3 Algebra und Zahlentheorie. Themen: Elementare Zahlentheorie Die Restklassenringe n Verschlüsselungstechniken

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1 3 Algebra und Zahlentheorie Themen: Elementare Zahlentheorie Die Restklassenringe n Verschlüsselungstechniken

2 3.1 Grundlegende Sätze der elementaren Zahlentheorie a, b meist ganze Zahlen.

3 3.1 Grundlegende Sätze der elementaren Zahlentheorie a, b meist ganze Zahlen. a b a ist ein Teiler von b b = aq für eine ganze Zahl q.

4 3.1 Grundlegende Sätze der elementaren Zahlentheorie a, b meist ganze Zahlen. a b a ist ein Teiler von b b = aq für eine ganze Zahl q. p Æ heißt Primzahl genau dann, wenn p genau zwei Teiler hat, nämlich 1 und p.

5 3.1 Grundlegende Sätze der elementaren Zahlentheorie a, b meist ganze Zahlen. a b a ist ein Teiler von b b = aq für eine ganze Zahl q. p Æ heißt Primzahl genau dann, wenn p genau zwei Teiler hat, nämlich 1 und p. Damit ist 1 keine Primzahl, weil sie nur einen Teiler besitzt.

6 Fundamentalsatz der Arithmetik Aus der Schule ist der folgende Satz über die eindeutige Zerlegung einer natürlichen Zahl in ihre Primfaktoren bekannt.

7 Fundamentalsatz der Arithmetik Aus der Schule ist der folgende Satz über die eindeutige Zerlegung einer natürlichen Zahl in ihre Primfaktoren bekannt. Satz Ist p 1 = 2, p 2 = 3, p 3 = 5,... die Folge der Primzahlen, so gibt es zu jeder natürlichen Zahl a > 1 eindeutige Exponenten r 1,...,r k Æ 0 mit a = p r 1 1 p r p r k k, r k > 0.

8 Fundamentalsatz der Arithmetik Aus der Schule ist der folgende Satz über die eindeutige Zerlegung einer natürlichen Zahl in ihre Primfaktoren bekannt. Satz Ist p 1 = 2, p 2 = 3, p 3 = 5,... die Folge der Primzahlen, so gibt es zu jeder natürlichen Zahl a > 1 eindeutige Exponenten r 1,...,r k Æ 0 mit a = p r 1 1 p r p r k k, r k > 0. Wenn wir vor der rechten Seite ein Minuszeichen setzen dürfen, gilt er auch für alle a mit a > 1.

9 Eine Primzahl als Teiler Unter den vielen Anwendungen dieses Satzes erwähnen wir: Ist eine Primzahl p Teiler von ab, so ist p a oder p b.

10 Eine Primzahl als Teiler Unter den vielen Anwendungen dieses Satzes erwähnen wir: Ist eine Primzahl p Teiler von ab, so ist p a oder p b. Schauen wir uns die Primfaktorzerlegungen von a und b an, so muss p in einer der beiden vorkommen.

11 Kongruenzen Wir sagen, a ist kongruent zu b modulo m, wenn die natürliche Zahl m ein Teiler von b a ist, also m b a.

12 Kongruenzen Wir sagen, a ist kongruent zu b modulo m, wenn die natürliche Zahl m ein Teiler von b a ist, also m b a. Schreiben dafür a b mod m.

13 Kongruenzen Wir sagen, a ist kongruent zu b modulo m, wenn die natürliche Zahl m ein Teiler von b a ist, also m b a. Schreiben dafür a b mod m. Die Zahl m heißt Modul der Kongruenz.

14 Kongruenzen Wir sagen, a ist kongruent zu b modulo m, wenn die natürliche Zahl m ein Teiler von b a ist, also m b a. Schreiben dafür a b mod m. Die Zahl m heißt Modul der Kongruenz. Die Differenz zweier gerader Zahlen ist gerade, sie sind daher kongruent modulo 2.

15 Kongruenzen Wir sagen, a ist kongruent zu b modulo m, wenn die natürliche Zahl m ein Teiler von b a ist, also m b a. Schreiben dafür a b mod m. Die Zahl m heißt Modul der Kongruenz. Die Differenz zweier gerader Zahlen ist gerade, sie sind daher kongruent modulo 2. Ebenso sind zwei ungerade Zahlen kongruent modulo 2, weil ihre Differenz ebenfalls geradzahlig ist.

16 Kongruenzen Sind zwei Zahlen kongruent modulo m, so muss die Differenz der beiden Zahlen ein ganzzahliges Vielfaches von m sein, daher a b mod m m a b a = b+qm für ein q.

17 Kongruenzen Sind zwei Zahlen kongruent modulo m, so muss die Differenz der beiden Zahlen ein ganzzahliges Vielfaches von m sein, daher a b mod m m a b a = b+qm für ein q. Eine natürliche Zahl a hinterlässt beim Teilen durch m einen Rest in der Menge {0, 1,...,m 1}.

18 Kongruenzen Sind zwei Zahlen kongruent modulo m, so muss die Differenz der beiden Zahlen ein ganzzahliges Vielfaches von m sein, daher a b mod m m a b a = b+qm für ein q. Eine natürliche Zahl a hinterlässt beim Teilen durch m einen Rest in der Menge {0, 1,...,m 1}. Zwei natürliche Zahlen a, b sind genau dann kongruent modulo m, wenn sie beim Teilen durch m den gleichen Rest besitzen.

19 Kongruenzen Sind zwei Zahlen kongruent modulo m, so muss die Differenz der beiden Zahlen ein ganzzahliges Vielfaches von m sein, daher a b mod m m a b a = b+qm für ein q. Eine natürliche Zahl a hinterlässt beim Teilen durch m einen Rest in der Menge {0, 1,...,m 1}. Zwei natürliche Zahlen a, b sind genau dann kongruent modulo m, wenn sie beim Teilen durch m den gleichen Rest besitzen. Dieser Rest fällt in b a heraus. Dieses Prinzip lässt sich auch auf negative Zahlen ausdehnen, wenn wir m auf den Rest addieren.

20 Rechenregeln für Kongruenzen a b mod m, c d mod m a±c b ± d mod m und ac bd mod m.

21 Rechenregeln für Kongruenzen a b mod m, c d mod m a±c b ± d mod m und ac bd mod m. Insbesondere a b mod m a k b k mod m.

22 Rechenregeln für Kongruenzen a b mod m, c d mod m Insbesondere a±c b ± d mod m und ac bd mod m. a b mod m a k b k mod m. Zusammenfassung: Ist p(x) ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten, so gilt a b mod m p(a) p(b) mod m.

23 Teilerfremde Zahlen Zwei natürliche Zahlen heißen teilerfremd, wenn sie nur 1 als gemeinsamen Teiler besitzen.

24 Teilerfremde Zahlen Zwei natürliche Zahlen heißen teilerfremd, wenn sie nur 1 als gemeinsamen Teiler besitzen. a und b sind genau dann teilerfremd, wenn ihre Primfakorzerlegungen keine gemeinsamen Primfaktoren besitzen

25 Division in der Kongruenzrelation Vorsicht: Es gilt m 2m mod m, aber 1 2 mod m.

26 Division in der Kongruenzrelation Vorsicht: Es gilt m 2m mod m, aber 1 2 mod m. Daher ac bc mod m, c und m teilerfremd a b mod m.

27 Division in der Kongruenzrelation Vorsicht: Es gilt m 2m mod m, aber 1 2 mod m. Daher ac bc mod m, c und m teilerfremd a b mod m. Beweis ac bc mod m m (b a)c.

28 Division in der Kongruenzrelation Vorsicht: Es gilt m 2m mod m, aber Daher 1 2 mod m. ac bc mod m, c und m teilerfremd a b mod m. Beweis ac bc mod m m (b a)c. Sind m und c teilerfremd, so kommen in den Primfaktorzerlegungen von m und c nur verschiedene Primzahlen vor. Damit muss m ein Teiler von b a sein.

29 Kleiner Satz von Fermat Satz Sei a positiv und p eine Primzahl. Dann gilt a p a mod p.

30 Kleiner Satz von Fermat Satz Sei a positiv und p eine Primzahl. Dann gilt a p a mod p. Ist p kein Teiler von a, folgt hieraus a p 1 1 mod p.

31 Beweis a p a mod p. Vollständige Induktion über a : Für a = 1 ist p 1 p 1 richtig.

32 Beweis a p a mod p. Vollständige Induktion über a : Für a = 1 ist p 1 p 1 richtig. Induktionsvoraussetzung: Behauptung ist für a richtig, also p a p a.

33 Beweis a p a mod p. Vollständige Induktion über a : Für a = 1 ist p 1 p 1 richtig. Induktionsvoraussetzung: Behauptung ist für a richtig, also p a p a. Wir müssen zeigen, dass p (a+1) p (a+1).

34 Beweis p (a+1) p (a+1). Mit der binomischen Formel erhalten wir ( ) p p (a+1) p (a+1) = a i (a+1) i i=0 ( ) p 1 p = a p + 1+ a i (a+1) i i=1

35 Beweis p (a+1) p (a+1). Mit der binomischen Formel erhalten wir ( ) p p (a+1) p (a+1) = a i (a+1) i i=0 ( ) p 1 p = a p + 1+ a i (a+1) i i=1 ( ) p 1 p = a p a+ a i. i i=1

36 Beweis p (a+1) p (a+1). Mit der binomischen Formel erhalten wir ( ) p p (a+1) p (a+1) = a i (a+1) i i=0 ( ) p 1 p = a p + 1+ a i (a+1) i i=1 ( ) p 1 p = a p a+ a i. i i=1 Auf der rechten Seite ist a p a aufgrund der Induktionsvoraussetzung durch p teilbar.

37 Beweis ( p 1 p (a+1) p (a+1) = a p a+ i i=1 ) a i. Die Binomialkoeffizienten ( p sind ganzzahlig. i ) = p! i!(p i)!

38 Beweis ( p 1 p (a+1) p (a+1) = a p a+ i i=1 ) a i. Die Binomialkoeffizienten ( p i ) = p! i!(p i)! sind ganzzahlig. Ist p eine Primzahl, so kann der Faktor p im Zähler für i 0 und i p nicht herausgekürzt werden.

39 Beweis ( p 1 p (a+1) p (a+1) = a p a+ i i=1 ) a i. Die Binomialkoeffizienten ( p i ) = p! i!(p i)! sind ganzzahlig. Ist p eine Primzahl, so kann der Faktor p im Zähler für i 0 und i p nicht herausgekürzt werden. Da die Binomialkoeffizienten hier durch p teilbar sind, ist auch die linke Seite durch p teilbar.

40 Beispiel Zeigen Sie, dass für jede positive Zahl n gilt 30 n 5 n.

41 Beispiel Zeigen Sie, dass für jede positive Zahl n gilt 30 n 5 n. Lösung: Die Teilbarkeit durch 5 folgt aus dem Fermatschen Satz.

42 Beispiel Zeigen Sie, dass für jede positive Zahl n gilt 30 n 5 n. Lösung: Die Teilbarkeit durch 5 folgt aus dem Fermatschen Satz. Wegen n 5 n = (n 1)n(n+1)(n 2 + 1) ist n 5 n außerdem durch 2 und durch 3 teilbar.

43 Beispiel Zeigen Sie, dass für jede positive Zahl n gilt 30 n 5 n. Lösung: Die Teilbarkeit durch 5 folgt aus dem Fermatschen Satz. Wegen n 5 n = (n 1)n(n+1)(n 2 + 1) ist n 5 n außerdem durch 2 und durch 3 teilbar. Beide Zahlen müssen Teiler einer Zahl in der Folge n 1, n, n+1 sein.

44 Division mit Rest Sind a Æ 0 und b Æ, so gibt es eindeutig bestimmte Zahlen m, r Æ 0 mit a = mb + r, 0 r < b.

45 Division mit Rest Sind a Æ 0 und b Æ, so gibt es eindeutig bestimmte Zahlen m, r Æ 0 mit a = mb + r, 0 r < b. Jede nichtnegative ganze Zahl liegt in genau einem Intervall [0, b),[b, 2b),... Daher sind sowohl m als auch r eindeutig bestimmt.

46 Ganzzahldivision Für ganzzahliges a existieren eindeutige b und 0 r < m mit a = mb + r.

47 Ganzzahldivision Für ganzzahliges a existieren eindeutige b und 0 r < m mit a = mb + r. Ganzzahldivision: a div m = b.

48 Ganzzahldivision Für ganzzahliges a existieren eindeutige b und 0 r < m mit a = mb + r. Ganzzahldivision: a div m = b. Beispiel: 15div 7 = 2, aber 15div 7 = 3.

49 Ganzzahldivision Für ganzzahliges a existieren eindeutige b und 0 r < m mit Ganzzahldivision: a div m = b. Beispiel: a = mb + r. 15div 7 = 2, aber 15div 7 = 3. Der auftretende Rest r {0,...,m 1} ist der Rest von a modulo m.

50 Ganzzahldivision Für ganzzahliges a existieren eindeutige b und 0 r < m mit Ganzzahldivision: a div m = b. Beispiel: a = mb + r. 15div 7 = 2, aber 15div 7 = 3. Der auftretende Rest r {0,...,m 1} ist der Rest von a modulo m. Schreiben dafür a mod m. Dann a = m (a divm)+(a mod m).

51 Größter gemeinsamer Teiler d heißt größter gemeinsamer Teiler von a Æ und b Æ, wenn d a, b,

52 Größter gemeinsamer Teiler d heißt größter gemeinsamer Teiler von a Æ und b Æ, wenn d a, b, Aus t a und t b folgt, dass t d.

53 Größter gemeinsamer Teiler d heißt größter gemeinsamer Teiler von a Æ und b Æ, wenn d a, b, Aus t a und t b folgt, dass t d. Schreiben dafür d = ggt(a, b).

54 Größter gemeinsamer Teiler d heißt größter gemeinsamer Teiler von a Æ und b Æ, wenn d a, b, Aus t a und t b folgt, dass t d. Schreiben dafür d = ggt(a, b). Für teilerfremde Zahlen gilt ggt(a, b) = 1.

55 Größter gemeinsamer Teiler d heißt größter gemeinsamer Teiler von a Æ und b Æ, wenn d a, b, Aus t a und t b folgt, dass t d. Schreiben dafür d = ggt(a, b). Für teilerfremde Zahlen gilt ggt(a, b) = 1. Den größten gemeinsamen Teiler kann man aus den Primfaktorzerlegungen der Zahlen a und b bestimmen, indem man das Produkt der gemeinsamen Primfaktoren bildet.

56 Größter gemeinsamer Teiler d heißt größter gemeinsamer Teiler von a Æ und b Æ, wenn d a, b, Aus t a und t b folgt, dass t d. Schreiben dafür d = ggt(a, b). Für teilerfremde Zahlen gilt ggt(a, b) = 1. Den größten gemeinsamen Teiler kann man aus den Primfaktorzerlegungen der Zahlen a und b bestimmen, indem man das Produkt der gemeinsamen Primfaktoren bildet. Besser den Beweis des nächsten Satzes nehmen

57 Satz vom größten gemeinsamen Teiler, Lemma von Bézout Satz Für a, b Æ existiert genau ein größter gemeinsamer Teiler d Æ.

58 Satz vom größten gemeinsamen Teiler, Lemma von Bézout Satz Für a, b Æ existiert genau ein größter gemeinsamer Teiler d Æ. Ferner gibt es Zahlen α,β mit d = αa+βb.

59 Beweis Wir dürfen a > b annehmen. Wir wenden fortgesetzte Division mit Rest nach folgendem Schema solange an, bis der Rest 0 entsteht: a = b q 1 + r 1, 0 < r 1 < b, b = r 1 q 2 + r 2, 0 < r 2 < r 1, r 1 = r 2 q 3 + r 3, 0 < r 3 < r 2,. r k 4 = r k 3 q k 2 + r k 2, 0 < r k 2 < r k 3, r k 3 = r k 2 q k 1 + r k 1, 0 < r k 1 < r k 2, r k 2 = r k 1 q k + r k, 0 < r k < r k 1, r k 1 = r k q k.

60 Beweis Wir dürfen a > b annehmen. Wir wenden fortgesetzte Division mit Rest nach folgendem Schema solange an, bis der Rest 0 entsteht: a = b q 1 + r 1, 0 < r 1 < b, b = r 1 q 2 + r 2, 0 < r 2 < r 1, r 1 = r 2 q 3 + r 3, 0 < r 3 < r 2,. r k 4 = r k 3 q k 2 + r k 2, 0 < r k 2 < r k 3, r k 3 = r k 2 q k 1 + r k 1, 0 < r k 1 < r k 2, r k 2 = r k 1 q k + r k, 0 < r k < r k 1, r k 1 = r k q k. Da die Folge der Reste nichtnegativ und streng monoton fallend ist, kommen wir nach endlich vielen Schritten zum Rest 0.

61 Beweis a = b q 1 + r 1, 0 < r 1 < b, b = r 1 q 2 + r 2, 0 < r 2 < r 1, r 1 = r 2 q 3 + r 3, 0 < r 3 < r 2,. r k 4 = r k 3 q k 2 + r k 2, 0 < r k 2 < r k 3, r k 3 = r k 2 q k 1 + r k 1, 0 < r k 1 < r k 2, r k 2 = r k 1 q k + r k, 0 < r k < r k 1, r k 1 = r k q k.

62 Beweis a = b q 1 + r 1, 0 < r 1 < b, b = r 1 q 2 + r 2, 0 < r 2 < r 1, r 1 = r 2 q 3 + r 3, 0 < r 3 < r 2,. r k 4 = r k 3 q k 2 + r k 2, 0 < r k 2 < r k 3, r k 3 = r k 2 q k 1 + r k 1, 0 < r k 1 < r k 2, r k 2 = r k 1 q k + r k, 0 < r k < r k 1, r k 1 = r k q k. r k ist der größte gemeinsame Teiler von a und b:

63 Beweis a = b q 1 + r 1, 0 < r 1 < b, b = r 1 q 2 + r 2, 0 < r 2 < r 1, r 1 = r 2 q 3 + r 3, 0 < r 3 < r 2,. r k 4 = r k 3 q k 2 + r k 2, 0 < r k 2 < r k 3, r k 3 = r k 2 q k 1 + r k 1, 0 < r k 1 < r k 2, r k 2 = r k 1 q k + r k, 0 < r k < r k 1, r k 1 = r k q k. r k ist der größte gemeinsame Teiler von a und b: Liest man nämlich die Gleichungen von unten nach oben, so kommt man auf die Beziehungen r k r k 1, r k r k 2,... r k b, r k a, womit r k ein gemeinsamer Teiler von b und a ist.

64 Beweis a = b q 1 + r 1, 0 < r 1 < b, b = r 1 q 2 + r 2, 0 < r 2 < r 1, r 1 = r 2 q 3 + r 3, 0 < r 3 < r 2,. r k 4 = r k 3 q k 2 + r k 2, 0 < r k 2 < r k 3, r k 3 = r k 2 q k 1 + r k 1, 0 < r k 1 < r k 2, r k 2 = r k 1 q k + r k, 0 < r k < r k 1, r k 1 = r k q k.

65 Beweis a = b q 1 + r 1, 0 < r 1 < b, b = r 1 q 2 + r 2, 0 < r 2 < r 1, r 1 = r 2 q 3 + r 3, 0 < r 3 < r 2,. r k 4 = r k 3 q k 2 + r k 2, 0 < r k 2 < r k 3, r k 3 = r k 2 q k 1 + r k 1, 0 < r k 1 < r k 2, r k 2 = r k 1 q k + r k, 0 < r k < r k 1, r k 1 = r k q k. Für einen beliebigen gemeinsamen Teiler t von a und b kommt man, wenn man die Gleichungen von oben nach unten liest, auf t r 1, t r 2,..., t r k.

66 Beweis a = b q 1 + r 1, 0 < r 1 < b, b = r 1 q 2 + r 2, 0 < r 2 < r 1, r 1 = r 2 q 3 + r 3, 0 < r 3 < r 2,. r k 4 = r k 3 q k 2 + r k 2, 0 < r k 2 < r k 3, r k 3 = r k 2 q k 1 + r k 1, 0 < r k 1 < r k 2, r k 2 = r k 1 q k + r k, 0 < r k < r k 1, r k 1 = r k q k. Für einen beliebigen gemeinsamen Teiler t von a und b kommt man, wenn man die Gleichungen von oben nach unten liest, auf t r 1, t r 2,..., t r k. Damit ist in der Tat r k = ggt(a, b).

67 Beweis a = b q 1 + r 1, 0 < r 1 < b, b = r 1 q 2 + r 2, 0 < r 2 < r 1, r 1 = r 2 q 3 + r 3, 0 < r 3 < r 2,. r k 4 = r k 3 q k 2 + r k 2, 0 < r k 2 < r k 3, r k 3 = r k 2 q k 1 + r k 1, 0 < r k 1 < r k 2, r k 2 = r k 1 q k + r k, 0 < r k < r k 1, r k 1 = r k q k. r k = αa+βb: Aus der vorletzten und drittletzten Gleichung ergibt sich r k = r k 2 r k 1 q k, r k = (1+q k 1 q k )r k 2 q k r k 3.

68 Beweis a = b q 1 + r 1, 0 < r 1 < b, b = r 1 q 2 + r 2, 0 < r 2 < r 1, r 1 = r 2 q 3 + r 3, 0 < r 3 < r 2,. r k 4 = r k 3 q k 2 + r k 2, 0 < r k 2 < r k 3, r k 3 = r k 2 q k 1 + r k 1, 0 < r k 1 < r k 2, r k 2 = r k 1 q k + r k, 0 < r k < r k 1, r k 1 = r k q k. r k = αa+βb: Aus der vorletzten und drittletzten Gleichung ergibt sich r k = r k 2 r k 1 q k, r k = (1+q k 1 q k )r k 2 q k r k 3. Stelle r k 2 als Kombination von r k 4 und r k 3 dar: r k = αa+βb.

69 Beispiel Das im letzten Beweis dargestellte Verfahren ist deshalb so effektiv, weil sich die r i in jedem Schritt mindestens halbieren.

70 Beispiel Das im letzten Beweis dargestellte Verfahren ist deshalb so effektiv, weil sich die r i in jedem Schritt mindestens halbieren. Für a = 38 und b = 10 erhält man also ggt(38, 10) = = = = 2 4,

71 Beispiel Das im letzten Beweis dargestellte Verfahren ist deshalb so effektiv, weil sich die r i in jedem Schritt mindestens halbieren. Für a = 38 und b = 10 erhält man also ggt(38, 10) = 2.. α,β bestimmt man aus 2 = also α = 1 und β = = = = 2 4, = 10 1 ( ) = ,

72 3.2 Stellenwertsysteme Sei g Æ\{1}. Die g-adische Darstellung einer natürlichen Zahl n ist von der Form n = a 0 g 0 + a 1 g a s g s = mit Ziffern a k {0, 1,...,g 1}. s a k g k k=0

73 3.2 Stellenwertsysteme Sei g Æ\{1}. Die g-adische Darstellung einer natürlichen Zahl n ist von der Form n = a 0 g 0 + a 1 g a s g s = mit Ziffern a k {0, 1,...,g 1}. s a k g k k=0 Für die Basis g hat sich im täglichen Gebrauch g = 10 durchgesetzt, wir schreiben ja a s...a 0.

74 3.2 Stellenwertsysteme Sei g Æ\{1}. Die g-adische Darstellung einer natürlichen Zahl n ist von der Form n = a 0 g 0 + a 1 g a s g s = mit Ziffern a k {0, 1,...,g 1}. s a k g k k=0 Für die Basis g hat sich im täglichen Gebrauch g = 10 durchgesetzt, wir schreiben ja a s...a 0. Relikte anderer Basen sind bei uns noch erkennbar: Stunden, Minuten und Sekunden sind im 60er System strukturiert, das Dutzend und das Gros erinnern an die Basis 12.

75 Bestimmung der Ziffern Für die Darstellung s n = a 0 g 0 + a 1 g a s g s = a k g k k=0 schreiben wir n = a s a s 1...a 0g.

76 Bestimmung der Ziffern Für die Darstellung s n = a 0 g 0 + a 1 g a s g s = a k g k k=0 schreiben wir n = a s a s 1...a 0g. Diese Darstellung ist offenbar eindeutig und es gilt a k = (n div g k ) mod g für k = 0, 1,...

77 Bestimmung der Ziffern Für die Darstellung schreiben wir n = a 0 g 0 + a 1 g a s g s = n = a s a s 1...a 0g. s a k g k k=0 Diese Darstellung ist offenbar eindeutig und es gilt a k = (n div g k ) mod g für k = 0, 1,... Für die praktische Rechnung dividiert man fortgesetzt ganzzahlig durch g und nimmt anschließend die Ergebnisse modulo g.

78 Beispiel Für n = 50 und g = 2 gilt 50div1 = 50, 50div 2 = 25, 25div 2 = 12, 12div2 = 6, 6div 2 = 3, 3div2 = 1, daher =

79 Darstellung ganzer Zahlen im Rechner Stehen uns s + 1 Bits im Binärsystem g = 2 zur Verfügung, so geht ein Bit für das Vorzeichen verloren.

80 Darstellung ganzer Zahlen im Rechner Stehen uns s + 1 Bits im Binärsystem g = 2 zur Verfügung, so geht ein Bit für das Vorzeichen verloren. Es ist aber ungünstig, explizit das Vorzeichen zu codieren, weil das bei der Addition zu Fallunterscheidungen führt.

81 Darstellung ganzer Zahlen im Rechner Stehen uns s + 1 Bits im Binärsystem g = 2 zur Verfügung, so geht ein Bit für das Vorzeichen verloren. Es ist aber ungünstig, explizit das Vorzeichen zu codieren, weil das bei der Addition zu Fallunterscheidungen führt. Die Vorzeichen der beiden zu addierenden Zahlen entscheiden darüber, ob addiert oder subtrahiert wird.

82 Zweierkomplemente Besser ist es daher, Zweierkomplemente zu verwenden, nämlich [a s a s 1...a 0 ] 2 = a s 1...a 02 2 s a s.

83 Zweierkomplemente Besser ist es daher, Zweierkomplemente zu verwenden, nämlich [a s a s 1...a 0 ] 2 = a s 1...a 02 2 s a s. Bei a s = 0 laufen die nichtnegativen ganzen Zahlen von 0 = [0...0] 2 bis 2 s 1 = [ ] 2

84 Zweierkomplemente Besser ist es daher, Zweierkomplemente zu verwenden, nämlich [a s a s 1...a 0 ] 2 = a s 1...a 02 2 s a s. Bei a s = 0 laufen die nichtnegativen ganzen Zahlen von 0 = [0...0] 2 bis 2 s 1 = [ ] 2 Die negativen Zahlen laufen von 1 = [11...1] 2 bis 2 s = [10...0] 2.

85 Zweierkomplemente Besser ist es daher, Zweierkomplemente zu verwenden, nämlich [a s a s 1...a 0 ] 2 = a s 1...a 02 2 s a s. Bei a s = 0 laufen die nichtnegativen ganzen Zahlen von 0 = [0...0] 2 bis 2 s 1 = [ ] 2 Die negativen Zahlen laufen von 1 = [11...1] 2 bis 2 s = [10...0] 2. Bei der Addition solcher Zahlen führt man eine normale binäre Addition durch, ohne die besondere Bedeutung der Stelle s zu berücksichtigen.

86 Zweierkomplemente Besser ist es daher, Zweierkomplemente zu verwenden, nämlich [a s a s 1...a 0 ] 2 = a s 1...a 02 2 s a s. Bei a s = 0 laufen die nichtnegativen ganzen Zahlen von 0 = [0...0] 2 bis 2 s 1 = [ ] 2 Die negativen Zahlen laufen von 1 = [11...1] 2 bis 2 s = [10...0] 2. Bei der Addition solcher Zahlen führt man eine normale binäre Addition durch, ohne die besondere Bedeutung der Stelle s zu berücksichtigen. Allerdings fällt ein Übertrag von der Stelle s unter den Tisch. Solange sich die Zahlen im angegebenen Bereich bewegen, ist diese Addition korrekt:

87 Beispiel Für s = 3 können die Zahlen von 2 3 = 8 bis = 7 dargestellt werden.

88 Beispiel Für s = 3 können die Zahlen von dargestellt werden. 2 3 = 8 bis = 7 Es ist klar, dass zwei nichtnegative Zahlen korrekt addiert werden, solange die 7 nicht überschritten wird.

89 Beispiel Für s = 3 können die Zahlen von dargestellt werden. 2 3 = 8 bis = 7 Es ist klar, dass zwei nichtnegative Zahlen korrekt addiert werden, solange die 7 nicht überschritten wird. Andernfalls erhalten wir z.b. 4+4 = [0100] 2 +[0100] 2? = [1000]2 = 8.

90 Beispiel Für s = 3 können die Zahlen von dargestellt werden. 2 3 = 8 bis = 7 Es ist klar, dass zwei nichtnegative Zahlen korrekt addiert werden, solange die 7 nicht überschritten wird. Andernfalls erhalten wir z.b. 4+4 = [0100] 2 +[0100] 2? = [1000]2 = 8. Bei der Summe zweier negativer Zahlen darf die Summe nicht kleiner als 8 werden, z.b 1 1 = [1111] 2 +[1111] 2 = [1110] 2 = 2, 4 5 = [1100] 2 +[1011] 2? = [0111]2 = 7.

91 3.3 Untergruppen und der Satz von Lagrange Wir hatten = (G, e, ) eine Gruppe genannt, wenn die zweistellige Operation assoziativ ist, es ein neutrales Element e gibt, es zu jedem x ein x 1 gibt mit x x 1 = x 1 x = e.

92 Untergruppen U G heißt Untergruppe von G, wenn: (U, e, ) ist Gruppe ist mit der gleichen Operation eingeschränkt auf U U.

93 Untergruppen U G heißt Untergruppe von G, wenn: (U, e, ) ist Gruppe ist mit der gleichen Operation eingeschränkt auf U U. In diesem Fall schreiben wir U G und, falls U G, U < G.

94 Untergruppenkriterium Satz (G, e, ) sei eine Gruppe. U G ist genau dann eine Untergruppe von G, wenn (a) U, (b) Mit x, y U ist auch x y U. (c) Zu jedem x U existiert x 1 U.

95 Untergruppenkriterium Satz (G, e, ) sei eine Gruppe. U G ist genau dann eine Untergruppe von G, wenn (a) U, (b) Mit x, y U ist auch x y U. (c) Zu jedem x U existiert x 1 U. Beweis Eine Untergruppe erfüllt (a),(b),(c).

96 Untergruppenkriterium Satz (G, e, ) sei eine Gruppe. U G ist genau dann eine Untergruppe von G, wenn (a) U, (b) Mit x, y U ist auch x y U. (c) Zu jedem x U existiert x 1 U. Beweis Eine Untergruppe erfüllt (a),(b),(c). Wegen (a) gibt es ein x U, das nach (c) ein inverses Element x 1 U besitzt.

97 Untergruppenkriterium Satz (G, e, ) sei eine Gruppe. U G ist genau dann eine Untergruppe von G, wenn (a) U, (b) Mit x, y U ist auch x y U. (c) Zu jedem x U existiert x 1 U. Beweis Eine Untergruppe erfüllt (a),(b),(c). Wegen (a) gibt es ein x U, das nach (c) ein inverses Element x 1 U besitzt. Nach (b) ist dann auch x x 1 = e U. Das Assoziativgesetz gilt in U, weil es in G gilt.

98 Beispiele U = {e} und U = G sind immer Untergruppen einer Gruppe G, man nennt sie die trivialen Untergruppen.

99 Beispiele U = {e} und U = G sind immer Untergruppen einer Gruppe G, man nennt sie die trivialen Untergruppen. Weitere Beispiele: Die ganzen Zahlen sind mit der üblichen Addition eine Untergruppe der rationalen Zahlen. Die geraden Zahlen sind wiederum eine Untergruppe der ganzen Zahlen.

100 Beispiele U = {e} und U = G sind immer Untergruppen einer Gruppe G, man nennt sie die trivialen Untergruppen. Weitere Beispiele: Die ganzen Zahlen sind mit der üblichen Addition eine Untergruppe der rationalen Zahlen. Die geraden Zahlen sind wiederum eine Untergruppe der ganzen Zahlen. Die Menge der Permutationen von A n = {1, 2,...,n} mit p(1) = 1 ist eine Untergruppe, die die gleiche Struktur wie die Permutationen der Menge A n 1 besitzt.

101 Satz von Lagrange Satz Sei G eine endliche Gruppe. Ist U eine Untergruppe von G, so ist ihre Kardinalität U ein Teiler von G.

102 Beweis Sei U Untergruppe der endlichen Gruppe G. Für jedes x G betrachten wir die Nebenklasse xu = {xy : y U}.

103 Beweis Sei U Untergruppe der endlichen Gruppe G. Für jedes x G betrachten wir die Nebenklasse xu = {xy : y U}. xy 1 = xy 2 für y 1, y 2 U y 1 = y 2.

104 Beweis Sei U Untergruppe der endlichen Gruppe G. Für jedes x G betrachten wir die Nebenklasse xu = {xy : y U}. xy 1 = xy 2 für y 1, y 2 U y 1 = y 2. Damit sind alle Nebenklassen gleich groß und haben U viele Elemente.

105 Beweis Sei U Untergruppe der endlichen Gruppe G. Für jedes x G betrachten wir die Nebenklasse xu = {xy : y U}. xy 1 = xy 2 für y 1, y 2 U y 1 = y 2. Damit sind alle Nebenklassen gleich groß und haben U viele Elemente. Haben zwei Nebenklassen x 1 U, x 2 U ein Element x 1 y 1 = x 2 y 2 gemeinsam, so sind die Nebenklassen gleich wegen x 1 U = x 1 (y 1 U) = (x 1 y 1 )U = x 2 y 2 U = x 2 U.

106 Beweis Sei U Untergruppe der endlichen Gruppe G. Für jedes x G betrachten wir die Nebenklasse xu = {xy : y U}. xy 1 = xy 2 für y 1, y 2 U y 1 = y 2. Damit sind alle Nebenklassen gleich groß und haben U viele Elemente. Haben zwei Nebenklassen x 1 U, x 2 U ein Element x 1 y 1 = x 2 y 2 gemeinsam, so sind die Nebenklassen gleich wegen x 1 U = x 1 (y 1 U) = (x 1 y 1 )U = x 2 y 2 U = x 2 U. Wegen x = xe xu kommt jedes x G in einer Nebenklasse vor.

107 3.4 Restklassenkörper und der Satz von Wilson à = (K, 0, 1,+, ) heißt Körper, wenn (K, 0,+) und (K \ 0, 1, ) abelsche Gruppen sind, das Distributivgesetz a (b + c) = a b + a c gilt.

108 3.4 Restklassenkörper und der Satz von Wilson à = (K, 0, 1,+, ) heißt Körper, wenn (K, 0,+) und (K \ 0, 1, ) abelsche Gruppen sind, das Distributivgesetz a (b + c) = a b + a c gilt. Das inverse Element von a bezüglich der Addition schreiben wir als a, das der Multiplikation als a 1.

109 3.4 Restklassenkörper und der Satz von Wilson à = (K, 0, 1,+, ) heißt Körper, wenn (K, 0,+) und (K \ 0, 1, ) abelsche Gruppen sind, das Distributivgesetz a (b + c) = a b + a c gilt. Das inverse Element von a bezüglich der Addition schreiben wir als a, das der Multiplikation als a 1. Üblicherweise verwendet man a b statt a +( b) und ab statt a b. Weiter gilt die bekannte Regel Punktrechnung geht vor Strichrechnung.

110 Rechenregeln Sei (K, 0, 1, +, ) ein Körper. Dann gilt: (a) Die neutralen Elemente der Addition und der Multiplikation sind eindeutig bestimmt.

111 Rechenregeln Sei (K, 0, 1, +, ) ein Körper. Dann gilt: (a) Die neutralen Elemente der Addition und der Multiplikation sind eindeutig bestimmt. (b) Das inverse Element a der Addition und das inverse Element a 1, a 0, der Multiplikation sind eindeutig bestimmt.

112 Rechenregeln Sei (K, 0, 1, +, ) ein Körper. Dann gilt: (a) Die neutralen Elemente der Addition und der Multiplikation sind eindeutig bestimmt. (b) Das inverse Element a der Addition und das inverse Element a 1, a 0, der Multiplikation sind eindeutig bestimmt. (c) Es gilt a 0 = 0, ( 1)a = a, ( a)b = ab.

113 Rechenregeln Sei (K, 0, 1, +, ) ein Körper. Dann gilt: (a) Die neutralen Elemente der Addition und der Multiplikation sind eindeutig bestimmt. (b) Das inverse Element a der Addition und das inverse Element a 1, a 0, der Multiplikation sind eindeutig bestimmt. (c) Es gilt a 0 = 0, ( 1)a = a, ( a)b = ab. (d) Ist a 0, so folgt aus ab = ac, dass b = c.

114 Rechenregeln Sei (K, 0, 1, +, ) ein Körper. Dann gilt: (a) Die neutralen Elemente der Addition und der Multiplikation sind eindeutig bestimmt. (b) Das inverse Element a der Addition und das inverse Element a 1, a 0, der Multiplikation sind eindeutig bestimmt. (c) Es gilt a 0 = 0, ( 1)a = a, ( a)b = ab. (d) Ist a 0, so folgt aus ab = ac, dass b = c. (e) Ein Körper ist nullteilerfrei, d.h. aus ab = 0 folgt a = 0 oder b = 0.

115 Beweis (c) Aus a0 = a(0+0) = a0+a0 folgt a0 = 0.

116 Beweis (c) Aus a0 = a(0+0) = a0+a0 folgt a0 = 0. 0 = 0a = (1+( 1))a = a+( 1)a ( 1)a = a.

117 Beweis (c) Aus a0 = a(0+0) = a0+a0 folgt a0 = 0. 0 = 0a = (1+( 1))a = a+( 1)a ( 1)a = a. Mit ( 1)a = a folgt ( a)b = ( 1)ab = ( 1)(ab) = ab.

118 Beweis (c) Aus a0 = a(0+0) = a0+a0 folgt a0 = 0. 0 = 0a = (1+( 1))a = a+( 1)a ( 1)a = a. Mit ( 1)a = a folgt ( a)b = ( 1)ab = ( 1)(ab) = ab. (e) Ist ab = 0 und b 0, so a = abb 1 = 0b 1 = 0 wegen (c).

119 Restklassen Sei n > 1 eine natürliche Zahl. Dann ist die auf erklärte Relation a b mod n eine Äquivalenzrelation.

120 Restklassen Sei n > 1 eine natürliche Zahl. Dann ist die auf erklärte Relation a b mod n eine Äquivalenzrelation. Denn sie ist reflexiv und symmetrisch sowie transitiv wegen a b mod n, b c mod n a = b + qm, b = c + q m a = c +(q + q )m.

121 Restklassen Zwei ganze Zahlen sind daher äquivalent, wenn sie bei der Division durch n den gleichen Rest modulo n besitzen.

122 Restklassen Zwei ganze Zahlen sind daher äquivalent, wenn sie bei der Division durch n den gleichen Rest modulo n besitzen. Die zugehörigen Äquivalenzklassen besitzen daher die natürlichen Vertreter 0, 1,...,n 1.

123 Restklassen Zwei ganze Zahlen sind daher äquivalent, wenn sie bei der Division durch n den gleichen Rest modulo n besitzen. Die zugehörigen Äquivalenzklassen besitzen daher die natürlichen Vertreter 0, 1,...,n 1. Die Menge bildet eine Partition von. n = {0, 1,...,n 1}

124 Restklassen Auf n können wir die Operationen a+b = a+b, a b = a b definieren.

125 Restklassen Auf n können wir die Operationen definieren. a+b = a+b, a b = a b Wir beweisen die Korrektheit dieser Definitionen, also die Unabhängigkeit von den Vertretern der jeweiligen Äquivalenzklasse.

126 Restklassen Auf n können wir die Operationen definieren. a+b = a+b, a b = a b Wir beweisen die Korrektheit dieser Definitionen, also die Unabhängigkeit von den Vertretern der jeweiligen Äquivalenzklasse. Ist a a, b b, so a = a+pn, b = b + qn. Dann a +b = a+b+(p+q)n a+b, a b = ab+aqn+bpn+pqn 2 a b.

127 Alternative Alternativ wird auch n = {0, 1,...,n 1} geschrieben.

128 Alternative Alternativ wird auch geschrieben. n = {0, 1,...,n 1} Man addiert und multipliziert diese Zahlen normal in Æ 0 und ordnet das Ergebnis der zugehörigen Äquivalenzklasse beziehungsweise ihrem Vertreter in n zu.

129 Alternative Alternativ wird auch geschrieben. n = {0, 1,...,n 1} Man addiert und multipliziert diese Zahlen normal in Æ 0 und ordnet das Ergebnis der zugehörigen Äquivalenzklasse beziehungsweise ihrem Vertreter in n zu. Schreibe + n und n für die so definierten Operationen.

130 Alternative Alternativ wird auch geschrieben. n = {0, 1,...,n 1} Man addiert und multipliziert diese Zahlen normal in Æ 0 und ordnet das Ergebnis der zugehörigen Äquivalenzklasse beziehungsweise ihrem Vertreter in n zu. Schreibe + n und n für die so definierten Operationen. Beispielsweise gilt in = 6 2 mod 4, daher = 2.

131 n =

132 n =

133 Algebraischen Eigenschaften von n Beide Operationen + n und n sind assoziativ und kommutativ.

134 Algebraischen Eigenschaften von n Beide Operationen + n und n sind assoziativ und kommutativ. 0 ist neutral bezüglich der Addition.

135 Algebraischen Eigenschaften von n Beide Operationen + n und n sind assoziativ und kommutativ. 0 ist neutral bezüglich der Addition. Zu a n ist n a das inverse Element bezüglich der Addition, denn es gilt a+(n a) = n 0 mod n.

136 Algebraischen Eigenschaften von n Beide Operationen + n und n sind assoziativ und kommutativ. 0 ist neutral bezüglich der Addition. Zu a n ist n a das inverse Element bezüglich der Addition, denn es gilt a+(n a) = n 0 mod n. Damit ist ( n, 0,+) eine kommutative Gruppe.

137 Algebraischen Eigenschaften von n Beide Operationen + n und n sind assoziativ und kommutativ. 0 ist neutral bezüglich der Addition. Zu a n ist n a das inverse Element bezüglich der Addition, denn es gilt a+(n a) = n 0 mod n. Damit ist ( n, 0,+) eine kommutative Gruppe. Das Distributivgesetz wird von der Rechnung mit ganzen Zahlen geerbt und ist daher ebenfalls gültig.

138 Algebraischen Eigenschaften von n Beide Operationen + n und n sind assoziativ und kommutativ. 0 ist neutral bezüglich der Addition. Zu a n ist n a das inverse Element bezüglich der Addition, denn es gilt a+(n a) = n 0 mod n. Damit ist ( n, 0,+) eine kommutative Gruppe. Das Distributivgesetz wird von der Rechnung mit ganzen Zahlen geerbt und ist daher ebenfalls gültig. 1 ist neutrales Element der Multiplikation, was n zu einem kommutativen Ring macht.

139 Noch einmal n = Wie die Tafel oben rechts zeigt, gibt es für die 2 bei n = 4 kein inverses Element.

140 Noch einmal n = Wie die Tafel oben rechts zeigt, gibt es für die 2 bei n = 4 kein inverses Element. Allgemein ist für zusammengesetztes n = kl die Struktur kein Körper wegen k n l = n 0 mod n, sie ist damit nicht nullteilerfrei.

141 Restklassenkörper Satz Ist p eine Primzahl, so ist p zusammen mit den Operationen + p und p ein Körper, der Restklassenkörper modulo p genannt wird.

142 Restklassenkörper Satz Ist p eine Primzahl, so ist p zusammen mit den Operationen + p und p ein Körper, der Restklassenkörper modulo p genannt wird. Für a 0 gilt a = p a sowie a 1 a p 2 mod p.

143 Restklassenkörper Satz Ist p eine Primzahl, so ist p zusammen mit den Operationen + p und p ein Körper, der Restklassenkörper modulo p genannt wird. Für a 0 gilt a = p a sowie a 1 a p 2 mod p. Genau die Elemente 1 und p 1 sind zu sich selbst invers bezüglich der Multiplikation p.

144 Restklassenkörper Satz Ist p eine Primzahl, so ist p zusammen mit den Operationen + p und p ein Körper, der Restklassenkörper modulo p genannt wird. Für a 0 gilt a = p a sowie a 1 a p 2 mod p. Genau die Elemente 1 und p 1 sind zu sich selbst invers bezüglich der Multiplikation p. Alle anderen Elemente 0 lassen sich zu Paaren a, a, a a, zusammenfassen mit a p a = 1.

145 Beweis Nach dem kleinen Satz von Fermat gilt a p 1 1 mod p für alle a {1,...,p 1}.

146 Beweis Nach dem kleinen Satz von Fermat gilt a p 1 1 mod p für alle a {1,...,p 1}. Somit a a p 2 1 mod p und die Restklasse modulo p von a p 2 ist das inverse Element von a bezüglich p.

147 Beweis Nach dem kleinen Satz von Fermat gilt a p 1 1 mod p für alle a {1,...,p 1}. Somit a a p 2 1 mod p und die Restklasse modulo p von a p 2 ist das inverse Element von a bezüglich p. a 2 1 mod p (a 1)(a+1) 0 mod p, was genau für a = 1 oder a = p 1 erfüllt ist.

148 Satz von Wilson Satz Für jede Primzahl p gilt (p 2)! 1 mod p, (p 1)! 1 mod p.

149 Satz von Wilson Satz Für jede Primzahl p gilt (p 2)! 1 mod p, (p 1)! 1 mod p. Beweis Es gilt (p 2)! = 2... (p 2).

150 Satz von Wilson Satz Für jede Primzahl p gilt Beweis Es gilt (p 2)! 1 mod p, (p 1)! 1 mod p. (p 2)! = 2... (p 2). Nach dem letzten Satz wird dieses Produkt von Paaren mit aa 1 mod p gebildet, daher (p 2)! 1 mod p.

151 Satz von Wilson Satz Für jede Primzahl p gilt Beweis Es gilt (p 2)! 1 mod p, (p 1)! 1 mod p. (p 2)! = 2... (p 2). Nach dem letzten Satz wird dieses Produkt von Paaren mit aa 1 mod p gebildet, daher (p 2)! 1 mod p. Wir multiplizieren dies mit p 1 und erhalten den zweiten Teil der Behauptung.

152 3.5 Geheimcodes Wir untersuchen Substitution Vignére-Verschlüsselung RSA-Verschlüsselung

153 Die Substitution besteht darin, jeden Buchstaben eines Textes durch einen anderen zu ersetzen.

154 Die Substitution besteht darin, jeden Buchstaben eines Textes durch einen anderen zu ersetzen. Kleine Buchstaben = zu verschlüsselnder Text (=Klartext)

155 Die Substitution besteht darin, jeden Buchstaben eines Textes durch einen anderen zu ersetzen. Kleine Buchstaben = zu verschlüsselnder Text (=Klartext) Große Buchstaben = verschlüsselte Nachricht (=Geheimtext).

156 Die Substitution besteht darin, jeden Buchstaben eines Textes durch einen anderen zu ersetzen. Kleine Buchstaben = zu verschlüsselnder Text (=Klartext) Große Buchstaben = verschlüsselte Nachricht (=Geheimtext). Beispiel Klartextalphabet: s t u v w x y z Geheimtextalphabet: F X H U O N V M a b c d e f g h i j k l m n o p q r J L P A W I Q B C T R Z Y D S K E G

157 Die Substitution besteht darin, jeden Buchstaben eines Textes durch einen anderen zu ersetzen. Kleine Buchstaben = zu verschlüsselnder Text (=Klartext) Große Buchstaben = verschlüsselte Nachricht (=Geheimtext). Beispiel Klartextalphabet: s t u v w x y z Geheimtextalphabet: F X H U O N V M Dann Klartext: Geheimtext: a b c d e f g h i j k l m n o p q r J L P A W I Q B C T R Z Y D S K E G gehen wir aus? QWBWD OCG JHF?

158 Häufigkeiten Buchstabe Häufigkeit in % a 6,51 b 1,89 c 3,06 d 5,08 e 17,40 f 1,66 g 3,01 h 4,76 i 7,55 j 0,27 k 1,21 l 3,44 m 2,53 Buchstabe Häufigkeit in % n 9,78 o 2,51 p 0,79 q 0,02 r 7,00 s 7,27 t 6,15 u 4,35 v 0,67 w 1,89 x 0,03 y 0,04 z 1,13

159 Vignère-Verschlüsselung Bei der Vignère-Verschlüsselung nimmt man für jeden Buchstaben in Abhängigkeit seiner Position im Klartext einen anderen Schlüssel.

160 Vignère-Verschlüsselung Bei der Vignère-Verschlüsselung nimmt man für jeden Buchstaben in Abhängigkeit seiner Position im Klartext einen anderen Schlüssel. Im einfachsten Fall vereinbart man ein Schlüsselwort, beispielsweise LICHT, das wiederholt über den Klartext geschrieben wird. Schlüsselwort Klartext Geheimtext LICHTLICHTLICHTLICHTL truppenabzugnachosten EZWWIPVCISFOEHVSWUAXY

161 Vignère-Verschlüsselung Schlüsselwort Klartext Geheimtext LICHTLICHTLICHTLICHTL truppenabzugnachosten EZWWIPVCISFOEHVSWUAXY Der Buchstabe des Schlüsselworts gibt an, wieweit der Buchstabe des Klartextes im Alphabet verschoben werden muss.

162 Vignère-Verschlüsselung Schlüsselwort Klartext Geheimtext LICHTLICHTLICHTLICHTL truppenabzugnachosten EZWWIPVCISFOEHVSWUAXY Der Buchstabe des Schlüsselworts gibt an, wieweit der Buchstabe des Klartextes im Alphabet verschoben werden muss. Im obigen Beispiel ist L der 12. Buchstabe des Alphabets und man verschiebt das t des Klartexts um 12 1 = 11 Positionen nach rechts modulo 26, das ist gerade E.

163 Vignère-Verschlüsselung Schlüsselwort Klartext Geheimtext LICHTLICHTLICHTLICHTL truppenabzugnachosten EZWWIPVCISFOEHVSWUAXY Der Buchstabe des Schlüsselworts gibt an, wieweit der Buchstabe des Klartextes im Alphabet verschoben werden muss. Im obigen Beispiel ist L der 12. Buchstabe des Alphabets und man verschiebt das t des Klartexts um 12 1 = 11 Positionen nach rechts modulo 26, das ist gerade E. Der nächste Buchstabe r wird wegen des an 9. Position stehenden I um 8 Positionen nach rechts verschoben, das ist Z.

164 Vignère-Verschlüsselung Damit wird jeder Buchstabe auf 5 verschiedene Arten verschlüsselt, eine Häufigkeitsanalyse der Buchstaben ist zur Entschlüsselung nicht mehr möglich.

165 Vignère-Verschlüsselung Damit wird jeder Buchstabe auf 5 verschiedene Arten verschlüsselt, eine Häufigkeitsanalyse der Buchstaben ist zur Entschlüsselung nicht mehr möglich. Allerdings kann bei kurzen Schlüsselwörtern eine Häufigkeitsanalyse nach Sequenzen vorgenommen werden wie etwa nach dem häufigsten dreibuchstabigen Wort die.

166 Vignère-Verschlüsselung Damit wird jeder Buchstabe auf 5 verschiedene Arten verschlüsselt, eine Häufigkeitsanalyse der Buchstaben ist zur Entschlüsselung nicht mehr möglich. Allerdings kann bei kurzen Schlüsselwörtern eine Häufigkeitsanalyse nach Sequenzen vorgenommen werden wie etwa nach dem häufigsten dreibuchstabigen Wort die. Auch nach Verschlüsselung werden die zugehörigen verschlüsselten Sequenzen immer noch häufig sein und führen somit auf das Schlüsselwort.

167 Vignère-Verschlüsselung Man kann die Vignère-Verschlüsselung dahingehend verbessern, dass an Stelle eines Schlüsselwortes ein ganzer Text vereinbart wird, beispielsweise ein Abschnitt eines Romans.

168 Vignère-Verschlüsselung Man kann die Vignère-Verschlüsselung dahingehend verbessern, dass an Stelle eines Schlüsselwortes ein ganzer Text vereinbart wird, beispielsweise ein Abschnitt eines Romans. In diesem Fall muss der Entschlüssler den Text kennen.

169 Vignère-Verschlüsselung Man kann die Vignère-Verschlüsselung dahingehend verbessern, dass an Stelle eines Schlüsselwortes ein ganzer Text vereinbart wird, beispielsweise ein Abschnitt eines Romans. In diesem Fall muss der Entschlüssler den Text kennen. Eine moderne Version dieser Technik verwendet einen Zufallsgenerator an Stelle eines Textes. Vor der Verschlüsselung müssen daher nur die Daten des Generators festgelegt werden.

170 Involutorische und fixpunktfreie Permutationen Eine Permutation p : A n A n heißt involutorisch, wenn p 2 = p p = id An.

171 Involutorische und fixpunktfreie Permutationen Eine Permutation p : A n A n heißt involutorisch, wenn p 2 = p p = id An. Beispiel n = 3 f(1) = f(3), f(2) = 2, f(3) = 1.

172 Involutorische und fixpunktfreie Permutationen Eine Permutation p : A n A n heißt involutorisch, wenn p 2 = p p = id An. Beispiel n = 3 f(1) = f(3), f(2) = 2, f(3) = 1. Eine Permutation p : A n A n heißt fixpunktfrei, wenn p(i) i für alle i = 1,...,n.

173 Involutorische und fixpunktfreie Permutationen Eine Permutation p : A n A n heißt involutorisch, wenn p 2 = p p = id An. Beispiel n = 3 f(1) = f(3), f(2) = 2, f(3) = 1. Eine Permutation p : A n A n heißt fixpunktfrei, wenn p(i) i für alle i = 1,...,n. Beispiel Wichtelproblem: Wahrscheinlichkeit einer Nicht-Selbstbewichtelung ist fixpunktfreie Permutationen Permutationen 1 e 1.

174 Involutorische und fixpunktfreie Permutationen Eine Permutation p : A n A n heißt involutorisch, wenn p 2 = p p = id An. Beispiel n = 3 f(1) = f(3), f(2) = 2, f(3) = 1. Eine Permutation p : A n A n heißt fixpunktfrei, wenn p(i) i für alle i = 1,...,n. Beispiel Wichtelproblem: Wahrscheinlichkeit einer Nicht-Selbstbewichtelung ist fixpunktfreie Permutationen Permutationen 1 e 1. Im Folgenden ist n = 26.

175 Enigma Die Enigma-Chiffriermaschine besteht aus einer Tastatur sowie einem Satz von Steckverbindungen, die eine involutorische Permutation r der 26 Buchstaben bewirken,

176 Enigma Die Enigma-Chiffriermaschine besteht aus einer Tastatur sowie einem Satz von Steckverbindungen, die eine involutorische Permutation r der 26 Buchstaben bewirken, 3-5 rotierenden Walzen mit 26 Zuständen a z, deren Position sich nach jedem eingegebenen Buchstaben ändert (=vom Zustand z abhängige Permutation p z ),

177 Enigma Die Enigma-Chiffriermaschine besteht aus einer Tastatur sowie einem Satz von Steckverbindungen, die eine involutorische Permutation r der 26 Buchstaben bewirken, 3-5 rotierenden Walzen mit 26 Zuständen a z, deren Position sich nach jedem eingegebenen Buchstaben ändert (=vom Zustand z abhängige Permutation p z ), einer Umkehrwalze, die wieder eine involutorische Permutation u der 26 Buchstaben darstellt.

178 Enigma Wird eine Taste gedruckt, so fließt ein Strom durch die Steckverbindungen, die Walzen und die Umkehrwalze. Anschließend fließt der Strom durch die Walzen und die Steckverbindungen wieder zurück.

179 Enigma Wird eine Taste gedruckt, so fließt ein Strom durch die Steckverbindungen, die Walzen und die Umkehrwalze. Anschließend fließt der Strom durch die Walzen und die Steckverbindungen wieder zurück. Ein Lämpchen leuchtet mit dem zugehörigen Buchstaben des Geheimtextes auf.

180 Enigma Wird eine Taste gedruckt, so fließt ein Strom durch die Steckverbindungen, die Walzen und die Umkehrwalze. Anschließend fließt der Strom durch die Walzen und die Steckverbindungen wieder zurück. Ein Lämpchen leuchtet mit dem zugehörigen Buchstaben des Geheimtextes auf. b i = R z (a i ) = r 1 p 1 z u p z r(a i ), i = 1,...26,

181 Enigma Wird eine Taste gedruckt, so fließt ein Strom durch die Steckverbindungen, die Walzen und die Umkehrwalze. Anschließend fließt der Strom durch die Walzen und die Steckverbindungen wieder zurück. Ein Lämpchen leuchtet mit dem zugehörigen Buchstaben des Geheimtextes auf. b i = R z (a i ) = r 1 p 1 z u p z r(a i ), i = 1,...26, a i Buchstabe des Klartexte, b i zugehöriger Buchstabe des Geheimtextes

182 Enigma b i = R z (a i ) = r 1 p 1 z u p z r(a i ), i = 1, (r 1 p 1 z u p z r) (r 1 p 1 z u p z r) = r 1 p 1 z u u p z r

183 Enigma b i = R z (a i ) = r 1 p 1 z u p z r(a i ), i = 1, (r 1 p 1 z u p z r) (r 1 p 1 z u p z r) = r 1 p 1 z u u p z r = r 1 p 1 z p z r = id A26.

184 Enigma b i = R z (a i ) = r 1 p 1 z u p z r(a i ), i = 1, (r 1 p 1 z u p z r) (r 1 p 1 z u p z r) = r 1 p 1 z u u p z r = r 1 p 1 z p z r = id A26. Vorteil: Dechiffrierung kann mit der gleichen Maschine erfolgen, wenn Anfangsstellung der Walzen und der Steckverbindungen bekannt.

185 Enigma b i = R z (a i ) = r 1 p 1 z u p z r(a i ), i = 1, (r 1 p 1 z u p z r) (r 1 p 1 z u p z r) = r 1 p 1 z u u p z r = r 1 p 1 z p z r = id A26. Vorteil: Dechiffrierung kann mit der gleichen Maschine erfolgen, wenn Anfangsstellung der Walzen und der Steckverbindungen bekannt. Wichtig: R z ist fixpunktfrei, d.h. ein Buchstabe wird nie durch sich selbst verschlüsselt.

186 Enigma b i = R z (a i ) = r 1 p 1 z u p z r(a i ), i = 1, (r 1 p 1 z u p z r) (r 1 p 1 z u p z r) = r 1 p 1 z u u p z r = r 1 p 1 z p z r = id A26. Vorteil: Dechiffrierung kann mit der gleichen Maschine erfolgen, wenn Anfangsstellung der Walzen und der Steckverbindungen bekannt. Wichtig: R z ist fixpunktfrei, d.h. ein Buchstabe wird nie durch sich selbst verschlüsselt. Die Amerikaner waren auch nicht besser.

187 Die RSA-Verschlüsselung Satz (Existenz der modularen Inversen) Sind a und n teilerfremde natürliche Zahlen, so gibt es eine ganze Zahl b mit der Eigenschaft ab 1 mod n.

188 Beweis Nach dem Satz über den größten gemeinsamen Teiler gibt es Zahlen α,β mit also αa 1 mod n. 1 = ggt(a, n) = αa+βn,

189 Beweis Nach dem Satz über den größten gemeinsamen Teiler gibt es Zahlen α,β mit also αa 1 mod n. 1 = ggt(a, n) = αa+βn, Die Zahl b = α erfüllt daher die Behauptung.

190 Variante des kleinen Satzes von Fermat Satz Seien p und q zwei verschiedenen Primzahlen und sei a teilerfremd zu pq. Dann gilt a (p 1)(q 1) 1 mod pq.

191 Beweis Mit a teilerfremd zu q ist auch a p 1 teilerfremd zu q.

192 Beweis Mit a teilerfremd zu q ist auch a p 1 teilerfremd zu q. Mit dem kleinen Satz von Fermat folgt a (p 1)(q 1) 1 mod q a (p 1)(q 1) = kq + 1

193 Beweis Mit a teilerfremd zu q ist auch a p 1 teilerfremd zu q. Mit dem kleinen Satz von Fermat folgt a (p 1)(q 1) 1 mod q a (p 1)(q 1) = kq + 1 Auf die gleiche Weise a (p 1)(q 1) = lp + 1, daher kq = lp.

194 Beweis Mit a teilerfremd zu q ist auch a p 1 teilerfremd zu q. Mit dem kleinen Satz von Fermat folgt a (p 1)(q 1) 1 mod q a (p 1)(q 1) = kq + 1 Auf die gleiche Weise a (p 1)(q 1) = lp + 1, daher kq = lp. Also ist kq = lp sowohl durch q als auch durch p teilbar.

195 Beweis Mit a teilerfremd zu q ist auch a p 1 teilerfremd zu q. Mit dem kleinen Satz von Fermat folgt a (p 1)(q 1) 1 mod q a (p 1)(q 1) = kq + 1 Auf die gleiche Weise a (p 1)(q 1) = lp + 1, daher kq = lp. Also ist kq = lp sowohl durch q als auch durch p teilbar. Somit kq = lp = mqp und a (p 1)(q 1) = mpq + 1 oder a (p 1)(q 1) 1 mod pq.

196 Die RSA-Verschlüsselung Die RSA-Verschlüsselung ist asymmetrisch. Wer mir eine verschlüsselte Nachricht senden will, verschlüsselt sie mit einem öffentlichen Schlüssel, den ich beispielsweise im Internet zur Verfügung stelle.

197 Die RSA-Verschlüsselung Die RSA-Verschlüsselung ist asymmetrisch. Wer mir eine verschlüsselte Nachricht senden will, verschlüsselt sie mit einem öffentlichen Schlüssel, den ich beispielsweise im Internet zur Verfügung stelle. Das Entschlüsseln geschieht mit einer geheimen Zahl, die nicht versendet werden muss und auch dem Sender der Nachricht unbekannt ist.

198 Vorgehensweise Es werden zwei Primzahlen p und q gewählt und n = pq berechnet.

199 Vorgehensweise Es werden zwei Primzahlen p und q gewählt und n = pq berechnet. Mit einer weiteren frei gewählten Zahl e, die teilerfremd zu (p 1)(q 1) ist, wird d so berechnet, dass ed 1 mod (p 1)(q 1) oder ed = 1+k(p 1)(q 1).

200 Vorgehensweise Es werden zwei Primzahlen p und q gewählt und n = pq berechnet. Mit einer weiteren frei gewählten Zahl e, die teilerfremd zu (p 1)(q 1) ist, wird d so berechnet, dass ed 1 mod (p 1)(q 1) oder ed = 1+k(p 1)(q 1). Dies ist die modulare Inverse. d kann mit Hilfe des erweiterten euklidischen Algorithmus aus dem Satz von Bézout effektiv berechnet werden.

201 Vorgehensweise Es werden zwei Primzahlen p und q gewählt und n = pq berechnet. Mit einer weiteren frei gewählten Zahl e, die teilerfremd zu (p 1)(q 1) ist, wird d so berechnet, dass ed 1 mod (p 1)(q 1) oder ed = 1+k(p 1)(q 1). Dies ist die modulare Inverse. d kann mit Hilfe des erweiterten euklidischen Algorithmus aus dem Satz von Bézout effektiv berechnet werden. Öffentlicher Schlüssel: e und n.

202 Vorgehensweise Es werden zwei Primzahlen p und q gewählt und n = pq berechnet. Mit einer weiteren frei gewählten Zahl e, die teilerfremd zu (p 1)(q 1) ist, wird d so berechnet, dass ed 1 mod (p 1)(q 1) oder ed = 1+k(p 1)(q 1). Dies ist die modulare Inverse. d kann mit Hilfe des erweiterten euklidischen Algorithmus aus dem Satz von Bézout effektiv berechnet werden. Öffentlicher Schlüssel: e und n. Privater Schlüssel: d.

203 Vorgehensweise Es werden zwei Primzahlen p und q gewählt und n = pq berechnet. Mit einer weiteren frei gewählten Zahl e, die teilerfremd zu (p 1)(q 1) ist, wird d so berechnet, dass ed 1 mod (p 1)(q 1) oder ed = 1+k(p 1)(q 1). Dies ist die modulare Inverse. d kann mit Hilfe des erweiterten euklidischen Algorithmus aus dem Satz von Bézout effektiv berechnet werden. Öffentlicher Schlüssel: e und n. Privater Schlüssel: d. p, q und (p 1)(q 1) werden nicht mehr benötigt und sollten sicherheitshalber vernichtet werden.

204 Vorgehensweise Nun gibt man die Zahlen n und e öffentlich bekannt. Die geheime Zahl d wird nicht bekannt gegeben.

205 Vorgehensweise Nun gibt man die Zahlen n und e öffentlich bekannt. Die geheime Zahl d wird nicht bekannt gegeben. Will jemand eine Nachricht m < n an uns senden, so übermittelt er c m e mod n.

206 Vorgehensweise Nun gibt man die Zahlen n und e öffentlich bekannt. Die geheime Zahl d wird nicht bekannt gegeben. Will jemand eine Nachricht m < n an uns senden, so übermittelt er c m e mod n. Die Zahl c wird entschlüsselt durch m c d mod n.

207 Vorgehensweise Nun gibt man die Zahlen n und e öffentlich bekannt. Die geheime Zahl d wird nicht bekannt gegeben. Will jemand eine Nachricht m < n an uns senden, so übermittelt er c m e mod n. Die Zahl c wird entschlüsselt durch Wir müssen zeigen, dass m c d mod n. m = m ed m mod n.

208 Beweis m ed m mod n.

209 Beweis m ed m mod n. Nach Definition von e und d ist ed = 1+k(p 1)(q 1), also m ed = m 1+k(p 1)(q 1) m m k(p 1)(q 1) mod n.

210 Beweis m ed m mod n. Nach Definition von e und d ist ed = 1+k(p 1)(q 1), also m ed = m 1+k(p 1)(q 1) m m k(p 1)(q 1) mod n. Wegen m < n gilt m m mod n und wegen obigem Satz m k(p 1)(q 1) 1 mod n.