenklasse injektiv, nach Kürzungsregel gh 1 = gh 2 h 1 = h 2 Mächtigkeit von allen Linksnebenklassen gleich von Untergruppe H

23 4 e für Dritter Vierter Es seien G eine Gruppe und H eine Untergruppe von G. Satz von Lagrange Sei [G : H] Index von H in G (Anzahl Nebenklassen von H in G) und Gruppenordnung wird mit bezeichnet. Dann gilt: G = [G : H] H. Sei a, b G. Die Nebenklassen werden als Äquivalenzklassen Äquivalenzrelation a b a 1 b H definiert. Dadurch liefern sie eine Partition von G. Wahl eines Repräsentantensystems R Nebenklassen, dann hat man eine Bijektion zwischen R H und G durch Abbildung (r, h) rh.

24 4 e für Dritter Vierter Es seien G eine Gruppe und H eine Untergruppe von G. Satz von Lagrange Sei [G : H] Index von H in G (Anzahl Nebenklassen von H in G) und Gruppenordnung wird mit bezeichnet. Dann gilt: G = [G : H] H. Nach Definition von Index und Repräsentantensystem gilt [G : H] = R und somit erhält man G = R H = R H = [G : H] H was zu beweisen war. Aus Satz folgt H G

25 Dritter (Beispiel) 4 e für Dritter Vierter Angenommen sind endlich. Beispiel Definition P P = {2, 3, 5} und p = 5 größte Primzahl. idee Es ist zu zeigen, dass je Primteiler q von 2 p 1 größer als p ist, was den gewünschten Wispruch ergibt. Mersenne-Zahl: Sei q(= 31) Primteiler von 2 5 1, dann gilt (mod q). Da 5 Primzahl 2 hat in multiplikativer Gruppe Z q Ordnung 5. ( (da q = 31)) Die Gruppe Z q hat q 1(= 30) Elemente. Nach Satz von Lagrange weiß man, dass Ordnung 5 Gruppengröße teilt 5 q 1(= 30) 5 < q P {2, 3, 5}

26 Dritter 4 e für Dritter Vierter Angenommen sind endlich. Dann sei P := {p 1,..., p r } eine beliebige endliche Menge an und p größte Primzahl. idee Es ist zu zeigen, dass je Primteiler q von 2 p 1 größer als p ist, was den gewünschten Wispruch ergibt. Mersenne-Zahl: 2 p 1 Sei q Primteiler von 2 p 1, dann gilt 2 p 1 (mod q). Da p Primzahl 2 hat in multiplikativer Gruppe Z q Ordnung p. Die Gruppe Z q hat q 1 Elemente. Nach Satz von Lagrange weiß man, dass Ordnung p Gruppengröße teilt p q 1 p < q P {p 1,..., p r }

27 History Card: Leonhard Euler 4 e für Dritter Vierter schweizer Mathematiker und Physiker

28 Vierter (Definitionen) 4 e für Dritter Vierter Eulersche Phi-Funktion ϕ(n) := {a N 1 a n ggt (a, n) = 1} = (p 1 1) (p r 1) Beispiel Phi-Funktion mit 10 zu 10 teilerfremd sind: 1, 3, 7, 9 ϕ(n) = (2 1) (5 1) = 4

29 Vierter (Beispiel) 4 e für Dritter Vierter Angenommen sind endlich. Beispiel Definition P P = {2, 3, 5} Sei n := Es müsste gelten: ϕ(n) = 1. Jedoch ist ϕ(n) = (2 1) (3 1) (5 1) = 8 1.

30 Vierter 4 e für Dritter Vierter Für eine beliebige endliche Menge P = {p 1,..., p r } von sei n := p 1 p 2 p r Dann müsste gelten: ϕ(n) = 1. Dies steht jedoch im Wispruch zur bekannten Formel ϕ(n) = (p 1 1) (p r 1) > 1

31 4 e für Dritter Danke für Ihre Aufmerksamkeit! Vierter